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王乐洋，熊露雲。一种Partial EIV半参数模型的系统误差处理方法[J]. 测绘学报，2018，47(1)：25-34. DOI: 10.11947/j.AGCS.2018.20160613
WANG Leyang, XIONG Luyun. A Method for Dealing with the Systematic Errors of Partial EIV Semi-parametric Model[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2018, 47(1): 25-34. DOI: 10.11947/j.AGCS.2018.20160613
一种Partial EIV半参数模型的系统误差处理方法
王乐洋1,2,3, 熊露雲1,2     
1. 东华理工大学测绘工程学院, 江西 南昌 330013;
2. 流域生态与地理环境监测国家测绘地理信息局重点实验室, 江西 南昌 330013;
3. 江西省数字国土重点实验室, 江西 南昌 330013
收稿日期：2016-12-05；修回日期：2017-11-16
基金项目：国家自然科学基金（41664001）；江西省杰出青年人才资助计划（20162BCB23050）；国家重点研发计划（2016YFB0501405）
第一作者简介：王乐洋(1983-), 男, 博士, 副教授, 主要研究方向为大地测量反演及大地测量数据处理。E-mail:wleyang@163.com
摘要：在使用总体最小二乘求解参数时，若观测值中包含系统误差，此时得到的参数估值则会受到系统误差的影响，从而得到不可靠的解，因此必须削弱系统误差对参数估计的影响，以获得相对可靠的解。本文提出在partial errors-in-variables（Partial EIV）模型的基础上给观测值增加非参数部分（系统误差），从而构建Partial EIV半参数模型；基于补偿最小二乘准则进行公式推导，并分别通过选取适当的正则化矩阵及通过L曲线法确定平滑因子。通过算例结果分析表明，与传统方法相比，本文的方法在一定程度上能够削弱系统误差的影响，得到更为可靠的参数解，从而验证了该方法的有效性和可行性。
关键词：Partial EIV半参数模型    系统误差    正则化矩阵    L曲线    平滑因子    
A Method for Dealing with the Systematic Errors of Partial EIV Semi-parametric Model
WANG Leyang1,2,3, XIONG Luyun1,2     
1. Faculty of Geomatics, East China University of Technology, Nanchang 330013, China;
2. Key Laboratory of Watershed Ecology and Geographical Environment Monitoring, NASG, Nanchang 330013, China;
3. Key Laboratory for Digital Land and Resources of Jiangxi Province, Nanchang 330013, China
Foundation support: The National Natural Science Foundation of China (No. 41664001); Support Program for Outstanding Youth Talents in Jiangxi Province (No. 20162BCB23050); National Key Research and Development Program(No. 2016YFB0501405)
First author: WANG Leyang(1983-), male, PhD, associate professor, majors in geodetic inversion and geodetic data processing. E-mail:wleyang@163.com
Abstract: The estimated values are affected so that they are not reliable if the observations contain systematic errors under the solution of total least squares.Thus the bad effect on the estimated values should be weakened so the relatively reliable solution can be obtained.This paper adds non parametric part (systematic errors) in the partial errors-in-variables (Partial EIV) model, building Partial EIV semi-parametric model.The penalized least square criterion is introduced to derive formula, and choose the proper regularization matrix in the experiments.The smoothing factor is acquired by the method of L-curve.The results of experiments show that the algorithm of Partial EIV semi-parametric model can mitigate systematic errors to a certain extent and obtain the more reliable solution than the traditional method.So the validity of the algorithm is verified.
Key words: Partial EIV semi-parametric model     systematic errors     regularization matrix     L-curve     smoothing factor    

