﻿ 偏差改正的Partial EIV模型方差分量估计
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1. 东华理工大学测绘工程学院, 江西 南昌 330013;
2. 流域生态与地理环境监测国家测绘地理信息局重点实验室, 江西 南昌 330013;
3. 江西省数字国土重点实验室, 江西 南昌 330013

Bias-corrected variance components estimation of Partial EIV model
WANG Leyang1,2,3, WEN Guisen1,2
1. Faculty of Geomatics, East China University of Technology, Nanchang 330013, China;
2. Key Laboratory of Watershed Ecology and Geographical Environment Monitoring, NASG, Nanchang 330013, China;
3. Key Laboratory for Digital Land and Resources of Jiangxi Province, Nanchang 330013, China
Abstract: Considering the methods of variance components estimation (VCE) in Partial errors-in-variables (Partial EIV) model have not considered the effect of the bias of parameter estimates, the formulas of bias and second-order covariance matrix of parameter estimates are presented with the Partial EIV model regarded as a non-linear function and the parameter estimates after bias-correct are calculated. Combining the VCE method, the matrix variable influenced by the parameter estimates is updated, and an iterative method of variance components estimation based on bias-correct is given. The experiments show that the reasonable parameter estimates and its second-order approximate covariance results are affected by the bias of parameter estimates. The reasonable parameter estimates and variance components estimates can be obtained through the bias-correct and the second-order information obtained can reasonably evaluate precision of parameter estimates.
Key words: Partial EIV model    non-linear    bias correction    variance components estimation

1 Partial EIV模型参数偏差及精度评定 1.1 Partial EIV模型解算

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1.2 基于二阶导数的偏差计算及精度评定

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2 基于偏差改正的方差分量估计

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 图 1 偏差改正方差分量估计迭代流程 Fig. 1 Flow chart of bias correction variance components estimation iteration

3 算例与分析 3.1 算例1直线拟合

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 点号 观测数据 权值 yi xi pyi pxi 1 5.9 0.0 1.0 1 000.0 2 5.4 0.9 1.8 1 000.0 3 4.4 1.8 4.0 500.0 4 4.6 2.6 8.0 800.0 5 3.5 3.3 20.0 200.0 6 3.7 4.4 20.0 80.0 7 2.8 5.2 70.0 60.0 8 2.8 6.1 70.0 20.0 9 2.4 6.5 100.0 1.8 10 1.5 7.4 500.0 1.0

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 估值 LS TLS TLS-VCE 本文方法 参数估值偏差 -0.610 813 -0.480 533 -0.489 907 -0.488 458 -0.002 910 6.100 109 5.479 910 5.527 558 5.522 168 0.011 351 1.483 294 — — — — — 0.656 376 0.609 549 — — — 1.821 311 1.832 322 —

 参数估值标准差 LS TLS TLS-VCE 本文方法(一阶) 本文方法(二阶) 0.062 341 0.070 620 0.067 155 0.066 281 0.066 458 0.424 059 0.359 247 0.361 275 0.358 512 0.359 077

3.2 算例2二维仿射变换

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 方案 LS -0.010 507 -0.000 285 10.001 318 11.006 626 1.010 133 1.019 889 0.012 493 TLS -0.009 630 -0.001 896 10.000 999 11.007 636 1.010 113 1.019 922 0.012 476 TLS-VCE -0.010 196 -0.000 477 10.001 274 11.006 858 1.010 127 1.019 899 0.012 364 本文方法 -0.010 196 -0.000 476 10.001 274 11.006 857 1.010 127 1.019 898 0.012 363 真值 0 0 10 11 1.01 1.02 — 偏差 -3.96×10-7 -2.75×10-7 7.04×10-9 8.85×10-10 -1.7×10-9 7.27×10-9 —

 方差分量估值 LS TLS TLS-VCE 本文方法 真值 0.238 453 0.023 296 — — — — — 0.029 946 89 0.029 946 90 0.03 — — 0.011 421 52 0.011 421 49 0.01

