2. 北斗导航应用技术河南省协同创新中心, 河南 郑州 450001;
3. 上海司南卫星导航技术股份有限公司, 上海 201801
2. BeiDou Navigation Technology Collaborative Innovation Center of Henan, Zhengzhou 450001, China;
3. SinoGNSS Technology Ltd, Shanghai 201801, China
周跳探测是GNSS数据预处理的重要一环,检验了相位观测值的连续性,而周跳修复则恢复了整周模糊度的连续性。对于单频观测数据,可采用高次差法、多项式拟合等方法探测周跳,但由于未能消除接收机钟差的影响,不能探测小周跳[1-2],且无法准确修复周跳。而GF组合消除了接收机钟差等几何误差,无需平滑便可实时探测1周的小周跳,被广泛应用于数据处理中。目前接收机一般能接收双频甚至三频信号,提供了更多的组合观测值资源[3, 4-6]。
当3个载波上的跳变量与组合系数比例接近时,该周跳的探测量接近零,无法被探测[6]。这类不敏感周跳若未被探测,会一直存在于后续历元中,造成系统性偏差。文献[7]中使用多项式拟合L1观测值,然后与伪距作差探测不敏感周跳[7]。文献[8]基于模拟的三频信号研究了三频周跳的探测与修复,提出使用多个组合量联合探测并修复周跳,减少了不敏感周跳的影响,并使用LAMBDA搜索周跳真值。文献[9]使用5个组合观测量探测周跳,其中3个混合相位和伪距组合观测量探测大周跳,两个无几何相位组合观测量探测小周跳,减少了不敏感周跳的数量。文献[10]使用优化的组合系数提升周跳探测效果,在一部分无几何组合系数中优选了组合量。
目前基于GF组合的周跳探测方法已经得到了广泛应用,但多个GF组合的不敏感周跳尚不明确。本文从几何关系的角度研究了多个GF组合与MW的探测原理,搜索了相应的不敏感周跳,研究了数据组合的优化方法,并用实测数据检验了优化算法探测并修复周跳的效果。
1 三频周跳探测几何原理若a、b、c分别为3个频率上相位观测值的系数,则可组成如式 (1) 所示的组合观测值,组合观测值的噪声如式 (2) 所示[11]。若系数满足式 (3),该组合观测值为GF组合,GF组合消除了接收机钟差、对流层延迟等误差,是理想的周跳探测量[12],其历元间残差值进一步减弱了电离层延迟
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式中,φi和λi(i=1, 2, 3) 分别为i频点的相位观测值和波长;δφc为组合观测量的噪声;δ0为量测噪声 (单位为周),一般取经验值0.02周。根据误差传播定律,历元间残差后GF组合的误差扩大为
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不能探测的不敏感周跳满足式 (5),将式 (2) 代入式 (5) 整理可得式 (6)。式 (6) 包含多个变量和系数,难以使用传统代数方法分析及优化,可在三维坐标系中表示式 (6) 的几何意义
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根据点到平面的距离公式,
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图 1 不敏感周跳分布范围 Fig. 1 Distribution range of insensitive cycle-slip |
图 1中,平面α1与α2的距离恒为
一个GF组合无法解算3个频点上的周跳值,且不敏感周跳总量较多,因此可使用多个组合量相互探测不敏感周跳,并解算3个频点的周跳值。
2.1 两个GF组合使用两个GF组合探测周跳, 只要其中一个GF组合探测到周跳, 便判断为周跳.若两个GF组合分为 (a1, b1, c1) 和 (a2, b2, c2), 则两个GF组合不能探测的周跳满足式 (7)
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式 (7) 等价于两个式 (5) 并列,其几何原理如图 2(a) 所示,平面α1和α2之间的整数节点为 (a1, b1, c1) 的不敏感周跳,平面β1和β2之间的整数节点为 (a2, b2, c2) 的不敏感周跳,则其公共的不敏感周跳为α1、α2、β1和β2 4个平面所围成的空间内的整数节点,围成的空间是一个无限长的四棱柱,如图 2(b)所示。四棱柱的长度是无穷大,因此两个GF组合不敏感周跳数量也是无穷大,但与一个GF组合相比,两个GF组合不敏感周跳数量是低阶的无穷大,因此两个GF组合将显著减少不敏感周跳的数量。
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图 2 两个GF组合探测周跳原理 Fig. 2 Principle of detection based on 2 GF |
2.2 MW组合
对于三频数据处理, 只有两个独立的GF, 而MW组合的系数不受式 (3) 约束, 与GF组合完全独立[14]. MW组合同样存在不敏感周跳, 设其相位观测值的系数为 (a3, b3, c3), 则不敏感周跳满足式 (8)