一般地，在测绘数据处理中，通常假设观测值只包含偶然误差，不含有系统误差和粗差。但是由于仪器、观测条件、气候等因素的影响，观测值中不可避免地会包含系统误差，而且有时所选用的函数模型[1-3]会包含着模型误差。当系统误差部分是偶然误差的1/3或更小时，则可将系统误差的影响忽略不计[4]，反之，则需要考虑系统误差，若处理过程中不削弱或消除系统误差的影响，则会得到不可靠的参数结果，甚至是错误的结果[5]。如何解决此类问题已是测绘数据处理研究的问题之一，统计学界在20世纪80年代提出的半参数回归分析模型为解决该问题提供了发展方向。针对半参数模型，从理论到应用方面，已有了较多的研究成果，早在1978年，文献[6]将最小二乘配置理论应用到地球重力场研究中，且在后来文献[7]发现最小二乘配置是半参数模型的一种特殊形式；在GPS数据处理方面，文献[1]将半参数模型引入到GPS中基线解算存在系统误差的问题中，并取得了较好的效果。随后文献[8-13]将半参数模型引入到测绘的数据处理当中，并对半参数平差模型的估计方法做了进一步扩展，极大地推动了半参数模型在测绘领域中的应用发展。

在不考虑系数矩阵误差时，上述半参数模型即是基于最小二乘进行求解的，但是在很多情况下，系数矩阵也同样含有偶然误差，因此，文献[14]提出能兼顾观测向量误差和系数矩阵误差的总体最小二乘法(total least squares，TLS)。自总体最小二乘的提出，无论是其估计理论[15-18]，还是其应用方面[19-22]关于TLS的研究成果十分丰富。针对系数矩阵存在随机元素和非随机元素以及呈现结构化特征的情况，文献[23]把errors-in-variables(EIV)模型转化为Partial EIV模型，推导出基于Partial EIV模型的总体最小二乘方法。文献[24]中指出Partial EIV模型较EIV模型的几个优势有：①Partial EIV模型是EIV模型更加一般的表达形式，包括了一般情况下加权总体最小二乘算法需要特殊处理的各种情况；②Partial EIV模型提取了系数矩阵中的不同的随机元素，因此其误差改正估计量个数减少，相应地提高了计算效率；③模型算法的简单形式便于后续中估值的精度评定工作。因此，文献[25-29]针对Partial EIV模型进行进一步的研究与运用。但是，目前已有文献中总体最小二乘方法并没有考虑观测数据存在系统误差的问题。显然，当系统误差存在时会使得解算的参数结果及其精度受到较大影响；因此，研究总体最小二乘解决系统误差的方法同样是非常必要的。本文在Partial EIV模型的基础上，给观测值增加非参数部分(系统误差)，从而构建Partial EIV半参数模型，结合补偿最小二乘准则，对该准则进行相应的变化得到补偿总体最小二乘准则，推导基于Partial EIV半参数模型的系统误差处理方法，以削弱系统误差对参数估计值的影响。

1 Partial EIV半参数模型的求解 1.1 Partial EIV半参数模型

EIV模型表达式为[30]：

函数模型

(1)

随机模型

(2)

式中，y∈Rn×1表示观测向量；ey表示观测向量y的随机误差；A∈Rn×m表示系数矩阵；EA代表系数矩阵A所包含的随机误差；X∈Rm×1表示待估的未知参数；eA=vec(EA)是将EA按列向量化后得到的nm×1向量；σ02表示先验单位权方差；，其中0表示零矩阵。

考虑到观测向量和系数矩阵中同时含有系统误差的情况，分别给系数矩阵和观测向量中加入SA和Sy，得到式(3)所示的函数模型

(3)

但是，在实际问题中，系数矩阵A中存在随机元素和非随机元素以及呈现结构化特征的情况，故文献[23]对A中的元素作适当的提取变换，从而将EIV模型改写为Partial EIV模型如下

(4)

将式(4)改写为如下形式

(5)

式中，；。

随机模型

(6)

式中，a是系数矩阵A中不同元素组成的t×1列向量；a为其真值；ea表示为误差向量，相应的Sa为矩阵SA中的不同元素组成的t×1列向量；h和B分别是由vec(A)构造的nm×1列向量和nm×t的固定矩阵；In表示n×n的单位矩阵。

1.2 Partial EIV半参数模型的求解

补偿最小二乘方法[5]是用来估计非参数回归模型的，相应的Partial EIV半参数模型的准则函数表达式为

(7)

式中，VTPV表示观测值与估计值之间残差拟合部分；STRS表示对向量S的某种度量；R为一个适当给定的正定矩阵；α为平衡VTPV和STRS的因子，称为平滑因子。

按求条件极值的拉格朗日乘数法，设拉格朗日乘子K为n×1的列向量，构造函数

(8)

