2. 南京师范大学 虚拟地理环境教育部重点实验室，江苏 南京 210023
2. Key Lab of Virtual Geographic Environment，Ministry of Education,Nanjing Normal University,Nanjing 210023,China
1 引 言
航天遥感技术经过50多年的发展与应用，一个多层次、立体型、多角度、全方位和全天候的地球信息获取技术系统已经形成[1]，而影像空间分辨率是影像质量评价的一项关键性指标，也是衡量一个国家航天遥感水平的重要标志，在影像获取和应用中至关重要[2]。目前，米级甚至亚米级空间分辨率的遥感影像已逐步走向应用，然而其时间分辨率较低；与此相反，一些较低空间分辨率的遥感影像却具有很高的时间分辨率。这种分辨率上空间与时间的矛盾，无法满足生产应用日益扩大的影像需求，严重阻碍了遥感技术的发展与应用。超分辨率重建技术为这一矛盾问题提供了一种成本低廉、切实有效的解决途径。图像超分辨率重建是一种图像空间分辨率增强的方法，利用信号处理的方法将低分辨率图像的分辨率提高并重建出高质量的清晰图像[3]。
超分辨率重建的概念由文献[4]首先提出，之后引起了许多学者的广泛关注和研究，成为图像处理领域的研究热点之一。目前，图像超分辨率重建方法主要可以分为两类：基于重建的方法和基于学习的方法。在诸多学者的深入研究下，基于重建的方法已取得较丰硕的成果。文献[5]将基于共轭梯度的运动模型估计方法用于参数估计，并将获得的参数用于频谱解混叠方法，获得了空间分辨率提高近1倍的影像。文献[6]将小波超分辨率重建算法扩展到更一般的运动模型，提出了一种基于小波的SPOT影像超分辨率重建算法。文献[7]根据不同影像序列的特点，自适应确定相应的正则化参数，并充分利用中间重建结果的信息，不断对其进行更新，通过迭代过程得到最终的重建影像。文献[8]在仿射变换模型基础上提出了一种新的频域配准方法，通过去掉混叠部分和一部分低频信号，对图像之间旋转和平移实现精确估计，得到接近空域配准的精度效果，最后采用POCS空域方法进行超分辨率重建，取得了较好的重建效果。文献[9]针对嫦娥一号卫星CCD立体相机空间分辨率不足的问题，运用最大后验概率估计法，实现了月表影像的超分辨率重建。文献[10]提出了一种在Bayes概率统计框架下的混合Bayes超分辨率重建算法，较好地突出重建图像的不连续边缘特征信息。文献[11]使用最大后验概率估计法，实现图像频谱外推，然后根据成像模型对外推的频率分量进行频域校正，去除调制传递函数过零点附近的伪信息，进而使用优化最小化方法完成数值求解。该算法考虑了图像成像模型本身特性，对合成图像和各种地物条件下的遥感图像都取得有效的超分辨复原效果。文献[12]通过改进用于多帧图像超分辨率技术中的凸集投影法，应用于单帧遥感图像的上采样，然后对其输出结果使用贝叶斯方法进行调制传递函数的自适应估计，并在复数小波包变换域中作进一步的去模糊和降噪处理，从而获得更精细的高分辨率图像。在基于重建的超分辨率中，当分辨率提高倍数越来越大时，重建模型可提供的有益信息却越来越少，从而在图像超分辨率应用中具有一定的局限性[13]。
针对重建方法的局限性，基于学习的方法应运而生[14, 15, 16]，尤其是基于稀疏表示的超分辨率方法近年来得到学者的普遍认可[17, 18, 19]。受稀疏表示理论的启发，本研究借鉴稀疏编码思想[17]，通过建立具有相同稀疏表示的超完备高-低分辨率字典对，实现低分辨率遥感影像的超分辨率重建。首先，本研究建立了遥感影像的稀疏表示超分辨率模型；然后，提出了一种基于优化最小化方法进行高-低字典对的学习算法；最后，给出了基于高-低字典对稀疏表示的遥感影像超分辨率算法，并对遥感影像进行了数值试验。试验验证了本算法的有效性，同时与传统的插值方法相比，无论主观还是客观上本算法都具有更好的超分辨率重建效果。
2 基于稀疏表示的遥感影像超分辨率重建模型 2.1 遥感影像退化模型由遥感影像的成像机理可知，观测的单幅遥感影像可表示为
