1 前 言

目前载波相位精密导航定位中的周跳探测方法主要有码相组合法、电离层残差法、多普勒积分法以及历元间差分法^{[1]。但各方法均有局限性，如码相组合法易受伪距噪声影响，历元间差分法受采样间隔影响均难以探测小周跳，为此文献[2]}对码相组合法进行了改进，文献[3]分析了采样间隔对三差解法的影响。文献[4]利用宽巷组合和电离层组合同时进行周跳探测与修复，文献[5]利用贝叶斯方法都实现了对非差数据的周跳探测与修复。随着三频技术的发展，文献[6, 7]研究了GPS三频码相组合周跳探测与修复法，但码相组合易受伪距噪声影响。文献[8, 9]提出了利用GPS三频无几何相位组合实时探测修复周跳的方法，但其周跳修复方法较为复杂。随着我国北斗系统即将提供初始服务^[10]，文献[11]研究了适用于北斗周跳探测的三频组合。本文利用北斗三频无几何组合进行周跳探测，通过分析无几何相位组合周跳探测不敏感的问题筛选了较优的组合。为了实现对所有周跳的探测并简化周跳修复算法，利用了两个个无几何组合联合1个三频码相组合的方法进行探测与修复，对联立方程组存在解不稳定的病态问题，采用了搜索法修复周跳。最后利用北斗实测数据进行了验证。

2 三频无几何相位组合观测值探测周跳的原理

根据多频理论^{[12, 13]}，记α、β、γ为组合系数且α+β+γ=0，得到无几何相位组合

式中，电离层延迟放大系数η=αλ₁+βλ₂+γλ₃；组合模糊度可以表达为N_αβr(t)=αλ₁N₁(t)+βλ₂N₂(t)+γλ₃N₃(t)；噪声ε(t)=αλ₁ε₁(t)+βλ₂ε₂(t)+rλ₃ε₃(t)；λ_i、φ_i(t)、f_i、N_i(t)、ε_i(t)分别为t时刻i频点上的载波波长、相位观测值、频率、整周模糊度、观测噪声(含多路径，单位为周)；I(t)为B1频点上的电离层延迟误差(单位为周)。

周跳发生时，无几何相位组合历元间差值可表示为

由式(2)可知，无几何相位组合仅受历元间电离层延迟变化量－ηΔI和载波观测噪声影响，与站星距离、钟差无关，故适用于动态、非差情况下的周跳探测。在ΔI和Δε一定的情况下，组合系数越小，η越小探测精度越高。因ΔI大小跟采样间隔密切相关，为此采样间隔大小也影响探测精度。进一步对历元间电离层延迟变化量ΔI分析可以得到

式中，f₂²/(f₁²-f₂²)在北斗系统中的值为1.49，小于GPS系统的1.55，若两系统历元间站星距离变化量相等时，北斗系统中的ΔI较小。相比GPS系统的MEO卫星，北斗系统的IGO、GEO卫星运动速度较慢，使接收机到北斗的IGO、GEO卫星的站星距离历元间变化小，从而使ΔI更小。由此分析，相比GPS系统，北斗无几何相位组合受历元间电离层延迟变化量影响较小，在探测周跳方面有一定优势。在采用率为1 Hz/s或更高采样率条件下，历元间电离层延迟变化量非常小^[14]，故在较高采样率条件下，可忽略历元间电离层延迟变化量。为此无几何相位组合探测出周跳的条件设为

式中σ_(α,β,γ)=，σ_ε为原始载波观测噪声(单位/周)；l为常数，lσ_(α,β,γ)为组合的探测阈值。类似于电离层残差法，一些特殊周跳组合发生时，并不满足式(4)的条件，无几何相位组合无法探测，称这些特殊组合为不敏感周跳组合。

3 三频无几何相位组合周跳探测检验量的选取

由式(2)分析可知，探测灵敏度较高的三频无几何相位组合系数应该满足以下要求：① α+β+γ=0；② min((αλ₁)²+(βλ₂)²+(γλ₃)²)；③ η→0。根据以上要求，本文在(-4,4)整数范围内，选取较优的无几何相位组合。取σ_ε为0.01周，对无几何相位组合的电离层延迟放大系数及噪声进行分析，并设探测阈值为4σ_(α,β,γ)(即保证99.99%的置信水平)，对10周内无几何相位组合存在的不敏感周跳组合个数进行统计，具体如表 1所示。