分别对求偏导并令其为0，可得

(9)
(10)
(11)
(12)

由式(9)得

(13)

将式(13)代入式(12)得

(14)

将式(14)代入式(10)得

(15)

则由式(15)可得

(16)

令Â=A-ÊA-ŜA，M=ĈP-1ĈT，则式(16)可化为

(17)

在式(15)两边同时加上(A-ÊA-ŜA)T(ĈP-1ĈT)-1(-ÊA-ŜA)，且令ŷ=y-ĈŜ-ÊA-ŜA，则式(15)可化为

(18)

将式(14)代入式(11)得

(19)

在上述公式求解中，需要同时考虑到正则化矩阵R的选取及平滑因子α的确定。

1.3 正则化矩阵R的选取

1.3.1 时间序列法

时间序列法[31]是将观测值看成一个时间序列，因为信号是随时间连续变化的，因此认为相邻时刻的信号变化不是很大，且当信号是非随机量时，根据这些特点来构造正则化矩阵

(20)

式中，。

1.3.2 距离法

距离法[31]可以选取某种合适的函数，如某种距离函数来度量矩阵R

(21)

式中sij表示ti与tj之间某种距离。如取sij=|tj-ti|，若t表示平面坐标(x, y)，则取欧氏距离，或者其他形式的距离。

1.4 平滑因子α的选取

本文主要通过L曲线法[32]来确定平滑因子，L曲线法的基本原理：对于不同的平滑因子α可以得到以α当作自变量构造的信号范数和噪声范数

(22)
(23)

通过得到不同点(SN(α), NN(α))，然后将这些点进行拟合，就能够得到一条光滑的曲线，这条曲线形似字母L，通过这个“L”来定平滑因子α的方法就称之为L曲线法。平滑因子的确定可以通过两种方法[33]：(1)曲线上的点离原点距离最小时对应的值，即(SN(α))2+(NN(α))2=min；(2)曲线上曲率最大的点对应的值。其中最大曲率法的相应推导公式如下。

将式(4)化为

(24)

式中，，x=。

将f(x)在近似值x0处展开至一次项

(25)

式中，，X*=x-x0，f(x0)=。

将式(25)代入式(24)，并令L=l-f(x0)，得到L=ZX*+V+S。

按求条件极值的拉格朗日乘数法，设拉格朗日乘子k为(n+t)×1的列向量，构造函数

(26)

分别对求偏导并令其为0，可得如下法方程

(27)

将式(27)变为(+(α-1))，并令M1=，M2=，则式(27)可表示为

(28)

式(28)中M1为对称正定的矩阵，故存在矩阵W使得式(29)—式(30)成立

(29)
(30)

由式(29)、式(30)可得

(31)

其中0≤δi≤1，i=1, 2, …, m+n+t。

令，那么对角化的法方程为(I+(α-1)Ω)ŷ=e，则该式的解为

(32)

因此根据上式可得

(33)
(34)

式(33)、式(34)分别对α求导得

(35)
(36)

由式(36)可得到NN″(α)=-SN′(α)-αSN″(α)，故L曲线的曲率为

(37)