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式中,δMW为MW组合的中误差,由于使用了伪距测量值,数值较大。在两个GF组合的基础上增加MW组合,等价于在图 2(b)中增加两个互相平行的平面截断四棱柱,如图 3所示,平面γ1和γ2之间的整数节点为MW组合的不敏感周跳,截断的四棱柱体积不再是无穷大,因此增加MW组合与两个GF组合可将不敏感周跳数量控制在有限数量内,显著减少了不敏感周跳。
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图 3 两个GF与MW组合联合探测周跳 Fig. 3 Detection of 2 GF and MW combinations |
3 优化方法 3.1 系数优化
优化的GF组合应使图 2(b)中四棱柱的体积最小,由于四棱柱长度为无穷大,因此体积仅与横截面积相关。如图 4所示,横截面是一个菱形,该棱形的高为固定值
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图 4 两个GF组合对应的四棱柱横截面 Fig. 4 Cross section of the four prism for 2 GF |
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最优的GF组合系数应使S取最小值。式 (10) 中,S为一元函数,当θ=90°时,有最小值Smin=0.029,此时平面α1与β1的法向量相互垂直,即系数满足式 (11)
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将式 (11) 与式 (3) 联立可解得最优的组合系数,但3个方程解6个系数有无限解,因此本文随机求取一个解进行试验。随机令a1=b1=1,再由式 (3) 求得c1,得到第一个GF组合量 (1, 1, -2.182 258),将该系数代入式 (10) 并联立式 (3) 解算第2个GF系数,随机令a2=1可得到第2个GF组合 (1, -1.165 912, -0.121 147)。
3.2 多个GF组合的必要性三频组合观测值中,线性独立的无几何相位组合只有两组,因此第3个及以上的GF组合不能独立讨论。若将式 (3) 代入平面方程an1+bn2+cn3=0,可得到一个直线方程式 (12),这个直线方程与组合系数无关,因此所有的GF组合系数所对应的平面an1+bn2+cn3=0都经过该直线,图 2(b)中四棱柱的中心线就是该直线
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在两个优化的GF组合上增加第3个GF组合,等价于在图 4中再加入两个与四棱柱中心线平行的平面,如图 5所示,增加的GF组合将横截面切为六边形,横截面积有所减少。但增加的GF无法减少图 5中内切圆面积,内切圆的面积与正方形面积之比为π/4,因此再增加GF组合最多能减少的21.5%的不敏感周跳。过多的GF组合会增加计算量,因此本文使用2个优化的GF组合和MW组合探测并修复周跳。
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图 5 增加第3个GF组合后的横截面积变化 Fig. 5 Variation of cross-sectional area after adding the third GF |
4 周跳修复
周跳修复是指求出周跳在3个频点上的跳变量,然后在后续历元的相位观测值中减去该跳变量[16]。周跳修复和整周模糊度固定原理相似:① 估计周跳浮点解;② 固定周跳整数解。但周跳修复属于数据预处理,修复的结果直接影响到后续定位结果,因此要求高可靠性。周跳修复原理与周跳探测原理是统一的,至少需3个相互独立的组合量才能估计周跳,因此本文选取的两个GF组合和MW组合既可用于探测不敏感周跳,也可用于周跳修复。
若两个GF组合的系数分别为 (a1, b1, c1) 和 (a2, b2, c2),MW组合中相位观测值的系数为 (a3, b3, c3),则周跳 (n1, n2, n3) 可由式 (13) 估计,其中Δφc1和Δφc2分别为两个GF组合的跳变量,ΔMW为MW组合的跳变量
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对浮点解直接取整可求得周跳,但由于MW组合引入伪距,取整结果受伪距精度影响[12]。文献[5]和文献[8]使用了LAMBDA搜索周跳整数解,减少了搜索空间。由于周跳仅3个未知变量,维数较少,因此本文在三维坐标系中遍历搜索周跳真值,如图 6所示,3个平面的交点即为式 (13) 估计值,包含该估计值点的四棱柱为真值可能的坐标范围,真值坐标范围应满足式 (7) 和式 (8),其中阈值的系数f设为1倍中误差,确保了该历元周跳修复后不存在粗差。搜索的空间需包含真值的坐标范围,由于MW组合误差比GF组合大,因此搜索步长由式 (8) 中
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图 6 周跳的估计值与真值范围 Fig. 6 Estimated value and the range of truth-value |
5 试验
