重力恢复与气候试验卫星GRACE (gravity recovery and climate experiment) 通过高精度卫星轨道和星间微波测距观测值利用最小二乘原理可计算高时空分辨率的地球重力场模型，用于探测包括陆地水储量变化、冰盖或冰川消融、海平面上升及地震等引起的全球质量变化[1-4]。为了获得诸如水文的季节性和长期变化等特定的质量变化信号，必须在计算时变地球重力场模型时事先扣除频率高于尼奎斯特频率 (Nyquist frequency) 的高频质量变化信号，否则将会对最终的特定信号提取产生混频 (混叠) 效应[5]。扣除高频率质量变化信号的过程称为 (时间域) 去混频过程。
很明显，高频大气去混频模型对GRACE重力场恢复有潜在的影响。时间尺度小于1个月的大气质量变化误差会传播到GRACE Level-2产品 (如月时变地球重力场模型)，并导致 (时间域) 混频效应，而时间尺度大于1个月的大气质量变化误差会被错误理解为其他特定质量变化的信号。因此，对于GRACE数据分析来说，校正大气质量变化信号非常重要。在GRACE数据处理中，三大国际机构GFZ (Deutsches Geo Forschungs Zentrum)、JPL (Jet Propulsion Laboratory) 及CSR (University of Texas at Austin, Center for Space Research) 都是采用GFZ计算的AOD1B RL05(atmosphere and ocean dealiasing 1B rlease 05) 模型[5]用于大气与海洋的去混频。该模型的大气去混频部分采用的是欧洲中程天气预报中心ECMWFop (European Center for Medium-range Weather Forecasts, operational analysis) 实时三维大气压等数据计算。由于水平和垂直分辨率的变化，该数据计算的大气去混频模型存在非正常的跳跃现象，造成GRACE提取时变质量信号的扭曲[6]。文献[7]通过物理、几何和数值计算方面的改进提出改进三维积分法计算大气去混频模型，并且比较了ERA-Interim再分析数据和ECMWFop实时数据分别计算大气去混频模型反映全球质量变化的趋势和振幅方面的差异[8]。文献[9—11]考虑大气压等观测值误差，采用加权最小二乘球谐分析方法计算大气去混频模型。官方大气去混频模型AOD1B RL05利用ERA-Interim再分析数据处理ECMWFop实时数据中的跳跃现象[5]。最新的大气去混频模型AOD1B RL06将时间分辨率提高到3 h，球谐位系数截断阶次提高到180阶[12]。
ECMWFop和ERA-Interim大气压数据虽然都可用于计算全球大气去混频模型，但它们的空间水平分辨率分别约为0.5°和0.7°，这种分辨率很容易忽略具有陡峭地形区域的急剧大气压变化，如喜马拉雅山脉地区。如果能提高大气数据的空间水平分辨率，大气去混频模型的质量将有所改善。基于此，本文提出一种利用局部高空间分辨率的大气数据与全球ERA-Interim数据融合计算大气去混频模型的方法。该方法将局部大气数据的旋转坐标系统转换为地理坐标系统，构造规则矩形区域，通过改进的垂直积分方法分别计算该局部区域与其他全球区域的格网点积分，采用双线性内插方法将各格网点积分内插成规则的格网，并采用去平滑球谐分析方法分别对局部区域内外单独进行快速傅里叶变换 (FFT) 计算，不仅保证了各格网点数据的充分利用，也加快了程序的计算速度，并保证了两套大气数据的合理拼接，有望提高所获得大气去混频模型在该局部区域的质量。本文给出了计算大气去混频模型所需的全球与局部大气数据，介绍了计算大气去混频模型的方法，对结果作了分析并得到相关结论。
1 数据由于无法获得ECMWFop实时数据和全球性的高分辨率大气数据，本文采用全球ERA-Interim再分析数据和欧洲局部区域的高分辨率大气数据融合来提高大气去混频模型的质量。
1.1 ERA-InterimERA-Interim是ECMWF提供的近乎实时 (约2个月延迟)、覆盖从1979年1月至今的全球大气再分析模型[13]。相对于其前一代模型ERA-40，该模型在水文循环随时间变化的函数表达式、平流层环流的质量和随时间变化的一致性等方面有实质性的提高。该模型空间水平分辨率为80 km (约0.7°)，包含60个垂直层，即大气压包含从地球表面的标准大气压一直到80 km高度处的0.1 hPa，时间间隔6 h。虽然ERA-Interim相对于ECMWFop空间水平和垂直分辨率较低，但ERA-Interim数据没有跳跃且长时间序列数据更加具有一致性。GRACE大气去混频模型计算需要用到该模型中随地面坐标和时间变化的表面大气压和地表重力位高，以及随地面坐标、垂直层和时间变化的温度和湿度。
