﻿ 系数矩阵中部分有界不确定性的混合平差算法
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1. 中南大学数学与统计学院, 湖南 长沙 410083;
2. 中南大学地球信息科学与物理学院, 湖南 长沙 410083

Mixed Adjustment Algorithm for Part of the Coefficient Matrix with Uncertainty
WANG Zhizhong1 , SONG Yingchun2 , HE Lingli1
1. School of Mathematics and Statistics, Central South University, Changsha 410083, China;
2. School of Geosciences and Info-physic, Central South University, Changsha 410083, China
Foundation support: The National Natural Science Foundation of China (Nos. 41574006;41674009;41674012);Independent Exploration and Innovation Project of Graduate students of Central South University (No. 1053320170182)
First author: WANG Zhizhong(1963—), male, PhD, PhD supervisor, majors in surveying data processing. E-mail:wzz8713761@163.com
Corresponding author: HE Lingli, E-mail: helingli@csu.edu.cn
Abstract: Uncertainty often exists in the process of measurement data acquiring, which affects the reliability and validity of parameter estimation.Based on uncertain mixed adjustment model, this paper applies the adjustment criterion, minimizing the sum of squares of random error and squares of uncertainty error, to study a new iteration algorithm to solve the adjustment model under the bound constrain of uncertainty.By the example, the estimation results of proposed method are compared with that of another relative method.The results show that the parameter calculation method presented in this paper is effective and feasible.Meanwhile, the method has satisfied applicability when the uncertainty is large.

1 系数矩阵中部分有界不确定性的混合平差模型

(1)

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(1) λ2>0，λ3>0。据式(4)可知

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(2) λ2=0(λ2＜0视为λ2=0)，λ3>0。据式(4)有，代入式(11)关于λ3*解方程得

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(3) λ2>0，λ3=0(λ3＜0视为λ3=0)。据式(4)有，代入式(10)得

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(4) λ2=λ3=0(λ2＜0视为λ2=0，λ3＜0视为λ3=0)。此时，不确定性分别为

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2 不确定性混合平差模型解算方法

(1) λ2(0)=0，λ3(0)=0。

，其中A=[A1 A2]，

。置k=0。

(2)

(3) 计算

λ2=max(0, λ2)，λ3=max(0, λ3)。

(4) 若λ2>0，λ3>0，则令；若λ2=0，λ3>0，则计算

λ2(k+1)=0，λ3(k+1)=max(0, λ3)；若λ2>0，λ3=0，则计算。令λ2(k+1)=max(0, λ2)，λ3(k+1)=0；若λ2=λ3=0，令λ2(k+1)=0，λ3(k+1)=0。

(5) 计算

(6) 计算

(7) 当时，迭代结束。否则，置k=k+1，转到第(3)步。

(8) 令。将参数估计结果代入式(10)、式(11)可得不确定性ΔL和ΔA2。代入式(6)得到误差项估计

3 不确定性混合平差模型解算与分析

 m 编号 坐标系A 坐标系B XA YA ZA XA YA ZA 1 342 978.367 5 524 439.014 4 532 144.829 5 343 259.664 2 524 871.780 7 532 584.028 0 2 337 243.729 9 515 675.553 2 523 252.022 7 337 529.991 5 516 113.098 5 523 696.091 6 3 331 518.006 8 506 920.331 0 514 368.328 1 331 804.195 3 507 358.090 4 514 812.426 4 4 325 792.242 9 498 165.458 5 505 484.368 6 326 078.591 7 498 603.547 9 505 929.071 4 5 320 066.574 2 489 410.113 4 496 600.727 2 320 352.807 3 489 847.577 3 497 044.885 1 6 314 340.867 7 480 654.879 9 487 717.072 7 314 627.184 8 481 092.699 8 488 161.259 4 7 308 615.197 1 471 900.297 7 478 833.284 7 308 901.477 8 472 338.202 2 479 277.870 7 8 302 893.730 6 463 162.909 7 469 946.730 6 303 179.197 9 463 602.110 3 470 391.459 5 9 297 174.847 5 454 438.906 4 461 058.280 9 297 461.138 2 454 841.305 4 461 502.843 6 10 291 529.080 7 449 917.035 4 452 109.183 7 291 798.726 6 450 169.321 2 452 564.603 6 11 286 228.038 3 439 369.637 4 442 979.475 5 286 499.677 1 440 076.878 4 443 430.529 5 12 280 783.920 3 425 828.302 6 433 960.731 6 281 056.576 1 426 473.233 4 434 411.537 0 13 275 355.550 5 413 165.794 5 424 923.984 7 275 625.698 2 413 787.093 9 425 377.315 8 14 269 979.527 7 401 066.999 8 415 845.838 6 270 250.047 0 401 694.093 6 416 298.311 4 15 264 529.918 3 388 252.881 6 406 821.319 9 264 804.570 2 388 897.333 4 407 271.082 6 16 258 982.888 3 375 362.878 4 397 861.133 5 259 261.518 1 376 018.055 4 398 308.863 0 17 253 419.284 5 362 129.102 6 388 912.670 8 253 697.957 5 362 779.431 1 389 359.793 1 18 247 854.028 5 349 421.683 0 379 960.068 9 248 131.962 0 350 046.836 0 380 408.162 0 19 242 299.447 2 337 089.413 7 370 997.052 1 242 577.174 6 337 696.959 9 371 445.651 3

(29)

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 δ 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 0.000 5 0.000 1 残差(ULS1) 128 731.95 2 068.777 7 1 190.304 8 1 139.157 3 1 126.156 5 1 125.506 7 1 125.204 0 残差(ULS2) 1 125.214 4 1 125.214 4 1 125.214 4 1 125.214 4 1 125.214 4 1 125.214 4 1 125.209 0 p 1.000 0 0.875 0 0.562 5 0.500 0 0.500 0 0.500 0 0.437 5

 观测序号 17 18 19 ULS1 40.210 5 87.445 0 126.943 3 ULS2 7.468 3 50.655 0 86.149 9

 方法 R(A, L, X) a(A, L, X) r(A, L, X, α, β) ULS1 364.874 6 0.240 5 12 549 555.93 ULS2 364.874 5 0.240 7 1 253 502.36

4 结论

(1) 结合部分系数矩阵A2和观测向量L存在一定的误差的事实，本文将平差模型扩展到混合不确定性平差模型，该模型在某些应用领域更加切合实际。

(2) 本文将不确定信息转化为先验信息，以参数的形式融入模型，建立有界不确定性约束下随机误差和不确定性误差平方和最小的平差准则，最后对该优化问题进行迭代求解。从参数估计的残差角度考虑，min-max准则下的算法所得残差取值几乎总是大于本文算法，说明本文所提算法精度更高。

(3) 本文算法利用了有界不确定性误差的先验信息-不确定度β，而文献[2]的参数估计结果中没有β，这样的结果未体现不确定度β作为参数融入模型的意义。

(4) 在本文算例中，当不确定性设定在一定范围内时，本文所提算法所得结果变化不太大。说明在坐标转换中，转换参数对系数矩阵的有界不确定性误差不十分敏感，也有可能是测量不确定性过大淹没了矩阵的有界不确定性。

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http://dx.doi.org/10.11947/j.AGCS.2018.20170344

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#### 文章信息

WANG Zhizhong, SONG Yingchun, HE Lingli

Mixed Adjustment Algorithm for Part of the Coefficient Matrix with Uncertainty

Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2018, 47(9): 1171-1178
http://dx.doi.org/10.11947/j.AGCS.2018.20170344