1 正常高的几何定义和重力定义

目前，高程测量中的正常高可以从两种方法得到：一是传统的水准测量方法；二是以GNSS观测中得到大地高h，从重力测量中给出高程异常ζ，由两者之差求得正常高H=h-ζ。反过来也可以从GNSS/水准结合重力测量来精确确定区域似大地水准面。通常，在国内外文献中，均认为这两种方法给出的正常高是完全相等的，但是严格地讲，这两者从理论上是有差别的，也就是说，重力和水准定义的正常高是不一致的。

1.1 重力学定义的正常高^[1]

重力学中高程系统是从重力位的概念出发的，正常高系统对应于实际地球重力位的正高系统，它是由重力位导出的一种高程系统。图 1中, A为地面点；G为水准测量起算点；ζ_A=AA′=A₁A₀为高程异常；H_A^G=A′A₀=AA₁为重力定义的正常高；H_A^L=AA₂为几何水准定义的正常高；h_A=AA₀为大地高。可在A到地球椭球法线上选择A′点，把GNSS测定的大地高h_A=AA₀分成两部分

其中，ζ_A=AA′，H_A^G=A^′A₀。

根据莫洛金斯基理论，A′点的选取满足以下条件

即A′相对于地球水准椭球面的正常位之差等于A相对于大地水准面的重力位之差。把A′点的集合形成的曲面称为近似地球表面，其和地面之差AA′定义为高程异常ζ_A。反过来，又可由A沿椭球法线截取距离H_A^G得到点A₁，把A₁点的集合形成的曲面叫做似大地水准面，并把正常高定义为地面点到似大地水准面的距离(或高程)，这是正常高的重力学定义。同时，A₁到椭球的距离A₁A₀即似大地水准面的起伏，也等于高程异常ζ_A。

显然，似大地水准面不是一个等位面。根据条件式(2)，有

之所以取负号是因为h增大，相应的位值减小，令A₀A′正常重力γ^G的平均值为γ_mA^G，则

于是重力学定义的正常高

式中，γ_mA^G=γ_0A-0.104 3H_A^G，γ_0A为A在地球椭球面上相应A₀点的正常重力值。由于大地水准面的位W₀存在较大的不确定性，W_A虽可用重力场模型算得，但分辨率太低，只具平均性质，所以由式(5) 直接计算精度太低，通常借助于GNSS及重力观测，由式(6) 求出正常高值

由条件式(2)，定义扰动位

这里W₀、U₀分别为大地水准面和正常水准椭球面上的位，就静态问题而言，可视为一常数，由于在选择正常地球椭球体时，要求U₀≈W₀，因此W₀-U₀是一微小量，可足够近似地在式(7) 中以γ₀(正常地球椭球面上γ的平均值)取代γ_A。于是有

式中，T_A可根据重力测量边值问题的解，由重力异常值Δg按Stokes-Molodensky公式求得。需要指出的是，通常在讨论该问题时，从边界条件到解算都是球近似解。理论上还应考虑到扁率项的修正，但由于目前常应用所谓“移去-恢复”技术，需要处理的是扣除重力场模型的残差重力异常和高程异常，于是扁率项影响可以忽略不计。

1.2 几何水准定义的正常高

水准测量中正常高的定义是由正高的概念演化而来的，由于正高系统中平均重力值g_mA难以精密测定，莫洛金斯基于1945年提出用正常重力的平均值γ_mA来代替^[1]，从而给出几何水准定义的正常高，即

从地表点A沿地球椭球法线截取距离H_A^L得到点A₂，点A₂的集合形成的曲面叫做几何水准的起算面。γ_mA^L为地面点A到几何水准起算面A₂点距离上正常重力的平均值，须由γ_mA^L与H_A^L的关系迭代给出

由式(9) 可知，几何水准定义的正常高是地面点到几何水准的起算面的距离(或高程)。在几何水准测量时，并不是直接由式(9) 求出H_A^L，而是测量地面两点的高程差。