1.2 COSMO-REA6COSMO (consortium for small-scale modelling)[14]是成立于1988年，由德国气象服务中心DWD (Deutscher Wetterdienst) 和其他欧洲机构联合研制的局部区域的大气预测模型。而COSMO-REA6[15]是一个覆盖欧洲区域的局部再分析大气模型，该模型空间水平分辨率为6 km (约0.055 °)，垂直分辨率包括从地面到22.7 km高度处的40层。虽然该模型的垂直层个数少于ERA-Interim模型，但它与独立数据 (如利用GPS站点计算的水汽) 对比吻合得更好，这主要是由于该模型水平和时间分辨率都较高。该模型时间间隔为3 h, 但为了与ERA-Interim的时间间隔相一致，本文仅采用COSMO-REA6的6 h间隔数据。该模型数据采用旋转坐标系统，旋转北极点坐标为：经度λN=-162.00°，纬度φN=39.25°。计算GRACE大气去混频模型时需要用到该模型中各点的几何高度、参考大气压和大气压偏差，并需要将旋转坐标系统转换到地理坐标系统。
2 计算方法 2.1 三维积分方法大气去混频模型是由于大气的高频质量变化引起的。为了与地球重力场模型的球谐位系数表达式相一致，略去推导过程，通过对全球大气质量变化进行球谐分析可将大气去混频模型表达为截断到一定阶次的球谐位系数Cnm, Snm，如式 (1) 所示[5]
(1)
式中，kn′为考虑地球弹性形变的负荷勒夫数；a=6 378.137 km为地球平均半径；ρ是地球平均密度；(θ, λ) 分别为地心余纬和经度；Pnm(cos θ) 是第一类完全正则化的勒让德多项式；dσ是表面旋转不变量元素 (即表面单位面积)；n、m分别为阶和次；ΔIn(θ, λ) 是地面某一格网点对大气压的垂直积分变化，而垂直积分In(θ, λ) 与余纬、经度和阶有关，可采用式 (2) 计算
(2)
式中，g(θ)=γe+(γp-γe) cos2θ是与该点余纬有关的重力加速度；γp、γe分别为两极和赤道的重力加速度；g=9.797 643 222 2 m/s2为平均重力加速度；Ps是该点表面大气压；dP是垂直层的大气压微分；H是该点地球重力位高 (或称力高)；ζ为该点大地水准面高度，本文采用ITG-Grace2010s模型计算。GFZ的官方模型AOD1B RL05正是采用式 (2) 进行垂直积分计算，文献[7]考虑了地球更加真实的几何和物理形状，提出了一种改进的垂直积分方法，如式 (3) 所示
(3)
式中，re(θ) 表示与余纬有关的椭球半径；z为该点几何高度 (或称正高)；g(θ, z)=g(θ)·
(4)
式中, k表示垂直层，k+1/2表示半层；ak+1/2和bk+1/2是模型常数。对于COSMO-REA6数据，大气压可采用式 (5) 计算[14-15]
(5)
式中，P′表示与空间和时间相关的大气压偏差；P0(z) 是与高度相关的参考大气压，可采用式 (6) 计算
(6)
式中，PSL、TSL和β分别定义了基本的大气状态，其缺省值分别为：PSL=1000 hPa, TSL=288.15 K, β=42 K；Rd是干燥空气的大气常数。在式 (2) 或式 (3) 的垂直积分计算完成以后，采用式 (7) 计算垂直积分变化
(7)
式中，In(θ, λ) 表示某一时间段垂直积分的平均值，本文采用2007年一整年的垂直积分平均值。将式 (7) 的结果代入式 (1) 即可计算大气去混频模型，但式 (1) 的积分需要采用球谐分析方法计算。考虑到官方AOD1B模型所用的常规梯形球谐分析方法平滑了格网内的大气压变化，本文采用去平滑球谐分析方法，计算公式为[16]
(8)
式中，Anm=Cnm+iSnm；qn是去平滑因子[16]；IPnmk是勒让德多项式的积分[17]；M和N分别是沿经线和纬线的格网数目；gm的计算式为
(9)