式中，y∈RL表示获取的低分辨率遥感影像；x∈RN表示原始的高分辨率遥感影像；F∈RN×N表示y相对x的运动变形矩阵；B∈RN×N表示光学模糊矩阵；D∈RL×N表示下采样矩阵。记H=DBF，则有y=Hx。 2.2 遥感影像稀疏表示模型
近几年，稀疏表示理论发展迅速，在图像处理领域应用广泛[20, 21, 22]。图像稀疏表示理论的基本思想是假设图像块可由预定义的原子线性组合表示，所有的原子组成一个字典。设图像块x∈Rm，其稀疏表示模型为
式中，α为x关于字典D的稀疏表示系数，含有T个非零项，且满足T＜m«κ，即α中的大部分系数等于或接近零，只有少数不等于零的大系数。 2.3 基于稀疏表示的遥感影像超分辨率重建模型
基于学习的超分辨率方法的目的是恢复低分辨率影像中的高频信息，且在视觉上，人眼对图像中的高频信息更加敏感。因此，在单幅遥感影像的超分辨率重建过程中，本研究选择遥感影像的高频信息作为影像特征，高、低分辨率字典的学习也在特征空间中进行，字典对的具体学习过程见第3节。假设通过学习获得高、低分辨率联合字典对Dh和Dl，且它们具有相同的稀疏表示。
估计低分辨率特征块y关于字典Dl的稀疏表示
式中，α为y关于低分辨率字典Dl的稀疏表示系数；Z为提取当前高分辨率图像块与相邻的、已估计的高分辨率图像块的重叠区域；ω表示已估计高分辨率图像块在重叠区域的估计值；λ为正则化参数，用于平衡数据的保真性和解的稀疏性。
根据式(3)得到低分辨率特征块的稀疏系数α*，由于高分辨率字典Dh与低分辨率字典Dl具有相同的稀疏表示，因此，由x=Dhα*可估计相应的高频分量x，将高频分量与相同位置的低频信息进行线性叠加，则可获得估计的高分辨率影像块。当处理完所有的低分辨率特征块后，可得到初始估计的高分辨率遥感影像X0。为了去除初始估计的高分辨率影像中的模糊现象，对X0进行全局优化，定义数学目标函数为
式中，Y为低分辨率遥感影像；X0为估计的初始高分辨率遥感影像；X为估计的最终高分辨率遥感影像；c为常数。
单幅低分辨率遥感影像超分辨率的重建见算法1，具体如下。
(1) 输入：低分辨率遥感影像I，高、低分辨率字典对Dh和Dl。
(2) I按需要倍率上行插值IS=P(I)，P为上行插值算子。
(3) 提取低分辨率遥感图像I的特征图像Y。
(4) 按从左到右、从上到下的顺序，将Y以5像素×5像素大小进行分块，并保持特征块之间存在4个像素的重叠；将IS以5像素×5像素×n2(n为倍率)大小进行分块，并保持图像块之间存在4n个像素的重叠，令得到的块数为T。
(5) 当i=1,2,…,T时，根据式(3)，估计低分辨率特征块Yi关于低分辨率字典Dl的稀疏系数α*。
(6) 根据稀疏系数α*和高分辨率字典Dh，估计相应的高分辨率特征块：Xi=Dhα*。
(7) 将Xi与IiS进行线性叠加得到估计的高分辨率影像块，将其置于初始高分辨率影像X0中。
(8) 循环结束。
(9) 计算
(10) 输出高分辨率遥感影像X*，算法结束。
3 基于优化最小化方法的高-低分辨率联合字典对学习在基于联合字典对的遥感影像超分辨率重建方法中，首要解决的问题是学习具有相同稀疏表示的高-低分辨率字典对。联合字典对的学习实质上是利用已有的高分辨遥感影像来构建先验知识库的过程，之后用于指导其他低分辨率遥感影像的超分辨率重建。
首先，将已有的高分辨率遥感影像xih进行下采样操作，获得相应的低分辨影像yil，从而得到高、低分辨率遥感影像的训练数据集。其次，对yil进行上采样得到xil，计算eih=xih－xil，将eih作为高分辨影像的高频信息；针对低分辨率影像yil，选择其几何结构分量的一阶和二阶梯度信息作为其特征，梯度信息的提取算子为
将上述4个滤波器应用于yil的图像块得到4个特征向量，合并4个特征向量为1个向量作为低分辨率图像块的特征向量。最后，将相同位置的高、低分辨率特征向量组成训练样本数据对，通过下述的学习算法获取高、低分辨率联合字典对。 3.1 联合字典对学习模型
