2.海军大连舰艇学院海洋测绘工程军队重点实验室，辽宁大连 116018；
3.海军司令部航海保证部，天津 300042
2.Key Laboratory of Hydrographic Surveying and Mapping of PLA,Dalian Naval Academy,Dalian 116018, China;
3.Navigation Guarantee Department of Naval Headquarters,Tianjin 300042, China
1 引言
水深是反映海底地形地貌的最基础性要素，是判断舰船能否在海上安全航行的重要依据[1, 2, 3]。水深数据模型质量的高低，直接决定了海底地形表达的准确性和舰船航行的安全可靠性。
为了表达海底的高低起伏，通常通过水深测量采样，获取原始观测水深，并不断进行水深数据选择和综合，最终在海图上以离散注记的形式来表达海底的水深变化和构建数字水深模型[3, 4]。在上述的水深测量数据选取和海图制图综合中，长期采用经验的取浅舍深原则，以保留、突出海底浅点的方式，来确保舰船航行的安全。尽管这种强制保留浅点的水深处理方式，在海洋测绘中已长期、普遍使用并被一致地认为是可以保障舰船航行安全的，但笔者最近发现，这种取浅的方法并非如海洋测绘界普遍认为的那样安全可靠，而是在水深表达的安全可靠性方面存在明显的不足。① 这种离散水深注记的表达形式，在注记点处的水深是可以直接表达和读取的，但舰船航行时并非只经过这些水深注记点，更多的时候是穿梭于这些水深注记点之间的间隙区域。而在这些间隙区域，由于没有明确的水深注记，只能根据周围的水深注记，采用模型化内插的方法进行估计和推断。如图 1所示，虚线表示真实海底，实线是根据离散水深注记、采用常用的线性方法建模后形成的模型化海底，阴影区表示真实海底浅于模型化海底的部分，文中称为水深表达中的误丢浅水区。从图 1可以看出，对于所有的凸形海底，除水深注记点外，其余地方的真实水深均要浅于推断的模型化水深。虽然在水深数据处理中，为了增强安全性，要求在复杂区域适当加大水深密度[5]，这能从一定程度上缩小海底凸点周围的误丢浅水区范围，但目前海图水深普遍较稀，对这种水深密度缺乏有机调节机制，缺少能对水深安全可靠性进行有效估计的方法。② 由于测量误差的普遍存在性[6]，即使保留浅点水深，其真实水深仍有可能浅于图载的浅点水深，这从某种意义上讲，对舰船的航行安全也构成一种潜在的威胁。如图 2所示，虚线表示真实海底，图 2(a)、(b)、(c)中的实线上的圆形点分别表示受垂直误差、水平误差、垂直与水平误差综合影响的图载水深，阴影部分表示同时考虑注记点误差和模型化影响后的误丢浅水区。尽管这种测量误差造成的不安全性，也可以在海图应用时通过多留富余水深来削弱或消除，但这不是从源头解决问题的直接、有效之举。从图 2中可以看出，由于水深误差的影响，即便是在注记点上，真实水深也可能比图载水深更浅。从图 1、图 2可以看出，图载水深尽管采用了取浅舍深的方式来确保取到局部区域的水深浅点，但真实的水深是完全有可能比当前图上表达的水深更浅的。由上可知，目前广泛使用的水深经验取浅方法，只是理想地被认为是可以达到安全要求的，而事实上却是存在安全隐患的。
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| 图 1 模型化对海底表达的影响 Fig. 1 The effect of the different depth selections on the representation for sea floor |
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| 图 2 图载水深误差对海底表达的影响 Fig. 2 The effect of the charted depth error on representing for sea floor |
近年来，水深不确定度开始为国外学者关注[7]，国际海道测量组织(IHO)在新版的国际海道测量标准S-44中也正式强调了水深不确定度的概念及应用[8]。国内，有文献[9, 10]根据国际标准要求，构建了原始观测水深在水平和垂直方向上的不确定度估计模型。笔者进一步研究了水深不确定度在数据内插中的传播规律及计算方法[11]。如何在对原始和内插水深进行不确定度评估的基础上，利用不确定度解决目前水深数据选取中存在的安全隐患问题，提出更加安全可靠的水深表达方法，具有理论和现实意义。 2 水深建模及安全可靠性评估方法 2.1 水深的经验取浅及内插推估方法 2.1.1 经验取浅方法
