在测绘数据获取过程中，不可避免的误差来源使观测数据与真值间存在差异，人们认为数据具有不确定性，其实质是指数据的误差^[1]。不确定性是不精确性、模糊性、不明确性等概念的一个总称，它与误差的意义相近。但前者指一种广义的误差，它包含可度量的数值误差和难以度量的概念误差。很多时候测量数据的不确定性不再是一个具体数值，它们可能各自在一定的实数区间内变动，或者仅是一个模糊数，此时沿用随机误差的分布限定会使测量平差数据处理效果受到影响^[2]。为抑制观测不确定性因素的影响，很多学者做了相关的研究。如运用整体平差算法^[3-5]来进行数据处理，它总体上考虑了观测向量L和系数矩阵A的误差，但容易出现对A的过度校正，从而影响状态参数估计的可提出给这种校正加上先验上界。后续研究包括应用不确定度理论研究不确定性评定方法^[7-11]，寻找抑制不确定性影响的算法^{[8, 12-13]}，针对不确定性建立新的平差准则^[14]等。

不确定度是不确定性的一种度量指标体系，它与测量界的精度度量方式几乎一致，所有不确定度均可以用方差、均方差、误差区间、误差椭圆、误差椭球表示^[15]。在测绘数据处理领域，应用先验信息和不确定度理论进行抑制观测不确定性影响的相关研究已成为热点。文献[2]、[6]和[14]直接将不确定度作为一个参数融入函数模型中，建立不确定性平差模型，依据不确定性min-max平差准则，利用奇异值分解，而后迭代求解该问题。文献[16]针对不确定性min-max平差准则等价转换后的形式，提出了一种可行的加权方法，增加了参数估计的可靠性。文献[17]将文献[6]提出的不确定性度量方法融入不确定性平差模型中，并给出了新的参数求解算法。

本文在文献[17]方法的基础上，将随机误差和有界不确定性误差平方和最小的新平差准则运用到不确定性混合平差模型求解中，提出了一种新的迭代求解算法，并证明了该算法的收敛性，简化了文献[2, 14]中的算法，同时其应用范围更广。

1 系数矩阵中部分有界不确定性的混合平差模型

建立如下不确定性混合平差模型

式中，L为n×1维观测变量；A₁是n×p维系数矩阵；A₂是n×q维系数矩阵；ΔL和ΔA₂分别是L和A₂的有界不确定性误差，p+q=m，是m×1维待估参数，e为n维随机误差项(也属不确定性误差)，E(e)=0。α和β分别为A₂和L的不确定度。，，其中，表示ΔA₂的拉直变换。

关于平差模型的误差设立，文献[18]研究的污染误差模型仅考虑模型误差和随机误差，未对模型误差作约束。文献[19]研究的总体平差模型考虑了随机误差和系数矩阵误差，未对系数矩阵误差作约束。文献[2]在文献[14]的基础上引入了观测变量和系数矩阵的有界不确定性误差，但未考虑随机误差。文献[17]在文献[2]的基础上考虑了随机误差，也做了不确定性误差有界约束。在测量实践中，会遇到方程式系数矩阵部分有误差的情况，诸如曲面拟合、GPS伪距单点定位、坐标转换模型等^[20]。因此，本文将系数矩阵A分割为A₁和A₂，提出不确定性平差模型(1)。

模型(1)中的不确定性误差的有界性约束可看成是A₂和L的先验信息^[2]。文献[2]对所建立的平差模型采用的min-max准则进行参数解算，但该准则无法利用观测信息和先验有界信息估计不确定误差ΔL和ΔA₂。另外，未知参数X的估计结果中不含不确定度β，这导致不确定性误差ΔL对平差解算结果没有影响。鉴于此，本文基于模型式(1)，在式(1)的不确定性误差有界约束下，提出了随机误差和不确定性误差平方和最小准则

关于带约束的最小二乘问题，文献[21]提出了一种线性不等式约束平差模型算法，文献[22—24]针对总体最小二乘模型中附加等式约束给出了Euler-Lagrange逼近解算方法。对上述参数带有约束的最小二乘问题，本文参照前述文献的方法，引入Lagrange乘子，结合Kuhn-Tucker条件求得参数最小二乘估计的一般形式。

根据Euler-Lagrange求极值方法，构造如下目标函数

式中，λ₁为n×1维Lagrange乘子；λ₂、λ₃为1×1维Lagrange乘子，均非负。运用Kuhn-Tucker条件得到

其中，⊗表示Kronecker积。由式(4)可得

其中，。结合式(5)和式(4)