式中，Δλ是经度间隔。式 (8) 一般要求格网点为等角度间隔，这样每一条纬线上的格网点才能利用快速傅里叶变换 (FFT) 计算[18]。由于大气与海洋去混频模型 (AOD1B RL05) 的大气部分采用的是0.5°等角度间隔的实时分析数据ECMWFop，为了与AOD1B模型计算时选取的格网间隔相一致，本文选取0.5°等角度间隔的ERA-Interim数据。该数据可以直接从ECMWF下载，而COSMO-REA6数据在由旋转坐标系转换到地理坐标系后格网点是非等角度间隔，因此必须对COSMO-REA6数据进行内插。
2.2 ERA-Interim和COSMO-REA6数据的融合为了能充分利用COSMO-REA6高空间水平分辨率的大气压数据，本文将全球分布的ERA-Interim与局部覆盖的COSMO-REA6大气数据合理拼接融合。图 1描述了拼接融合的具体过程，图 2反映了ERA-Interim的全球表面大气压，其中不规则曲线表示COSMO-REA6数据覆盖区域的边界线。该曲线不适合于形成等角度间隔的规则格网，因此本文构造一条能覆盖该整个稠密区域的矩形线条。该矩形区域纬度间隔为北纬21°—73°，经度间隔为-47°—68°，该范围内的数据将被内插成等角度格网间隔的数据。在矩形区域内且在COSMO-REA6区域外，对0.5°间隔的ERA-Interim数据利用式 (3) 进行垂直积分计算；在COSMO-REA6区域内，对不规则格网数据先使用式 (3) 直接进行垂直积分计算；然后采用双线性内插方法将矩形区域内各格网点的垂直积分结果内插成0.05°等角度间隔的垂直积分数据。在矩形区域外，直接对0.5°等间隔的ERA-Interim数据利用式 (3) 进行垂直积分。最后分别对矩形区域内外的垂直积分数据利用式 (8) 进行球谐分析计算，对矩形区域内的数据球谐分析时，为了能利用FFT计算，将矩形区域外的数据全部设为0；反之对矩形区域外的数据球谐分析时，将矩形区域内的数据全部设为0。两次球谐分析结果相加即得到最终的大气去混频模型。COSMO-REA6模型的边界区域数据采用了ERA-Interim模型进行约束 (即在边界区域将COSMO-REA6与ERA-Interim数据线性内插得到6 km分辨率大气数据)[15]，因此该边界区域实现了由COSMO-REA6过渡到ERA-Interim模型的平滑转换。以上方法通过构造规则矩形区域，将不规则的COSMO-REA6数据通过双线性内插转换成规则格网数据，并对矩形区域内外不同空间分辨率的数据分别进行球谐分析，不仅实现了两种数据的合理拼接，也使得两种模型数据都能使用FFT进行球谐分析计算，提高了计算效率。
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| 图 1 ERA-Interim和COSMO-REA6数据融合处理步骤 Fig. 1 Processing steps based on ERA-Interim and COSMO-REA6 data |
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| 图 2 ERA-Interim的表面大气压 (2007-01-01 00:00) Fig. 2 Surface pressure of ERA-Interim in 2007-01-01 00:00 |
2.3 星间距离变率残差计算
星间距离变率残差是GRACE重力反演的中间结果，是利用最小二乘法由参考模型计算的星间距离变率与仪器观测的星间距离变率的差值。星间距离变率残差越小，表示参考模型越能吻合真实观测值，在一定程度上反映了参考模型质量更接近真实情况，反之亦然。从GRACE分析角度，本文主要采用星间距离变率残差来衡量不同参考模型的质量。本文目的仅在于比较不同大气去混频模型的质量，因此在比较过程中除了大气去混频模型不一致以外，保证其他参考模型完全一致。本文采用波恩大学理论大地测量研究所开发的GROOPS (gravity recovery object oriented programming system) 软件利用短弧长积分法进行GRACE重力反演[19]。选择星间距离变率和卫星几何轨道作为观测数据，弧段长度为0.5 h，日、月和其他行星引力采用JPL DE405[20]星历数据，固体潮、固体极潮和海极潮参考IERS2010协议[21]，海潮采用EOT11a模型[22]，根据文献[23]计算S1和S2的大气潮模型，并在大气去混频模型中事先剔除S1和S2波段信号，采用240阶次的ITG-Grace2010c作为参考地球重力场模型。计算时只估计弧段边界轨道改正向量和加速度计偏差，不计算地球重力场模型。由于海洋去混频模型必须要采用大气数据进行约束，在欧洲区域内AOD1B RL05的大气数据与COSMO-REA6大气数据不一致，因此参考模型中并未考虑海洋去混频模型。虽然大气去混频模型包括0阶项和1阶项的球谐位系数，但星间距离变率残差计算时只考虑2阶项及以上的球谐位系数。由于星间距离变率观测值存在粗差，本文使用0.9 μm/s (约为3倍中误差) 作为星间距离变率残差的阈值来剔除不合格的数据。
