1 引 言

GPS卫星钟差是GPS导航系统的主要误差源之一^[1]，在大地测量学以及GPS应用中有着非常重要的意义。目前，广播星历的轨道和钟差性能已经达到了均方根误差为1 m和5 ns的精度^[2]。自2007年以来，超快速星历(IGU)的轨道产品精度得到了显著提高，达到了5 cm和3 ns的精度^[3]，但是其钟产品仅仅达到广播星历水平^[4]，依然没有较好的预报性能，原因之一就是空间中的卫星钟很容易受到各种因素的影响^[4]，例如温度、电离层、磁场等环境因素，这些影响导致卫星钟存在复杂的现象。

为了提高GPS卫星钟差的预报精度，许多学者作了一系列的研究，例如线性模型、二次多项式模型^{[5, 6, 7]}、灰色模型^{[8, 9]}、卡尔曼滤波模型^[10]、随机模型^[11]等，但这些模型均仅适合GPS卫星钟在平稳的情况下，而GPS卫星钟的性能却是非平稳的^[4]。另外，文献^[12]通过利用SLR和伪距资料对GPS卫星钟差进行预报，取得了优于3 ns的精度，文献^[13]利用开窗分类因子抗差自适应序贯平差方法控制了钟差粗差的影响，其拟合精度和预报精度与没有进行抗差处理的自适应序贯平差相比，分别提高了78.9%和60.4%。神经网络由于其在非线性系统建模与优化求解方面的优势，被广泛应用于预测控制中，形成了各种各样的神经网络预测控制算法^[14]，其中，径向基函数神经网络由于具有良好的逼近非线性模型的性能和有能力得到非常稳定的结果而得到了广泛应用^[15]，这些优点也同样使得径向基函数网络对GPS卫星钟差预报方面具有较大的应用价值，文献^[16]首次利用径向基函数(radial basis function,RBF)神经网络对GPS卫星钟差建模预报进行了初步尝试，取得了比灰色模型更好的预报结果。本文利用重新设计的径向基函数神经网络结构对一系列的GPS卫星钟进行了连续5 min、连续1 h和连续1 d的高精度的预报，得出了一些有益的结论。

径向基函数神经网络(简称径向基网络)是一种性能良好的前馈型人工神经网络，具有较高的运算速度和较强的非线性映射能力，能以任意精度逼近一个非线性函数，因此在许多领域得到了广泛应用^{[17, 18, 19, 20, 21, 22, 23]}。径向基网络由输入层、隐含层和输出层3层构成，如图 1所示。

图 1 径向基函数神经网络结构 Fig. 1 The RBF network structure

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在RBF网络中，隐含层神经元采用径向基函数作为激励函数，通常采用高斯函数作为径向基函数。径向基网络传递函数的原型函数为

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式中，n为自变量。该传递函数为输入层和隐含层之间的距离的映射函数，因此该变换是非线性的。

隐含层第j个神经元输出为

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式中，X为输入向量；u_j为隐含层第j个神经元的中心矢量；σ为径向基函数的分布密度(SPREAD)，一般根据经验值确定。

由于隐含层与输出层间的激励函数为纯线性函数，因此输出层第k个节点输出为

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式中，n_k为输出层第k节点；y_j为隐含层第j个神经元的值；w_kj为隐含层第j个神经元与输出层第k个神经元相连的权值，该值一般按照学习方法获得，如随机选取中心法、自组织选取中心法、正交最小二乘法等。

选择合适的径向基网络结构对GPS卫星钟差的预报至关重要，针对不同的预测步长，需要选择不同的样本长度、样本量以及样本之间的间隔，目前这些参数的确定缺少理论根据，只能依赖经验确定。由于GPS卫星钟差数据为一维时间序列，因此这里径向基网络采用前N个数据预测后M个数据的模式，即选取N个数据作为输入层向量，M个数据作为输出层向量，再选取H个样本进行训练，利用训练得到的网络结构进行预测即可得到预测值。

本文从IGS发布的精密卫星钟差数据(ftp://igscb.jpl.nasa.gov/)中选取卫星2、卫星12、卫星15以及卫星16从历元670到历元714之间间隔为5 min的数据，利用径向基网络分别建模，对历元715以及历元715以后的数据分别依次进行288次连续5 min(1 d)预报、24次连续1 h(1 d)预报、7次连续1 d(1周)预报，取得的结果分别见图 2-图 5，由于篇幅有限，表 1-表 6仅给出了部分结果。

