2. 武汉大学 测绘学院，湖北 武汉 430079
2. School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University,Wuhan 430079,China
1 引 言
在电磁波空间技术中，卫星电磁波信号在到达接收机之前需要穿越对流层，期间会受到大气折射的影响而使信号发生弯曲和延迟。对流层延迟在天顶方向时大小约为2 m，而当地平高度角为15°时可达25 m[1]。在GNSS导航定位中，一般将信号传播路径上的斜延迟通过映射函数投影到天顶方向,通常对天顶对流层延迟(zenith total delay,ZTD)进行建模来削弱大气对信号的影响，且对流层延迟是影响GPS定位精度的关键因素[2]。目前，消除对流层延迟的主要方法是模型改正法、参数估计法、外部修正法以及差分法。模型改正法在没有精确的气象数据的情况下已很难满足现代高精度定位的要求；而外部修正法虽然精度很高，但其昂贵的成本较大程度上限制了它的应用范围；参数估计法精度可以达到mm级，一般用于长基线。对于短基线一般采用模型改正法和差分法综合应用，但也仅限于基线两端高差和气象差异较小的情况[3]。
随着GPS的发展，在许多地区建立了连续运行参考站系统(continuously operating reference stations,CORS)。区域对流层精密模型被越来越多地提出，它是利用参数估计的方法测定参考站的天顶对流层延迟，并利用其建立区域的高精度对流层模型。建立区域模型的主要方法有：① 基于流动站与参考站距离的反距离加权内插法。② 直接建立顾及平面与高程影响的数学模型[4]。对于第一种方法，由于要获得参考站的ZTD，增大了通信压力，还不利于实时定位的应用；第二种方法中目前常用的主要是四参数曲面模型和仅含高程因子的一次曲线模型，这些模型主要针对虚拟参考站技术，适用于小型区域。目前国内大部分省份已基本完成CORS的建设，所以基于CORS建立对流层延迟模型，通过某种通信方式播发，用户获得所在位置的ZTD，从而满足用户精密定位对高精度对流层延迟改正的要求。
球谐分析(spherical harmonic analysis，SHA)已被广泛应用于地球物理重力和地磁建模中。但采用传统的球谐函数分析，数据分布和收敛性速度成为限制球谐分析方法的两个主要因素。而球冠谐分析(spherical cap harmonic analysis，SCHA)不仅所需观测数据少，还能有效减少模型系数。自1985年起，球冠谐分析法就被广泛应用于保守力场、海面地形、局部重力场、局部似大地水准面、地磁场变化、GPS水准高程、区域电离层和土壤相对湿度分布特征等研究领域中[6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]。本文在分析了常用的区域对流层延迟拟合模型基础上，提出了一种新的基于球冠谐的对流层拟合模型，得到了具有参考意义的结果。
2 基于球冠谐分析的区域天顶对流层延迟模型本节首先给出球冠谐分析方法用于区域对流层延迟中的计算方法，并详细介绍了SCHA方法的建模过程与步骤。
2.1 球冠谐分析计算方法SCHA是从Sturm-Liouville型方程本征值问题出发，以此作为用谱方法研究大地测量边值问题的数学理论基础，将整阶次本征值解推广到非整阶次解，并可以应用到求解大地测量边值问题。SCHA理论上兼有全球谱表达的优点又解除了其向更高分辨率扩展的限制，实用上由于它是一个收敛速度很快的解析连续展开式，因此可大幅度提高局部场的计算效率和理论严密性。球冠上的天顶对流层延迟可用SCHA方法展开为
式中，ΔZTD为实测天顶对流层总延迟与UNB1模型的偏差；UNB1模型使用观测点的高程计算该处天顶对流层延迟(包括天顶静力学延迟和天顶湿延迟)，具体计算方法详见文献[15]；r是地心距离；θ是球冠余纬坐标；λ是球冠经度坐标，起算零经度线为从地理北极到球冠极的球面直线。取a = 6 378.137 km是地球平均半径，h = 0.12 km为建模参考面高度。nk为非整阶勒让德函数序列，k是根nk的序号，且k为整数(k = 0,1,…,l，且k≥m)，n的实根可用nk(m)表示。Ckm和Skm为规格化球冠谐系数；Pnk(m)cosθ为非整阶的Schmidt正交规格化缔合勒让德函数，可由式(2)计算[16, 17, 18]