由表 1可知，加粗表示的组合虽然噪声较小，但只能对2个频点进行探测，故三频条件下不敏感周跳组合较多。组合[1, 1, -2]无论η和σ_(α,β,γ)均较小，并且能对3个频率进行探测，其不敏感组合最少；下划线表示的组合虽然噪声较大，但电离层延迟放大系数较小，在采样间隔较大或者电离层活动相对剧烈情况下的周跳探测有一定作用。如表 1所示，每个无几何相位检验量均存在不敏感周跳组合，但不同探测量的不敏感周跳不同。为此可选用2个无几何相位组合作为探测组合同时进行周跳探测，以减少不敏感周跳组合的数目。对探测组合在10、100周内不敏感周跳组合数目进行分析，具体如表 2所示。

由表 2可知，绝大多数探测组合均能探测出10周以内所有的小周跳，而对于大于10周的大周跳很容易用高次差法、伪距/载波组合法等方法探测出来。即使在100周以内，表中加粗部分的探测组合，存在1个不敏感周跳组合的概率仅为9.705 9e-7，几乎可以探测所有的周跳^{[8, 9]}。在组合效果方面：组合[1, 3, -4]、[1, 2, -3]和[2, 1, -3]噪声较大，与其他组合联合探测效果较差；双频电离层残差组合[1, 0, -1][0, 1, -1]由于频点比较接近，存在的不敏感周跳较多，相对组合[1, -1, 0]在与其他探测量组合探测时效果较差；表中加粗的探测组合中至少有1个噪声较小的组合，故探测效果相对较好。

4 三频无几何周跳修复方法

由于无几何相位组合最多两个线性无关，无法修复3个频点上的周跳，为此文献[8, 9]采用了LAMBDA方法修复周跳。为了避免较复杂的LAMBDA搜索算法，本文试联合三频伪距/载波组合法和三频无几何相位组合法进行周跳修复，即1个三频伪距/载波组合和三频无几何相位探测组合(如表 2所示)构造3个线性无关的周跳探测检验量，通过联立方程组修复周跳。3个检验量线性无关，可以保证无公共不敏感周跳组合，从而实现对所有周跳的探测与修复。

在三频伪距/载波组合中，设载波组合系数分别为i、j、k(i,j,k∈Z)，伪距组合系数分别为l、m、n(l,m,n∈R ,l+m+n=1)，则周跳估值为

式中，Δφ_ijk、ΔP_lmn、λ_ijk、ζδI₁、N_ijk分别为组合后的相位值、伪距观测值、相位波长、电离层延迟误差、模糊度；ΔN_ijk为历元间模糊度差值，详细推导见文献[6, 7, 15]。相位组合成的超宽巷、宽巷组合的波长λ_ijk相对于伪距噪声足够长，即使在伪距噪声达到3 m时仍然有较优的超宽巷组合，仍使得伪距噪声小于λ_ijk/2，从而实现周跳的探测^[16]。

为此，由式(2)和式(5)构造3个线性无关的周跳探测检验量，联立方程组有

式中，

理论上可以直接对方程(6)的解X取整得到周跳值，但由于系数矩阵A数值较小，在利用公式X=(A^TA)^－1A^TL解算周跳时，(A^TA)^－1条件数很大，从而导致L取值的稍微变动会使解产生较大变化，即出现解不稳定的病态问题。为保证周跳修复的准确和简单，本文采取搜索方法，即以探测变化量L为中心以4σ_(α,β,γ)为搜索半径确定一个搜索范围，并根据历元间电离层延迟变化值设定搜索步长，进行周跳搜索。因历元间电离层延迟变化值跟采样率有关，故搜索步长要视不同情况而定。周跳值修复准确性的衡量准则如式(7)所示，即正确周跳修复值造成的探测量变化值与实际探测变化值L差值的1范数应该最小。

