1 引 言

精密单点定位(precise point positioning,PPP)^{[1, 2]}作为单站高精度绝对定位技术，在移动载体的精密定位^{[3, 4]}、GPS气象学^[5]、变形监测^[6]、海啸监测与预警等领域^[7]得到了广泛应用。然而，受未校准硬件延迟的影响^[8]，PPP模糊度失去了整数特性，在参数估计中采用实数解，PPP短时间的定位精度较低。近年来，随着非差模糊度固定技术的不断发展，精密单点定位模糊度固定可以提高短时间的定位精度，模糊度首次固定后便能获得厘米级定位精度^{[9, 10, 11]}。

PPP模糊度固定的关键在于：①未校准硬件延迟小数部分(FCBs)与模糊度的分离；②整周模糊度的搜索和固定。目前大多数文献主要探讨服务端FCBs与模糊度的分离方法，如FCBs估计法^{[8, 9, 10, 11]}、整数钟法^[12]、钟差去耦模型^[13]以及如何提高用户端的定位精度。文献^[14]指出，通过双差模糊度约束可以提高FCBs估计精度，从而提高用户端定位精度；文献^[15]指出顾及卫星轨道和钟差的FCBs估计可以提高用户端定位精度和模糊度成功率。但以上研究都是从服务端考虑，主要针对如何提高FCBs产品的解算精度，对影响用户端PPP模糊度固定成功率和可靠性的因素研究较少。文献^[16]研究了全球PPP模糊度正确固定率，指出1 h的观测能够保证可靠的模糊度固定，但对于如何提高用户端的固定成功率和可靠性并没有研究。因此研究适用于用户端PPP模糊度固定的策略，提高模糊度固定成功率和可靠性很有必要。

同时，正确固定所有模糊度能够获得最优的定位精度，然而在某些条件下(卫星刚升起、发生周跳等)，部分模糊度参数未收敛，正确固定所有模糊度较困难。未收敛的模糊度将会影响整体模糊度的固定，导致该历元模糊度未能通过检验，降低了模糊度固定成功率。

针对以上问题，本文首先探讨了基于非差FCBs改正的PPP模糊度固定方法；同时提出一种分步质量控制的PPP部分模糊度固定策略，该策略能够有效控制未收敛模糊度的影响，提高用户端PPP模糊度固定成功率。最后通过实测数据，对该方法的有效性进行了验证分析。

2 非差PPP模糊度固定原理 2.1 PPP观测方程

精密单点定位采用载波相位和码伪距消电离层组合观测量，对于任一测站的接收机r观测到某一卫星j，顾及观测量中的接收机端和卫星端的码硬件延迟和载波相位硬件延迟，此时载波和伪距消电离层组合观测方程可表示为

式中，Φ_IF,r^j、P_IF,r^j分别为消电离层组合载波和伪距观测量，以米为单位；下标IF表示消电离层组合，r为测站编号；上标j表示某颗卫星；ρ_r^j为信号发射时刻的站星几何距离；c为真空中光速；dt_r为接收机钟差；dt^j为卫星钟差；b_IFP,r、b_IFΦ,r和b^j_IFP、b^j_IFΦ分别为接收机端和卫星端消电离层组合伪距和载波相位硬件延迟偏差；d_trop,r为对流层天顶湿延迟(ZWD)；对流层干延迟通过模型进行改正；M_r^j为湿延迟映射函数；N_IF,r^j为消电离层组合模糊度；ε(Φ_IF,r^j)、ε(P_IF,r^j)分别为载波相位和伪距的观测噪声和其他未模型化误差；λ_IF为消电离层组合观测值波长。

通常PPP利用IGS提供的精密星历对轨道和卫星钟差(含有卫星端伪距硬件延迟)进行改正，接收机端硬件延迟被接收机钟差吸收，对方程进行线性化，此时方程变为

式中，μ_r^j为站星方向单位向量；Δr为3个坐标分量改正数向量。t_r=dt_r+b_IFP,r含有接收机端伪距硬件延迟影响的接收机钟差，λ_IFB_IF,r^j=c[(b_IFΦ,r-b_IFP,r)-(b^j_IFΦ-b_IFP^j)]+λ_IFN_IF,r^j为含有硬件延迟影响的实数模糊度。假设观测到m颗卫星，此时方程中的待估参数为X=，X向量中的参数分别为测站坐标，接收机钟差，天顶对流层延迟和模糊度，联立以上方程采用extended Kalman filter (EKF)进行参数估计。

