矢量地理数据具有空间特征明显、精度高、组织结构多样的特点，其中小数据量的矢量地理数据例如矢量切片、区域采样点、矿井分布、军事敏感区等，在数据共享和分发中面临着盗版、侵权和泄密等安全问题，迫切需要有效的技术手段进行安全保护和版权鉴定。数字水印技术将版权信息与数据紧密结合，能够有效实现矢量地理数据的版权保护、追踪溯源和安全管理。目前矢量地理数据水印算法已取得较多研究成果，根据嵌入域的不同可分为空间域、频率域及几何域的水印算法。空间域水印算法运用量化、坐标映射等方法，直接对矢量数据坐标嵌入水印，实现较强的抵抗增删攻击的能力^[1-5]；频率域水印算法将水印嵌入至坐标变换域系数中，例如离散傅里叶变换、离散余弦变换等，提升了算法抗噪声、平移等攻击的能力^[6-12]；基于几何域的水印算法将水印嵌入至地理数据几何特征中，包括角度、距离、弧长等，能够对旋转、缩放、平移等几何攻击具有更好的抵抗性^[13-18]。

综合来看，现有的矢量地理数据水印算法研究侧重于稳健性的提升，但对水印容量方面研究较少，大多数水印算法对每个节点嵌入的水印容量不超过2 bit^[1-18]。但在实际中，小数据量的矢量地理数据往往只有100个节点左右，而水印信息长度可超过1000位。例如，一幅32×32像素的二值版权图像的信息量为1024 bit。因此，高水印容量的需求与载体小数据量的特性矛盾明显，现有的水印算法难以对小数据量数据进行有效的水印嵌入和检测。

本文针对水印算法容量较低的问题，提出一种适用于小数据量的矢量地理数据水印算法。在水印生成阶段，通过压缩感知并构建量化表，减小水印信息的长度和冗余；水印嵌入时，增加量化区间数量以提高单位节点嵌入的水印容量，对节点形成的夹角进行多段量化调制，从而既保证对增删攻击和几何攻击具有一定的稳健性，也能够提高小数据量数据中嵌入的水印容量。

1 水印信息的稀疏采样和量化

水印算法的主要步骤包括水印信息生成、嵌入和检测。其中水印信息生成方法包括有意义版权图像的获取、水印信息的置乱或者加密等^{[4, 19-20]}。加密或者置乱的方法能够提高水印算法的安全性，但不能显著地压缩水印信息。因此为提高水印嵌入容量，需要对二值版权图像进行压缩，降低图像的冗余性。

压缩感知作为一种信号处理的新兴方法，能够以较低的采样率测量信号并稳健重构信号^[21-22]。它的原理是当数据在特定域φ中稀疏表示时，用与φ不相关的矩阵对数据进行欠采样，获得测量结果的同时实现数据压缩；恢复和重构信号时，虽然欠定方程组理论上没有确定解，但根据原始信号在φ中稀疏的性质，通过优化算法或者贪婪算法能够重构原始信号，并在一定程度上抵抗噪声、信号丢失的攻击^[23]。因此，在水印信息生成中运用压缩感知方法，能够在压缩水印信息的同时增加水印信息重构过程中的稳健性。同时，测量矩阵作为密钥也可以保证水印的安全性^[24]。

运用压缩感知对二值图像水印信息进行测量时，测量结果的数值范围往往超过(－1, +1)，并含浮点型数值，直接转换为二值水印信息反而会大幅增加水印信息长度。为实现水印信息的压缩和准确重构，本文提出了压缩感知和量化机制相结合的水印信息生成算法，对压缩感知的测量值进行量化调制，有效压缩水印信息量并保证其恢复的准确性。

基于压缩感知和量化机制的水印信息生成步骤为：

(1) 获取大小为L×L的二值版权图像W。

(2) 对二值版权图像W进行分块，分块大小为N×N，对各块进行小波分解，实现图像的稀疏化表达。

(3) 设采样率为，随机生成大小为M×N、独立同分布的高斯矩阵Φ，对图像各分块W_b进行测量

式中，Y_b为图像各分块的测量结果。

(4) 对测量结果Y_b进行取整量化，为计算方便，建立量化表将测量结果映射为量化值，量化表如表 1所示。

根据映射后的结果生成水印信息WM，长度为，即

式中，WM_i∈{－2, －1, 1, 2}。

2 角度多段量化规则

角度能够在旋转、平移和缩放等几何变换中保持不变，具有抵抗几何攻击的能力，因此水印算法选择在相邻节点形成的夹角中进行水印嵌入。考虑到矢量地理数据的点、线、面的数据组织结构，水印算法对点数据进行水印嵌入时，可嵌角度依据点坐标(x, y)大小排序生成，对于线数据、面数据直接使用相邻线段的角度即可。设可嵌角度∠P₀P₁P₂由点P₀(x₀, y₀)、P₁(x₁, y₁)和P₂(x₂, y₂)构成，对可嵌角度∠P₀P₁P₂量化调制后，P₀、P₁点保持不变，P₂点调制至P₂'，量化调制的过程如图 1所示。

