周跳探测是GNSS数据预处理的重要一环，检验了相位观测值的连续性，而周跳修复则恢复了整周模糊度的连续性。对于单频观测数据，可采用高次差法、多项式拟合等方法探测周跳，但由于未能消除接收机钟差的影响，不能探测小周跳^[1-2]，且无法准确修复周跳。而GF组合消除了接收机钟差等几何误差，无需平滑便可实时探测1周的小周跳，被广泛应用于数据处理中。目前接收机一般能接收双频甚至三频信号，提供了更多的组合观测值资源^{[3, 4-6]}。

当3个载波上的跳变量与组合系数比例接近时，该周跳的探测量接近零，无法被探测^[6]。这类不敏感周跳若未被探测，会一直存在于后续历元中，造成系统性偏差。文献[7]中使用多项式拟合L1观测值，然后与伪距作差探测不敏感周跳^[7]。文献[8]基于模拟的三频信号研究了三频周跳的探测与修复，提出使用多个组合量联合探测并修复周跳，减少了不敏感周跳的影响，并使用LAMBDA搜索周跳真值。文献[9]使用5个组合观测量探测周跳，其中3个混合相位和伪距组合观测量探测大周跳，两个无几何相位组合观测量探测小周跳，减少了不敏感周跳的数量。文献[10]使用优化的组合系数提升周跳探测效果，在一部分无几何组合系数中优选了组合量。

目前基于GF组合的周跳探测方法已经得到了广泛应用，但多个GF组合的不敏感周跳尚不明确。本文从几何关系的角度研究了多个GF组合与MW的探测原理，搜索了相应的不敏感周跳，研究了数据组合的优化方法，并用实测数据检验了优化算法探测并修复周跳的效果。

1 三频周跳探测几何原理

若a、b、c分别为3个频率上相位观测值的系数，则可组成如式 (1) 所示的组合观测值，组合观测值的噪声如式 (2) 所示^[11]。若系数满足式 (3)，该组合观测值为GF组合，GF组合消除了接收机钟差、对流层延迟等误差，是理想的周跳探测量^[12]，其历元间残差值进一步减弱了电离层延迟

式中，φ_i和λ_i(i=1, 2, 3) 分别为i频点的相位观测值和波长；δ_φc为组合观测量的噪声；δ₀为量测噪声 (单位为周)，一般取经验值0.02周。根据误差传播定律，历元间残差后GF组合的误差扩大为。若3个频点分别发生了周跳n₁、n₂、n₃，则组合观测值的跳变为|an₁+bn₂+cn₃|，当该跳变满足式 (4) 时，判断为周跳，其中, f为阈值系数，若阈值较低会将部分粗差判断为“伪周跳”，给解算造成影响^[13]，本文选取为5倍中误差，使算法适用于更加复杂的实测环境以及低采样率观测值

1.1 不敏感周跳

不能探测的不敏感周跳满足式 (5)，将式 (2) 代入式 (5) 整理可得式 (6)。式 (6) 包含多个变量和系数，难以使用传统代数方法分析及优化，可在三维坐标系中表示式 (6) 的几何意义

根据点到平面的距离公式，是坐标点N(n₁, n₂, n₃) 到平面an₁+bn₂+cn₃=0的距离公式。以n₁、n₂、n₃为坐标轴构建三维坐标系，如图 1所示，则任意一个可能发生的周跳均可用坐标系中一个整数节点N(n₁, n₂, n₃) 表示 (周跳具有整数特性)。图中有3个互相平行的平面，中间的平面方程为a·n₁+b·n₂+c·n₃=0，两侧的平面α₁和α₂与中间的平面距离为固定值，因此平面α₁与α₂之间的整数节点N′(n₁, n₂), n₃均为组合量 (a, b, c) 的不敏感周跳。