目前，无论是海道测量中的水深数据选择，还是海图制图中的水深综合，为了保障舰船航行安全，一律采用取浅舍深的水深选取原则，本文称为经验取浅方法。如图 3所示，假设某区域R内存在水深点集合V，可表示为
式中，x、y分别表示水深平面纵横坐标；z表示水深值；n表示区域内的水深个数。则该区域的经验取浅水深zmin可表示为
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| 图 3 经验取浅的方法选择水深 Fig. 3 Depths selected by an experimental shoal-biased method |
海图水深通常通过经验取浅后，在平面图上用一定密度的离散水深注记表达海底的水深变化情况。这样，在非水深注记点上，只能采用内插的方法来推断和计算水深值，不妨采用海洋测绘界常用的TIN(triangulated irregular network)建模和线性内插的方法来进行分析计算。
基于TIN模型线性内插非注记点水深的基本方法是首先构建水深三角网，然后根据内插点平面位置确定其所处的水深三角形，最后由水深三角形顶点的位置和水深值计算内插点水深。设内插点T的平面坐标和水深值为xT,yT,zT，其所在三角形的3个顶点分别为x1,y1,z1、x2,y2,z2、(x3,y3,z3)，那么内插点T的水深值zT为[12]
式中，a0、a1、a2为对应三角形的平面方程参数。 2.2 基于不确定度的水深控浅方法
水深不确定度控浅方法的基本思想是：首先构建原始观测水深的水平和垂直不确定度的估计模型，然后根据安全可靠性要求设置置信度，求取其水深不确定度值和最小可能水深值，最后选择一定密度的最小可能水深值来构建水深模型。 2.2.1 水深不确定度估计
(1)不确定度理论。不确定度是在某一明确的置信度下，测量结果包含于无数可能值的一个区间[6]。不确定度估计的严密方法是：首先分析全误差Δδ中包含的随机误差和各种系统误差成分，其次确定Δδ的概率分布，根据概率分布的置信域，获得置信系数kδ，即得其综合不确定度[13]
式中，σδ为标准差。
国际标准化组织ISO制定《Guide of the Expression of Uncertainty in Measurement》[14]，推荐不确定度的合成方法(GUM方法)为：当测量结果y是由多个观测量x1,x2,…,xn组成的函数时，即存在y=fx1,x2,…,xn的函数关系式，则测量结果y的不确定度ucy是由这n个观测量的不确定度uxi，i=1,2,…,n以一定的传播规律联合构成，即
式中，rxixj为xi与xj的相关系数。
(2)原始观测水深的不确定度估计。根据文献[9]，可知多波束测深系统在垂直和水平方向上的标准差分别为
对于单波束测深系统，可将式(6)、(7)简化为
根据统计学的知识，此时σ Depth 和σ Position 的置信度均为68 %，需将其扩展至95%，以满足S-44 规范[8]的要求。根据σ Depth 和σ Position 服从正态分布的特性与其相应的置信区间，垂直不确定度σV和水平不确定度σH可分别表示为[8]
(3) 内插水深的不确定度估计。随着水深数据向高密度方向发展，内插水深已开始广泛应用[2]，本文采用运算简单、执行效率高的加权平均法作为不确定度控浅中内插水深节点的基本方法。设内插点S的平面坐标和水深值为(xS,yS,zS)，邻域内离散水深点为xi,yi,zi，i=1,2,…,n，n为邻域内离散水深点个数，则内插节点S的水深值zS为[12, 15, 16]
式中，di=
。由于内插点S的平面位置已经给定，故内插节点S不存在水平不确定度，而对于垂直不确定度，经推算可知
式中，i=1,2,…,n;j=1,2,…，n。
根据GUM方法[14]，将式(12)的zS看做由多个观测量(d1,d2,…,dn,Z1,Z2,…,Zn)构成的观测结果y，代入式(5)，经整理，得内插节点S的垂直不确定度可表示为
2.2.2 水深的最小可能值计算
假设某点的水深数据信息为S=(x,y,z,σH,σV)，按照S-44规范[8]要求，对于给定的节点，根据不确定度的定义，从理论上讲，在95%的置信度下，该点的实际水深
真值应满足
水深的最小可能值理论上是指由于测量不确定度的存在，在一定的置信度下，该点水深可能会出现的最小值，用其作为不确定度控浅的水深值，可表达为
式中，zmin表示不确定度控浅水深；z表示经过前期改正和相关处理后的水深值；σV为水深点的垂直不确定度。
