随着网络技术的发展，地图服务需要满足不同层次用户个性化需求，在地图内容上提供任意尺度的表达，这需要连续地图综合技术的支持^[1]。基于图像融合中的morphing技术，其形状渐变特性符合空间数据多尺度表达与渐进式综合的技术需求，故成为实现连续地图综合技术的重要方法。morphing变换通常包含两个基本过程，即特征匹配和形状插值^[2]。目前，大多morphing算法都针对这两个基本过程研究，如文献^[3]基于优化技术实现的线状要素morphing变换方法，文献^{[4, 5, 6, 7]}基于BLG和层次弯曲结构实现的线状河流及道路要素的morphing变换方法，文献^[8]研究基于同构平面三角网格的多边形保凸morphing变形方法，文献^[9]提出的一种基于类正切空间的多边形渐变方法等，是针对特征匹配过程的研究；而文献^[10]提出的常用线性插值方法，文献^[11]提出的基于目标边界插值的morphing方法，文献^{[12, 13]}提出的顾及目标内部区域插值的morphing方法，文献^[14]提出的基于四元素插值的空间曲线边界约束变形方法等，是针对形状插值研究。就空间数据而言，这些方法往往从纯几何特征入手展开匹配和插值，没有顾及地理要素几何细节背后所隐含的地理特征，如居民地要素的类直角边界特征。而顾及要素的地理特征近年来成为连续地图综合技术的重要要求，如文献^[15]提出顾及研究对象所处的环境和背景进行地图综合选取，文献^[16]提出的面向多重空间的解决地图综合中移位冲突的移位场模型，文献^[17]提出顾及地理特征保持的溺谷海岸线化简算法，文献^[18]提出保持道路目标stroke特征的道路网自动综合方法，文献^[19]提出的考虑建筑物轮廓形态和面积保持的建筑物多边形化简方法。顾及要素的地理特征是应用morphing技术实现连续地图综合的重要挑战。

目前没有顾及居民地要素类直角化特征的morphing算法。在已发表的morphing算法中，或产生具有平滑边界特征的中间系列图形，不符合居民地要素空间表达和认知的基本规律；或不适用于居民地要素的连续渐变，如文献^[6]提出的基于弯曲结构的morphing算法因居民地不存在文中所述的典型弯曲而不适用，文献^[7]提出的更充分利用独立弯曲结构的morphing算法因居民地不存在文中所述层次弯曲而不适用。本文提出一种基于转向角函数的morphing方法，其基本思想是将同名要素在空间域的坐标串表达形式转换为转向角函数，通过特征点约束下的边的方位角匹配找出两个不同尺度下图形的转向角函数的变化规律，按此规律得到的任意中间尺度下的转向角函数，函数展开后可获得对应中间尺度下插值形状，且保持原多边形类直角化边界特征，从而实现居民地多边形的连续综合与多尺度表达。

对于不同尺度下的对应同名居民地实体，设大比例尺 T_a下的居民地要素为a，小比例尺T_b下的居民地要素为b，中间比例尺T _Mid 下的居民地要素为 Mid ，a较之b具有更详细的表达， Mid 表达的详略介于a、b之间，则 morphing 变换问题转换为对居民地要素a和b进行形状插值。设 morphing 变换模型表示为 Mid =f(a,b,g)，其中f是通过转向角函数建立的 morphing 形状表达函数，f(a,b)为在转向角表达形式下对a、b完成的特征匹配，g为一个决定 morphing 变换程度的参数，f(a,b,g)为通过以参数g为位移路径完成形状插值。对于任意0≤g≤1， Mid 关于g单调连续：当g=1时， Mid =a；当g=0时， Mid =b；当0＜g＜1时， Mid 为介于a与b之间的表达。在一定程度上，参数g可以表征内插图形与a、b的相似程度；g与比例尺有关，表示内插结果随比例尺的不同而变化，g与其对应的 Mid 所在比例尺T _Mid 的关系如下