图 1中，平面α₁与α₂的距离恒为，因此两平面间的整数节点 (不敏感周跳) 数量与系数无关，均为同阶无穷大。但系数不同，两平面的位置会不同，因而不敏感周跳也会发生变化。总之，不敏感周跳随系数不同而不同，但总量仅与阈值系数相关。以电离层残差组合 (LG)(λ₁, -λ₂, 0) 为例，在坐标域{n₁, n₂, n₃|n₁, n₂, n₃＜50}内搜索α₁与α₂平面之间的整数节点，有998个不敏感周跳，因此仅采用一个GF组合探测周跳是不可靠的。

2 数据组合的选取

一个GF组合无法解算3个频点上的周跳值，且不敏感周跳总量较多，因此可使用多个组合量相互探测不敏感周跳，并解算3个频点的周跳值。

2.1 两个GF组合

使用两个GF组合探测周跳, 只要其中一个GF组合探测到周跳, 便判断为周跳.若两个GF组合分为 (a₁, b₁, c₁) 和 (a₂, b₂, c₂), 则两个GF组合不能探测的周跳满足式 (7)

式 (7) 等价于两个式 (5) 并列，其几何原理如图 2(a) 所示，平面α₁和α₂之间的整数节点为 (a₁, b₁, c₁) 的不敏感周跳，平面β₁和β₂之间的整数节点为 (a₂, b₂, c₂) 的不敏感周跳，则其公共的不敏感周跳为α₁、α₂、β₁和β₂ 4个平面所围成的空间内的整数节点，围成的空间是一个无限长的四棱柱，如图 2(b)所示。四棱柱的长度是无穷大，因此两个GF组合不敏感周跳数量也是无穷大，但与一个GF组合相比，两个GF组合不敏感周跳数量是低阶的无穷大，因此两个GF组合将显著减少不敏感周跳的数量。

2.2 MW组合

对于三频数据处理, 只有两个独立的GF, 而MW组合的系数不受式 (3) 约束, 与GF组合完全独立^[14]. MW组合同样存在不敏感周跳, 设其相位观测值的系数为 (a₃, b₃, c₃), 则不敏感周跳满足式 (8)

式中，δ_MW为MW组合的中误差，由于使用了伪距测量值，数值较大。在两个GF组合的基础上增加MW组合，等价于在图 2(b)中增加两个互相平行的平面截断四棱柱，如图 3所示，平面γ₁和γ₂之间的整数节点为MW组合的不敏感周跳，截断的四棱柱体积不再是无穷大，因此增加MW组合与两个GF组合可将不敏感周跳数量控制在有限数量内，显著减少了不敏感周跳。

3 优化方法 3.1 系数优化

优化的GF组合应使图 2(b)中四棱柱的体积最小，由于四棱柱长度为无穷大，因此体积仅与横截面积相关。如图 4所示，横截面是一个菱形，该棱形的高为固定值，因此横截面积仅与夹角θ相关，θ为平面α₁与β₁的法向量的夹角，因此满足式 (9)。根据面积公式可求得横截面积S，如式 (10) 所示。

最优的GF组合系数应使S取最小值。式 (10) 中，S为一元函数，当θ=90°时，有最小值S_min=0.029，此时平面α₁与β₁的法向量相互垂直，即系数满足式 (11)

将式 (11) 与式 (3) 联立可解得最优的组合系数，但3个方程解6个系数有无限解，因此本文随机求取一个解进行试验。随机令a₁=b₁=1，再由式 (3) 求得c₁，得到第一个GF组合量 (1, 1, -2.182 258)，将该系数代入式 (10) 并联立式 (3) 解算第2个GF系数，随机令a₂=1可得到第2个GF组合 (1, -1.165 912, -0.121 147)。

3.2 多个GF组合的必要性

三频组合观测值中，线性独立的无几何相位组合只有两组，因此第3个及以上的GF组合不能独立讨论。若将式 (3) 代入平面方程an₁+bn₂+cn₃=0，可得到一个直线方程式 (12)，这个直线方程与组合系数无关，因此所有的GF组合系数所对应的平面an₁+bn₂+cn₃=0都经过该直线，图 2(b)中四棱柱的中心线就是该直线