利用区域R的原始水深数据，计算原始水深数据在水平和垂直方向上的不确定度，构建原始水深数据模型，可表示为V={(x,y,z)|(x,y,z)=(xi,yi,zi),(xi,yi)∈R,i=1,2,3,…,n}。对于区域R内的某一节点，若存在原始观测水深，则直接根据式(16)，计算该点水深的最小可能值；反之，则采用加权平均法，根据式(6)~(14)，计算该点的内插水深及不确定度，然后根据式(16)，计算该点水深的最小可能值。那么，对于区域R内的任意一点，其平面坐标为x,y，则该点的不确定度控浅水深可表示为
式中，di=
。通过上述方法，对于研究区域内的任意一点，均可计算该点水深的最小可能值。
2.2.3 不确定度控浅水深的表达
对于不确定度控浅的水深模型，从理论上讲，可以任意地选择一定密度的原始观测(或内插)水深及其不确定度，来构建数字水深模型，从而再用模型可以求出我们所关心的任意一点水深最小可能值。
为了便于数据组织和作业的方便，在不确定度控浅中不妨用局部区域中心点位置的水深来进行表达和建模。对于图 3中用于经验取浅的同一组数据，不确定度控浅后的最小可能水深表达如图 4(b)所示。
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| 图 4 不确定度控浅方法选取浅水深 Fig. 4 Depths selected by a method for controlling shoal-bias based on uncertainty |
为了对水深表达的安全可靠性进行定量评估，统一采用保证率这一指标。
经验取浅(或不确定度控浅)水深表达的保证率检验方法如下：根据原始观测水深数据集，分别根据经验取浅(或不确定度控浅)的方法进行水深数据综合，并构建相应的数字水深模型，然后选择一定数量的具有原始观测水深的点位作为检查点，并分别基于经验取浅(或不确定度控浅)的水深模型求取检查点处的水深经验取浅(或不确定度控浅)值，计算检查点处水深深于经验取浅(或不确定度控浅)值的概率，最后计算各检查点概率的平均值，作为整个水深模型的保证率。
给定某一检查点，其原始观测水深的信息可表达为S=x,y,z,σH,σV。对于经验取浅的水深模型，根据TIN内插检查点水深为Z′，即为内插水深的经验取浅值；对于不确定度控浅水深模型，采用加权平均法计算检查点的内插水深Z″，并估计内插水深不确定度σ″V，计算内插水深的不确定度控浅数值Z″min，即Z″min=Z″－σ″V。根据式(10)，逆向计算求出检查点观测水深在垂直方向上的标准不确定度(即中误差)
对于某检查点i，其观测水深值为i，由于误差的影响，其实际水深值Zi~Ni,σiDepth。根据统计学的知识，计算检查点处实际水深值大于等于经验取浅(或不确定度控浅)数值的概率，作为各点水深保证率。
经验取浅
不确定度控浅
根据各检查点水深的保证率，可计算整个水深模型的保证率，可表达为
3 试验与分析 3.1 试验区域
由于全覆盖测量的多波束水深具有密度大、精度高的特点，故本文采用多波束观测水深来进行比对试验。根据如图 5所示的两组多波束水深数据，分别采用经验取浅和不确定度控浅的方法构建水深模型，然后选取一定数量、分布均匀的检查点，比对分析两种方法建模的水深安全可靠性。在如图 5所示的试验海区1、2，其水深变化范围依次为4.683m~16.159m、2.355m~32.670m。需要说明的是，经验取浅模型是根据目前海道测量中的常用作业流程，先用权威的Caris软件对水深数据进行抽稀，再采用前面所述的TIN方法建模和内插检查点水深。
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| 图 5 海区的海底三维示意图 Fig. 5 3D display of sea floor in experimental areas |
根据式(6)~(21)，分别对经验取浅和不确定度控浅方法所构的水深模型的保证率进行计算，结果如表 1所示，部分比对点的详细比对信息如表 2、表 3所示。在表 2、表 3中，x、y分别表示检查点的平面位置，Z′、Q′分别表示比对点的经验取浅水深及保证率，Z″、Q″分别表示检查点的不确定度控浅水深及其保证率。
| 试验区域 | 检查点个数 | 保证率 | |
| 经验取浅 | 不确定度控浅 | ||
| 1 | 1179 | 80.51% | 95.90% |
| 2 | 860 | 83.34% | 96.37% |
| 点号 | 检查点平面位置 | 经验取浅 | 不确定度控浅 | |||
| x/m | y/m | Z′/m | Q′ | Z″/m | Q″ | |
| 1 | 2 385 354.315 | 19 699 384.401 | 13.734 | 84.21% | 13.446 | 97.85% |