5 试验分析

本文选用北京站2011-02-25采样率为15 s的北斗2号星的数据进行试验，观测时间为2 h，卫星高度大于15°。由于原始数据无周跳，本文首先通过在各个频点上加入不同大小的周跳来验证本文的一些分析，最后对随机产生的一系列周跳值进行探测与修复，以验证本文方法的效果。本试验选用表 2中的无几何相位探测组合([1, 1, -2],[1, -2, 1])和伪距/载波组合[1, 3, -4](波长为2.76 m，忽略历元间电离层残差，置l=m=n=1/3使伪距观测噪声对探测影响最小)。伪距、相位观测噪声标准误差分别取0.3 m和0.01周。

5.1 一般周跳的探测与修复

首先针对选取的周天探测检验量进行分析，并加入一般周跳进行验证，如图 1所示。

由图 1(a)可知，无几何相位组合周跳检验量波动范围在[-0.01,0.01]周以内，伪距/载波组合检验量波动范围也仅为[-0.1,0.1]，可见无几何相位组合相比伪距/载波组合受到的噪声影响更小。图中无几何相位检验量的大小绝大多数在0.005周以内，为了修复的准确性，本试验设定搜索步长为0.001周。因本试验中伪距/载波组合检验量波动范围在0.1周以内，为此可对本试验中的l₃直接取整，不需搜索，使计算更简便。

图 1(b)为第241历元B3频点上加入1周周跳的情况，理论上3个检验量变化分别为-0.472 7、0.236 3、-4。由图可知，所得的检验量变化值与理论值大致相当。图 1(c)和图 1(d)分别为第241历元的3个频点上发生小周跳(1,2,3)和大周跳(10,15,100)。此时检验量的变化量大约分别为 (-0.730 0,-0.097 3,-4.988 2)、(-41.621 6,18.098 2,-345)。利用本文搜索法均可正确修复，其准确检验量Δζ均为0.005 7。

5.2 单个周跳探测量存在不敏感周跳的情况

图 2(a)中，在第241历元的3个频点上分别设置(1,3,2)周的周跳，组合[1, 1, -2]探测不敏感。图 2(b)分别设置了(10,10,10)周的周跳，组合[1, 3, -4]探测不敏感。图 2虽然某个组合探测不敏感，但其他组合均可探测，且均能准确修复周跳值，Δζ均为0.005 7。

图 3中，第241历元的3个频率上分别设置(75,58,61)的周跳。组合[1, 1, -2]和[1, -2, 1]探测不敏感，但组合[1, -2, 1]可以探测，且正确修复周跳时Δζ=0.017 3。

5.3 随机产生周跳检验探测修复效果

为了进一步验证周跳探测效果，本文在实测数据每3个历元产生依次加入由(0,0,0)到(4,4,4)中的1个小周跳，其周跳探测情况如图 4所示。由图可知，3个检验量可以探测出4周内所有周跳。根据表 1分析3个检验量组合[1,1,-2]、[1,-2,1]和[1,-2,1]的不敏感组合分别为[0,2,1][1,3,2]、[0,1,2][3,3,4][4,2,1][4,3,3]、[0,4,3][1,1,1][2,2,2][3,3,3][4,0,1] [4,4,4]。可见3个检验量在4周内，无共同的不敏感周跳组合，故可实现对4周内所有周跳的探测。同样利用搜索法实现了对4周内所有周跳的正确修复，正确修复值时的最小1范数如图 5所示。由图 1(a)可知，噪声和历元间电离层延迟变化量非常小，而发生周跳时L值会显著变大，且大小和系数矩阵A与发生周跳的乘积相当。因此只有正确修复周跳，才能保证Δζ最小，如有一周周跳修复不正确都会使Δζ显著变大。为此1范数最小原则可以保证周跳修复的正确性。

6 结 论

北斗无几何相位组合仅受载波噪声影响，且其电离层延迟较小，利于小周跳的探测，但每个无几何相位组合均存在一些无法探测的不敏感周跳，而筛选较优的2个无几何相位组合进行联合周跳探测，均能探测出10周内的所有小周跳。若再联合伪距/载波相位组合构成3个线性无关的周跳探测检验量，可以实现对所有周跳的探测与修复。为了确保周跳修复的正确性，本文采用的搜索法，搜索范围小，计算简单快捷，可实现周跳的实时修复，1范数准则能够保证周跳修复的准确性。另外，北斗无几何相位组合和伪距/载波组合均与站星距离无关，故可适用于动态、非差导航定位的周跳探测与修复。