2. 西安测绘研究所，陕西 西安 710054
2. Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping, Xi’an 710054, China
关于脉冲星导航的构想最早产生于1974年[1]。天文观测卫星发射以后，文献[2]提出了用X射线脉冲星为近地卫星乃至星际飞行器导航的构想；文献[3]用HEAO-A1卫星实测数据对X射线脉冲星定姿方法进行验证；斯坦福大学线性加速器中心和美国海军实验室开展了USA试验，主要目的是验证脉冲星导航的可行性[4]。目前，世界主要大国都开展了相关的研究计划。美国DARPA于2005年提出了XNAV计划[5]，最终目的是实现10 m(3σ)的定位精度；2004年，欧空局完成了脉冲星导航可行性研究[6]；2009年，俄罗斯披露了其在该领域的一些研究进展，2012年3月30日，德国马克斯-普朗克研究院报道了其在脉冲星导航方面的研究进展。
导航观测方程是研究脉冲星导航的理论基础。文献[7, 8]推导了1PN度规形式下的脉冲星计时观测方程；文献[14]推导脉冲星天文定时观测中的高阶相对论效应；文献[10]给出了1PN度规形式下的脉冲星导航观测方程；文献[15]研究了X射线脉冲星导航的测量方程和相对论修正公式。随着脉冲星观测精度的提高，观测方程的精度也要相应提高。在1PN度规形式下，脉冲星导航观测方程的理论精度约为10-9s[14, 16]，为满足更高精度的观测需求，就要考虑观测方程的高阶相对论效应。在2PN导航观测方程的研究方面，文献[15] 中仅考虑了太阳和地球的自转，没有考虑四极矩，文献[11, 17] 没有考虑时空交叉项的影响。
2 2PN导航观测方程的推导由于时空特性由度规确定，因此脉冲星导航观测方程的推导需以确定的度规形式为前提。观测方程推导的基本思路为：首先确定太阳系各个天体的度规2PN形式，然后将局部参考系下度规势转换到整体参考系下，再利用测地线方程推导光子的光行时，进而得到2PN导航观测方程。
2.1 度规势及其转换在广义相对论理论中，考虑太阳的自转与四极矩，并假定太阳的自转轴与对称轴重合，太阳的2 PN度规为[9, 14]
式中，r为场点到太阳质心的距离；c为真空光速；G为引力常数；MS为太阳质量；C2S为太阳无量纲四极矩；RS为太阳半径；JSj为太阳的角动量在j方向的分量；θS为场点位矢与太阳对称轴之间的夹角；ξijk为Levi-Civita记号。
由于太阳系各行星与太阳较为相似，同样可以写出顾及行星自转和四极矩的2PN度规。但这个度规局限于各个天体局部坐标系，在讨论整个太阳系的度规形式时，需要将各个天体的局部度规和时空坐标转换到整体坐标系下。DSX体系下，局部度规势与整体度规势之间的转换关系为[18]
式中,wμA和wμA分别表示物体A在整体坐标系中的自有度规势和外来度规势；Wα+A和WαA分别表示物体A在局部坐标系中的自有度规势和外来度规势；AμαA为变换矩阵；BμA为1阶协变张量。由式(4)可知，若局部参考系中物体A的自有度规势Wα+A已知，则可得到A在整体坐标系中的自有度规势wμA；对整体参考系中除A外的所有自有度规势求和，可得到整体坐标系中物体A的外来度规势wμA，两者之和即为A在整体坐标系中度规势。 2.2 脉冲信号的TOA方程
由于太阳系各行星与太阳较为相似，因此在局部坐标系下，太阳系行星的度规形式与式(1)—式(3)相似，在讨论整个太阳系的度规形式时，需要将各个天体的局部度规和时空坐标转换到整体坐标系下。由于度规势转换对脉冲TOA的影响微小，在此可将整个太阳系的2 PN度规可写为
式中，BSS为太阳系天体总数；Mp为太阳系中第p个天体的质量；x为场点相对于太阳质心的位矢；xP为第p个天体的质心相对于太阳质心的位矢；C2p为第p个天体的四极矩常数；Jpj为第p个天体的角动量在j方向的分量。
X射线脉冲星的轮廓由若干光子的TOA按照一定的时间间隔折叠得到，每个光子在空间沿自己的世界线传播。根据相对论理论，电磁信号在时空中传播的世界线为零测地线，满足以下表达式[19]
脉冲星距离地球十分遥远，其信号传播路径上所有物质(包括天体和介质等)的位置、速度、质量等参数很难精确确定，因此理论上很难精确确定脉冲星信号从脉冲星到地球的传播路径。但太阳系以外的天体对信号传播的相对论效应在几十年的时间段内可视为常数[7, 8]，因此仅需考虑太阳系内天体对信号传播的相对论效应。另外，太阳系天体时刻都处于运动状态，而脉冲星信号在太阳系内以光速传播，掠过太阳系需要一定时间，而在讨论相对论问题时，需要用到某一时刻的太阳系天体位置，考虑到太阳系天体的公转周期相对较长，信号传播时间很短，在短时间段内太阳系天体的位置变化很小，不会影响相对论效应的估计，因此可假定太阳系天体位置的时标为信号到达观测者的时刻。