字典学习是近年来稀疏表示领域中的热点问题[23]，利用机器学习从一些训练样本中推理获得字典。定义训练样本集P=[X,Y]，X=[X1,X2,…,Xi]为高分辨率图像块的高频部分，Y=[Y1,Y2,…,Yi]为低分辨率图像的特征块，i为训练样本个数，本研究借鉴联合稀疏编码思想学习高-低分辨率联合字典对[17]，目标函数如下
式中，A为高、低分辨率字典共有的稀疏表示。式(6)可简化为 式中，N、M分别是高、低分辨率图像块列向量的长度，用于消除高、低分辨率图像块尺度问题对整个编码框架的影响。 3.2 基于优化最小化的联合字典对学习算法
对于字典学习问题，学者提出了基于K-SVD的学习算法[24]。文献[25]观察到K-SVD算法在最佳解的邻域内的稀疏逼近误差未必会在每一步迭代中减小，因此，K-SVD算法无法保证得到局部最优解。鉴于此，针对式(7)中高-低分辨率联合字典对的学习问题，本研究借鉴整体优化思想[25]，在块松弛方法的基础上，发展了一种基于优化最小化的字典对学习算法，分两步交替进行，直到收敛到最优解。
优化最小化方法的主要思想是利用一个参数互相解耦的易于优化的代理函数ψ替代原来的参数互相耦合难以优化的目标函数Φ，其中必须满足
式中，γ表示参数集合，ξ为与ω解耦的辅助参数。 3.2.1 固定字典对，更新稀疏系数
高-低分辨率字典对Dc固定时，构造代理函数ψA(A,A[n-1])为
式中，A[n-1]为上一步迭代得到的稀疏系数矩阵；CA≥‖DcTDc‖为常数(‖·‖表示矩阵的谱范数)；λ为正则化参数。令W=[DcTXc+(CAI-DcTDc)A[n-1]］/CA，记wi,j为矩阵W的第{i,j}个原子，则稀疏系数的更新公式为
依据式(10)进行稀疏系数的迭代更新，直到收敛到最优解。在实际中，本研究使用迭代阈值法进行迭代终止条件的判定，关于该方法的收敛性证明见文献[26]。稀疏系数更新算法的伪代码如下所示。
(1) 初始化Dc=(Dc)t-1A[0]=At-1,CA≥‖DcTDc‖。
(2) 当n=1,2,…,KA时，计算W=(DcTXc+(CAI-DcTDc)A[n-1])/CA。
(3) 计算：A[n]=Sλ,CA(W)。
(4) 循环结束。
(5) 输出：At=A[KA]。
3.2.2 固定稀疏系数，更新字典对稀疏系数A固定时，构造代理函数为
式中，Dc[n-1]为上一次迭代得到的稀疏字典对，CDc≥‖ATA‖为常数。令
B=[XcAT+Dc[n-1](CDcI-AAT)］/CDc
记bi,j为矩阵B的第{i,j}个原子，则字典对更新公式为
依据式(12)进行字典的迭代更新，直到收敛为最优解，关于其收敛性的证明见文献[25]。字典对的更新算法如下所示。
(1) 初始化Dc[0]=(Dc)t-1，A=At，CDc≥‖AtTAt‖。
(2) 当n=1,2,…,KA时，计算 B=(XcAT+Dc[n-1](CDcI-AAT))/CDc
(3) 计算Dc[n]=Sλ,CDc(B)。
(4) 循环结束。
(5) 输出字典对迭代结果：(Dc)t=Dc[KD]。
3.2.3 高-低分辨率字典对学习算法综合上述两个子算法，可得到高-低分辨率字典对的学习算法如下所示。
(1) 初始化字典对和稀疏系数：(Dc)0，A0。
(2) 当t=1,2,…,T时，在(Dc)t－1，At－1基础上，由算法2更新稀疏系数At。
(3) 在(Dc)t－1，At基础上，由算法3更新字典对，得到(Dc)t。
(4) 循环结束。
(5) 给出输出：字典对(Dc)T，结束算法。
4 试验与分析采用真实的遥感影像数据进行超分辨率重建试验，以验证本文超分辨率重建模型和算法的有效性，并与传统的最近邻插值方法、双线性插值方法、双三次插值方法进行对比。
4.1 重建结果质量评价标准本研究采用主观与客观评价相结合的方法对超分辨率重建结果进行质量评价，其中使用峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)和结构相似度索引(structural similarity index，SSIM)作为超分辨率重建结果的定量质量评价指标
