经典平差模型的通用形式涵括了条件平差、附有参数的条件平差、间接平差及附有限制条件的间接平差等基本平差模型^[1]。假定观测向量含随机误差，参数的系数矩阵为固定量，采用最小二乘估计(least squares，LS)准则可求得上述4类基本平差模型以及通用平差模型的最优无偏解。最小二乘估计理论是数据处理的基本方法之一，在大地测量等众多科学研究和工程领域应用广泛。

随着现代各专业领域对模型和数据精度要求的不断提高，当平差模型参数的系数矩阵包含随机误差(errors-in-variables，EIV)时，最小二乘估计有偏^[2]。文献[3]首次将最小二乘估计准则扩展至整体最小二乘估计(total least squares，TLS)，即同时顾及所有观测数据(观测向量和系数矩阵)的随机误差。文献[2]证明了EIV模型的TLS解具有渐进无偏性，理论上要优于LS解。假定权矩阵为对角阵的情况下，文献[4]通过线性化首次推导了统计意义上的加权整体最小二乘算法(weighted total least squares，WTLS)，文献[5]采用拉格朗日乘数法导出了WTLS解。之后，众多文献研究了系数矩阵与观测向量在特殊权矩阵情况下的WTLS算法^[6-9]，文献[10-12]提出了仅限定系数矩阵和观测向量不相关情况下的WTLS算法，文献[13-15]将WTLS算法推广到任意权矩阵的一般情况。通过将模型扩展到附有限制条件的EIV模型，文献[16-22]研究了附有等式和不等式约束的WTLS算法。文献[23]在假定观测向量和系数矩阵误差不相关的情况下研究了EIV条件平差模型的WTLS算法。

到目前为止，WTLS算法主要基于EIV间接平差模型或者附有限制条件的间接平差模型，即参数的系数矩阵随机，观测向量的系数矩阵为单位阵。尽管间接平差模型是最常用的平差模型，但并非通用的平差模型形式，如观测向量的系数矩阵可能包含随机误差，因此，从平差模型理论而言，类似于经典平差模型发展脉络，EIV模型形式尚有待进一步完善。从应用上而言，某些特定数据在一定条件下或许更适宜于表示为条件平差或者附有参数的条件平差模型等形式，需要扩展相应的模型形式供选择和比较。基于上述理论和应用两方面的意义，本文提出了EIV平差模型的通用形式，包括观测向量的系数矩阵和参数的系数矩阵随机或者非随机等各类情况，在此基础上，采用拉格朗日乘数法推导了通用EIV平差模型的统一WTLS算法及其近似精度估计公式。通用EIV平差模型的WTLS算法适用于任意权矩阵，涵括了条件平差、附有参数的条件平差、间接平差以及附有限制条件的间接平差等各类模型形式，统一的WTLS算法有利于具体工程的编程实现。

1 通用EIV平差模型形式 1.1 经典平差模型的通用形式及其最小二乘解

经典平差函数模型的通用形式为^[1]

式中，y和v_y表示n×1的观测向量和改正数向量；B为f×n观测向量系数矩阵；x为u×1参数向量；A为f×u的参数系数矩阵；w为f×1常数向量；B和A均为固定矩阵。

按照经典平差理论，模型(1)涵括了条件平差、附有参数的条件平差、间接平差和附有限制条件的间接平差模型等4种基本函数模型形式，参数的最小二乘估计及其精度为^[1]

式中，N_bb=BP_y^-1B^T，P_y表示观测向量y的权阵，r表示多余观测数。

1.2 通用EIV平差模型

若把经典通用平差模型(1)中观测向量的系数矩阵B和参数的系数矩阵A由固定矩阵推广到随机矩阵，从而经典平差模型扩展为通用EIV平差模型

式中，y和v_y表示n×1的观测向量及其改正数向量；B和V_B表示f×n的观测向量系数矩阵及其改正数矩阵；x为u×1参数向量；A和V_A表示f×u的参数系数矩阵及其改正数矩阵。B、y和A为含随机误差的观测数据，模型(2)的随机模型可表示为

式中，vec(·)表示将矩阵按列向量化；L和v表示k×1的观测数据向量及其改正数向量k=fn+fu+n；D(L)、P和Q表示L的方差协方差阵、权阵及协因数阵；σ₀²表示单位权方差。

通用EIV模型(2)涵括了以下4种基本EIV平差模型：

(1) 当模型不含参数x，仅由观测值y的几何关系构成条件方程，称为EIV条件平差模型

(2) 当模型中含有部分参数时，观测值和参数共同构成条件方程，称为EIV附有参数的条件平差模型，模型形式与式(2)等同。

(3) 当y能够表示为独立参数x的函数，即表示成观测方程的形式，称为EIV间接平差模型

(4) 当参数x间存在函数关系时，称为EIV附有限制条件的间接平差模型

式中，，C和w_x表示参数约束方程的系数矩阵和常数项；I_n表示n维单位阵。

2 通用EIV平差模型的加权整体最小二乘估计 2.1 WTLS算法

整体最小二乘准则本质上是最小二乘准则的扩展，要求系数矩阵和观测向量中的全部观测数据L的残差平方和最小，该准则下模型(2)的求解转化为以下最优化估计问题

相应的目标函数为

式中，。

将上式分别对待估计量求一阶偏导并令其等于0

式中，变量上加尖号表示模型的估计量。

由式(7)得

式(9)代入式(8)