在两个优化的GF组合上增加第3个GF组合，等价于在图 4中再加入两个与四棱柱中心线平行的平面，如图 5所示，增加的GF组合将横截面切为六边形，横截面积有所减少。但增加的GF无法减少图 5中内切圆面积，内切圆的面积与正方形面积之比为π/4，因此再增加GF组合最多能减少的21.5%的不敏感周跳。过多的GF组合会增加计算量，因此本文使用2个优化的GF组合和MW组合探测并修复周跳。

4 周跳修复

周跳修复是指求出周跳在3个频点上的跳变量，然后在后续历元的相位观测值中减去该跳变量^[16]。周跳修复和整周模糊度固定原理相似：① 估计周跳浮点解；② 固定周跳整数解。但周跳修复属于数据预处理，修复的结果直接影响到后续定位结果，因此要求高可靠性。周跳修复原理与周跳探测原理是统一的，至少需3个相互独立的组合量才能估计周跳，因此本文选取的两个GF组合和MW组合既可用于探测不敏感周跳，也可用于周跳修复。

若两个GF组合的系数分别为 (a₁, b₁, c₁) 和 (a₂, b₂, c₂)，MW组合中相位观测值的系数为 (a₃, b₃, c₃)，则周跳 (n₁, n₂, n₃) 可由式 (13) 估计，其中Δφ_c1和Δφ_c2分别为两个GF组合的跳变量，ΔMW为MW组合的跳变量

对浮点解直接取整可求得周跳，但由于MW组合引入伪距，取整结果受伪距精度影响^[12]。文献[5]和文献[8]使用了LAMBDA搜索周跳整数解，减少了搜索空间。由于周跳仅3个未知变量，维数较少，因此本文在三维坐标系中遍历搜索周跳真值，如图 6所示，3个平面的交点即为式 (13) 估计值，包含该估计值点的四棱柱为真值可能的坐标范围，真值坐标范围应满足式 (7) 和式 (8)，其中阈值的系数f设为1倍中误差，确保了该历元周跳修复后不存在粗差。搜索的空间需包含真值的坐标范围，由于MW组合误差比GF组合大，因此搜索步长由式 (8) 中确定，本文取为3。未搜索到真值或搜索到多个真值均不予修复，以确保周跳修复的可靠性。图 6为周跳的估计值与真值范围。

5 试验

本文选取了2016年6月15日的北斗三频静态观测数据进行试验，观测时长为24 h，高度截止角15°。由于需要至少625 000个历元的观测值，而观测时段过长无法保持观测环境的一致性，因此使用高采样率0.1 s，其中对GEO卫星C01卫星连续观测了24 h，共864 000个历元。经GF组合站间双差的方法探测周跳，C01号卫星的观测值不存在“原始周跳”^[15]。因此通过编程实现从第5个历元开始每隔5个历元加入一个周跳，依次为 (0, 0, 1)，(0, 0, 2)，…，(50, 50, 50) 共125 000个周跳。

首先分别使用1个、2个、3个GF组合和LG组合探测周跳，并分别统计未探测到的周跳数量，然后将MW组合加入，再重复上述试验，统计未能探测的周跳数量，使用的组合系数及探测结果列于表 1。其中使用2个GF组合和MW组合探测周跳后修复周跳，探测量、估计值和修复值均列于表 2。

将表 1中未探测到的周跳数量与GF组合数量整理成图 7。图中一个GF组合的不敏感周跳数量为998个，加入MW组合后减少为170个，可见不敏感周跳的数目较多，探测效果不理想；而两个GF组合的不敏感周跳仅6个，加入MW组合后仅1个，显著减少了不敏感周跳的数量；当GF组合数量为3时，不敏感周跳与两个GF组合相同，虽然3个GF组合的横截面积比2个最优GF组合的横截面积减少了0.002(7%)，但减少的空间中没有包含整数节点，因此不敏感周跳的数量没有变化。