将式(9) 中的水准测量路线上的重力g写为

式中，γ为水准路线上地面点的正常重力，以足够的近似可假设正常重力随高程线性变化，于是有

这里的γ_A^L_o及γ^L_o是A点和水准路线上点在几何水准测量起算面上的正常重力(注意：文献[2]在此处概念有误)。于是式(9) 可以变成

而水准路线上的两点的高程应为

式中，ε为正常位水准面不平行引起的高差改正项；λ为扰动重力高差改正项。经推导^[2]，有

式中，H为A、B两点的平均概略高程，由于ε为微小改正量可以足够精确，令，γ_B^o及γ_A^o为A和B点在椭球面上投影点的正常重力，而ζ′_B-ζ′是A和B两点在几何水准起算面上投影到椭球面的距离差，ζ′_B-ζ′约等于两点在似大地水准面上投影到椭球面的距离差ζ_B-ζ_A，因此，足够近似有

以及

式中，h_AB为A和B两点的概略高程差，这就是当前我国水准测量规范所实行的改正。

比较式(5) 和式(9) 可以看出，重力定义的正常高和几何水准定义的正常高是不相同的，其区别在于使用的正常重力平均值是不同的，重力定义用的是近似地表面点到地球椭球点A′A₀的平均，几何水准定义用的是地球表面点到几何水准起算面点AA₂的平均，两种定义的正常高之差为

由于正常重力值随高度的增加而减小，因此γ_m^G>γ_m^L，换言之H_A^L>H_A^G，即几何定义的正常高要大于重力定义的正常高。只考虑正常重力随高程变化的一阶项，有

式中，ζ单位为m; γ单位为mGal。代入式(18) 有

式中，ζ及H_A的单位均为m，当ζ=100 m时，对4000 m的地面点，两者的差可达12 cm。因此在高海拔地区，其影响不可忽略。换而言之。重力似大地水准面和几何水准起始面是不一致的，但差异很小。这样，在比较GNSS/水准与重力高程异常时，H_A^L≠h_A-ζ_A，而应修正为

其单位为m，还要注意的是，GNSS和重力ζ的地球椭球参数应保持一致。

2 区域全球高程系统的转换

在以上讨论中，无论几何定义或重力定义的正常高都是从位于大地水准面上的O作为起始点推求∫gdh的。实际上，人们通常选用某个区域的平均海平面作为水准测量的起始点即高程零点，例如我国选用青岛验潮站多年海平面的平均值作为高程零点，从而建立我国的区域高程系统，由于海面地形的存在，各国建立的区域高程系统是不一致的，存在系统偏差，因此如何把各国不同的区域高程系统统一为全球的高程系统就成为当前大地测量研究的一个热点问题。

为此，国际大地测量协会(IAG)实行的全球大地测量观测系统(GGOS)计划中明确提出，要建立全球与重力相关的全球垂直参考系统^[3]，其目的是：

(1) 支持厘米级高精度全球物理和几何高程系统的统一。

(2) 统一现存的所有区域高程系统。

(3) 保证全球的一致性和长期稳定性(任何地方、任何时间有同等精度)。

全球高程系统的统一与以下两个重要参数相关：

(1) 在水准测量中，由于区域高程零点选在水准测量起始点(G点，例如青岛验潮站的平均海平面)，而非O点(大地水准面上的点，见图 1)，因此人们只能测量出由G到A的位差，即

于是区域系统水准测量所给出的正常高将为

这里x₀是区域高程零点到大地水准面的距离，也就是该高程零点的海面地形，高出大地水准面为正。由于x₀很小，不会超过2 m，故式(20) 中可足够近似地令γ_G/γ_m^LR≈1，此外，γ_m^LR和γ_m^L的差别也仅在地面点到区域以及全球几何水准起始面的平均正常重力值之差，两个起始面的距离也不超过2 m，即便对于4000 m高程的点，其影响也仅2.4 mm。也可近似地认为γ_m^LR≈γ_m^L，于是区域和全球水准测量得到的正常高将有以下转换公式

