传感器技术的快速发展为获取空间测量数据提供了丰富的手段，也开辟了诸多地理信息应用新领域。为满足不同需求，需要将坐标成果在不同基准下相互转换，常用的基准转换模型有相似变换和仿射变换^[1]。

相似变换假定不同坐标轴对应不同的旋转参数，整个坐标系对应一个尺度参数，在传统大地基准转换中得到了广泛应用并取得了丰富成果，发展了相似坐标转换参数的抗差解^[2]、正则化解^[3]及大旋转角解法^[4]。在实际应用中，提出顾及平面与高程系统分离的过渡坐标系转换模型^[5]；为了补偿地壳形变等因素引起的点位系统误差，还提出了引入信号参数的相似基准变换模型^{[6, 7]}。近年来，随着GIS、计算机视角、地图学应用的不断扩展，仿射变换得到了极大关注。仿射变换是相似变换的推广，允许不同坐标轴有不同尺度参数和旋转参数。不论是相似变换还是仿射变换，其实质是利用公共点的两套坐标及非公共点的第1套坐标推估非公共点的第2套坐标，且通常只考虑公共点的一套坐标误差，忽略了充当系数阵的另一套坐标误差，以此构成线性模型^[8]。当观测误差服从正态分布时，采用最小二乘求解最优估值^[9]。

针对传统基准转换模型只考虑公共点一套坐标误差的缺点，发展了同时考虑公共点两套坐标误差的基准变换模型，并提出了整体最小二乘方法，在近十年来取得了丰富的研究成果^{[10, 11, 12, 13]}。在此基础上，文献^[8]提出了无缝基准转换模型，该模型将计算转换参数和转换非公共点联合处理，且考虑所有点位误差(即公共点的两套坐标误差以及非公共点误差)，实现严格意义上的无缝基准转换，在三维大地基准相似变换和GIS图形几何纠正的二维仿射变换中取得了良好的效果^{[8, 14]}。

在无缝基准转换过程中，两套基准下的坐标通常来自不同时期或采用不同测量手段得到。例如，传统的大地网采用全站仪通过边角测量得到，而现代控制网采用卫星定位技术得到，两套坐标误差的精度可能存在较大差异，在平差计算过程中很难正确确定两套坐标的先验方差，这将导致无缝基准转换时的两套坐标定权不合理，影响转换精度。本文基于无缝仿射基准变换模型，研究无缝基准转换的方差分量估计理论。对无缝基准转换对应的两套坐标误差的方差矩阵分别引入未知方差因子，导出了无缝基准转换的方差分量估计公式，在坐标转换计算的同时求出方差分量，实现两套坐标误差权比的合理匹配。

1 无缝仿射基准转换模型

仿射基准变换模型允许不同坐标轴采用不同尺度和旋转参数，是相似变换的推广。以二维仿射变换为例，对应的转换模型为^[1]

式中，(Δx、Δy)、(ω_x、ω_y)、(κ_x、κ_y)分别对应两个坐标轴的平移、旋转和尺度参数；[x_iy_i]^T为第i点的二维坐标，下标Ⅰ和Ⅱ表示两套坐标系。联合n个公共点的二维仿射变换多元模型为

式中，Ξ=为仿射变换参数矩阵；A=e_n为n维元素全为1的列向量；S=。求解转换参数的本质是拟合出两套坐标系公共点的确定性函数关系，其目的是推估非公共点的第2套坐标^[8]。假设有m个非公共点，采用式(3)推估它们的第2套坐标 式中，B=。由于两套坐标都通过测量平差得到，不可避免地受观测误差影响。对两套坐标引入误差向量

式中，假设相同坐标系的坐标误差相关，不同坐标系的坐标误差独立，且坐标误差服从零均值的正态分布，则式(4)中各项误差的随机模型为 式中，vec(·)代表矩阵向量化算子^[15]，即将矩阵按照列元素构成列向量。

2 基准转换联合模型的求解

首先对下文推导涉及的数学符号做说明：I_n表示n维单位阵，⊗表示Kronecker积算子，其运算准则参考文献^[15]，推导过程将多次利用Kronecker积和向量化算子的关系式vec(ABC)=(C^T⊗A)vec(B)。