式中，x、x*分别为原高分辨率图像和超分辨率图像；M和N为图像的大小；μx、μx*为与之对应的均值；μx2、μx*2为与之对应的方差；σxx*为协方差；c1、c2为保证分母不为零的小常数。PSNR值越大，或者SSIM值越大(最大为1)，则重建图像与参考图像越逼近，从而说明算法效果越好。 4.2 试验结果
试验1，选取5 m分辨率的DOM影像作为输入图像进行2倍超分辨率重建试验。在联合字典对的学习中，训练样本选择2.5 m分辨率的DOM影像，随机选取100 000个块以构成训练集，低分辨率特征块采用5像素×5像素大小，重叠像素为4个，对应的高分辨率图像块使用10像素×10像素大小，重叠像素为8像素，利用上述的字典学习算法学习1024大小的高、低分辨率字典。
随机选取5幅不同区域的遥感影像(128像素×128像素)作为测试数据，表 1列出了各影像分别在不同算法下的超分辨率结果的PSNR和SSIM比较，图 1给出了表 1中影像3采用不同方法进行超分辨率重建的结果图像。从表 1可知，本文算法DPSR的重建结果与最近邻插值、双线性插值、双三次插值方法相比，PSNR和SSIM值都取得了一定提高。综合5幅影像求平均值，本文算法DPSR的PSNR值比Nearest改善1.2 dB，比Bilinear改善1.3 dB，比Bicubic改善0.7 dB；本文算法DPSR的SSIM值比Nearest提高0.005，比Bilinear提高0.05，比Bicubic提高0.02。从图 1可以看出，最近邻插值方法的结果图像有明显的锯齿现象，双线性插值和双三次插值的结果图像没有明显的锯齿现象，但是，整体上较模糊。本文算法的结果图像，与前几种方法相比，整体上较清晰，高频细节部分较突出，如图像上的高速公路，可以较清晰地看到白色的车道分割线。
|
| 图 1 两倍超分辨率重建结果 Fig. 1 Super-resolution results by 2 times |
| 影像算法 | 指标 | Near-est | Bilin-ear | Bicu-bic | DPSR |
| 影像1 | PSNR | 22.60 | 22.55 | 23.11 | 23.80 |
| SSIM | 0.874 | 0.807 | 0.846 | 0.880 | |
| 影像2 | PSNR | 28.59 | 28.54 | 29.04 | 29.60 |
| SSIM | 0.887 | 0.830 | 0.863 | 0.890 | |
| 影像3 | PSNR | 23.05 | 23.05 | 23.65 | 24.39 |
| SSIM | 0.895 | 0.835 | 0.871 | 0.901 | |
| 影像4 | PSNR | 28.06 | 28.37 | 29.14 | 29.88 |
| SSIM | 0.941 | 0.909 | 0.930 | 0.943 | |
| 影像5 | PSNR | 26.51 | 26.80 | 27.48 | 28.13 |
| SSIM | 0.930 | 0.900 | 0.921 | 0.936 |
试验2，选取与试验一相同区域的、空间分辨率为10 m的DOM影像作为输入图像，进行4倍超分辨率重建试验。利用2.5 m的DOM影像作为训练样本，样本数为100 000个，低分辨率特征块采用5像素×5像素大小，块之间的重叠像素为4个，对应的高分辨率图像块为20像素×20像素大小，重叠像素为16，利用上述的字典学习算法学习1024大小的高、低分辨率字典。