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h使得g转换为T _Mid ， morphing 变换程度由T _Mid 决定。基于转向角函数的 morphing算法由3个步骤组成：①将同名实体图形转为转向角函数表达形式；②在转向角函数表达形式下完成对图形的特征匹配；③通过改变参数得到中间状态图形系列。

以转向角函数 θ=θ(t)表达矢量图形的原理如下：选取顶点总数为S的图形上某一定点P₀为起始点，以自起始点以逆时针方向沿图形周边到每个顶点P_i(i=1,2,…,S)的距离为自变量t，设图形相邻顶点P_i-1P_i间的边长为t_pi-1pi，则t表示为，定义域为[0，周长]。以各点沿边界的转向角的叠加值为θ因变量，逆时针转向为正，顺时针转向为负。在此，规定起始点的转向角为其所在边长的方位角，方位角的起算点为正东方向，逆时针方向为正。故θ表示为图形边长的方位角与2k π (k为整数)的和，邻边方位角之差仍表现为转向角，k值初始为0，在θ超出方位角取值上限2 π 后加1或低于取值下限后减1。综上，转向角函数表示为

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在图 1中，设a的各条边相等且皆为一个单位，以点I为起始点，沿逆时针方向遍历所有顶点，将图形a的转向角函数反映到直角坐标系中。转向角函数仅能表达类直角的特性限定了本文方法的适用尺度：仅适用于类直角边界特征的居民地要素，而不适用于居民地融合产生非直角形状的情况。鉴于居民地融合大多出现在尺度小于1∶25万的地图上，本文方法的适用尺度应大于1∶25万。

图 1 图形的转向角函数 Fig. 1 Steering angle function of polygon

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将同名实体图形转为转向角函数的表达形式后，对不同实体的不同转向角函数表达形式在频率域进行比较，以发现二者转向角函数间的共性与差异，得到二者转向角函数的变化规律，进而引入参数表征该变化规律，用于进行第3步的形状插值，这即是同名实体的转向角函数匹配。但不同实体往往具有不等的周长，故对应的转向角函数具有不同的定义域，导致无法进行对比。如图 2，设图形 a、b 各边长相等，分别为1和3，二者的定义域分别为[0,12]和[0,20]，故转向角函数无法在区间[12,20]内进行对比。为此，需要首先统一定义域，然后进行边特征匹配。以图形周长作归一化，将转向角函数定义域统一为[0,1]，转向角函数转换为

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图 2 图形转向角函数的直接匹配 Fig. 2 Direct matching of polygon based on steering angle function

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对于进行匹配的同名实体a、b，设两者的边分别为t_a、t_b，统一定义域后的转向角函数分别为θ=θ_a(t_a)、θ=θ_b(t_b)，则称满足以下条件的t_a为同边t_a同，即

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统一定义域后图 3内初始多边形a的边中，唯有[0,0.05]、[0.15，0.2]、[0.3,0.35]、[0.4,0.45]、[0.55,0.6]、[0.65,0.7]、[0.8,0.85]、[0.95,1]为同边，其余均是异边。a到b的变化，在转向角函数形式下表现为转向角不变，异边减短至0，同边增长了异边的长度。本文称此变化方式为同增异减。

实际应用中，不同尺度下的同名实体可能有不同的制图精度，同边之间的方位角不一定完全相等，故差值在一定范围内的即可划定为同边，否则为异边。同边的划定条件改为

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图 3 定义域统一后的转向角函数匹配 Fig. 3 Matching of steering angle function unified domain

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在统一定义域的基础上转向角函数匹配可能存在以下两个问题：①如图 4中，a的某些边不能满足同异边划定条件t_a⊆t_b，因而无法划定该边是同边还是异边；②从a到b的变化中，边t未发生改变，但在转向角函数匹配中被划定为异边。造成此问题的根本原因在于：图形转向角函数定义域的一致性与边长的差异性之间的矛盾。为此，仅仅统一定义域是不够的，在此基础上须进一步进行边匹配。