为推导信号传播的TOA方程，现建立如图 1所示的坐标系，以太阳质心、脉冲星和飞行器3点所确定的平面为xy平面，并且取x轴平行于信号传播方向，y、z坐标轴按右手定则确定。其中d为太阳质心至信号传播路径的距离，di为太阳系内天体Mi至信号传播路径的距离，一般不在xy平面内。
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| 图 1 信号由脉冲星到达飞行器的示意图 Fig. 1 The path of signals from pulsar to the spacecraft |
由x轴平行于信号传播方向可得如下表达式
近似取v=c,0,0，将式(9)中代入式(8)，可得 考虑到式(5)—式(7)，式(10)可进一步写为 式(11)准确到O(4)后，可改写为 又有信号传播路径满足类光测地线方程[7] 式中，GM为天体的度规势。根据初始条件dy/dx=0、x=Dx、y=d，可解得信号传播的空间轨迹的一阶摄动解为 式中，D为矢量D的模，对式(12)两边关于x求导数，得到 将式(15)代入式(12)中，可得 由于xy平面与太阳的自转轨道面一般不重合，因此有 因为信号传播路径近似平行于x轴，其差异对到达时间的影响为O(5)，在此可忽略，因此有y=d、z=0，故式(17)可进一步改写为 式中的dp为常数，代表第p个天体到信号传播路径的距离。将式(18)代入式(16)后可得 T为信号发射时刻，t为接收时刻。式(19)的积分结果为 式中
式(20)即为信号由脉冲星到飞行器的观测方程，该式考虑了太阳及行星的自转和四极矩以及太阳系天体的引力弯曲。以上两式中各物理量的意义：c为真空光速；GMi为第i个天体在整体坐标系中的度规势；Di和pi分别为脉冲星和飞行器相对于第i个太阳系天体的位矢；
SC为飞行器到脉冲星方向的单位矢量；di分别为第i个天体到信号传播路径的垂距；Ji为第i个天体的自转角动量；C2i为第i个天体的四极矩参数；Ri为第i个天体的半径。式(20)中第1项为光线的几何时延；式(21)中第1项为太阳系内天体的质量、四极矩和自转引起的引力时延；第2项为太阳系天体对光线的引力弯曲。
在飞行器处的TOA与SSB处的真空TOA之间求差，并将引力时延中的常数部分并入真空总光行时中，即得到脉冲星导航的2 PN观测方程。为分析2 PN导航方程中几何时延项的物理意义，可将其几何时延部分按照泰勒级数展开，得到精确到O(r2/D2)的结果为
式中，dSSB为SSB处的真空到达时间；tSC为飞行器处的实际到达时间；D为脉冲星相对于太阳质心的位矢；
=D/D为脉冲星方向的单位矢量，D0和V分别为脉冲星的初始位置和自行；b为太阳系质心相对于太阳质心的位置；r为飞行器相对于太阳系质心的位置。下面将基于以上推导结果，仿真分析导航观测方程中的2PN相对论效应。
3 2PN相对论效应的数值分析
3.1 数值条件为分析脉冲星导航中的相对论效应，给定以下计算条件：①模拟绕地飞行器的轨道根数见表 1；②3颗脉冲星的参数信息见表 2；③太阳系内各个天体的位置由JPL DE405历表给出。
| 轨道根数 | a/km | e | i/(°) | Ω/(°) | ω/(°) | τ/d |
| 参数值 | 26 000 | 0.000 1 | 55.0 | 60.0 | 30.0 | 55 197.0MJD |
| 脉冲星 | 距离/kpc | 赤经/(hh∶mm∶ss) | 赤纬/(dd∶mm∶ss) | 赤经自行/(mas/yr) | 赤纬自行/(mas/yr) | 位置历元/(MJD) |
| B1937+21 | 3.6 | 19∶39∶38.560 008 4 | 21∶34∶59.135 48 | -0.128 | 0.486 | 52 328.0 |
| B1821-24 | 5.5 | 18∶24∶32.008 33 | -24∶52∶10.74 | 5 | -2 | 48 713.0 |
| B0531+21 | 2.0 | 05∶34∶31.973 | 22∶00∶52.06 | -17 | 7 | 48 743.0 |