本文具体的迭代算法流程如下：

(1) 给定平滑因子α一定的区间，并且按照一定的步长取值；

(2) 初值：0=(ATPyA)-1ATPyy；

(3) 更新Ci(α)=[In-(i(α)Tⓧ In)B]，由式(19)、式(13)计算Ŝi(α)、Vi(α)；

(4) 更新矩阵Âi+1(α)=A-ÊA-ŜA，通过式(18)计算i+1(α)；

(5) 重复步骤(3)和(4)，直到满足||i+1(α)-i(α)|| < δ时终止迭代，直到取遍区间内所有的平滑因子α；

(6) 通过L曲线法确定平滑因子α，则该平滑因子所对应的(α)即为所求的值。

2 算例与分析

在算例中采用以下4种方案进行解算：

方案1：不含系统误差时运用文献[25]的算法解算；

方案2：含系统误差时运用文献[25]的算法解算；

方案3：含系统误差时运用本文的算法解算，其中平滑因子采用L曲线法的最短距离确定；

方案4：含系统误差时运用本文的算法解算，其中平滑因子采用L曲线法的最大曲率确定。

2.1 算例1

假设有线性模型y=AX，X=[2 3]T，A=(aij)100×2，其中ai1=i/20，ai2=(i/20)2，系统误差为S=[s1s2…s100]T，si=2sin(ti)，ti=，i=1, 2, …, 100，观测误差为Δ~N(0, δ2I100)，δ2=0.01，那么观测向量L=AX+Δ+S，同时在设计矩阵中加入单位权方差为0.01且服从正态分布的随机误差。正则化矩阵选取时间序列法，平滑因子通过L曲线法计算，然后通过文中的各方案计算相应的参数。其平滑因子和参数的估值，参数估值与真值之间的二范数如表 1所示，其中ref表示的是真值，||-ref||表示两个向量之间的二范数值。且通过L曲线法计算得到的平滑因子α=0.758 6，其L曲线图如图 1所示，图中的圆圈则表示距原点距离最短的点，即所对应的平滑因子α。与此同时，表 2给出了残差与真值之间的二范数，其中表示观测值残差，ê表示系数矩阵残差。

表 1 算例1中各方案得到的参数估值及其与真值之间的二范数 Tab. 1 The estimated parameters and the 2-norm with true values by different schemes of the first example
参数估计真值方案1方案2方案3方案4
22.047 13.192 91.672 3—
32.985 42.637 23.002 0—
00.049 31.246 80.327 7—
表选项

图 1 算例1中确定平滑因子的L曲线 Fig. 1 The L-curve used to determine the smoothing factor in the first example
图选项

表 2 残差与真值之间的二范数 Tab. 2 The 2-norm between the residuals and true values
二范数值方案1方案2方案3方案4
1.109 21.358 71.094 7—
||ê-êref||2.333 43.425 12.226 5—
表选项

2.2 算例2

平面坐标转换模型为[34]

(38)

式中，s为尺度因子；β为旋转角度参数；ΔX、ΔY为平移参数；(Xi, Yi)、(xi, yi)分别为目标坐标系和原始坐标系对应的坐标。

将式(38)展开，并令a=scos β, b=ssin β，则可以转化为如下形式

(39)

根据文献[13]的模拟方法，首先给定原坐标系下的真值，起始值、步长和终止值分别为-2、0.5、2；参数真值分别为ref=[cos(-π/3)sin(-π/3)10-10]T，然后计算相应的目标坐标系的真值，分别给两套坐标系的真值加入单位权中误差为0.1且服从正态分布的随机误差，并且同时按照上述模型加入系统误差，从而得到模拟值。

分别给原坐标系和目标坐标系模拟加入的系统误差如下

(40)

取正则化矩阵R

(41)

取, d=1.5，其中r表示观测值两点之间的距离。

在算例中，若没有特别说明，则默认为正则化矩阵通过式(41)确定；在方案3中使用以上两种确定正则化矩阵方法分别进行计算，方案3中采用式(41)的称为方案3(1)，采用式(20)的称为方案3(2)，分别通过方案1、方案2、方案3、方案4求解参数，各方案求得的参数估值如表 3所示，其中ref表示的是真值，表示两个向量之间的二范数值。方案3(1)中通过L曲线法计算得到的平滑因子α=0.891 3，其L曲线图如图 2所示，图中的圆圈则表示距原点距离最短的点，即所对应的平滑因子α；方案3(2)中平滑因子α=0.912 0，方案4中平滑因子α=0.316 2，它们的L曲线图均未列出。

表 3 算例2中各方案得到的参数估值及其与真值之间的二范数 Tab. 3 The estimated parameters and the 2-norm with true values by different schemes of the second example
参数估计真值方案1方案2方案3(1)方案3(2)方案4
â0.5000.506 993 380.394 372 320.621 856 100.408 262 620.400 852 37
-0.866-0.860 444 39-0.671 471 26-1.082 948 15-0.684 901 31-0.684 422 94
109.989 993 6310.039 307 959.940 822 2810.038 546 9510.047 196 45
ΔŶ-10-9.999 394 49-10.046 750 53-9.919 840 41-10.046 602 91-10.038 140 91
00.013 436 860.229 650 280.215 327 090.211 847 550.215 619 89
表选项