在利用EKF进行参数估计的过程中，应先对观测值进行各项误差改正，如相对论效应改正、天线相位中心变化改正、潮汐改正、相位缠绕效应、DCB改正等，参数估计方法和误差改 正详见文献^{[1, 2]}。同时对观测量采用高度角定权，伪距和载波观测量的权比为1∶10 000。

2.2 非差模糊度固定

由于消电离层组合模糊度含有接收机和卫星端硬件延迟的影响，而PPP采用单站定位无法通过站间差分消除其影响，参数估计中将模糊度参数采用实数解。若进行PPP模糊度固定，通常将消电离层组合模糊度分为宽巷和窄巷模糊度分别进行固定，即

式中

式中，B_w,r^j、B_1,r^j为含有接收机和卫星端硬件延迟影响的宽巷和窄巷实数模糊度；N_w,r^j、N_1,r^j为宽巷和窄巷整周模糊度；b_w,r、b_n,r和b_w^j、b_jⁿ分别为接收机端和卫星端宽巷和窄巷硬件延迟；f_i表示载波频率；λ_w和λ_n为宽巷和窄巷波长。从式(4)可以看出非差模糊度固定的关键在于硬件延迟与模糊度参数的分离。

然而硬件延迟与模糊度参数存在相关性，很难直接和模糊度参数分离。由于硬件延迟短时间内比较稳定，可将其分为常整周部分和随时间变化的小数部分，硬件延迟的整周部分不会破坏模糊度的整数特性，可与模糊度参数合并，此时式(4)改为

式中，分别为含有宽巷和窄巷硬件延迟整周影响的整周模糊度；F_w,r、F_n,r、F_w^j、F_jⁿ分别为接收机端和卫星端宽巷和窄巷FCBs。此时服务端通过地面参考站观测数据计算相应的宽巷和窄巷实时模糊度及其协方差，以非差模糊度作为虚拟观测量，组成模糊度观测方程，采用最小二乘(事后)或序贯最小二乘(实时)进行方程的解算，求得卫星端FCBs，发送给用户端进行改正，便能恢复模糊度整数特性。值得注意的是，由于接收机和卫星端FCBs存在线性相关，因此式(5)组成的法方程是秩亏的。为了方程能够解算，可以选择某一接收机或卫星的FCBs=0作为约束，然后进行FCBs估计。

在服务端FCBs解算中，卫星端宽巷FCBs单天内很稳定，变化小于0.1周^{[8, 11]}，卫星端宽巷FCBs估值精度较高，通常可以单天估计一组；然而对于窄巷FCBs的估计，由于窄巷波长(11.6 cm)较短，窄巷模糊度受其他未模型化误差影响较大，因此窄巷FCBs单天内变化较大，但短时间内比较稳定，通常每10~15 min估计一组。研究表明，窄巷FCBs的精度优于0.1周，可以保证可靠的模糊度固定^{[8, 9]}。FCBs的分离采用文献^[11]提出的方法，这里只给出用户端PPP模糊度的固定方法。

首先进行宽巷模糊度固定，由于宽巷模糊度波长达0.86 m，宽巷模糊度较易固定。宽巷模糊度可以通过MW组合观测值计算得到^{[17, 18]}，由于MW组合观测噪声较大，需要对宽巷模糊度进行平滑处理，即

式中，〈·〉表示多历元求均值，经过卫星端宽巷FCBs改正后，所有宽巷模糊度具有一致的小数部分，求平均获得接收机端宽巷FCBs。改正接收机端FCBs后，就近取整固定宽巷模糊度。同时为了保证固定的宽巷模糊度准确性，采用式(7)来计算其取整成功率^[19]，阈值设为0.999，即

式中，B为实数模糊度；σ为模糊度中误差；n为其就近整数。当宽巷模糊度固定成功后，将其代入消电离层组合模糊度中可以求得窄巷模糊度。改正卫星端窄巷FCBs后，所有窄巷模糊度具有一致的小数部分，对其求平均可以获得接收机端FCBs，改正接收机端FCBs并采用LAMBDA方法^[20]进行窄巷模糊度固定，ratio检验阈值设为3.0，即