图 4 特殊图形的匹配偏离 Fig. 4 Matching deviation of particular polygon

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边匹配指对转向角函数表达形式下的同名实体的边进行匹配，将转向角函数定义域不一致的问题转为边数不等的问题。实体a较之b具有更详细的表达，因而具有更多的边数。设a的边集为{t_ai|i∈[0,S_a]}，其中S_a为a边的总数，设b的边集为{t_bj|j∈[0，S_b]}，其中S_b为b边的总数，边匹配即将a的边集根据分割条件划分为S_b个子集，设为：{t_ai|i∈S,S[0,S_a]}_j，将a的边子集{t_ai|i∈S,S[0,S_a]}_j与对应的b的边t_bj进行一对一匹配，再通过比较方位角划定a的边子集包含边的同异属性。即转为边集与边的匹配，以解决边数不等的问题。而在a到b的变化中，a中的某些边最终变化成b中的某条边，如图 3中t_a1、t_a2、t_a3、t_a4变为了T_b1，这与边集和边进行匹配的思想契合，因而须判断b中的每一条边由a中的哪些边变化而来，以此为依据对a的边集进行分割，本文称之为分割条件。

同名实体转向角函数边匹配的具体步骤如下：以b中的每一条边为基准，搜寻其由a中哪些边变化而来，以此获得分割条件；根据分割条件划定a的边集为S_b个子集，将每个子集与b的边依次进行匹配；以进行匹配的边的转向角是否相等为划分条件，进一步得到a所有边的同异属性。本文采用如下算法获得分割条件：以b的某顶点P_bi(i∈[0，S_b])为起始点，以距离阈值为半径，起始点为圆心，搜寻包含在圆内的a的顶点P_ak，将k值存入集合U，循环上述步骤，直至遍历b的所有顶点。最后得到元素个数为S_b的集合U，U即为分割条件。图 5中，设a的顶点集为{P_ai|i∈[0,S_a]}，边集为{t_pajp_aj+1|j∈[0,S_a]}，其中S_a为a的顶点总数也即边总数，设b的顶点集为{P_bi|i∈[0,S_b]}，边集为{t_pbjp_bj+1|j∈[0，S_b]}，其中S_b为b的顶点总数也即边总数。根据上述算法可得分割条件U={0,7,12,19}，可将a的边集划分为4个子集： {t_pa0pa1, t_pa1pa2, t_pa2pa3, t_pa3pa4, t_pa4pa5, t_pa5pa6, t_pa6pa7}、 {t_pa12pa13, t_pa13pa14, t_pa14pa15, t_pa15pa16, t_pa16pa17, t_pa17pa18, t_pa18pa19}、 {t_pa19pa20},将这4个子集分别与b的边： t_pb0pb1、t_pb1pb2、t_pb2pb3、t_pb3pb4进行匹配，可得t_pa0pa1、t_pa2pa3、t_pa4pa5、t_pa7pa8、t_pa9pa10、 t_pa11pa12、 t_pa12pa13、 t_pa14pa15、 t_pa16pa17、 t_pa18pa19、 t_pa19pa20为同边，t_pa1pa2、t_pa3pa4、t_pa5pa6、t_pa8pa9、 t_pa10pa11、 t_pa13pa14、 t_pa15pa16、 t_pa17pa18为异边。

图 5 边分割算法 Fig. 5 Algorithm of segmentation condition

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上文提出以同增异减表征同名图形a到b的变化，若能将同增异减抽象为参数的变化，即可通过改变参数的值得到任意中间状态图形。设a的同边为t_同i(i∈[0,同边总数])，同边增量为 Δ t_同i，异边为t_异i(i∈[0，异边总数])，异边减量为 Δ t_异i，则同增异减变换模型表示为 Mid =f(t_同i,t_异i， Δ t_同i， Δ t_异i)，其中f为转向角函数。此模型与 morphing 变换模型 Mid =f(a,b,g)等价，其中t_同i、t_异i由a、b通过转向角函数匹配得到。下面提出g与 Δ t_同i、 Δ t_异i的关系。