| 注：距离单位kpc为千秒差距(1 kpc=3260光年=3.08×1019m);MJD表示约化儒略日。 | ||||||
在二体力学模型下，根据表 1中6个轨道根数可以仿真计算出飞行器在任一时刻的位置和速度。表 2中3颗脉冲星的参数可参见文献[12, 13],由地面射电观测获得。
需要指出的是，这里之所以采用数值仿真是由于相对论问题通常要在较大尺度的时空范围内考虑，且2PN相对论效应量级较小，飞行器的位置误差不会影响相对论效应的评估，同时采用数值仿真更有利于分析2PN相对论效应的长期变化情况。
3.2 计算结果3.2.1 太阳系天体的四极矩和角动量导致的时间延迟
图 2为自2012年1月1日起，观测脉冲星B0531+21 2000 d，太阳、地球、月球以及木星的四极矩和角动量导致的时间延迟。由图可见，太阳和地球的自转和四极矩和角动量导致的时间延迟在量级上相当，且呈现周期性变化。
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| 图 2 不同太阳系天体的四极矩和角动量所导致的时间延迟 Fig. 2 Time delay due to angular momentum and quadruple moment of different celestial bodies in solar system |
图 3为观测不同脉冲星时，太阳系内天体的自转和四极矩所导致的时间延迟。由图可见，观测不同脉冲星，太阳系天体的四极矩和角动量所导致的时间延迟在量级上相当。
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| 图 3 观测不同脉冲星时太阳系天体的四极矩和角动量所导致的时间延迟 Fig. 3 Time delay due to angular momentum and quadruple moment of celestial bodies in solar system for different pulsars |
综合以上两图可知在基于脉冲星观测的近地飞行器自主导航中，太阳系天体的四极矩和角动量所导致的时间延迟在10-13 s量级，不同脉冲星的时间延迟量级基本一致，且存在周期性变化。
3.2.2 太阳系天体引力弯曲导致的时间延迟图 4为自2010年1月1日起，观测3颗脉冲星1000 d，太阳引力弯曲导致的时间延迟。
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| 图 4 太阳引力弯曲 Fig. 4 Time delay of the path bending due to the Sun |
由图 4可见，在1000 d的仿真时间内，太阳引力弯曲导致的时间延迟不足1 ns。
图 5为自2010年1月1日始，观测脉冲星B0531+21 10 000 d，太阳系行星引力弯曲导致的时间延迟。
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| 图 5 行星引力弯曲 Fig. 5 Time delay of the path bending due to planets in solar system |
由图可见对于近地飞行器，木星的引力弯曲最大，量级为10-18 s。由于影响微小，因此所有行星的引力时延可忽略。
4 结 论观测方程是脉冲星导航理论研究的重要部分。论文介绍了脉冲星导航的研究进展，顾及天体的四极矩和角动量，推导相对论框架下脉冲星导航的2PN观测方程，对导航观测方程中的2PN相对论效应进行数值分析。结果表明：在脉冲星导航中，太阳系行星对信号的引力弯曲以木星为最大，量级仅10-18 s；太阳对信号传播的引力弯曲在1 ns以内，太阳系行星的四极矩和角动量导致的时间延迟在10-13 s量级。综合以上因素，脉冲星导航中，2PN相对论效应的影响不足1 ns。
目前，已有观测方程中考虑了部分高阶相对论效应，如Tempo2脉冲星计时软件中就考虑了太阳引力时延影响[20]。由于空间观测水平的限制，当前脉冲星导航观测方程中还未考虑2PN相对论效应，但随着观测水平的提高，2PN相对论效应将会成为高精度观测方程的组成部分。此外，从理论研究角度看，脉冲星导航中的2PN相对论效应也是从实践上验证广义相对论理论的又一途径。
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