图 2 4颗卫星1 d内每5 min连续预报误差 Fig. 2 The every five-minute prediction error within 1 day for four satellites respectively

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图 3 4颗卫星连续24次1 h预报误差 Fig. 3 The every one-hour prediction error in a day for the four satellites respectively

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图 4 4颗卫星连续24次1 h预报均方根误差 Fig. 4 The every one-hour prediction rmse in a day for the four satellites respectively

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图 5 4颗卫星连续7次1 d预报误差 Fig. 5 The every one-day prediction error in a week for the four satellites respectively

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(1) 5 min连续预报：为了检测径向基网络对卫星钟差的超短期预报能力，这里首先对GPS卫星钟差连续进行5 min预报，为了利用离预测点较近的样本，设置样本间隔为36，样本数为136，样本长度即N为16，预测长度M为1，即为5 min，依次得到卫星2、卫星12、卫星15以及卫星16连续预测结果见表 1。

从表 1以及图 2对4颗卫星连续288次5 min的预报结果可以看出，该径向基网络结构对5 min的短期预报有着非常强的可靠性，可以实现这4颗卫星上述时段的0.8 ns以内的预报精度。

(2) 1 h连续预报：针对这4颗卫星钟差的1 h预报，径向基网络结构设计为，样本的数据长度即N为12，预报时间为1 h即M为12，样本数为132，样本间隔为64，按照该模型建立网络，同样利用历元715之前的数据对历元715的数据进行连续24次1 h预报，依次得到各颗卫星连续预测的结果见表 2。

从表 2、图 3和图 4对4颗卫星钟差连续24次1 h预报结果来看，虽然对应的径向基网络结构对各颗卫星不一定为最优，但也实现了模型均方根误差在0.6 ns之内的预报精度，验证了该径向基网络结构对1 h预报的可靠性。

(3) 1 d连续预报：针对卫星2GPS卫星钟差的1 d预测，即M为288，设计径向基网络为：样本量为212，样本间隔为24，样本长度即N为9，同样利用历元715之前的数据对历元715及历元715之后的数据进行连续7次1 d预报，依次得到卫星2连续预测的结果见表 3。

利用与卫星2钟差同样时段的数据对卫星12进行1 d预报即M为288，采用样本量为145，样本长度即N为9，样本间隔为32，依次得到卫星12连续预测的结果见表 4。

利用与卫星2钟差同样时段的数据对卫星15进行1 d预报即M为288，采取网络结构为：样本量为142，样本长度即N为25，样本间隔为24，依次得到卫星15连续预测的结果见表 5。

利用与卫星2钟差同样时段的数据对卫星16进行1 d预报即M为288，采取网络结构为：样本量为132，样本长度即N为12，样本间隔为24，依次得到卫星16连续预测的结果见表 6。

从表 3-表 6以及图 5对4颗卫星连续7次1 d预报结果可以看出，针对不同的卫星的1 d预报需要设计不同的网络，连续预测取得的均方根误差均在1 ns内，可以说明各径向基网络结构在时段上对各颗卫星钟差有较强的可靠性，也说明各颗卫星1 d的相关性行为存在较大的差异。

通过设计不同的径向基网络结构对不同卫星的钟差连续进行5 min、1 h以及1 d的预报试验发现，选择合适的径向基网络结构至关重要。针对5 min和1 h的超短期预报，只要构建合适的径向基网络结构，对不同的卫星在不同的时间均可得到高精度的预报结果，同时，这也反映出GPS钟差序列尽管有其复杂性，但由于持续受空中环境的影响，使其前后有着较强的短期相关性；针对1 d的预报，对不同的卫星需要不同的网络结构，这也说明不同卫星1 d的行为特征具有较大的差异，但每颗卫星连续预报的高精度结果说明其1 d的行为具备可预测性。上述网络结构均是不断试验获得，因此针对卫星钟差预报，构建合适的径向基网络结构至关重要，直接决定着预测的精度，由此可见径向基选择网络结构的设计需要进一步的理论研究。通过本文的试验结果，可以大胆假设，若针对钟差的先验信息找到径向基函数神经网络结构建立的理论根据，那么径向基网络在GPS卫星钟差预测中将会产生巨大的应用价值。