图 2 算例2中确定平滑因子的L曲线 Fig. 2 The L-curve used to determine the smoothing factor in the second example
图选项

同时在该算例中考虑加入与式(40)不同系统误差的情况，分别按照如下模拟的系统误差加入到原始坐标系和目标坐标系中

(42)

式中，t(i)=2×π×(i-1)/81，i=1, 2, …, 81。

正则化矩阵仍采用式(41)确定，分别采用方案1、方案2、方案3、方案4求解参数，各方案求得的参数估值如表 4所示，表中各符号表达式含义同上。

表 4 算例2中各方案得到的参数估值及其与真值之间的二范数 Tab. 4 The estimated parameters and the 2-norm with true values by different schemes of the second example
参数估计真值方案1方案2方案3方案4
â0.5000.506 993 380.908 932 951.622 456 141.040 813 97
-0.866-0.860 444 39-1.497 101 17-2.801 645 32-1.749 496 63
109.989 993 639.967 980 5710.006 657 639.975 649 70
ΔŶ-10-9.999 394 49-9.991 017 15-9.930 831 97-9.973 264 22
00.013 436 860.752 720 882.238 606 881.036 488 74
表选项

2.3 算例3

进行一直线拟合的模拟算例，设直线模型为y=ax+b, 其中a=2，b=1.5，自变量x坐标真值通过matlab中randperm函数生成0到20的10个数据，并相应的计算其对应的因变量y的值，模拟的真值及其相应的权列于表 5中。给真值加入单位权中误差为0.1且服从正态分布的随机误差，并且同时按照算例2中式(40)方式给其加入系统误差，从而得到模拟值。

表 5 模拟真值及其权 Tab. 5 The simulated true values and their weights
点号xpxypy点号xpxypy
13507.510673015.550
2207041.55071693.550
3102021.5308167033.570
4154031.510994519.580
585517.54010148829.565
表选项

同算例2，若没有特别说明，则默认为正则化矩阵通过式(41)确定；方案3中采用式(41)确定正则化矩阵的称为方案3(1)，采用式(20)确定正则化矩阵的称为方案3(2)，通过方案1、方案2、方案3、方案4求解参数，求得的参数估值见表 6，其中ref表示的是真值，表示两个向量之间的二范数值。方案3(1)中通过L曲线法计算得到的平滑因子α=3.388 4，其L曲线图如图 3所示，图中的圆圈则表示距原点距离最短的点，即所对应的平滑因子α；方案3(2)中通过L曲线法计算得到的平滑因子α=2.344 2，方案4中平滑因子α=0.032 4，它们的L曲线图均未给出。

表 6 算例3中各方案得到的参数估值及其与真值之间的二范数 Tab. 6 The estimated parameters and the 2-norm with true values by different schemes of the third example
参数估计真值方案1方案2方案3(1)方案3(2)方案4
21.999 500 641.994 673 891.995 588 101.996 880 501.995 672 91
1.51.504 083 321.567 981 191.552 099 621.535 905 661.550 714 67
00.004 113 740.068 189 510.052 286 090.036 040 910.050 898 93
表选项

图 3 算例3中确定平滑因子的L曲线 Fig. 3 The L-Curve used to determine the smoothing factor in the third example
图选项

同样在该算例中考虑加入与式(40)不同系统误差的情况，分别按照如下模拟的系统误差加入到x和y中。

(43)

式中，t(i)=2×π×(i-1)/10，i=1, 2, …, 10。

正则化矩阵仍然采用式(41)确定，分别采用方案1、方案2、方案3、方案4求解参数，各方案求得的参数估值见表 7，表中各符号表达式含义同上。

表 7 算例3中各方案得到的参数估值及其与真值之间的二范数 Tab. 7 The estimated parameters and the 2-norm with true values by different schemes of the third example
参数估计真值方案1方案2方案3方案4
21.999 500 641.969 036 731.949 991 741.948 302 75
1.51.504 083 321.885 443 101.967 408 091.968 457 72
00.004 113 740.386 684 770.470 075 680.471 301 65
表选项