若窄巷模糊度也固定成功则可以反求出固定的消电离层组合模糊度，将其代入消电离层观测方程中，并进行约束，进而获得精密单点定位模糊度固定解，即

从式(9)可以看出，窄巷FCBs的精度直接影响固定的消电离层组合模糊度，进而影响最终的定位结果，因此服务端提供的窄巷FCBs的精度对用户端的最终定位精度至关重要。

2.3 PPP部分模糊度固定

GNSS高精度定位中，模糊度参数的正确解算是关键。然而在某些条件下，正确固定所有模糊度(模糊度全集)是困难的，如卫星刚升起时受多路径和噪声影响较大，某颗卫星发生周跳，模糊度需重新初始化。这些条件下，模糊度需要一定时间才能收敛，未收敛的模糊度将会影响其他模糊度的固定，使得该历元模糊度全集未能通过检验，只能获得实数解。若从模糊度全集中依据一定的准则选出质量较好的部分模糊度子集进行固定，反而能够提高模糊度的固定成功率。

鉴于此，本文提出一种分步质量控制的部分模糊度固定策略，分别在宽巷和窄巷模糊度固定过程中依据不同准则进行质量控制。对于宽巷模糊度的质量控制准则为：

(1) 模糊度对应卫星的高度角应大于15°(可减小低高度角卫星受多路径和噪声影响，阈值可根据观测环境调整)。

(2) 经过FCBs改正的实数宽巷模糊度与其最近整数之差小于0.25周(能够剔除明显的粗差影响)。

(3) FCBs改正后的实数宽巷模糊度就近取整成功率大于0.999(保证固定宽巷模糊度的可靠性)。

若宽巷模糊度满足上述条件，则进行固定，否则该模糊度采用实数解。若模糊度子集维数小于4，则该历元所有模糊度采用实数解。依据得到的宽巷模糊度子集和消电离层模糊度可以求得窄巷模糊度子集。对窄巷模糊度采用如下策略进行质量控制：

(1) 对选出窄巷模糊度集，依据协方差大小进行升序排列，将协方差最大的模糊度放在最后，排序后的模糊度集及协方差为

(2) 采用LAMBDA方法进行模糊度搜索和固定，并对固定的模糊度进行ratio检验，阈值设为3.0。若通过检验则可得到模糊度固定解。若模糊度不能通过检验，则进行步骤(3)，对模糊度集进行降维处理。

(3) 对上述模糊度集去除协方差最大的最后一个模糊度，并对剩余的模糊度子集进行固定，重复步骤(2)，直到模糊度子集通过ratio检验或模糊度子集维数小于4则终止，若模糊度子集维数小于4，则该历元所有模糊度采用实数解。

传统部分模糊度固定算法大部分是在LAMBDA算法中执行，对模糊度子集进行降相关并搜索固定^[21]。本文提出的部分模糊度固定方法，不用对LAMBDA方法进行更改，只对实数模糊度和协方差进行调整，简单易行。

3 算例分析

采用2008年，DOY为148 d的全球IGS跟踪站数据和欧洲CORS站数据进行试验，数据采样间隔设为30 s，卫星截止高度角设为10°。精密星历为IGS精密轨道和30 s精密钟差文件。服务端采用120个IGS全球跟踪站数据，用于生成GPS卫星宽巷和窄巷FCBs产品。同时选取10个欧洲CORS站数据作为用户端进行PPP模糊度固定，测站分布如图 1所示。测站的准确坐标为PPP单天解。

3.1 静态PPP部分模糊度固定效果分析

对10个用户站进行PPP静态解算，并采用2.3节提出的分步质量控制的部分模糊度固定策略进行PPP模糊度固定。同时统计各个测站的模糊度固定率和历元固定率。其中，模糊度固定率为固定成功的模糊度与所有模糊度之比，历元固定率为固定成功的历元与所有历元之比。

图 2给出了解算1 h数据的PPP实数解和固定解三维定位偏差，测站的准确坐标以单天解作为真值。分析图 2可以得出，模糊度固定解的定位精度明显优于实数解的定位精度。所有测站的三维偏差小于5 cm，而实数解在厘米和亚分米量级。相比实数解三维定位偏差平均减小67.1%。模糊度固定能够显著提高小时解定位精度，获得与单天解精度相当的定位结果。