为提高算法可嵌入的水印容量，本文提出了角度多段量化规则。根据表 1，水印信息量化值有4种，为保证水印的稳健重构，在角度的量化嵌入过程中，多段量化区间的数目也设定为4。根据表 1水印生成的测量结果量化表，对测量结果即水印信息WM_i，与量化区间索引WM_i'建立映射关系

对于角度α，设多段量化区间的单位角度为θ，嵌入水印信息WM_i时，首先计算角度α对应的量化区间索引值R为

式中，为向下取整运算。根据待嵌入的水印信息和式(2)，计算需调制的量化区间索引WM_i'，将角度α从索引为R的量化区间调制至索引为WM_i'的量化区间

式中，α'为嵌入水印后的角度值，从而实现角度的多段量化调制。

3 水印算法 3.1 误差控制策略

水印算法对相邻节点形成的夹角嵌入水印时，需要考虑到夹角调制过程对节点坐标的精度影响。根据式(4)，起始夹角最大调制幅度为3θ，顺序地对多个节点的原始夹角进行调制，会导致后序角度调制幅度不断累积并远大于3θ，从而影响矢量地理数据的可用性。因此水印嵌入时，对节点的夹角进行动态更新。在夹角∠P_kP_k+1P_k+2嵌入水印后，节点P_k+2更新为P_k+2'，下一水印嵌入角度根据P_k+2'更新为∠P_k+1P_k+2'P_k+3。理论上所有可嵌角度的调制幅度不超过3θ，从而严格控制了节点坐标在嵌入水印后的误差。

3.2 水印嵌入

水印嵌入算法在水印信息稀疏采样和量化基础上，运用角度多段量化机制、动态更新方式对矢量地理数据的夹角嵌入水印，具体嵌入步骤为：

(1) 根据基于压缩感知和量化表的水印信息生成方法，生成水印信息WM，保存水印信息生成过程中的测量矩阵Φ，作为水印检测的密钥。

(2) 依据第2节中可嵌角度的选取规则，读取矢量地理数据并获取所有可嵌角度，记为∠P_kP_k+1P_k+2(0≤k＜N₂, N₂为可嵌角度的个数)。

(3) 从第一个可嵌角度∠P_kP_k+1P_k+2开始，根据三点的坐标计算对应的角度α_k。

(4) 建立水印同步机制。选择MD5消息摘要算法作为散列函数Hash，由于，故取α_k弧度值百分位之前的数值映射至水印位I_k

(5) 计算多段量化区间索引。根据式(2)和式(3)，分别计算α_k和WM_Ik对应的量化区间索引值R和WM_Ik'。

(6) 根据式(4)，将角度α_k量化调制为α_k'，并计算嵌入水印后P_k+2'的坐标(x₂', y₂')

更新P_k+2坐标值为P_k+2'(x₂', y₂')，完成对∠P_kP_k+1P_k+2的水印嵌入。考虑到矢量地理数据的坐标数值范围，θ可取10^－6以满足矢量地理数据的精度要求。

(7) 根据嵌入水印的点坐标P_k+2'(x₂', y₂')，计算下一可嵌角度∠P_k+1P_k+2'P_k+3并嵌入水印；重复上述水印嵌入过程，对所有可嵌角度实现水印嵌入。

3.3 水印检测

水印检测是水印嵌入的逆过程，水印检测时根据角度所在的量化区间判断水印值，对检测出的水印值进行压缩感知重构，从而恢复原始水印。水印检测步骤为：

(1) 读取待检测的矢量地理数据，判断点、线、面的数据类型和待检测的角度，记为∠P_k'P_k+1'P_k+2'(0≤k＜N₃, N₃为待检测角度的个数)。

(2) 从第一个待检测角度∠P_k'P_k+1'P_k+2'开始，计算对应的角度α_k'。

(3) 基于水印同步机制，根据式(5)得到α_k'映射的水印位I_k'。

(4) 计算角度α_k'对应的量化区间索引WMI_k'

则水印值WM_Ik'为

(5) 遍历所有待检测角度，得到水印检测结果，即为水印压缩感知的测量值WM'=。

(6) 基于密钥Φ，运用正交匹配追踪法重构版权图像^[25]，完成水印检测。

4 试验与分析

水印算法的有效性从数据可用性、水印容量和稳健性3个方面进行试验验证。试验数据如图 2所示，图 2(a)和(b)各为小数据量的点数据和线数据，图 2(c)为普通数据量的面数据，所含有的节点个数分别为100个、126个和2000个，比例尺分别为1: 2000、1: 5000和1: 10 000。

水印信息为32×32像素的二值版权图像，如图 3所示。

水印信息生成中分块大小N=8，采样率设为75%，即M=6，运用本文提出的水印算法对试验数据嵌入并检测水印。选择相关系数NC作为客观评价指标，设检测出的水印信息为W_i'，原始水印信息为W_i，则相关系数NC计算公式为

