海洋测高卫星作为空间大地测量一个重要的观测平台，可提供高精度和高分辨率的海洋重力异常、垂线偏差数据^[1-4]。以上数据对于军事(如导航)和经济(如资源勘探)等均具有十分重要的作用。为此，国外发展了大量的测高卫星，数量超过10颗^[5]。我国也成功发射了HY-2A卫星^[6]，但有关的海洋重力场产品暂未发布。为了弥补在此领域数据的不足，我国后续还将发展HY-2B和HY-2C卫星，以及基于SAR或干涉SAR技术的新型测高卫星^[7]。而如何利用这些卫星数据来得到我们所需要的重力异常产品，在卫星设计之初就需要进行细致深入的分析。特别是重力异常产品不是海洋测高卫星的直接产品，因此如何由测高精度导出重力异常的精度以及如何由重力异常的目标精度导出测高的精度要求无疑是十分重要的课题。对于如何由测高数据得到重力异常，当前常用的方法之一是垂线偏差法^[8-11]，即首先由测高数据计算得到垂线偏差，然后再进一步计算得到重力异常。由于从测高数据到垂线偏差的计算公式相对简单，所对应的误差传播公式十分明确，因此本文将重点讨论垂线偏差和重力异常的误差匹配关系。

关于此问题，当前已有一些结论。文献[12]基于扰动重力和垂线偏差的傅立叶变换关系，得出1 μrad的垂线偏差误差等价于1 mGal的重力异常误差。文献[7]基于此结论给出了精度为1 mGal，分辨率为1′的重力异常精度所对应的基于传统高度计、SAR高度计和干涉SAR高度计的测高精度要求。然而，文献[10]在讨论测高数据偶然误差对海洋重力异常反演的影响时，所得出的结论随着计算方法的不同有较大不同。文献[11]根据Vening-Meinesz公式的离散解析公式，通过数值计算得出的结论显示大约4 μrad的垂线偏差误差对应于1 mGal的重力异常误差；文献[13]基于如下的重力误差δg和垂线偏差误差δθ估式讨论了高程异常的推估及精度

式中，δg以mGal为单位；δθ以秒(″)为单位。此式与上述文献中的结论均不一致。

以上文献中结论不太一致的原因主要可能有以下几个方面：

(1) 文献[12]在讨论垂线偏差与重力异常的精度匹配关系时，仅考虑了一个方向的垂线偏差，而文献[10]和文献[11]考虑了两个分量的共同影响，显然考虑两个方向更为全面。

(2) 在考虑垂线偏差两个分量的共同影响时，需要考虑不同分量间的相关性^[14]以及观测误差之间的相关性，这也会对最终的结论带来影响。

(3) 在直接利用垂线偏差与重力异常之间的积分公式来讨论误差传播关系时，会引入计算误差的影响，同时积分中的误差传播如何通过离散化来讨论需要作进一步研究^[15]。因此，尽管上述文献中的结论不完全一致，但在其特定的前提下都有其合理性，有关的结论需要在相同的前提下才能进行比较。

为了从不同的角度来研究垂线偏差和重力异常的精度匹配关系，本文利用已有的超高阶重力场模型来讨论1 μrad的垂线偏差误差所对应的重力异常误差。首先从重力异常和垂线偏差的球谐函数计算公式入手，从理论上推导二者受引力位系数误差影响所产生的误差，并讨论二者的匹配关系，然后通过已有的重力场模型来验证有关结论。

1 理论分析

本节利用球谐函数来对重力异常和垂线偏差的误差匹配关系进行理论分析，然后给出有关公式。

1.1 重力异常

根据文献[16-18]，重力异常的球谐函数计算公式如下

式中，GM为引力常数；(r, θ, λ)为计算点球坐标；R为地球平均半径；P_nm(cos θ)为完全正规化的n阶m次勒让德函数；C_nm^*、S_nm为完全正规化的地球扰动引力位系数^[19]。若引力位系数的误差为独立的高斯白噪声，令为：，则根据误差传播规律^[20]，可得重力异常误差方差δ_Δg²为

则其在地球表面(地球平均半径所在的球面，此时r=R)的均值为

式中，dδ=R²sin θdθdλ。根据球谐函数的正交性以及文献[14]中所给出的重力异常方差-协方差的计算公式，可得

其中，。

1.2 垂线偏差

垂线偏差北向分量(ε)和东向分量(η)的计算公式如下

令垂线偏差误差为δ_ε、δ_η，则有

和重力异常类似，垂线偏差误差在地球表面的均值分别为

下面依次对式(8) 积分的最终计算公式进行推导。

1.2.1 北向分量

令则M(δ_ε²)=。根据文献[21-23]，有

根据文献[24]，可得

式中，。在后文与此相关的计算中令

式中，。事实上，T_nm的计算可参阅文献[25]。根据以上公式便可对M_εnm的计算公式进行进一步推导，具体如下

当m=0时

当m=1时

式中，。当1 < m < n时

式中，。

当m=n时

综合得

1.2.2 东向分量

同理，令，则M(δ_η²)= ，易知

当m=0时，M(δ_η²)=0。

当m≠0时，

因为勒让德函数满足

所以

等式两边同时乘以P_nmsin θ可得

对上式两边同时积分可得

由北向分量的推导可得

所以有(m≠0)