对式(5)两边分别同乘－A₁^T和－A₂^T，结合式(4)得

将式(6)代入式(7)得

其中，。

对式(8)进行整理推得

将式(6)代入式(4)得

将式(6)代入式(4)得

根据式(10)和式(11)，不确定性ΔL和ΔA₂在给定解的条件下，仅与Lagrange乘子相关。下面对其作详细讨论。

(1) λ₂>0，λ₃>0。据式(4)可知

将式(10)和式(11)代入式(12)解方程组得到

将式(13)和式(14)代入式(10)和式(11)即得不确定性ΔL和ΔA₂。

(2) λ₂=0(λ₂＜0视为λ₂=0)，λ₃>0。据式(4)有，代入式(11)关于λ₃^*解方程得

故而不确定性可分别表示为

(3) λ₂>0，λ₃=0(λ₃＜0视为λ₃=0)。据式(4)有，代入式(10)得

从而不确定性可以表示为

(4) λ₂=λ₃=0(λ₂＜0视为λ₂=0，λ₃＜0视为λ₃=0)。此时，不确定性分别为

利用式(9)求解X₁和X₂非常复杂，考虑用迭代法求解。下面讨论迭代过程的收敛性问题。

由式(9)得

将式(20)代入式(9)并令得

其中，是将式(20)代入中得到。其中，。对求导数得

其中，

利用式(4)和式(5)，式(21)可简化为

同时代入可得

将式(24)和式(25)代入式(22)，利用以及范数性质可知

因目标函数式(3)是凸规划问题，其最小二乘解一定存在，故据式(9)知也一定存在。因此，根据式(9)可知、都有界，故要使式(26)右端有界仅需使充分小。且其有界性与满足λ₂≥0，λ₃≥0的λ₂，λ₃无关。此时可得

该算法收敛。

在上述不确定性混合平差模型中，若令α→+∞，β=0。则根据式(4)可知λ₂=0，如此λ₂^*=1，对应于Lagrange乘子分类讨论的情况(2)，则由式(15)可得λ₃=+∞，从而λ₃^*=0。将之代入式(8)得到

此与文献[23]中公式一致，即混合总体最小二乘模型。因此，本文的不确定性混合平差模型可认为是更广的混合平差模型。

2 不确定性混合平差模型解算方法

根据上述推导可归纳迭代计算步骤如下：

(1) λ₂⁽⁰⁾=0，λ₃⁽⁰⁾=0。

，其中A=[A₁ A₂]，

其中，E₁、E₂分别为对应维度的单位阵。

。置k=0。

(2) 。

(3) 计算。

令λ₂=max(0, λ₂)，λ₃=max(0, λ₃)。

(4) 若λ₂>0，λ₃>0，则令；若λ₂=0，λ₃>0，则计算

令λ₂^(k+1)=0，λ₃^(k+1)=max(0, λ₃)；若λ₂>0，λ₃=0，则计算。令λ₂^(k+1)=max(0, λ₂)，λ₃^(k+1)=0；若λ₂=λ₃=0，令λ₂^(k+1)=0，λ₃^(k+1)=0。

(5) 计算。

令。

(6) 计算。

(7) 当时，迭代结束。否则，置k=k+1，转到第(3)步。

(8) 令。将参数估计结果代入式(10)、式(11)可得不确定性ΔL和ΔA₂。代入式(6)得到误差项估计。

3 不确定性混合平差模型解算与分析

在应用包括GPS在内的空间定位技术进行测量时, 往往还需要进行不同基准间的转换。进行基准转换的模型很多, 较为常用的有布尔沙-沃尔夫(Bursa-Wolf)模型和莫洛金斯基(Molodensky)模型^[25]。本文将文献[25]中的Bursa-Wolf模型改写为不确定性混合平差模型。基于空间坐标采样数据，分析比较了该模型min-max准则下的算法(ULS1)和本文提出的算法(ULS2)的解算优劣。数据见表 1。该数据共19个观测点，57条数据。其中前16个观测点用于建立转换模型，并进行参数估计，后3个观测点用于预测和比较。

对文献[25]中的Bursa-Wolf模型进行适当变形得到

式中，[X_A Y_A Z_A]^T和[X_B Y_B Z_B]^T分别代表空间中某点在不同系统下的坐标观测值；[X₀ Y₀ Z₀]^T是模型的平移参数向量；u是模型的尺度参数；ε_X、ε_Y、ε_Z为模型的旋转参数。设有n个空间观测点，令