将式(4)两边向量化，得

显然，无缝基准转换模型(6)是非线性模型，将其转化为线性模型并采用高斯-牛顿法迭代求解^[10]。设第j次迭代后的估值为ξ_(j)，则参数ξ表示为 式中，δξ_(j)为第j+1次迭代的参数改正数。将式(7)代入式(6)，得 尽管E_Aδξ_(j)和E_Bδξ_(j)是二阶小量，但若完全忽略二阶小量可能导致迭代发散或收敛错误^[16]。分别采用E_A和E_B的第j次迭代估值E_A(j)和E_B(j)代替E_A和E_B计算系数矩阵可避免该缺陷^{[10, 16]}。记A_(j)=A－E_A(j)，式(8)变为 令$\tilde s$=s－A^T⊗I₂ξ_(j)、e_{$\tilde s$}=e_S－We_R，其中，W=I_n⊗Ξ_(j)H。采用最小二乘准则e_{$\tilde s$}^TQ_{$\tilde s$$\tilde s$}^－1e_{$\tilde s$}=min计算转换参数，得 式中，Q_{$\tilde s$$\tilde s$}=Q_ss+WQ_rrW^T； R=I－A_(j)^T⊗I₂ (A_(j)I₂)Q_{$\tilde s$$\tilde s$}^－1(A^T_(j)⊗I₂)^－1(A_(j)⊗I₂)Q_{$\tilde s$$\tilde s$}^－1。采用极大验后估计或拟合推估理论^[17]计算e_r、e_p和e_s 最后，将式(10a)和式(11b)代入式(9)，得

需要说明的是，式(10a)用于估计转换参数，式(12)用于计算非公共点第2套坐标的预报值。由于“预报”与“估计”是相对独立的过程^[8]，因此，实际只需迭代计算参数ξ，迭代终止后，再按式(12)计算最终的推估值$\hat g$。

同时从估计转换参数的式(10a)可以看出，非公共点没有参与转换参数的计算，因此不能提高转换参数精度，但从计算非公共点第2套坐标的式(12)可以看出，由于顾及了公共点和非公共点之间的相关性，对非公共点的误差实现了有效改正，从而能提高非公共点的转换精度。

3 无缝基准变换的方差分量估计

方差分量估计的本质是利用观测值残差估计观测值的二阶中心矩统计量(即观测值方差)^[18]，已被成功地应用于整体最小二乘坐标转换模型^{[19, 20]}，并发展了高计算效率的方差分量估计方法^[21]。本节将推导无缝基准变换模型的方差分量估计公式。

对两套坐标误差方差矩阵分别引入待估的方差因子σ₁²和σ₂²，则

式中，U_ij为对应的已知协因数阵。下面推导无缝基准变换的方差分量估计公式。首先，推导于第1套坐标误差的二次型 式中，$\hat e$_p|r=$\hat e$_p－Q_prQ_rr^－1$\hat e$_r；Q_p|r=Q_pp－Q_prQ_rr^－1Q_rp。顾及式11(b)、式11(c)，则$\hat e$_p|r=$\hat e$_p－Q_prQ_rr^－1$\hat e$_r=0。因此，对式(14)取期望，并顾及式11(a)，得 式中，Q_ww=WQ_rrW^T，U_ww=WU_rrW^T。再顾及式11(c)，推导第2套坐标误差二次型的期望 另外，存在等式 将式(17)分别代入式(15)、式(16)得 去掉左边期望符号得到无缝基准转换模型的方差分量估计公式

4 算例分析 4.1 数据仿真

在一个长宽为100 km的正方形区域，沿x、y方向每隔10 km选取一个点，共121个点。以此得到的两维直角坐标作为第1套坐标。给定一组转换参数，(Δx=0，Δy=0)、(κ_x=1.000 1，κ_y=1.000 2)、(ω_x=10°，ω_y=11°)得到Ξ=用该转换参数转换所有点第1坐标得到第2套坐标。

给两套坐标模拟期望为零的正态分布随机误差。对于第1套坐标，假设x、y独立且精度都为1 cm，假设任意两点坐标相关，且相关系数为^[14]