本文选取了2016年6月15日的北斗三频静态观测数据进行试验,观测时长为24 h,高度截止角15°。由于需要至少625 000个历元的观测值,而观测时段过长无法保持观测环境的一致性,因此使用高采样率0.1 s,其中对GEO卫星C01卫星连续观测了24 h,共864 000个历元。经GF组合站间双差的方法探测周跳,C01号卫星的观测值不存在“原始周跳”[15]。因此通过编程实现从第5个历元开始每隔5个历元加入一个周跳,依次为 (0, 0, 1),(0, 0, 2),…,(50, 50, 50) 共125 000个周跳。
首先分别使用1个、2个、3个GF组合和LG组合探测周跳,并分别统计未探测到的周跳数量,然后将MW组合加入,再重复上述试验,统计未能探测的周跳数量,使用的组合系数及探测结果列于表 1。其中使用2个GF组合和MW组合探测周跳后修复周跳,探测量、估计值和修复值均列于表 2。
组合量 | 组合系数 | 横截 面积S | 未探测周 跳数量 | 加MW组 合后 |
1 | (1, 1,-2.182 258) | ∞ | 998 | 170 |
2 | (1, 1,-2.182 258) (1, -1.165 912, -0.121 147) | 0.029 | 6 | 1 |
3 | (1, 1,-2.182 258) (1, -0.076 602, -1.157 749) (λ1, -λ2,0) | 0.027 | 6 | 1 |
LG组合 | (λ1, -λ2,0) (λ1, 0, -λ3) | 0.031 | 8 | 2 |
探测量 | 估计值 | 修复值 | ||||||
GF1 | GF2 | MW | n1 | n2 | n3 | n1 | n2 | n3 |
-0.080 | -2.200 | -1.169 | -0.577 | -0.479 | 0.587 | 0 | 0 | 1 |
-0.005 | -4.375 | -2.320 | 0.163 | 0.165 | 2.082 | 0 | 0 | 2 |
-0.743 | 0.987 | -0.082 | 0.262 | 1.145 | 0.292 | 0 | 1 | 0 |
-1.042 | -1.180 | -1.233 | -0.772 | 0.454 | 0.303 | 0 | 1 | 1 |
-0.867 | -3.384 | -2.405 | -0.284 | 0.743 | 1.836 | 0 | 1 | 2 |
-1.557 | 2.001 | -0.158 | 0.646 | 2.486 | 0.560 | 0 | 2 | 0 |
-1.631 | -0.174 | -1.317 | 0.325 | 2.252 | 1.291 | 0 | 2 | 1 |
-1.504 | -2.352 | -2.454 | 0.607 | 2.389 | 2.571 | 0 | 2 | 2 |
0.797 | 1.061 | 1.031 | 0.761 | -0.180 | -0.223 | 1 | 0 | 0 |
0.648 | -1.159 | -0.150 | 0.106 | -0.661 | 0.237 | 1 | 0 | 1 |
0.812 | -3.382 | -1.314 | 0.696 | -0.262 | 1.763 | 1 | 0 | 2 |
0.127 | 1.974 | 0.899 | 1.607 | 1.460 | 0.549 | 1 | 1 | 0 |
0.143 | -0.128 | -0.204 | 1.361 | 1.199 | 1.373 | 1 | 1 | 1 |
-0.055 | -2.366 | -1.394 | 0.907 | 0.969 | 1.874 | 1 | 1 | 2 |
-0.846 | 3.033 | 0.861 | 0.880 | 1.881 | -0.069 | 1 | 2 | 0 |
-0.931 | 0.833 | -0.305 | 0.337 | 1.441 | 0.523 | 1 | 2 | 1 |
-0.765 | -1.321 | -1.453 | 1.594 | 2.495 | 2.437 | 1 | 2 | 2 |
-1.582 | 3.961 | 0.745 | 1.467 | 3.338 | 0.443 | 1 | 3 | 0 |
-1.714 | 1.835 | -0.385 | 0.954 | 2.977 | 0.955 | 1 | 3 | 1 |
-1.874 | -0.412 | -1.571 | 0.238 | 2.447 | 1.354 | 1 | 3 | 2 |
1.615 | 1.987 | 1.989 | 1.630 | -0.277 | -0.296 | 2 | 0 | 0 |
1.647 | -0.175 | 0.844 | 1.761 | -0.183 | 0.805 | 2 | 0 | 1 |
1.678 | -2.318 | -0.299 | 2.095 | 0.112 | 2.028 | 2 | 0 | 2 |
0.923 | 3.014 | 1.928 | 2.198 | 1.113 | 0.216 | 2 | 1 | 0 |
0.776 | 0.771 | 0.746 | 1.652 | 0.734 | 0.718 | 2 | 1 | 1 |
0.927 | -1.365 | -0.397 | 2.485 | 1.390 | 2.387 | 2 | 1 | 2 |