2.4 算例分析

从以上算例的表 1、表 3及表 6中的结果可以看出，由于系统误差的存在，导致Partial EIV模型计算得到的结果受到影响，与真值的偏差比较大，因此选择合理有效的方法对系统误差进行处理就显得很有必要。

从表 1中各方案参数估值与真值之间的二范数可知，方案1的二范数最小，其效果最优，这是因为其观测值中不含有系统误差，所以结果较好；但是给观测值加入系统误差后，参数估计的结果受影响较大，故方案2的结果相比于方案3(本文方法)而言较差，偏离真值较大，然而方案3能够在一定程度上抵御系统误差对参数结果的影响，能够得到相对可靠的参数解。此时方案4(基于本文的最大曲率法来确定平滑因子)在算例1中并不适用，因为该算例只考虑到观测向量含有系统误差的情况，而基于最大曲率确定平滑因子的推导是顾及观测向量和系数矩阵同时含有系统误差的情况。同时从表 2也可看出，系统误差对于观测向量残差及系数矩阵残差均有一定的影响，但是本文方法能够部分的削弱系统误差的影响。

从表 3和表 6的结果看来，通过两种方法确定平滑因子α的各方案得到的结果差别不大，效果相当；针对选取不同的正则化矩阵情况，算例2及3中分别进行了相应的试验，从表 3及表 6中方案3二者结果看来，使用方案3(2)(正则化矩阵选用时间序列法)解算时，得到结果更好，说明该方法能够更好地抵消系统误差的影响，因此建议坐标转换及直线拟合的参数解算中正则化矩阵可选取时间序列法。

考虑在算例2与3中加入不同系统误差的情况，若按照观测值为时间序列，且假设相邻时刻的系统误差变化相差不是很大时加入，如式(42)与(43)，从表 4及表 7中方案3与方案4的结果看来，通过本文方法并不能够削弱系统误差的影响，这说明此时加入的系统误差并不合理，因此针对不同的观测数据，其模拟加入的系统误差也不一样。

3 结论

若观测值中含有系统误差，则会对Partial EIV模型的总体最小二乘参数估计值产生影响，因此提出相应的解决方法就显得很有必要。本文给出了Partial EIV半参数模型，根据补偿最小二乘准则给出了相应的补偿总体最小二乘准则条件下的公式推导过程，并给出了相应的迭代算法，以尝试通过该方法削弱系统误差对未知参数估值的影响，通过对文中算例中的各方案比较分析得出，本文给出的算法在一定程度上能够削弱系统误差对参数估值的影响，这说明基于Partial EIV半参数模型的系统误差处理方法是有效可行的。

文中平滑因子的确定采用了L曲线法中的最短距离法和最大曲率法，从算例结果看二者效果相当，然而最大曲率法的公式推导相对来说比较复杂，且在本文中若只顾及观测向量含有系统误差时，最大曲率法并不适用，因此建议在基于Partial EIV半参数模型求解系统误差处理时，通过最短距离法来确定其中的平滑因子。对于正则化矩阵的选取问题，建议在坐标转换及直线拟合的参数解算中可考虑选取时间序列法，但是较多的是根据系统误差的特性进行选取，因为此时的协方差矩阵是可求的，这可以用来描述观测数据点之间的相关程度的大小。与此同时分别在算例2与3中加入与算例1相同特性的系统误差，然而通过文中结果表明，此时并不能够削弱系统误差的影响，反而结果更差，这说明加入的系统误差并不合理，因此对于不同的观测数据，其系统误差的特性也不尽相同。

因此，本文建议在解算过程中仍需顾及系统误差的特性及正则化矩阵和平滑因子的选取。


参考文献
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http://dx.doi.org/10.11947/j.AGCS.2018.20160613
中国科学技术协会主管、中国测绘地理信息学会主办。
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文章信息

王乐洋，熊露雲
WANG Leyang, XIONG Luyun
一种Partial EIV半参数模型的系统误差处理方法
A Method for Dealing with the Systematic Errors of Partial EIV Semi-parametric Model
测绘学报，2018，47(1)：25-34
Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2018, 47(1): 25-34
http://dx.doi.org/10.11947/j.AGCS.2018.20160613

文章历史

收稿日期：2016-12-05
修回日期：2017-11-16

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