式中，F为超几何函数，其详细定义见文献[17]；而Knm为规格化因子，定义如下
式中，Γ表示伽马函数，利用计算阶乘的Stirling公式可以简化规格化因子Knm计算公式[17]。
式(2)表示为级数形式
系数aj(m,n)递推公式如下
式(5)中，级数在cosθ趋近于1时快速收敛，在cosθ趋近于-1时发散，但由于球冠半角一般小于90°，因此式(5)是可收敛的。对于给定的m和n，可以ε=10-14为阈值进行截断计算。
式(1)中，nk (m) 序列取值与球冠模型半角有关，可由Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和混合边界条件确定[17]，且满足上述条件的nk(m)皆为实数。经过反复试验本文将选取Neumann边界条件，即nk (m)采用式(6)的根
式中，θ0为球冠半角。在已知m和θ0时，可计算非整阶勒让德函数和它的导数，因此可采用Muller迭代法通过求解式(6)的根计算nk序列[19, 20]。当已知非整数阶次勒让德函数的次数m和阶数nk (m)就可计算非整阶勒让德函数的值。
2.2 球冠谐分析中的坐标系转换在使用SCHA对对流层延迟进行拟合时，要求将大地坐标(B,L)转换为相应的地心坐标 (φ,λ)，再将(φ,λ)转换成球冠坐标系中的球面地心坐标(θc,λc)
式中，e = 0.006 694 380 02是参考椭球的第一偏心率(WGS-84参考椭球)；利用式(7)就可以将大地纬度B转换为地心纬度φ，然后将地心坐标 (φ,λ) 转化为球冠坐标系的地心坐标(θc,λc)。球冠极点P (φN,λN) 的地心坐标为(θN,λN)，其中θN为余纬，且θN=90°-φN。则任意一点Q (θ,λ) 在球冠坐标系下的球面地心坐标 (θc,λc) 为(此处θ=90°-φ)
利用式(8)-式(10)就可以完成大地坐标向球冠坐标的转换。
2.3 利用SCHA方法建立对流层模型根据上部分讨论，本文中利用SCHA方法建立对流层模型的方法与步骤如下：
(1) 确定建模区域的球冠极点和球冠半角。本文分析的区域在北纬24.5°N-30°N，东经113.5°E-118.5°E之间，一般情形下球冠极点应设在区域中心附近，球冠半角应保证球冠覆盖整个建模区域。图 1为采用不同球冠极点坐标进行ZTD建模的拟合中误差，球冠半角θ0取5°以使球冠覆盖整个建模区域。从该图中可以看出球冠极点选在26°N-28°N、114°E-116°E时内符合均方根误差相对较低，本文最终选取(27°N,116°E)为球冠极点。经多次试验发现，在已知球冠极点坐标并保证球冠半角θ0覆盖建模区域的前提下，球冠半角的选取对拟合效果影响不大，这也与文献[12]分析结果相似，本文最终θ0取5°。
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| 图 1 SCHA模型中球冠极点不同经纬度的拟合中误差 Fig. 1 The fitting RMS in SCHA model for different (a) latitude and (b) longitude of cap pole |
(2) 求解球冠半角θ0 =5°值时的缔合勒让德函数方程及其导数方程的根序列nk(m)，本文依据Neumann条件求得的截断阶数取8的nk(m)值分别列于表 1，然后即可计算相应正则化勒让德函数值。
| nk/m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 0 | 0 | ||||||||
| 1 | 43.411 0 | 20.615 5 | |||||||
| 2 | 79.894 3 | 60.598 7 | 34.525 2 | ||||||
| 3 | 116.080 4 | 97.322 0 | 76.357 1 | 47.679 5 | |||||
| 4 | 152.179 1 | 133.643 1 | 113.748 7 | 91.365 8 | 60.484 1 | ||||
| 5 | 188.240 2 | 169.825 9 | 150.426 6 | 129.527 3 | 105.895 0 | 73.079 5 | |||