表 1对比了解算1 h数据，所有测站N、E、U方向PPP实数解和固定解的定位偏差(为便于统计，均取绝对值)。从表 1可以得出，相比于模糊度实数解，PPP模糊度固定能够提高小时解的定位精度，所有测站定位精度均有不同程度提高。测站N、E、U平均定位偏差从3.49 cm、5.66 cm、3.88 cm分别减少到0.51 cm、0.61 cm、2.41 cm。相比实数解，N、E、U定位精度分别提高85.3%、89.2%、37.9%，其中E方向提高最为明显，高程方向提高最小。同时，由于MOPS站PPP实数解收敛较慢，导致该站的定位偏差较大(特别是E方向)，但模糊度固定后，定位精度明显提高，水平分量优于1 cm。

分析上述的试验结果可知，PPP模糊度固定后使得载波相位观测量成为高精度的伪距，同时能够减少方程中的待估参数，增加方程的强度，从而加快位置参数与其他参数的分离。因此相比PPP实数解，PPP模糊度固定能够提高短时间的定位精度。

表 2统计了所有测站采用部分模糊度固定策略之前的模糊度固定率(简称AR固定率)和之后的模糊度固定率(简称PAR固定率)，及相应的历元固定率。分析表 2的数据可以发现，采用部分模糊度固定策略后，模糊度固定成功率和历元固定成功率均有不同程度提高。其中，所有测站平均模糊度固定率从67.6%提高到86.9%；所有测站平均历元固定率从68.8%提高到97.9%，历元固定率提高最明显。同时，BRST和DARE站数据质量较差，存在数据中断使得模糊度需重新初始化，因此其统计结果稍差。

PPP解算中对刚出现卫星的模糊度参数以及发生周跳后重置的模糊度都需要一定的时间才能收敛，未收敛的模糊度无法准确固定同时会影响其他模糊度的固定，导致该历元模糊度全集未能通过检验，只能获得实数解。采用分步质量控制的部分模糊度固定策略能够有效控制未收敛模糊度影响，使得剩余的模糊度能够通过检验，从而提高模糊度的固定率和历元固定率。

3.2 仿动态PPP部分模糊度固定效果分析

为了进一步验证本文提出的分步质量控制的部分模糊度固定策略，对10个测站的原始观测数据进行静态仿动态PPP解算，并采用分步质量控制的部分模糊度固定策略进行PPP模糊度固定，ratio阈值设为3.0，仿动态定位时将测站坐标当成白噪声进行估计，白噪声方差为10 000 m²，测站的准确坐标为静态PPP单天解。同时统计各个测站的模糊度固定率和历元固定率。

图 3给出了HOLN站PPP定位N、E、U方向的偏差和ratio值时间序列，图 3(a)为没有进行质量控制的结果，图 3(b)为采用分步质量控制的部分模糊度固定策略的定位结果，其中绿色的点表示模糊度固定解，黄色点表示实数解。

从图 3(a)可以看出，若进行全部模糊度固定，一天内有较多历元无法通过模糊度检验，只能获得实数解(图 3中黄色部分)，该站的模糊度固定率为74.7%，历元固定率为75.6%。分析图 3(b)的结果，采用部分模糊度固定策略后，除了初始化阶段模糊度不能成功固定，之后几乎所有历元均能成功固定。采用部分模糊度固定时，该站的模糊度固定率为90.6%，历元固定率为99.0%。同时，定位结果N、E、U方向的RMS从2.6 cm、1.5 cm、7.0 cm分别减少到1.0 cm、0.6 cm、3.3 cm。可见，采用本文提出的分步质量控制的部分模糊度固定策略能够获得较高的模糊度固定成功率且定位结果有一定提高。

表 3统计了仿动态条件下，采用分步质量控制的部分模糊度固定策略前后的定位结果N、E、U方向的RMS。从表中可以得出，采用本文提出的模糊度固定策略，所有测站定位精度均有不同程度提高。测站N、E、U平均定位偏差的RMS从3.09 cm、3.68 cm、7.41 cm分别减少到1.50 cm、1.73 cm、3.79 cm。相比质量控制之前，N、E、U定位精度分别提高51.4%、53.0%、48.9%。