式中，N_wm为水印长度；XNOR为异或运算。当NC=1时，表示水印检测完全正确，当NC=0时，表示完全未检测出水印。

在未攻击的情形下对水印进行检测，水印检测结果如表 2所示。

从表 2中可以看出，对于含有100个和126个节点的小数据量数据(a)和数据(b)，检测结果与原始水印存在部分像素差异，但是图像内容可辩，能够明确反映出版权标识，且NC均高于0.5；对于含2000个节点的数据(c)，无论是视觉上还是NC值都表明检测出的水印图像与原始水印完全一致。上述试验结果表明，提出的水印算法能够对小数据量的数据嵌入较为完整的水印信息，也适用于较大数据量数据的水印嵌入和检测。

4.1 数据可用性

为验证水印算法对矢量地理数据精度和可用性的影响，统计试验数据在水印嵌入后的误差，统计结果如表 3所示。

从表 3可知，嵌入水印后坐标误差均能够控制在0.01 m之内，满足不同比例尺下矢量地理数据精度要求，这是因为在水印嵌入时，角度动态更新方法和较小的参数θ严格控制了数据误差，避免角度调制过程引起坐标数值的大幅变化。因此本文提出的水印算法能够保证矢量地理数据的可用性。

4.2 水印容量

为验证水印算法的嵌入容量，对不同数据量的数据嵌入和检测水印，验证检测结果的正确性并计算单个节点嵌入的水印容量。

首先对试验数据(a)和(b)进行不同程度的增删点预处理，生成不同数据量的数据，嵌入的水印信息统一为图 3所示的二值版权图像，水印信息量为1024 bit。对比试验算法为稳健性较好的/1/2(算法1)和/1/2(算法2)，分别从主观视觉和客观指标方面评价水印检测的结果。在计算嵌入容量时，式(9)中未检测到的水印位XNOR计算结果为0。小数据量数据(a)和(b)的水印检测结果如表 4和表 5所示。

在小数据量数据试验基础上，根据嵌入的总水印容量和节点个数，计算单个节点嵌入的水印容量。取上述试验的平均值作为衡量水印算法容量的指标，结果如表 6所示。

由表 4和表 5可知，对于相同数据量的试验数据，本文水印算法的检测结果无论是视觉上还是相关系数NC，均优于对比算法；并且数据量越小，检测结果的差异性也越明显。极限情况下对仅含100个节点的矢量地理数据，本文的算法仍然能成功嵌入水印并检测，检测结果视觉可辩，版权归属明确，且相关系数NC保持在较高的水平；相同条件下算法1和算法2难以完整地嵌入水印，版权信息辨识度低，无法鉴定小数据量的版权归属。从表 6的结果可以看出，本文水印算法的单个节点水印容量高于对比算法，每个节点能够承载的水印位数得到较大提升。因此，试验证明本文提出的水印算法有效地提高了水印容量，能够满足小数据量矢量地理数据版权保护的需求。

4.3 稳健性

为验证水印算法抵抗各类攻击的能力，分别对普通数据量的数据(c)和小数据量数据(b)进行稳健性试验，嵌入水印并对矢量地理数据进行增删攻击和几何攻击，对比水印检测结果的NC值，从而评价本文算法和算法1、算法2的稳健性。根据表 4和表 5的试验结果可设置经验阈值T=0.5，即NC＜0.5时版权归属难以分辨，此时试验结果记为“×”，表明水印未成功检测。基于普通数据量数据(c)的稳健性试验结果如表 7所示。

由表 7可知，对于普通数据量的数据，本文算法和对比算法都能完全抵抗几何攻击；但本文算法由于水印容量高，因此在抵抗增删攻击方面具有更好的稳健性。对于节点排序攻击，线数据和面数据的拓扑关系未改变，点数据经坐标排序后的顺序也未改变，因而水印算法能完全抵抗节点排序攻击。

基于小数据量数据(b)的稳健性试验结果如表 8所示。

由表 8可知，对于小数据量的数据，算法1和算法2的水印容量较低，无法完整地嵌入二值版权图像水印信息，更难以抵抗任意程度的增删、平移、旋转等攻击。而本文提出的水印算法由于使用了压缩感知、角度多段量化等机制，提高了水印嵌入容量，能够完全抵抗平移、旋转、缩放等几何攻击和节点排序攻击，也能较好地抵抗增删攻击。因此，本文的水印算法不仅能对小数据量数据嵌入水印，同时保证了良好的稳健性。

5 结论

针对小数据量矢量地理数据的版权保护需求，本文提出了一种高水印容量的水印算法。水印生成阶段，运用压缩感知进行测量并量化测量结果，在保证水印信息稳健重构的基础上实现了水印信息的压缩；水印嵌入阶段，提出角度的多段量化规则，进一步提升了单个节点能承载的水印容量，也提高了算法的稳健性。试验结果表明，提出的水印算法能够在小数据量的矢量数据中嵌入和检测水印，检测结果版权意义明确，单个节点嵌入的水印容量高于现有的水印算法，同时算法对增点、删点、缩放、旋转、裁切、排序等攻击也具有很好的稳健性。本文研究有效地解决了矢量数据的小数据量与水印容量的矛盾，实现了小数据量矢量地理数据的水印嵌入和检测，对矢量地理数据的版权保护具有重要的理论和应用价值。