表 2列出了各影像分别在不同算法下的超分辨率结果的PSNR和SSIM比较，图 2给出了表 2中影像3采用不同方法进行超分辨率重建的结果图像。从表 2可知，本文算法DPSR的重建结果与最近邻插值、双线性插值、双三次插值方法相比，PSNR和SSIM值都取得了一定提高。综合5幅影像求平均值，本文算法DPSR的PSNR值比Nearest改善0.48 dB，比Bilinear改善0.316 dB，比Bicubic改善0.156 dB；本文算法DPSR的SSIM值比Nearest提高0.044 2，比Bilinear提高0.056 4，比Bicubic提高0.028 8。从图 2可以看出，最近邻插值方法的结果图像具有明显的锯齿效应。如框中的图像所示，本文算法与前3种方法相比，几何结构更加清晰，高频部分更加突出。
| 影像算法 | 指标 | Near-est | Bilin-ear | Bicu-bic | DPSR |
| 影像1 | PSNR | 19.23 | 19.32 | 19.45 | 19.59 |
| SSIM | 0.473 | 0.456 | 0.482 | 0.512 | |
| 影像2 | PSNR | 25.47 | 25.57 | 25.68 | 25.79 |
| SSIM | 0.569 | 0.556 | 0.579 | 0.601 | |
| 影像3 | PSNR | 19.22 | 19.36 | 19.51 | 19.64 |
| SSIM | 0.473 | 0.454 | 0.488 | 0.527 | |
| 影像4 | PSNR | 22.98 | 23.19 | 23.42 | 23.65 |
| SSIM | 0.625 | 0.615 | 0.645 | 0.674 | |
| 影像5 | PSNR | 21.78 | 22.06 | 22.24 | 22.41 |
| SSIM | 0.625 | 0.623 | 0.648 | 0.672 |
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| 图 2 4倍超分辨率重建结果 Fig. 2 Super-resolution results by 4 times |
与试验1的结果相比较，试验2的重建结果更不理想，究其原因主要包含两方面，一方面是因为需估计的高分辨率影像像素数量与输入的低分辨率影像像素数量之间的关系是超分辨率倍数的指数倍，放大倍数越大，未知的像素数越多，试验2的重建倍数为4倍，需求解的像素个数是输入影像的16倍；另一方面，受传感器采样技术的影响，高分辨率影像中的目标在低分辨率影像中不一定存在，例如，图 1中，影像(a)中的高速公路上可以隐约看到白色车道线，而图 2中的影像(a)看不到。
综合分析两倍与4倍超分辨率重建试验的结果可知，与传统的插值方法相比，本研究的算法不仅在客观的PSNR和SSIM两个指标上有一定的提高，而且主观上，本文算法的结果整体上更加清晰，几何纹理结构更加明显。试验表明：① 本研究通过优化最小化方法学习的高-低分辨率联合字典对，可以为低分辨率遥感影像的超分辨率重建提供有用的高频细节信息；② 在高、低分辨率字典的学习过程中，训练样本数据是从高、低分辨率遥感影像中提取的特征数据，因此，学习的字典对可用于任意区域的低分辨率遥感影像(分辨率与低分辨率字典的样本数据一样)的超分辨率重建；③ 与传统的基于重建的超分辨率方法相比，本研究的算法只需输入单幅低分辨率遥感影像，具有一定的普适性。
5 结 论针对获取的低分辨率遥感影像，本研究提出了一种基于稀疏表示的单幅遥感影像超分辨率重建方法。该方法首先通过优化最小化方法学习高-低分辨率联合字典对，然后将学习的字典对用以指导其他低分辨率遥感影像的超分辨率重建。试验表明，与传统的插值方法相比，本研究算法在客观的评价指标上具有一定的提高，在主观的视觉效果上也取得一些改善，可为其他单幅低分辨率遥感影像(分辨率与低分辨率字典的样本数据一样)的超分辨率重建提供有用的高频细节信息，具有一定的普适性。尽管如此，本研究尚有一些改进之处，例如，对于含噪声、强模糊的低分辨率遥感影像，如何进行清晰地超分辨率重建等。
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