将表 1中优化的GF组合与LG组合探测结果整理成图 8，在不加MW组合的情况下，优化GF组合有6个不敏感周跳，而LG组合为8个，这一结果与两者对应横截面积之比一致，一方面验证了优化方法的有效性，另一方面表明传统的LG组合的几何构型也较好。加入MW组合后，LG组合有2个不敏感周跳，而优化的GF组合仅一个不敏感周跳 (5, 4, 4)，表明MW组合进一步减少了不敏感周跳数量。由于坐标 (5, 4, 4) 位于图 3中被截断的四棱柱内，因此对GF组合和MW组合均不敏感，周跳 (5, 4, 3)、(5, 4, 4) 和 (5, 4, 5) 的检测序列如图 8所示，其中周跳 (5, 4, 3) 和 (5, 4, 5) 的跳变量明显超出阈值，而 (5, 4, 4) 的跳变量很小，见图 9。

在表 2中，周跳估计值与修复值的偏差均小于1，表明式 (13) 估计的周跳值较准确，解决了方程组病态问题。此外，修复值不存在多个整数解及没有整数解的情况，是搜索空间中满足条件的唯一坐标点，这是因为周跳修复中阈值系数f设为1倍中误差，而周跳探测中f设为5倍中误差，所以周跳探测中会有不敏感周跳，而周跳修复中搜索到的整数解具备唯一性。

6 结语

本文研究了三频周跳探测与修复的几何原理，以及多个GF组合和MW组合探测周跳时的不敏感周跳，最后使用北斗三频实测数据验证了相关结论，对GPS亦适用，试验中0.1 s的高采样率使得各历元观测环境保持一致，但也减弱了电离层延迟的影响，因此在30 s采样率下重复了该试验，与0.1 s采样率下的试验结果相同，这是因为采用了5倍中误差作为阈值 (传统方法采用3倍中误差)，可适用较复杂的观测条件。本文提出的周跳探测方法同样适用于接收机动态运动情况，因为使用的无几何组合消除了几何距离项，但周跳修复方法存在无法找到整数解的情况，这是因为实际产生的周跳存在不为整数的情况，这与接收机质量有关，例如部分接收机信号失锁后可能并没有立即停止整周计数，关于非整周跳变的产生原因尚有待研究，但非整周跳变的修复精度难以保证，因此修复非整周跳变是不可靠的。本文提出的方法对于非整周跳变不予修复，保证了修复后数据的可靠性。

(1) GF组合的不敏感周跳总量与阈值成正比，与系数无关，但不敏感周跳在三维坐标系中的坐标随系数变化而变化，因此可用多个GF组合联合探测不敏感周跳，提升周跳探测的可靠性。

(2) 两个GF组合可显著减少不敏感周跳数量，其数量是比一个GF组合低阶的无穷大，而3个及以上GF组合的不敏感周跳数量仍是无穷大，能提升的效果有限。对于本文优化的2个GF组合，即系数满足 (a₁, b₁, c₁)⊥(a₂, b₂, c₂) 时，再增加GF组合最多能减少21.5%的不敏感周跳，过多的组合量会造成额外的计算量，因此优化的2个GF组合无需再增加GF组合。

(3) 增加MW组合与2个GF组合联合探测周跳可将不敏感周跳数量控制在有限范围内，本文优化的两个GF组合增加MW组合后仅一个不敏感周跳 (5, 4, 4)，若要完全消除不敏感周跳的影响，则MW组合使用的伪距需是精码。

(4) 增加MW组合与2个GF组合可完成三频周跳的修复，周跳估计值较准确，以步长为3搜索整数解时，不存在多个整数解或未搜索到整数解现象，验证了选取的GF组合和MW组合的合理性，因而解算周跳时不存在病态性问题。