| 2 | 2 385 923.712 | 19 691 059.503 | 9.485 | 96.67% | 9.140 | 97.74% |
| 3 | 2 386 465.345 | 19 690 046.140 | 9.047 | 71.85% | 8.704 | 97.02% |
| 4 | 2 386 739.284 | 19 692 971.458 | 8.291 | 92.34% | 8.182 | 96.54% |
| 5 | 2 387 239.141 | 19 699 611.469 | 12.627 | 56.14% | 12.224 | 96.35% |
| 点号 | 检查点平面位置 | 经验取浅 | 不确定度控浅 | |||
| x/m | y/m | Z′/m | Q′ | Z″/m | Q″ | |
| 1 | 3 309 743.439 | 41 422 722.452 | 19.936 | 87.75% | 19.531 | 99.78% |
| 2 | 3 310 315.674 | 41 422 607.32 | 12.519 | 82.27% | 12.252 | 97.93% |
| 3 | 3 310 680.574 | 41 422 664.461 | 7.164 | 69.21% | 6.899 | 94.83% |
| 4 | 3 311 045.807 | 41 421 873.579 | 14.129 | 96.57% | 14.137 | 96.31% |
| 5 | 3 311 306.183 | 41 422 299.120 | 6.026 | 61.97% | 5.334 | 99.94% |
从表 1、表 2、表 3可以看出，无论整体模型还是单个水深，不确定度控浅方法在保证率上要明显优于经验取浅方法。主要原因在于经验取浅方法未考虑水深误差和模型化过程对保证率的影响，而不确定度控浅方法则充分考虑了原始观测和内插水深的不确定度，从而提高了水深表达的保证率。从表 1中不确定度控浅模型的整体保证率来看，其已大于海洋测绘界普遍认可的95%，从而使得水深表达这一环节已符合海洋测绘作业中的安全可靠性要求。
为了更全面地反映经验取浅与不确定度控浅方法在不同区域的保证率差异，以各检查点的位置x,y作为平面量，分别以两种方法在试验区域1、2的保证率Q′、Q″作为垂直量，构建相应三维灰度图，如图 6、7所示。
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| 图 6 区域1的水深保证率灰度图 Fig. 6 Grayscale of the depth assuring rate in area 1 |
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| 图 7 区域2的水深保证率灰度图 Fig. 7 Grayscale of the depth assuring rate in area 2 |
从图 6、7可以看出，无论是从局部还是从整体上看，不确定度控浅水深的保证率均要明显优于经验取浅水深。由图 6(a)、图 7(a)可以发现，经验取浅水深的保证率在不同区域变化较大。而对比图 6(b)、图 7(b)，进一步证实了不确定度控浅水深也可以较好地控制保证率变化。从图 7(a)中可以看出，区域A的灰度值差异较大，这说明经验取浅方法在此区域的保证率差异较大，而在图 7(b)中，相对应的区域B，通过不确定度控浅方法处理后，这种保证率都达到了一个较好的指标。通过详细检查该区域的原始观测水深，分析区域的海底地形，发现该区域的水深变化比较复杂，且水深数据质量相对较差。由此可以看出，在最容易影响舰船安全航行的水深变化的复杂区域，不确定度控浅方法也能够有效利用水深不确定度信息，能更明显地提高水深表达的保证率。 4 结论
通过分析、计算及试验比对，得结论如下：
(1)通过理论分析和试验验证来看，长期理想地被认为可以达到安全要求的经验取浅方法，误丢浅水区的可能性仍较大，这在保障舰船航行安全上可能存在隐患。
(2)相对于目前广泛使用的经验取浅方法，所提方法在水深表达的保证率上有明显的提高。特别是水深变化复杂的区域，提高的程度更高。
本文只是选取了两个试验海区的多波束水深进行了试验，如何用更多的数据源来论证水深数据密度和水深变化复杂程度对保证率的影响，有待以后进行。另外，本文更多的还只是分析现有方法的不足和论证不确定度控浅方法在直接确保水深表达保证率上的优越性，至于不确定度控浅方法在海图分析中特别是手工作业上的应用，还有待于进一步探索。
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