| 6 | 224.281 7 | 205.944 2 | 186.833 0 | 166.651 3 | 144.843 3 | 120.084 8 | 85.532 9 | ||
| 7 | 260.311 8 | 242.027 0 | 223.105 1 | 203.352 0 | 182.450 5 | 159.808 3 | 134.018 5 | 97.882 6 | |
| 8 | 296.334 6 | 278.088 3 | 259.300 2 | 239.833 7 | 219.483 0 | 197.912 3 | 174.495 7 | 147.750 7 | 110.152 3 |
(3) 确定球冠谐展开截断阶数Kmax。图 2是根据球冠谐模型计算ZTD的拟合中误差和判定系数。从图 2可以看出拟合中误差随着截断阶数的增加而减少，而判定系数随着截断阶数的增加而逐渐接近于1。但当截断阶数取7时，虽然拟合结果很好，但是模型已经过参数化。经反复试验，在较小边缘畸变和较少模型参数条件下，本文最终选定6阶球冠谐模型进行建模。
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| 图 2 SCHA模型不同阶数下的判定系数和拟合中误差 Fig. 2 Coefficient of determination and fitting RMS in SCHA model |
(4)本文以2 h为时段长度利用SCHA法对每个时段CORS站网络进行建模，利用最小二乘法反演模型参数。利用SCHA法建立的区域天顶对流层延迟模型计算该时段内的ZTD并与实测数据比较并作空间分布分析。
3 其他区域对流层延迟拟合模型目前CORS技术中常用的区域对流层延迟模型一般都是以三维坐标作为参数。文献[5]指出在直接建立顾及平面坐标与高程影响的众多模型中，四参数曲面模型是目前拟合区域对流层延迟一种较好的同时顾及平面与高程影响的数学模型。另外，矩谐分析方法在构建区域地磁场模型和都具有较高精度[15, 24]，但目前还未有学者将之用于对流层延迟研究。本章将介绍可用于区域天顶对流层延迟建模的四参数模型与矩谐分析模型。
3.1 四参数模型四参数区域天顶对流层延迟模型计算公式如下
式中,x、y和h是测站WGS-84椭球坐标对应的高斯投影平面坐标和高程，高斯投影计算时的中央子午线经度一般选择测区的中央经线经度。
3.2 矩谐分析模型使用矩谐分析(rectangular harmonic analysis，RHA)研究的对象是矩形区域xOy平面，用于天顶对流层总延迟偏差建模为
式中，ΔZTD同样为天顶对流层总延迟与UNB1模型的偏差；j = q-i；v=2π/Lx；w=2π/Ly；u=
；Lx和Ly分别为矩形测区南北和东西向宽度；x、y和z为区域内某一点在矩谐坐标系下的三维坐标；A、B、C、D、E、F、G和H分别代表矩谐模型系数。基于矩谐平面坐标系的矩谐分析法需要将测站点的地理坐标转换为矩谐坐标系下的三维坐标，转换公式具体见文献[24, 25]，本文取 (27.5°N,115.5°E,120 m) 作为矩谐坐标系的原点。
设模型截断阶数为Nmax，则该矩谐分析模型包含2Nmax (1 + Nmax) + 3个模型参数[25]。若测区内测点数为n，Nmax可通过式(13)近似确定，根据本算例实际情况取Nmax = 4
4 数据处理策略
选择了华东某省60个基准站的观测数据，时间长度为10 d(2012年年积日111-115和119-123)，采样率为30 s。各基准站分布见图 3，测站高程分布见图 4。由图 4可以看出测站的高程分布较不均匀，这也可以一定程度上检验新模型在高程方向上的精度。
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| 图 3 基准站(△)和流动站(○)的分布 Fig. 3 Horizontal distribution of base stations (△) and rover stations (○) |
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| 图 4 测站高程统计 Fig. 4 Statistics of elevation of all stations |