式中，d_ij为点i、j之间的距离；d₀为常数，用于调节相关强度，本文取d₀=10 km，从而得到第1套坐标误差的协方差阵为 对于第2坐标，简单地假设x、y坐标误差独立且精度都为3 cm，且所有点之间相互独立，即 采用Matlab函数mvnrnd分别按照两套坐标的协方差矩阵生成随机误差，从而得到含有误差的两套坐标。

4.2 试验方案

为了分析方差分量估计在无缝基准变换中的应用效果，均匀地选取33个点作为公共点，其余88个点为非公共点。试验中，计算得到的非公共点的第2套坐标记为[$\hat x$_i,2$\hat y$_i,2]^T，与对应的已知坐标[x_i,2y_i,2]^T比较，统计坐标分量的转换精度

为了分析不合理的先验方差对无缝基准变换的影响，以及无缝基准变换方差分量估计的效果。共进行19次试验，每次试验给两套坐标不同的先验方差因子。分别取第1套坐标和第2套坐标的先验精度为σ_1,0=λ₁×1 cm，σ_2,0=λ₂×3 cm，图 1给出了这19次试验两套坐标误差的先验精度。

4.3 结果分析

图 2给出了采用方差分量估计得到的两套坐标的验后精度以及验前和验后两套坐标的权比。显然，无论先验精度是否合理，方差分量估计可恢复出正确的结果，即验后精度与实际精度一致。从参数估值角度而言，估计两个方差分量的本质是估计他们之间的比例关系，即两者的权比。图 2也给出了所有试验对应的先验权和经方差分量估计后的验后权。显然，当先验权不正确时，方差分量估计能确保得到正确的权比。

进一步分析有无方差分量估计的无缝基准转换的精度。在19次试验中，分别进行有无方差分量估计的无缝基准转换，并采用式(23)统计转换精度，结果如图 3所示。显然，采用方差分量估计的无缝基准转换能得到稳定的结果，转换精度不受两套坐标先验方差的影响。而无方差分量估计的无缝基准转换得到的转换精度受先验方差影响较大。当先验方差接近真值时，能得到合理的转换精度；当先验方差不合理时，得到的转换精度与实际转换精度不符，且略差与实际转换精度。

值得强调的是，方差分量估计的目的除了提高转换精度外，更重要的是提供合理、客观的精度评定。在实际应用中，通常通过对式(12)采用误差传播定律计算转换精度，该转换精度显然受到先验方差因子的影响。从19次试验中选取3次试验，设r_σ=λ₁/λ₂，这3次试验对应的r_σ值分别为0.01、1和100。当r_σ=1时，即取方差真值作为先验方差。图 4给出了取3种不同先验方差时计算的转换精度。当无方差分量估计时，转换精度与r_σ存在比例关系，当r_σ偏离真值1时，无论偏大还是偏小得到的结果都比r_σ=1差。而当采用方差分量估计时，用验后方差因子代替错误的验前方差计算的转换精度不随r_σ变化，这时3种先验方差取值得到的精度相等。

5 结 论

不同于传统基准转换模型，无缝基准转换模型将转换参数计算和非公共点转换联合处理，并严格考虑两套坐标误差的转换模型。针对两套坐标通常来自不同测量时期或采用不同测量手段，故而得到的精度差异较大。针对无缝基准转换过程中很难确定合理的先验精度这一棘手问题，本文以二维仿射无缝基准转换为例，研究无缝基准转换的方差分量估计理论，导出了无缝基准转换的方差分量估计公式，并通过试验验证了其有效性。其主要结论如下：①无缝基准转换模型将计算转换参数和变换非公共点坐标联合处理，且考虑所有坐标误差(即公共点的两套坐标误差及非公共点误差)，理论上是严密的无缝基准转换模型。②无缝基准变换的方差分量估计可恢复两套坐标正确的方差因子，从而避免先验方差不合理对转换精度的影响。③在实际应用中，通常采用误差传播定律计算转换精度，无缝基准转换的方差分量估计除了提高转换精度外，更重要的是避免了误差传播定律计算的转换精度受不合理先验方差的影响，从而提供合理、客观的精度评定。最后，尽管本文针对二维无缝仿射基准转换展开研究，研究思路和公式可类似地推广至三维无缝仿射变换和三维无缝相似变换。