在a到b的同增异减变换模型中，异边表现为连续缩短直至消失，其缩减力度与参数g相关，故有

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如图 6所示，从a的某分割边集变化到 Mid 的某分割边集，t_同1和t_同2分别得到增量 Δ t_同1和 Δ t_同2，t_同1＞t_同2，故有 Δ t_同1＞ Δ t_同2。同样的，同增异减变换模型中，同边表现为连续增加直至与相邻同边相接， morphing 变换模型中，g表现为从1到0的连续变化，故修改式(11)为

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综上，同名多边形的同增异减变换模型，也即 morphing变换模型，也即Mid 的转向角函数构建为

Mid 的图形形状由a、b和g共同决定。

图 6 同边的增量 Fig. 6 Increment of uniform sides

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为了说明本文方法的可行性和有效性，基于 C++语言使用MFC构建试验平台，于深圳市1∶1万和1∶5万居民地地图中截取部分真实地图作为试验数据，该数据包含文献^[20]提出的建筑物模式数据库中的所有模式，且部分数据间具有常见的共边等拓扑关系。数据的始末状态(也即 g=1和g =0下的图形)如图 7所示，图中黑点表示试验选取的起始点。如1.2节所述，起始点的选择对转向角函数形式下的表达至关重要，图 7所示试验数据的起始点根据以下原则进行选择，可通过试验证明该选择原则是否可行：①须选取 a、b 间距离最近的点作为起始点，距离越近，出现误匹配的可能性越小，如图形 a—h 起始点的选择；②若存在多对距离最近的点，可在其中选取可决定图形位置的点作为起始点，如图形 a、b、c、d 起始点的选择；③若存在多对距离最近的点，可在其中选取顾及周围其他居民地的拓扑结构的点作为起始点，如图形 e、f、g、h、i、j 起始点的选择；④具备距离最近的基本条件，又能顾及图形位置和拓扑结构的点，是最优的起始点，如图形 i、j 起始点的选择。

图 7 试验数据的始末状态 Fig. 7 Beginning and end state of the experimental data

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分别令 g 等于0.9、0.8、0.7、0.6、0.5、0.4、0.3、0.2、0.1，借助试验平台绘制出如图 8所示的中间状态居民地渐变图系列。由图 8可知：①本文所述方法适用于所有建筑物模式，整个渐变过程均匀连续，保持了图形的重要特征，具有较好的效果。②上述的起始点选择原则是可行的，试验结果效果较好。本文算法中起始点的位置在整个morphing过程始终保持不变，且仅对边长进行插值，不改变转向角，因而也不存在旋转变化。如图形 a、b、c、d 在整个morphing过程中始终保持方形的布局；图形 e、f、g、h、i、j 在整个morphing过程中始终保持与邻接图形的共边、包含的拓扑关系；图形 k、l 尽管相隔较近，在整个morphing过程中并未出现相交或分离。③通过选择合适的起始点，本文算法可以较好地维护居民地间拓扑关系的一致性。

图 8 建筑物的morphing变换 Fig. 8 Morphing of building

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为验证模型的尺度相关性，以 area (a)表示初始状态下实体a的面积，以a∩b表示a与最终状态下实体b 的重合部分，则定义Mid与 a 的相似度a_degree为

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本文提出了一种利用转向角函数的面状居民地morphing方法，该方法将图形的矢量坐标串的表达形式转换为转向角函数表达形式，再利用转向角函数的特性，经过边匹配分析大小比例尺下的两组图形的共性边与差异边，得到了任意中间尺度的转向角函数，并构建同增异减模型以实现矢量多边形的morphing变化。本方法经试验验证适用于多种表达形式的居民地。不足之处在于：在比例尺跨度较大的情况下，居民地的综合不仅局限于边界化简，可能存在居民地合并，本研究只考虑一对一的居民地渐变，没有考虑居民地合并的情形，后继将进一步研究适用于一对多的居民地morphing算法。