3.3 算例3四参数坐标转换

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 点号 原始坐标系 目标坐标系 xi Qxi yi Qyi Xi QXi Yi QYi 1 1.156 9 1 2.314 4 3 0.674 8 1 7.992 7 2 2 1.429 4 6 2.929 3 1 1.297 0 3 8.656 3 1 3 2.359 8 1 2.987 3 3 1.642 9 5 9.421 9 4 4 3.282 5 4 2.411 5 3 2.272 1 2 9.026 2 4 5 2.430 1 6 1.310 6 5 2.927 7 2 7.933 6 1

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 估值 LS TLS TLS-VCE 本文方法 真值 参数估值偏差 0.816 704 0.869 034 0.901 387 0.914 601 0.9 -0.006 479 0.591 251 0.616 815 0.622 195 0.621 941 0.6 0.000 381 1.335 291 1.318 447 1.295 961 1.268 229 1 0.017 362 5.410 062 5.152 773 5.043 577 5.007 308 5 0.015 749 0.536 270 0.354 950 0.299 978 0.269 620 — — 0.306 421 0.019 20 — — — — — — 0.025 638 0.026 188 0.025 — — — 0.010 577 0.009 920 0.01 —

 方案 σβ1 σβ2 σβ3 σβ4 LS 0.312 733 0.396 139 1.049 066 1.180 785 TLS 0.146 566 0.175 790 0.552 852 0.511 277 TLS-VCE 0.162 263 0.191 993 0.628 532 0.554 969 本文方法(一阶) 0.156 244 0.187 795 0.612 652 0.536 898 本文方法(二阶) 0.162 830 0.193 005 0.631 021 0.557 697

3.4 算例分析

(1) 算例1中，方差分量估计方法可以得到不同类数据的方差分量估值，而考虑总体最小二乘参数估值的有偏性时，对参数估值进行偏差改正，将改正后的参数估值与方差分量估计结合成整体进行计算，可以得到修正后的参数估值与方差分量估值。方差分量估值影响参数估值的精度评定，从表 3的参数估值标准差可以看出，偏差改正后的参数估值标准差小于未偏差改正的参数估值标准差，而二阶方差在数值上要大于一阶，说明在非线性模型的精度评定时应尽可能考虑线性化过程中舍去的高次项信息。

(2) 算例2中，由于观测数据的量级与观测误差的量级差别较大，系数矩阵误差对平差结果的影响较小，相应地将平差模型作为非线性模型时，得到的参数估值偏差很小，量级为10-7表 4所提供的参数估值结果都与LS结果相差较小；表 5中方差分量估计方法都可以得到接近于平差前给定的方差分量，说明了方差分量估计方法的有效性；而由于参数估值偏差较小的原因，经过偏差改正后得到的方差分量估值与未经过偏差改正得到的方差分量估值接近一致，这也说明偏差大小与数据初始精度及模型的非线性强度有关[44]

(3) 算例3中，考虑观测数据量级较小且观测量的方差较大的四参数坐标转换模型，表 7中给出计算得到参数估值的偏差最大为0.017 362，参数的偏差百分比为1.34%，模型具有非线性形态且有必要考虑泰勒展开式的二阶项[44]表 7提供的参数估值与真值的差值范数中，经过偏差改正后的方差分量估计得到的参数估值最接近于真值，相比于不考虑偏差改正的方差分量估计方法，更说明了偏差改正的必要性；从表 8中的参数估值标准差可以看出，加入偏差改正后得到一阶近似标准差要比不加偏差改正的小，而考虑泰勒级数展开的二阶项时，二阶近似要大于一阶近似标准差，在线性化过程中忽略高次项时可能会舍去某些信息，而考虑了部分随机量的随机性的方法在理论上更加严密。

4 结束语

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http://dx.doi.org/10.11947/j.AGCS.2019.20170693

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#### 文章信息

WANG Leyang, WEN Guisen

Bias-corrected variance components estimation of Partial EIV model

Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2019, 48(4): 412-421
http://dx.doi.org/10.11947/j.AGCS.2019.20170693