2. 成都理工大学地球科学学院, 四川 成都 610051
2. College of Earth Science, Chengdu University of Technology, Chengdu 610051, China
BDS (BeiDou Navigation Satellite System) 应用于我国GNSS测量已成一种必然趋势，但因其起步晚，国际国内市场目前仍以GPS为主导[1]。因此，BDS+GPS组合卫星资源的利用成为BDS逐步进入市场的一个过程。已有大量试验研究分析表明，BDS+GPS融合定位能显著提高单系统模糊度解算的固定率和可靠性，能明显改善单系统定位精度[2-9]。虽然近年来大量文献证明了BDS+GPS较单系统具有明显优势，但大部分证明均从试验数据结果分析得出，仅少量文献从理论模型角度分析BDS+GPS的优势所在。文献[10]仿真分析了BDS+GPS对单系统PNT (positioning, navigation and timing) 的DOP (dilution of precision) 理论值改善。文献[11-12]分别从模糊度精度因子ADOP (ambiguity dilution of precision) 和位置精度因子PDOP (position dilution of precision) 出发，论证了BDS+GPS对单系统定位模糊度固定成功率和位置解算精度的提高，未考虑GNSS信号空间传播误差的影响。然而，在GNSS中长距离精密相对定位中，空间传播误差是不容忽略的。文献[13]提出的广义精度因子 (generalised dilution of precision, G-DOP)，分析了信号空间传播误差对多系统融合DOP的影响，未对各类误差展开具体分析。本文针对BDS/GPS中长距离精密相对定位中对流层和电离层误差的影响，展开了具体分析。引入对流层精度因子 (troposphere dilution of precision，TrDOP)、电离层精度因子 (Ionosphere Dilution of Precision，IDOP)，与相对几何精度因子 (Relative Geometric Dilution of Precision，RGDOP)[14-15]一起构成相对定位精度因子 (Relative Positioning Dilution of Precision, RPDOP)。文献[16-18]中定义的相对定位精度因子RPDOP，又称RGDOP，仅考虑了几何模型参数，而本文在考虑大气模型参数后，提出了新的RPDOP定义。
另外，本文从GNSS相对定位涉及的4项精度因子ADOP、RGDOP、TrDOP、IDOP出发，分析BDS+GPS对定位精度和时间效率的影响。首先，分析延长观测时间，ADOP值减小，模糊度能够更加快速固定；RGDOP和TrDOP值减小，定位精度提高。其次，分析引入BDS卫星，ADOP、RGDOP、TrDOP值均减小，达到与延长观测时间相当的效果；最后，分析引入BDS三频数据，IDOP值的变化及对电离层参数估计的影响。此外，通过5 km km km实测基线数据分析验证了本文理论推导的正确性，并证明了BDS+GPS能够提高相对定位精度和时间效率。
1 顾及大气影响的相对定位精度因子GNSS相对定位主要包括整周模糊度固定和相对位置求解两步[19-20]，需求解的未知参数主要包含整周模糊度向量N、相对位置向量为X、对流层参数T、电离层参数I。下面针对这4个基本未知参数分别对应的精度因子ADOP、RGDOP、TrDOP、IDOP展开研究，并分析其对定位精度与时间效率的影响。
GNSS相对定位的观测方程线性化[21]如下所示
(1)
式中, L表示观测值向量；X表示三维空间直角坐标下的相对位置向量 (x, y, z)；N表示n×1维双差整周模糊度向量 (n为双差载波观测值个数)；T表示1个双差天顶对流层湿延迟参数；I表示s×1维电离层参数向量 (s为卫星个数，电离层参数指第一个频率双差观测量的电离层延迟量)；A、B、E、F表示系数阵；V表示残差向量；ε表示噪声。
对式 (1) 进行最小二乘平差，通过分块求解方法消除X、T、I，求解模糊度浮点解及其协因数阵
(2)
式中, M和R为与L、A、B、E、F相关的表达式[21]。
求解出
(3)
式中, n表示方差阵
整周模糊度固定后，即可进行高精度位置参数求解。消除整周模糊度的误差方程表示为
(4)
同上，分块求解X、T、I及其方差阵QX、QT、QI
(5)
式中，σ=(VTDL-1V)/r表示验后方差因子；r为多余观测数；DL-1表示观测值权阵。
根据上述函数模型，可知相对定位几何精度因子RGDOP为[14-16]
(6)
式中，tr (·) 表示矩阵的迹。
另外，为了考虑大气影响，笔者提出对流层精度因子TrDOP和电离层精度因子IDOP，分别定义如下
(7)
(8)
式中，对流层精度因子定义与几何精度因子定义类似，对流层参数为天顶对流层湿延迟，参数个数不变，且虽属于时变因子，但在约2 h范围内也可认为值不变。式 (8) 中，电离层未知参数个数为非参考卫星个数s，随卫星升降而变化，故此处IDOP定义为平均电离层精度因子。
根据上述3个精度因子，笔者定义相对定位精度因子RPDOP为