本文将GMAIT软件解算的对流层延迟作为真值，其对流层参数解算精度优于1 cm[5]。处理中引入5个IGS (international GNSS station) 站 (WUHN、SHAO、KUNM、TNML、BJFS) 数据进行联合处理。天顶对流层干延迟采用Sasstamoinen模型估计，映射函数选择DRY NIELL；湿延迟用参数估计，映射函数选择WET NIELL，参数估计间隔为2 h。
SCHA模型截断阶数取6时模型参数总计49个。作为对比的四参数法和RHA建模方法分别有4个和43个模型参数。本文将采用两种方式分析结果：① 将所有测站参与建模，对各个模型进行内符合精度分析；② 在60个测站中选取56个测站参与建模，4个测站作为检核，分析各个模型的外符合精度(图 3中圆点表示的测站即为选取的4个流动站)。
本章采用平均绝对偏差(mean absolute error,MAE)和均方根误差(root mean square error,RMS)作为模型精度评定标准，计算公式见式(14)和式(15)，其中ZTDiC>是由本文模型计算得到估计值，ZTDiO为真值，N为观测值总数
5 建模精度分析 5.1 内符合精度分析
根据上文所述，将GAMIT解算的所有60个测站的ZTD值参与建模，SCHA模型内符合精度和测站高程的水平分布如图 5所示。其中图 5(a)和图 5(b)分别为各测站的平均RMS值，可以看出绝大部分测站的MAE和RMS都在5 mm内。从图 5还可以发现在球冠极点附近拟合误差要稍大于周边测站，与其他学者的结果相符[8, 14, 26]。这可能是以下原因引起：首先实数阶勒让德函数的阶次是由边界条件所确定，可能导致其对球冠极点附近的拟合效果不如边界地区。另外本文选取5°作为球冠半角，在覆盖建模区域的前提下保证绝大部分地区不会出现边界效应，也保证了边缘测站的拟合精度。
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| 图 5 SCHA模型测站内符合精度MAE、RMS和高程H分布 Fig. 5 Horizontal distribution of MAE,RMS and elevation for all stations in SCHA model |
根据各测站内符合MAE和RMS结果，将3种模型的检验结果进行区间统计列于表 2。整体上SCHA模型的拟合效果最好，而RHA模型优于四参数模型。现有研究表明，在测站高差相差不大的情况下，四参数模型的拟合精度可以达到mm级，例如60 km×60 km的区域内，在5个已知点下，内符合RMS可达7.6 mm[5]，可以较好地描述对流层的空间变化，具有足够的拟合精度。而本例中建模区域(约为166 900 km2)远大于60 km×60 km且测站密度也远不及文献[5]，但SCHA模型各测站内符合MAE和RMS都在6 mm内，好于文献[5]中的结果。
| 误差区间/mm | SCHA模型 | 四参数模型 | RHA模型 | |||||
| MAE测站数 | RMS测站数 | MAE测站数 | RMS测站数 | MAE测站数 | RMS测站数 | |||
| 0～5 | 60 | 59 | 39 | 0 | 45 | 60 | ||
| 5～10 | 0 | 1 | 16 | 9 | 12 | 0 | ||
| 10～15 | 0 | 0 | 4 | 45 | 3 | 0 | ||
| >15 | 0 | 0 | 1 | 6 | 0 | 0 | ||
对于本例大区域GPS观测网，从表 2还可看出，在四参数曲面模型下，大部分测站的内符合RMS值都在5～15 mm之间。其原因不仅包括建模区域面积过大，还与四参数模型建模参数过少有关。为了验证是否由于SCHA模型参数多于四参数模型，导致两种模型内符合拟合结果差异较大，因此引入RHA建模方法并与其他两种模型结果做对比。RHA模型参数个数与SCHA模型基本相当，表 2说明RHA模型的内符合精度虽然优于四参数模型，但却显著差于SCHA模型。通过对比，可以看出在内符合精度上，SCHA模型具有更好的内符合精度。