3 结果分析 3.1 表面大气压的比较由于表面大气压的变化在很大程度上反映了大气质量的变化，本文比较了ERA-Interim和COSMO-REA6在欧洲区域2007年1月的平均大气压差距，如图 3所示。大气压差距最大值200.658 95 hPa，差距最小值-127.105 15 hPa，差距平均值-0.283 23 hPa，标准差12.622 87 hPa，可以看出地形起伏较大区域的大气压差距较大，如阿尔卑斯山脉、庇里牛斯山脉和斯堪的纳维亚山脉。为进一步比较大气压在不同时空尺度的差距，采用4次巴特沃斯滤波器计算了不同时空尺度大气压差距的均方根，发现在欧洲特别是地形起伏较大区域，大气压差距低频变化高于高频变化，低频大气压差距占据主导地位。
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| 图 3 ERA-Interim和COSMO-REA6的表面大气压差距 (2007年1月0.1°格网) Fig. 3 Surface pressure differences between ERA-Interim and COSMO-REA6 (0.1° grid in January of 2007) |
3.2 大气去混频模型比较
根据2.1—2.3节的方法，本文分别只单独使用ERA-Interim数据和融合ERA-Interim及COSMO-REA6数据计算了两组100阶次、时间间隔为6 h且时间跨度为2007-01-01—2007-12-31的大气去混频模型 (分别命名为ADM1和ADM2：atmospheric de-aliasing models)，每组模型包括了1460个大气去混频模型，并从不同角度比较了两组模型的质量。首先分别计算两组模型在2007-01-01 00:00的信号 (以大地水准面高表示)，如图 4所示，图中还表示了现有GRACE重力场模型的实际精度 (以ITG-Grace2010s计算)、GRACE发射前的模拟精度[24]和下一代激光测距重力卫星 (单摆结构) 的精度[25]。将两组模型的信号直接在谱域内作差，可以看出该信号差分曲线在GRACE反演重力场模型的实际精度曲线以下，这是因为两组模型仅仅是在欧洲区域所使用的大气数据不一致，其他区域数据及计算方法均一致，欧洲区域大气压相对全球大气压对反演全球大气质量变化影响较小，导致两组模型信号差异很小。但在约10阶以前高于GRACE模拟精度曲线，约30阶以前高于下一代激光测距的误差曲线，这说明COSMO-REA6大气数据至少对下一代重力卫星的反演有潜在影响。将两组模型在空域内作差得到大地水准面高的差异分布图，如图 5所示，很明显在欧洲区域存在较大差距，最大差距达到0.4 mm，其他区域差距均在0.1 mm以下。在矩形边界线附近两种模型大地水准面高的差距达到0.1 mm，这可能是由于在由大气格网数据计算球谐位系数的球谐分析过程中边界区域附近的计算是由ERA-Interim和COSMO-REA6格网数据共同影响的，以及边界区域数据内插的泄漏效应引起。
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| 图 4 不同模型的阶方差 Fig. 4 Degree variances of different models in terms of geoid height |
3.3 星间距离变率残差比较
分别利用ADM1、ADM2这两组大气去混频模型和GRACE Level1B数据计算两组2007年每月星间距离变率残差，将每月ADM2对应的星间距离变率残差绝对值减去ADM1对应的星间距离变率残差绝对值，并只考虑在欧洲区域的差距，如图 6所示。差值为负表示COSMO-REA6模型相对ERA-Interim模型能够获得更小的星间距离变率残差，这表明COSMO-REA6模型能更好地吻合GRACE星间距离变率的真实观测值并具有更好的模型质量。从图 6可以看出，大部分区域的差值为负值，说明总体来说COSMO-REA6质量优于ERA-Interim，但部分区域的差值为正值，表明并不是所有区域的模型质量一致。