表 4统计了仿动态条件下，所有测站采用部分模糊度固定策略前后的模糊度固定率及历元固定率。从表 4可以得出，仿动态PPP部分模糊度固定效果与静态PPP类似，采用部分模糊度固定策略后，模糊度固定成功率和历元固定成功率均有不同程度提高。其中，所有测站平均模糊度固定率从61.1%提高到84.8%；所有测站平均历元固定率从62.3%提高到96.7%。进一步验证了在仿动态条件下，采用分步质量控制的部分模糊度固定策略能够有效提高用户端模糊度固定成功率。

3.3 模糊度残差分析

在服务端提供高精度的FCBs条件下，对于用户端收敛后的宽巷和窄巷模糊度经过FCBs改正之后理论上应该接近整数值。然而由于观测噪声和其他未模型化误差影响以及周跳的发生，模糊度需重新初始化，仍需一定时间才能收敛，未收敛的模糊度经过FCBs改正后，与整数值的偏差较大。若对未收敛的模糊度进行固定，将会对其他模糊度固定造成影响。而采用部分模糊度固定策略，对未收敛的模糊度进行质量控制，有望获得更高的模糊度成功率。

为进一步证实本文所提方法的有效性，将经过FCBs改正的实数模糊度与其最近整数作差，对模糊度小数部分进行统计分析。图 4和图 5给出了采用部分模糊度固定策略之前和之后的宽巷模糊度小数部分时间序列和频率分布。

对比图 4(a)和图 4(b)，未进行质量控制之前(图 4(a))，宽巷模糊度小数部分受未收敛模糊度影响较大，存在部分较大的残差，若对这些模糊度进行固定，将会导致该历元所有模糊度未能通过检验，降低模糊度固定成功率。图 4(b)采用部分模糊度固定策略对宽巷实数模糊度进行质量控制，能够有效避免未收敛的宽巷模糊度的影响，质量控制之后的宽巷模糊度小数部分绝大部分在0.2周之内，剔除未收敛模糊度影响后，可提高模糊度固定成功率。

从图 5的频率分布图可以看出，未进行质量控制之前(图 5(a))，宽巷模糊度小数部分92.9%落在-0.15~0.15；图 5(b)对模糊度进行质量控制之后，96.4%的宽巷模糊度小数部分落在-0.15~0.15。

图 6和图 7给出了采用部分模糊度固定策略之前和之后的窄巷模糊度小数部分时间序列和频率分布。从图 6(a)可以看出，虽然已对宽巷模糊度进行质量控制剔除了大量未收敛模糊度的影响，但由于窄巷模糊度的波长较短，对误差的影响较敏感，窄巷模糊度小数部分同样受到未收敛模糊度的影响，存在部分较大的残差。图 6(b)采用部分模糊度固定策略对窄巷模糊度进行质量控制后，窄巷模糊度小数部分绝大部分在0.2周之内，通过分步的质量控制能够有效剔除未收敛模糊度影响。

从图 7的频率分布图可以看出，未进行质量控制之前(图 7(a))，窄巷模糊度小数部分92.2%落在-0.15~0.15；对模糊度进行质量控制之后(图 7(b))，94.5%的宽巷模糊度小数部分落在-0.15~0.15。以上分析表明，在服务端提供高精度的FCBs条件下，对于未收敛的宽巷和窄巷模糊度采用分步质量控制后，能够有效对实数模糊度进行质量控制，剔除未收敛模糊度(采用实数解)，避免未收敛模糊度对其他模糊度固定的影响。

4 结 论

通过10站欧洲CORS数据对本文方法进行验证，结果表明：

(1) PPP部分模糊度固定可以提高小时解静态PPP定位精度。相比模糊度实数解，N、E、U方向的定位精度分别提高85.3%、89.2%、37.9%。在仿动态条件下，对比采用部分模糊度固定策略前后，N、E、U定位精度分别提高51.4%、53.0%、48.9%。

(2) 采用部分模糊度固定策略，能够有效控制宽巷和窄巷未收敛模糊度影响，提高用户端PPP模糊度固定成功率和历元成功率。在静态和仿动态条件下，对比采用该策略前后，模糊度固定成功率分别提高19.3%和23.7%，同时所有测站平均历元固定率大于95%。

综上，采用分步质量控制的PPP部分模糊度固定策略能够保证定位的精度和模糊度固定成功率。