5.2 外符合精度分析在外符合检验中，选取了分布较均匀的4个测站(fxin、lean、wana、qxxx)作为流动站，将GAMIT解算的ZTD结果视为真值。将3种模型得到的流动站ZTD估值与真值进行对比，SCHA模型、四参数曲面模型和RHA模型得到的结果分别如图 5(a)、(b)和(c)所示。考虑到在实际应用中前几个历元只能通过伪距单点定位获取测站近似坐标，所以在流动站的三维精确坐标上加上了10 m的随机误差，在检验模型精度的同时，也检验了模型的实际应用能力。具体结果如表 3所示。
| cm | |||||
| 模型 | 测站 | fxin | lean | wana | qxxx |
| SCHA模型 | MAE | 0.70 | 0.72 | 0.75 | 0.68 |
| RMS | 0.85 | 0.94 | 0.90 | 0.88 | |
| 四参数模型 | MAE | 0.94 | 1.25 | 1.05 | 0.79 |
| RMS | 1.27 | 1.50 | 1.18 | 1.08 | |
| RHA模型 | MAE | 0.79 | 0.68 | 1.18 | 1.72 |
| RMS | 1.00 | 0.83 | 0.91 | 0.73 | |
从图 6可以看出，SCHA模型相比另外两种模型在外符合精度上都有所改进，在120个时段中4个流动站的偏差基本在2 cm内。而四参数模型和RHA模型的ZTD残差序列则变化较为剧烈，虽然RHA模型各站RMS值接近SCHA模型，但qxxx测站结果出现了明显的负偏差，这有可能是由于投影变形所引起。另外从表 3流动站坐标加入随机误差的检核结果中仍然可以发现，SCHA模型4个流动站的误差都在1 cm以内；四参数模型4个流动站的误差变化较大，4个测站RMS值基本在1.1～1.5 cm之间；而RHA模型检测结果则优于四参数模型但仍差于SCHA模型，这说明SCHA模型较好的拟合效果并不完全是由于参数较多造成的。总体来看相比四参数模型和RHA 模型，SCHA模型在本例5°×5°的范围内更加稳定且更适合于ZTD的建模。
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| 图 6 SCHA模型、四参数曲面模型和RHA模型下4个流动站的ZTD残差序列 Fig. 6 ZTD residual of SCHA model,four parameter model and RHA model |
SCHA模型的内外符合精度还存在一定差异，这主要与测站空间分有关(测站水平分、垂直布密度和站间距)。但总体上3种建模方法中，SCHA模型在本例中(面积约为166 900 km2)能更好地描述对流层在三维空间的变化，更加适合于区域天顶对流层延迟建模。且对于大范围且更加密集的CORS网，SCHA模型不仅建模简便且较四参数模型和RHA模型拟合效果更好。对于某区域对流层延迟采用SCHA建模，若假设地球半径为a，建模区域总面积为S，测站数为N，则模型截断阶数K应满足
，以保证使用最小二乘求解模型参数时不会出现法方程秩亏；而当测站足够密集时，可另外根据测站的密度选取K≈((2θ0/π)·(nk|m=0+0.5))-0.5[27]。球冠半角θ0的选取应保证球冠覆盖整个建模区域即cosθ0≤1-S/(2πa2)。
对流层延迟是GPS定位中很重要的一项误差源，对其进行高精度的建模具有很重要的意义。本文利用SCHA方法建立了区域对流层ZTD的SCHA模型，经检验得到具有参考意义的结果。数据处理的结果表明SCHA模型相较于其他两种模型具有更高的拟合和预报精度，能更好地描述ZTD在空间的变化特征，更适合于大范围区域对流层延迟建模。
但本文检验结果表明该区域对流层SCHA模型在球冠极点区域拟合效果略差，后续研究可以考虑采用更合适的边界条件、采用改进的SCHA理论和方法或采用长期ZTD观测数据改进建模方法，建立运算效率更高、精度更可靠的区域实时ZTD模型。另外，为了全面分析基于SCHA的区域ZTD模型在平原地区和陡峭山区的实用性，还需大量数据和试验进行深入研究。但毋庸置疑的是，随着基准站数量和密度的增加，SCHA模型的优势将会越来越明显。
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