0.059 | 3.999 | 1.844 | 2.498 | 2.426 | 0.359 | 2 | 2 | 0 |
0.023 | 1.841 | 0.698 | 2.173 | 2.146 | 1.124 | 2 | 2 | 1 |
0.123 | -0.381 | -0.477 | 2.557 | 2.413 | 2.483 | 2 | 2 | 2 |
将表 1中未探测到的周跳数量与GF组合数量整理成图 7。图中一个GF组合的不敏感周跳数量为998个,加入MW组合后减少为170个,可见不敏感周跳的数目较多,探测效果不理想;而两个GF组合的不敏感周跳仅6个,加入MW组合后仅1个,显著减少了不敏感周跳的数量;当GF组合数量为3时,不敏感周跳与两个GF组合相同,虽然3个GF组合的横截面积比2个最优GF组合的横截面积减少了0.002(7%),但减少的空间中没有包含整数节点,因此不敏感周跳的数量没有变化。
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图 7 GF数量与不敏感周跳 Fig. 7 Insensitive cycle-slip and GF quantities |
将表 1中优化的GF组合与LG组合探测结果整理成图 8,在不加MW组合的情况下,优化GF组合有6个不敏感周跳,而LG组合为8个,这一结果与两者对应横截面积之比一致,一方面验证了优化方法的有效性,另一方面表明传统的LG组合的几何构型也较好。加入MW组合后,LG组合有2个不敏感周跳,而优化的GF组合仅一个不敏感周跳 (5, 4, 4),表明MW组合进一步减少了不敏感周跳数量。由于坐标 (5, 4, 4) 位于图 3中被截断的四棱柱内,因此对GF组合和MW组合均不敏感,周跳 (5, 4, 3)、(5, 4, 4) 和 (5, 4, 5) 的检测序列如图 8所示,其中周跳 (5, 4, 3) 和 (5, 4, 5) 的跳变量明显超出阈值,而 (5, 4, 4) 的跳变量很小,见图 9。
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图 8 优化的GF组合与LG组合的不敏感周跳 Fig. 8 Insensitive cycle-slip of optimized GF combinations and LG combinations |
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图 9 不敏感周跳 (5, 4, 4) 的探测序列 Fig. 9 Experiment data of insensitive cycle-slip (5, 4, 4) |
在表 2中,周跳估计值与修复值的偏差均小于1,表明式 (13) 估计的周跳值较准确,解决了方程组病态问题。此外,修复值不存在多个整数解及没有整数解的情况,是搜索空间中满足条件的唯一坐标点,这是因为周跳修复中阈值系数f设为1倍中误差,而周跳探测中f设为5倍中误差,所以周跳探测中会有不敏感周跳,而周跳修复中搜索到的整数解具备唯一性。
6 结语本文研究了三频周跳探测与修复的几何原理,以及多个GF组合和MW组合探测周跳时的不敏感周跳,最后使用北斗三频实测数据验证了相关结论,对GPS亦适用,试验中0.1 s的高采样率使得各历元观测环境保持一致,但也减弱了电离层延迟的影响,因此在30 s采样率下重复了该试验,与0.1 s采样率下的试验结果相同,这是因为采用了5倍中误差作为阈值 (传统方法采用3倍中误差),可适用较复杂的观测条件。本文提出的周跳探测方法同样适用于接收机动态运动情况,因为使用的无几何组合消除了几何距离项,但周跳修复方法存在无法找到整数解的情况,这是因为实际产生的周跳存在不为整数的情况,这与接收机质量有关,例如部分接收机信号失锁后可能并没有立即停止整周计数,关于非整周跳变的产生原因尚有待研究,但非整周跳变的修复精度难以保证,因此修复非整周跳变是不可靠的。本文提出的方法对于非整周跳变不予修复,保证了修复后数据的可靠性。
(1) GF组合的不敏感周跳总量与阈值成正比,与系数无关,但不敏感周跳在三维坐标系中的坐标随系数变化而变化,因此可用多个GF组合联合探测不敏感周跳,提升周跳探测的可靠性。
(2) 两个GF组合可显著减少不敏感周跳数量,其数量是比一个GF组合低阶的无穷大,而3个及以上GF组合的不敏感周跳数量仍是无穷大,能提升的效果有限。对于本文优化的2个GF组合,即系数满足 (a1, b1, c1)⊥(a2, b2, c2) 时,再增加GF组合最多能减少21.5%的不敏感周跳,过多的组合量会造成额外的计算量,因此优化的2个GF组合无需再增加GF组合。
(3) 增加MW组合与2个GF组合联合探测周跳可将不敏感周跳数量控制在有限范围内,本文优化的两个GF组合增加MW组合后仅一个不敏感周跳 (5, 4, 4),若要完全消除不敏感周跳的影响,则MW组合使用的伪距需是精码。
(4) 增加MW组合与2个GF组合可完成三频周跳的修复,周跳估计值较准确,以步长为3搜索整数解时,不存在多个整数解或未搜索到整数解现象,验证了选取的GF组合和MW组合的合理性,因而解算周跳时不存在病态性问题。
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