(9)
由式 (4)—(9) 可知，仅当X、T、I解算精度均较高时，才能使得残差V较小，相对定位精度较高。
2 多历元相对定位精度因子分析一般GNSS测量通过延长卫星观测时间，来获得高精度定位结果。设采用t个历元求解模糊度 (相位周跳已修复)，每个历元模糊度维数相同，则模糊度方差阵
(10)
式中，M1、M2、…、Mt为式 (2) 中单历元模糊度固定的中间矩阵。因这些矩阵均为正定矩阵，故存在
(11)
图 3列出了5 km短基线双差模糊度固定过程中的ADOP值和RATIO值。其中，双差模糊度固定采用多历元 (multi-epochs) 和单历元 (single-epochs) 两种方式，单历元方法采用单个历元观测量估计位置参数和浮点模糊度，然后利用LAMBAD方法固定；多历元方法通过历元累加不断滤波估计位置参数和浮点模糊度，直至模糊度固定。图 1(a)给出了模糊度固定时的ADOP值，图 1(b)列出了RATIO值。从图 1可明显看出，随着时间的累积，多历元ADOP值减小，RATIO值增加，累积11个历元模糊度固定 (Fix)；单历元ADOP值和RATIO值随时间变化均非常缓慢，直至94个历元模糊度才固定 (RATIO限值根据F分布设定)。显然，相比单个历元，多个历元时间累积，模糊度解算的ADOP值显著减小，能够提高固定的时间效率。
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| 图 1 模糊度固定ADOP和RATIO值随观测历元的变化 Fig. 1 The variations of ADOP and RATIO values over epochs |
采用t个历元求解基线相对位置参数，则其相对定位精度因子为
(12)
式中，AtTDLt-1At=A1TDL1-1A1+A2TDL2-1A2+…+AtTDLt-1At。矩阵AiTDLi-1Ai为正定矩阵，则tr ((AtTDLt-1At)-1)＜tr ((AiTDLi-1Ai)-1)，i＜t因此可知
(13)
静态控制测量中，估计的位置参数为常数，对流层随时间变化缓慢，其天顶湿延参数在约2 h范围内可认为常数。因此，理论上可认为对流层精度因子值随着时间增加而减小
(14)
然而，由于大气参数的过程噪声与大气的真实情况并不完全一致，尤其是电离层，从而会导致TrDOP随时间的变化与理论推导式 (14) 存在差异，IDOP值随时间累积而减小的趋势不明显。
图 2列出了滤波解算43 km基线的RGDOP、TrDOP、IDOP值。43 km中长基线解算模式是对双差原始伪距和载波观测值，利用Kalman滤波估计位置参数、模糊度浮点解 (浮点解滤波过程中包含未知双差整周模糊度)、对流层和电离层大气参数 (单位为m)。图 2(a)、图 2(c)、图 2(e)表示前164个历元浮点解过程中3个精度因子的变化，图 2(b)、图 2(d)、图 2(f)表示整周模糊度固定后，固定解滤波2 h左右3个精度因子的变化。浮点解滤波过程中，RGDOP、TrDOP和IDOP值随时间累积，均呈明显减小趋势，表明模糊度的逐渐收敛，将提高位置、对流层和电离层的解算精度；固定解滤波1.5 h过程中，RGDOP和TrDOP值随着定位历元的累积呈明显减小的趋势，而IDOP值随时间累积而减小的趋势不明显，与式 (13)、式 (14) 理论推导基本一致 (图中非趋势性波动，受随机模型影响，因而并不完全一致)。据式 (9) 可知，随观测时间的累积，相对定位精度因子RPDOP将减小，可提高相对定位精度。
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| 图 2 相对定位RGDOP、TrDOP和IDOP值随观测历元的变化 Fig. 2 The variations of RGDOP、TrDOP and IDOP values over epochs |
3 BDS+GPS相对定位精度因子分析
由第2节分析可知，延长观测时间，ADOP和RPDOP值减小，模糊度固定成功的概率和相对定位的精度得到了提高。若采用其他手段，精度因子ADOP、RGDOP、TrDOP、IDOP减小，也有助于改善定位的精度，从而提高时间效率。下文研究引入BDS卫星后，BDS/GPS融合定位各项精度因子的变化。
根据文献[22]定义，设BDS与GPS系统模糊度精度因子近似相等：ADOPB≈ADOPG≈ADOP*，且两系统观测值个数近似相等:fBSB≈fGSG，给出BDS+GPS与独立系统ADOP间的近似关系
(15)
式中, B和G分别表示BDS和GPS系统；*表示其中某一系统；
式 (15) 中，因
(16)
另外，根据ADOP*的定义[11]可知，ADOP*正比与
上述ADOP相关定义及分析表明，增加观测频率、增加卫星个数或增加观测系统，ADOP值将减小。利用ADOP值，从理论上能够估计出模糊度固定的成功概率PADOP[25-26]
(17)
式中，函数Φ(·) 为标准正态累积分布函数；n表示模糊度的维数。
根据ADOP值的变化，分析BDS+GPS对模糊度固定成功概率的影响，如图 3所示。设BDS和GPS为双频观测量，非参考卫星个数均为s*，双系统相同未知数 (x, y, z) 为3，