最终得

1.3 重力异常和垂线偏差的误差匹配关系

当n较小时，引力位模型系数精度一般较高，同时低阶项项数少，因此低阶项位系数引起的误差不会成为重力异常误差和垂线偏差误差中的主量；当n较大时，位系数误差往往较大，且中高阶项数多，因此中高阶项位系数引起的误差会成为重力异常误差和垂线偏差误差的主量。由于n较大时，(n-1)²≈n(n+1)，对比重力异常和垂线偏差的误差公式，可得

根据此式，若垂线偏差各方位向等精度测量，且假定两个分量垂线偏差精度均为1 μrad，由此对应的重力异常精度约为1.4 mGal; 反之，若重力异常的精度为1 mGal，则所对应的垂线偏差的精度约为0.7 μrad。该结论和式(1) 一致，但和文献[12]所给出的结论略有不符，原因是文献[12]仅考虑了一个方向的垂线偏差观测误差，而在计算重力异常的过程中，垂线偏差的两个分量都需要。

2 数值试验

传统卫星测高(如HY2高度计)的输出采样间隔大约为7 km^[7]，根据采样定律^[26]，其可恢复的地球重力场信号的最小尺度为14 km，所对应的重力场模型的最大阶数为1429。如果对原始高度计数据进行重采样，并融合多颗测高卫星数据，则可解算的重力场模型的阶次将高于1429。当前公开发布的重力场模型的最高阶数已超过2000阶。为了检核式(24) 的正确性，同时也为了使该公式适合于测高卫星的指标设计，现选用GFZ(German Research Centre for Geosciences)所发布的所有阶数大于1000阶的重力场模型进行计算分析。所采用的模型的基本信息见表 1，误差阶方差RMS(root mean square)^[27]如图 1所示。

由表 1可知，以上模型均使用了测高卫星数据。同时从空间分辨率来看，以上模型能满足测高卫星的设计要求，因此适合用于讨论测高卫星所得垂线偏差和重力异常的精度匹配关系。从图 1可看出，以上模型的误差分布互不相同，若以上结果均满足式(24)，则可证明上节所得结论的正确性。为此利用上述模型进行如下计算：

(1) 选用以上模型所有阶位系数误差值按式(3) 计算全球1°×1°格网点的重力异常误差，其均值令为δ_Δg；

(2) 选用以上模型所有阶位系数误差值按式(7) 计算全球1°×1°格网点的垂线偏差误差，然后根据式(24) 推算出重力异常误差，令为δ′_Δg，计算公式如下

这里的M(δ_ε²)、M(δ_η²)为所有格网点垂线偏差误差的均值。最终的统计结果见表 2，其中差值为直接计算得到的重力异常误差与推算出的重力异常误差差值的绝对值，即∣δ_Δg-δ′_Δg∣，相对误差为。

由表 2可知：由式(24) 利用垂线偏差误差推算出的重力异常误差与利用式(3) 计算得到的重力异常误差近似相等，差值小于0.05 mgal，相对误差小于1%。因此验证了本文所推导的垂线偏差和重力异常误差匹配关系的正确性。

3 结论

从重力异常和垂线偏差的球谐函数计算公式入手，本文首先从理论上推导了引力位系数误差所引起的重力异常误差和垂线偏差误差满足的近似比例关系，同时也得到了和的积分公式，然后通过公开发布的所有最大阶数大于1000阶的重力场模型验证了有关结论的正确性，结果表明：若垂线偏差各方位向等精度测量，且误差均为1 μrad，则所对应的重力异常误差为1.4 mGal。

值得说明的是，在利用实际测高数据计算重力异常的过程中，无法避免会受到计算误差的影响，例如在使用Vening-Meinesz公式时，积分中的离散化网格大小、奇异因子的处理方法等均会导致最终所计算的重力异常误差有所不同。这正是文献[10-11]所得出的结论与本文所得结论不一致的原因。

综上所述，笔者建议若要根据重力异常产品的指标来确定卫星载荷的设计精度时，可考虑采用本文的结论，而若利用实际的卫星测高数据，来计算最终的重力异常产品时，可参考文献[10-11]有关的工作来选择精度较高的计算方法。