为此，分别计算了两组模型星间距离变率残差每天的均方根 (RMS：root mean square)，并且计算了每天RMS的差值，如图 7所示。可以看出，有292 d的RMS差值为负，差值最小值达到-0.008 μm/s，这说明2007年大部分天数中COSMO-REA6相对于ERA-Interim具有较好的质量。为了进一步验证大气去混频模型的质量，分别计算两种模型对应星间距离变率残差每月的RMS，如表 1所示。可以看出COSMO-REA6对应星间距离变率残差每月的RMS均小于ERA-Interim模型，质量提高最大达到1.87%。作为参考，本文也计算了AOD1B RL04和RL05对应的每月星间距离变率残差的RMS，如表 2所示。可以看出2007年RL05相对RL04模型质量提高最大达2.27%，与COSMO-REA6相对于ERA-Interim提高的比例相当。为了对比垂直积分中式 (2) 与式 (3) 的区别，本文分别利用这两种积分公式和2007年的ERA-Interim数据计算了两组大气去混频模型 (分别命名为ADM3和ADM4)，利用两组模型计算了2007年的星间距离变率残差，比较了每月的RMS值，如表 3所示。可以看出，式 (3) 相对于式 (2) 使得星间距离变率残差提高最大达0.80%，验证了式 (3) 相对于式 (2) 的优越性，也表明了星间距离变率残差用于验证大气去混频模型质量的有效性。
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| 图 5 ADM1与ADM2模型在空间范围内的差距 Fig. 5 Differences between ADM1 and ADM2 in space domain in terms of geoid height |
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| 图 6 ADM1和ADM2模型计算的2007年每月星间距离变率残差绝对值的差值 Fig. 6 Differences of satellite-to-satellite range-rate residual absolute values between ADM1 and ADM2 per month in 2007 |
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| 图 7 ADM1和ADM2模型计算的2007年每天星间距离变率残差RMS Fig. 7 RMS of daily satellite-to-satellite range-rate residuals between ADM1 and ADM2 in 2007 |
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| ADM1/(nm/s) | 246.5 | 248.5 | 253.0 | 237.7 | 243.8 | 237.9 | 222.3 | 224.1 | 200.8 | 231.2 | 272.0 | 271.6 |
| ADM2/(nm/s) | 245.1 | 244.4 | 252.6 | 237.6 | 243.1 | 233.5 | 219.3 | 222.5 | 200.2 | 230.4 | 271.8 | 270.1 |
| 提高量/(nm/s) | 1.4 | 4.0 | 0.4 | 0.1 | 0.6 | 4.4 | 3.0 | 1.6 | 0.6 | 0.9 | 0.1 | 1.4 |
| 提高比例/(%) | 0.57 | 1.62 | 0.17 | 0.04 | 0.26 | 1.87 | 1.34 | 0.72 | 0.32 | 0.37 | 0.04 | 0.53 |
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| RL04/(nm/s) | 197.1 | 184.3 | 192.7 | 0203.4 | 198.7 | 196.3 | 187.6 | 195.5 | 194.3 | 206.5 | 224.4 | 233.9 |
| RL05/(nm/s) | 192.7 | 182.9 | 188.9 | 200.4 | 197.3 | 195.6 | 187.9 | 195.2 | 191.3 | 205.2 | 224.1 | 232.1 |