则有

式中，X₁=[X₀ Y₀ Z₀]^T，X₂=[ε_X、ε_Y、ε_Z1+u]^T。系数矩阵A₁为常数矩阵，不存在误差；系数矩阵A₂含有观测坐标，存在误差，因此该模型可用不确定性混合平差模型式(1)来刻画。

首先算法的实现需要确定不确定度，而不确定性是未知的。文献[6]假设真实的系数矩阵为A₂+ΔA₂，真实的观测向量为L+ΔL。其中ΔA₂和ΔL分别为不确定性误差，并假设仅知道它们的2范数上界，即。本文沿用文献[6]的方法，分别取相对误差‖δA₂‖₂、‖δL‖₂作为其不确定性的度量，即相应的不确定度α、β。需要说明的是，本文所提算法认为有界不确定性误差序列是未知的。同时，考虑到不同的有界不确定性对解算精度有一定的影响^[17]，本文设定了δ的不同取值，分别求得两种算法所得结果关于观测向量L的前16个观测的残差，以及前16个观测中ULS2预测残差优于ULS1预测残差的比例p作为内符合精度的度量。结果见表 2。由表 2可知在本算例中ULS2算法的估计结果精度总是更高。同时，可以粗略认为，随着不确定性的增大，ULS2算法解优于ULS1算法解的效果愈发显著。另外，在不同的不确定度假设前提下残差指标总是相对稳定，说明该算法更加稳健，因为实际中不确定度是未知的。δ取值的大小，都是根据先验知识对模型中有界不确定性误差的一种假设。取值过大或者过小都会使算法的性能受到影响，因此δ的设定应根据其具体应用背景和实际情况，充分利用相关先验信息确定，以得到合理、适用的算法。

本文将最后3个未参与建模的观测作为度量算法外符合精度的检验点。由表 2可知，当不确定性被设置的越来越小时，两种算法关于前16个观测的预测残差均逐渐变小。在δ取0.000 1时，ULS1的预测残差值最小，但通过计算发现ULS2算法对3个检验点的预测效果依然优于ULS1算法，具体精度见表 3，计算方式为。综合来看，ULS2优于ULS1，该结果进一步证明了本文算法的稳健性。

为了进一步比较两种算法的有效性，本文参照文献[14]，利用不同的平差准则下的目标函数，将δ=0.000 1时的算法解回代，以比较两种算法的优劣。结果见表 4。这里，笔者设定a(A,L。其中，。由表 4可知，在R(A, L, X)函数和r(A, L, X, α, β)函数下ULS2算法优于ULS1算法，在第二个平差准则对应的目标函数下，ULS1算法优于ULS2算法。

在实际情况中，由于模型误差、人为误差、仪器误差以及样本影响等，同一控制点在两套坐标系下的坐标量测值均包含了误差，这使得观测向量L和系数矩阵A₂都需要修正。本文运用混合不确定性模型来解决该数据误差问题，最终使得新旧坐标系下的坐标测量值都能够平等、匀称地进行改正。

4 结论

目前的测量平差理论大多是基于“观测值的不确定性就是随机性”的假设进行的研究。但在实际测量工程中，有许多不确定因素是不同于传统的随机性误差的，它们没有分布规律，因而无法进行统计描述。所以有文献将观测中的不确定性因素进行数值化、参数化后融入平差模型中。本文沿用以上思路，提出了基于混合不确定性模型的参数求解算法。主要有以下结论：

(1) 结合部分系数矩阵A₂和观测向量L存在一定的误差的事实，本文将平差模型扩展到混合不确定性平差模型，该模型在某些应用领域更加切合实际。

(2) 本文将不确定信息转化为先验信息，以参数的形式融入模型，建立有界不确定性约束下随机误差和不确定性误差平方和最小的平差准则，最后对该优化问题进行迭代求解。从参数估计的残差角度考虑，min-max准则下的算法所得残差取值几乎总是大于本文算法，说明本文所提算法精度更高。

(3) 本文算法利用了有界不确定性误差的先验信息-不确定度β，而文献[2]的参数估计结果中没有β，这样的结果未体现不确定度β作为参数融入模型的意义。

(4) 在本文算例中，当不确定性设定在一定范围内时，本文所提算法所得结果变化不太大。说明在坐标转换中，转换参数对系数矩阵的有界不确定性误差不十分敏感，也有可能是测量不确定性过大淹没了矩阵的有界不确定性。