(2) 在重力正常高解算中，对于W₀≠U₀时，须考虑W₀-U₀的影响。注意到式(7) 和式(21)，式(24) 可写成

在式(25) 中，对于一个区域高程系统，若已知系统内各点的大地高h、重力扰动位T、水准测量的正常高，则可解算出，以及两个不同区域高程系统的高程系统差x₀^Li-x₀^Lj，这时可得到一全球相对的统一高程系统，但仍无法给出全球绝对的统一高程系统。绝对系统的建立还有赖于大地水准面位W₀的确定。

3 大地水准面位W₀的确定

大地水准面是反映地球内部质量分布和运动的等位面，其定义可以是：

(1) 物理上现实存在的实际大地水准面。其定义为在最小二乘意义下，与全球海洋上各点的静止平均海水面相一致的等位面，这样定义的现实大地水准面是时变的。

(2) 仅具理论意义的理论大地水准面。按照重力学，其定义为与选定的地球椭球面上正常位U₀相等的等位面，即W₀=U₀，这样定义的理论大地水准面是静态的，其位值W₀唯一的由地球椭球的几何与物理参数确定a(长半径)，J₂(动力学扁率)，GM(万有引力常数与地球质量的乘积)及ω(地球旋转角速度)确定

式中, e为椭球第一偏心率，可根据a、J₂以及GM由式(27) 迭代求出

现代大地测量技术的发展已使人们可以利用卫星定位、卫星测高以及重力位的观测确定出实际的大地水准面位值W₀，按大地水准面的定义，有

这里SST为海面地形，积分沿整个地球的海域S

式中, j为海面上的某点，γ_j为其正常重力值。

在实际计算中，海面位置由卫星测高的平均海面高(MSS)给出，位W_j值由地球重力场模型(GGM)给出，这是近20年来确定W₀国际上的主流方法。通常使用的MSS资料主要是法国空间局的CLS11及丹麦测绘局的DTU12，而使用的GGM模型则有EGM08^{[4, 5]}。另一种独立的海面地形资料来自海洋学，用海洋学模型给出的海面动力地形来做，由海洋环流分析给出。例如可使用目前较新的ECCO2模型资料^[6]。要指出的是，文献[4, 7]先用MSS和GGM算出W_j，再利用卫星测高给出的海面地形SST_j，求出W_0j=W_j-γ_j·SST并取平均来求定W₀，这种方法既要考虑3种资料MSS、GGM及SST的自恰性，又由于增加了SST值而加大了误差，因此并不可取。

迄今，国际大地测量学会(IAG)所属垂直基准标准化工作组，根据上述方法确定的大地水准面位的参数值为^{[8, 9]}

并且发现，不同的MSS模型及积分海域S对此位值的确定影响较大，而不同的重力场模型则影响很小，此外，采用不同的潮汐系统与结果无关。但要特别指出的是，由式(29) 确定的W₀使用的MSS资料是与所使用的大地坐标系统有关的，式(30) 的值是在WGS-84系统中给出的。同时，计算表明，大地水准面位W₀还是时变的，其值为^[8]

时变依赖于地球表面和内部质量的分布和运移。因此，给定的大地水准面的位值是对应于某个历元的，全球垂直高程系统的统一需要考虑其动态变化及基准维持。测量了某历元的W₀值及所依据的大地测量系统，可以计算出值，并根据式(25) 求出x₀，从而可以得到对应某历元的全球统一高程系统。例如，对于WGS-84系统

按式(26) 及式(30)

由我国GNSS、水准及重力得到的我国85黄海高程系统相对于全球绝对高程系统的系统差为^[10]

4 讨论

通过上面的分析，本文得到如下的认识:

(1) 正常高的几何定义和重力定义是不一样的，在融合GNSS、水准及重力资料进行区域似大地水准面精化时要考虑其差别，加上与高程有关的改正项。

(2) 把区域的水准测量高程系统转换到全球统一的高程系统。需要确定常数x₀及W₀-U₀，在假定W₀=U₀时，x₀可以由GNSS/重力/水准定出。即可以建立一个相对的全球统一高程系统。

(3) 要确定相对和绝对全球统一高程系统的系统差，需要测定大地水准面的位值W₀，W₀值可以用现代大地测量技术确定。它是时变的，与观测的历元以及选用的大地坐标系统有关。