| 提高量/(nm/s) | 4.5 | 1.5 | 3.8 | 2.9 | 1.5 | 0.7 | -0.3 | 0.3 | 3.0 | 1.3 | 0.2 | 1.8 |
| 提高比例/(%) | 2.27 | 0.80 | 2.00 | 1.45 | 0.74 | 0.34 | -0.15 | 0.16 | 1.54 | 0.64 | 0.11 | 0.75 |
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| ADM3/(nm/s) | 222.4 | 216.4 | 237.6 | 242.9 | 237.2 | 238.2 | 232.2 | 229.9 | 221.7 | 237.5 | 263.3 | 269.9 |
| ADM4/(nm/s) | 221.3 | 215.1 | 235.7 | 241.2 | 235.8 | 236.8 | 230.7 | 228.6 | 220.6 | 236.1 | 261.7 | 268.2 |
| 提高量/(nm/s) | 1.1 | 1.3 | 1.9 | 1.7 | 1.4 | 1.4 | 1.5 | 1.3 | 1.1 | 1.4 | 1.6 | 1.7 |
| 提高比例/(%) | 0.49 | 0.60 | 0.80 | 0.70 | 0.59 | 0.59 | 0.65 | 0.57 | 0.50 | 0.59 | 0.61 | 0.63 |
4 结论
针对现有用于GRACE大气去混频模型计算的大气模型空间水平分辨率可能不足的问题，本文提出了结合欧洲区域高空间水平分辨率的局部大气模型COSMO-REA6和全球大气模型ERA-Interim计算GRACE大气去混频模型的思想。通过合理拼接融合的方法计算了改进的大气去混频模型，从不同角度验证了改进大气去混频模型的质量，得出如下结论：
(1) 理论上，高空间水平分辨率的大气数据更能逼真反映大气的空间分布。从实际计算的球谐分析式 (1) 和式 (8) 来看，每一阶次的球谐位系数都需要利用全球所有的大气网格数据参与计算，网格数据越稠密或网格数据精度越高，越能提高每一阶次球谐位系数的精度，而COSMO-REA6数据不仅空间水平分辨率高，从文献[15]可看出其整体质量也高于ERA-Interim；从星间距离变率残差比较来看，COSMO-REA6相对于ERA-Interim模型在欧洲区域的提高比例与AOD1B RL05相对于RL04的提高比例相当。所以不论从理论上、计算方法还是实际数据计算都表明高空间水平分辨率的大气数据确实有助于提高大气去混频模型的质量，从而为其他特定质量变化信号在该区域的准确提取提供可能。
(2) COSMO-REA6相对于ERA-Interim大气模型在欧洲区域的每月星间距离变率残差RMS最大提高4.4 nm/s，这对当前的GRACE月时变地球重力场模型的计算或许影响不大，但对基于激光测距的重力卫星GRACE-FO (follow on) 或NGGM (next generation gravity field model) 存在潜在影响。
(3) 欧洲区域的地形起伏变化比较平缓，若是在地形起伏变化剧烈的局部区域，高空间水平分辨率的大气数据可增大星间距离变率残差RMS的提高比例，有望得到更好的大气去混频模型。本文方法适用于任何局部区域的大气数据计算，如中国的喜马拉雅山脉地区。
(4) 虽然欧洲区域大气数据的空间水平分辨率有所提高，但本文计算的大气去混频模型仍然只截断到100阶次，这与AOD1B RL05的大气去混频模型的截断阶次一致。本文也利用COSMO-REA6和ERA-Interim数据计算了截断到360阶次的大气去混频模型，并计算了2007年1月GRACE卫星星间距离变率残差的RMS，100阶次和360阶次大气去混频模型计算的RMS分别为238.431 24 nm/s和238.431 23 nm/s，差距基本可以忽略不计，说明对于GRACE数据分析来看，提高截断阶次对大气去混频模型的质量没有作用，但提高空间水平分辨率可以改进每一阶次球谐位系数的质量。
致谢: 感谢波恩大学大地测量研究所APMG团队提供的GROOPS软件和COSMO-REA6数据；感谢ECMWF提供的ERA-Interim数据；感谢JPL提供的GRACE Level1b数据。
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