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| 图 3 BDS+GPS与单系统模糊度固定成功概率的差值PADOPB+G-PADOP* Fig. 3 Difference of PADOPB+G and PADOP* in fixing integer ambiguity |
在本文研究中，设观测值权阵DL-1能准确反映观测值精度，故忽略不同系统随机模型影响，仅分析函数模型相关的系数阵影响 (式 (1) 中系数阵：A、E、F)。据式 (6) 定义，BDS+GPS与独立系统RGDOP可分别表示为式 (18) 和式 (19)
(18)
(19)
式 (18) 和式 (19) 中，gB1、gB2、gB3为正定矩阵ABTAB的特征值；gG1、gG2、gG3为正定矩阵AGTAG的特征值，均大于0，故
(20)
同理，BDS+GPS与独立系统TrDOP间的关系为
(21)
据式 (8)，忽略随机模型DL-1影响，BDS+GPS与独立系统IDOP分别表示为式 (22) 和式 (23)
(22)
(23)
式 (22) 和式 (23) 中，iBk, k=1，2，…，sB为正定矩阵FBTFB的特征值，iGk, k=1, 2, …, sG为正定矩阵FGTFG的特征值。若BDS与GPS独立系统电离层参数求解精度一致，则
(24)
因F*是一个f**s*行、s*列的矩阵；f*卫星频率个数。F*TF*中的值等于矩阵F*对应行与列的乘积，f*个数增加时，矩阵行数增加，F*TF*中的值均变大，其特征值也随之变大。故
(25)
目前，BDS卫星均有三频数据，而GPS仅少量卫星有三频，因此，引入BDS，IDOP值将减小。
由式 (20)、式 (21)、式 (24)、式 (25) 可知，BDS+GPS与独立系统相对定位精度因子间的关系可表示为
(26)
图 4列出了BDS与GPS融合前后，25 km基线处理RGDOP、TrDOP、IDOP值的变化，数据处理采用上述43 km中长基线处理模式。其中 (a)、(c)、(e) 表示前1500个历元，反映浮点解过程中精度因子的变化；(b)、(d)、(f) 表示1500~5000个历元，反映整周模糊度固定后精度因子的变化。浮点解滤波过程中，BDS+GPS于第160个历元固定，BDS于第680个历元固定，GPS于第1388个历元固定，BDS+GPS明显提高了模糊度固定的时间效率。固定解滤波过程中，BDS+GPS的RGDOP和TrDOP值的小于独立系统，IDOP值约等于独立系统，与式 (20)、式 (21)、式 (24) 理论推导一致 (图中不完全一致之处，因实际计算考虑了随机模型，而理论推导未考虑随机模型影响)。
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| 图 4 BDS、GPS、BDS+GPS相对定位RGDOP、TrDOP和IDOP值 Fig. 4 RGDOP, TrDOP and IDOP values in BDS, GPS and BDS+GPS relative positioning |
图 5比较了BDS三频与双频数据频估计电离层的IDOP值，可看出增加观测频率，IDOP值存在一定幅度的减小，与式 (25) 理论推导一致 (图中不完全一致之处，因实际计算考虑了随机模型，而理论推导未考虑随机模型影响引起)。
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| 图 5 BDS双频和三频相对定位IDOP值 Fig. 5 IDOP values in double-frequency and triple-frequency BDS relative positioning |
4 结论
本文从相对定位中模糊度固定和相对位置求解的4类因子 (ADOP、RGDOP、TrDOP、IDOP) 出发，重新定义了相对定位精度因子RPDOP，并论证了BDS+GPS对单系统定位精度与时间效率的影响，得到如下结论：
(1) 相比单系统，BDS+GPS ADOP值减小，模糊度固定成功的概率提高，特别在单系统卫星个数较少时，提高概率可达70%以上。因此，系统融合能够更加快速地固定模糊度，显著提高模糊度固定的时间效率。
(2) 相比单系统，BDS+GPS RGDOP、TrDOP减小，IDOP近似不变 (双频BDS+GPS) 或者减小 (三频BDS+GPS)。通过TrDOP和IDOP值分析，可知BDS/GPS系统融合能够提高大气参数估计精度。
(3) 相比单系统，BDS/GPS系统融合后ADOP、RGDOP、TrDOP减小，达到与单系统延长观测时间相当的效果；根据RGDOP、TrDOP、IDOP对相对定位精度因子RPDOP的重新定义可知，相比单系统，BDS/GPS系统融合后RPDOP减小，相对定位内符合精度明显提高。总体上，在一定测量精度的前提下，BDS/GPS系统融合能够有助于提高单系统测量的内符合精度和时间效率。
致谢: 感谢西南交通大学周乐韬副教授的指导，香港理工大学提供的数据支持。
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