式中，。

式(10)代入式(9)

式(10)代入式(6)得到WTLS参数解

将上式两边同乘，然后等式两边加上项，得到另一种对称的WLTS参数解形式

根据式(11)-(13)，导出通用EIV平差模型(2)的WTLS算法如下：①根据观测数据和平差模型，给出B、y、A、w和Q；②参数初始值取模型的LS估值：的初值取0；③采用式(13)或式(12)迭代计算和中的估计量根据和每步计算值更新)，由式(11)迭代计算，直至前后两次计算结果之差小于设定的容许值，则。

2.2 WTLS估计结果的精度评定

由于EIV模型的非线性特点，到目前为止，WTLS解的统计特性研究成果非常有限^[24]。文献[6, 25-26]推导了等权情况下的精度近似公式。文献[10, 27]通过将EIV模型转化为经典平差模型研究了WTLS解的一阶近似精度。本文对通用EIV模型进行线性化，将其转换为线性高斯赫尔默特模型形式，推导了一阶近似精度公式。

参数或随机量符号上加“~”表示真值，模型(2)可写为如下形式

将上式真值表示为近似值B₀、y₀、A₀与改正量ΔB、Δy、ΔA之和的形式

将上式展开，并略去二次项后得

则模型(2)的线性化形式可表示为

式中，；w_l=w+B₀y₀+A₀x₀。上式为经典的线性高斯赫尔默特模型形式，参考文献[1], 得到模型(2)的WTLS估计结果的精度公式如下

式中，r表示多余观测数，与经典平差模型相同，r=n-t、N_C=C_lP^-1C_l^T，近似值B₀、y₀、A₀取模型的WTLS估计值。

3 实例分析

本节以直线拟合模型为例说明和验证论文提出的模型和算法。尽管对于直线拟合而言，采用EIV间接模型更为简单直观，但随着EIV模型在现代测绘领域应用的深入，某些模型可能更适用于其他EIV模型形式，因此，为了说明通用EIV模型及其WTLS算法的估计过程，实例将直线表示为通用EIV模型(2)的形式，即附有参数的条件平差模型形式进行估计。

若设直线的截距和斜率为待估参数，直线的EIV间接平差模型形式(4)为

式中，t_i为直线的自变量；y_i表示因变量；v_ti和v_yi分别表示t_i和y_i的改正数；x₀、x表示待估的截距和斜率参数。设计参数真值和y_i的中误差分别为σ_t=0.12、σ_y=0.1，模拟了4个数据点的观测值(相互独立)，见表 1。

若仅设斜率为参数x，直线的EIV间接形式(18)转化为通用EIV模型(2)的形式，其中多余观测数为2，参数个数为1，则3个线性无关的条件方程为

式中，第1式描述了过1、3两点的直线斜率等于过1、2两点直线的斜率，第2、3式描述了根据第1点计算的截距分别等于第2、第4点计算的截距，上式写成矩阵形式为

式中，。

式(20)为通用EIV平差模型形式(2)：(B+V_B)(y+v_y)+(A+V_A)x+w=0，因只含一个参数，A退化为向量，将系数矩阵B和A分别向量化并表示成l的函数，即vec(B)=Fl，vec(A)=Gl，根据原始观测值t的协因数阵Q_t可得到式(20)的随机模型，即全部观测量的协因数阵Q_L(L=[vecB^T  vecA^T  y^T]^T)。根据本文WTLS算法计算的估计结果见表 2，为了验证其正确性，列出了EIV间接平差模型形式的WTLS估计结果。

分析EIV模型(18)的估计结果，可得到如下结论：

(1) 表 2计算结果表明，通用EIV模型的WTLS算法与目前EIV间接模型的WTLS常规算法结果相等，证明了本文算法的正确性。此外，通用WTLS估计精度公式与间接WTLS精度公式均为估计参数的一阶近似精度公式，两者仅模型形式不同，因此两种算法参数的估计精度相等。

(2) 如果将式(19)第一个条件方程改为第1点计算的截距等于第3点的截距，此时，条件方程简化为仅A为随机矩阵而B为固定矩阵的EIV附有参数的条件平差模型：B(y+v_y)+(A+V_A)x+w=0。

(3) 若不设任何参数，利用直线方程的两点式可列出直线拟合的EIV条件平差模型：(B+V_B)(y+v_y)+w=0。

(4) 如果某个观测点i视为无误差的已知点，可列出EIV附有限制条件的间接平差模型

从以上实例分析可以看到，对于某个具体EIV平差问题，可以根据需要选择适宜的平差模型形式求解。通用EIV模型涵括了EIV的4类基本平差模型形式，本文提出的WTLS算法是4种模型的统一解。