1 引 言
色彩是人们视觉可以分辨的形式特征，所以颜色就具备信息载负的能力。色相、亮度和饱和度的变化，可以反映制图对象的等级、数量、类别以及空间分布等信息。色彩的灵活运用还能使地图层次分明，图素清晰，有利于加强地图的信息传递功能[1]。
传统的地图可视化表达是以纸质为主要形式来完成的[2]。随着多媒体、网络等技术与地图相结合，产生了电子地图、网络地图等新的地图类型[3]。地图的承载介质也开始由纸张进化为计算机屏幕、投影仪、手持阅读器等。由于呈色机理、物理特性、使用条件等方面的差异，不同地图承载介质显色能力之间存在较大差异，同种类型的承载介质也会因为使用条件和使用年限的不同而具有不同的显色范围。色域差别导致地图在跨媒介再现时容易出现丢色、偏色等现象，影响地图视觉效果，甚至传输错误的属性、数量等信息。
针对地图的色彩复制问题，文献[4]建立了CIEXYZ与RGB之间二次回归方程。文献[5]利用最小二乘法建立从显示器设备驱动信号值到显示器所表现颜色的三刺激值之间的转换,以及从屏幕三刺激值到实际纸张上的网点比例之间的转换模型。文献[6—7]分别引入国际色彩联盟(International Color Consortium，ICC)色彩管理、Windows 图像色彩管理 (Windows image color management，ICM)机制来解决地图色彩传递。上述4项研究均是针对整个设备色域的“设备到设备”色彩管理[8]，没有顾及地图色域的特点，无法实现地图颜色的精确传递；“图像到设备”的色彩管理方法使用输入图像内容的统计特征来决定源色域的大小和范围，试验结果表明这种算法普遍好于前一种[9, 10, 11]。但其没有考虑到地图颜色的分布规律与色域映射中的约束条件，尚未解决地图色彩的精确传递与再现。
本文从地图色域特征出发，提出一种面向地图跨媒介传播的地图色域映射方法并进行试验验证。 2 地图色域特征分析
色彩是重要的地图视觉变量，色相、亮度和饱和度可以用来反映定位、定量、定性的地理信息[1]。地图颜色所代表的地理实体之间的分布本身具有空间分布和分异特征，导致地图色域有别于一般图形、图像。以《中华人民共和国人口环境与可持续发展地图集》中的《地势地貌图》(图 1(a))和《人口密度图》(图 1 (c))为例:《地势地貌图》中通过不同的色彩来表示山地、丘陵、平原、湖泊、大陆架以及海底地形地貌等不同地势地貌类型；《人口密度图》中，利用饱和度来反映不同地区的人口密度分布。为分析两幅典型地图的色域特征，对每一幅图逐单位获取其RGB色彩值，建立由唯一RGB色彩值组成的地图色谱，然后将色谱由设备相关的RGB色空间转化为设备无关的CIE1976LAB色空间。两个地图色谱可视化结果如图 1(b)、(d)所示。
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| 图 1 典型地图及其CIE1976LAB色域图 Fig. 1 Sample map and its color gamut of CIE1976LAB color space |
从以上两幅典型地图及其CIE1976LAB色谱图可以发现：
(1) 地图色域呈离散分布。地图制图中，离散“对象”(点、线和面)符号化得到的图斑依然呈离散分布,对连续“现象”的表达则是通过离散颜色插值产生。在通用色彩管理技术中，通常将色彩范围定义为连续的色彩空间。相应的色域映射方法皆为连续色域到连续色域的映射方法。地图色域为离散、无序的点云。离散色域色彩管理过程中的色域边界确定、色空间转换内插方法、色域映射函数、寻优时变量个数以及转换计算量等方面与连续色域色彩管理方法存在较大差别。连续的色域映射方法不适用于离散地图色域。
(2) 地图色域范围要小于设备色域。受人类短时记忆能力的限制，制图数据项分类和分级的数目是有限的(一般分为5～9级)，数量、类型和级别过多不便于人眼辨识[1]。地图出版工艺对地图用色总类也有较大限制。以上原因导致地图上表现的色彩种类是有限的，小于甚至远远小于地图承载媒介的色域。当前的色彩管理技术多研究设备到设备的映射方法，追求整个设备色域的精确传递与完整再现。由于色域本身形状上的差异，设备到设备的映射方法并不能完全保证所有颜色的精确传递与完整再现，不管采用色域压缩还是色域裁剪，都可能导致目标设备色域范围内的地图颜色出现丢失或者偏移。
因此，地图色彩有其自身的特点，不能直接应用通用色彩管理技术。必须针对地图的色域特征等来设计相应的色彩传递和再现方法。 3 地图颜色传递与再现模型
目标设备与源设备在色域不同的情况下，色域映射就是不可避免的[12]。通用色域映射过程中，需要考虑的指标是色相保持、灰平衡保持以及图像色阶保持等[13, 14]。对于地图色彩而言，往往通过不同的色相饱和度来表示定性的属性信息，而颜色所代表的地理实体之间的分布本身具有空间分布特征，必须顾及地图颜色整体的空间分布和对比。其约束条件包括色相、色差、对比、连续、灰平衡等。若将上述约束条件表示为在CIE1976LAB色空间下色点的相互距离问题，则该问题是一个非凸的二次优化问题[9]。变量(色点)的个数也增加了求解的复杂度。
基于本文的地图色域特征分析，将地图色域映射问题理解为一个目标色域范围约束下离散点云的整体形变问题。色差、对比等约束条件可转换为点云中单个点的几何特征。色点具有局部特征，必须保证色彩的对比和连续；又具有全局特征，地图整体色貌和空间分布。目标设备色域约束下的点云整体形变度量必须顾及到点的局部和整体特征。因此，地图色域映射问题可分解为离散色域的表示与离散色域整体形变的度量两个问题，分别采用Delaunay剖分和几何矩来解决。
CIE1976LAB标准色空间是CIEXYZ标准色空间经过非线性变换而得到的，与设备无关的颜色空间，常用于设备色空间与设备色空间进行转换的中间色空间，其优点是当颜色的色差大于视觉的识别阈值而又小于孟塞尔系统中相邻两级的色差值时，能较好地反映物体色的心理感受效果。因此在颜色转换或颜色复制中，常用于评价转换或复制的颜色效果[14]。Delaunay三角形/四面体是2D/3D Voronoi图的对偶图，具有唯一性的特征[15]。这里采用Delaunay三角形/四面体来描述无序、散列的地图点云数据，将存在复杂关联关系的点云描述为一个简单的单纯复形。
“矩”的概念在统计学中用于表征随机量的概率分布，在力学中用于表征物理质量的空间分布。几何矩是矩函数中最简单的,也是最重要的矩,几何矩是用于推导平移、伸缩和旋转不变量的常用技术。其(p,q)阶矩可定义为[16]
式中，f(x,y)可理解为该几何体所包含的区域在(x,y)处的密度函数。从式中二重积分的表达来看，(p,q)阶矩描述了密度函数在(x，y)空间内的整体分布结果。这里采用(1+1)阶几何矩(p=1,q=1)。
基于以上Delaunay三角网/四面体和几何矩的讨论，地图离散点云的形变问题可以用一个变量来衡量
式中，C={C1,C2,…,Cn}表示离散点云中点的集合；n表示离散点的个数。
据此，地图色域映射问题可以进一步归结为一个单目标优化问题
式中，T表示目标设备；Shape(T)表示目标设备色域；f(C)表示点的位移。
CIE1976LAB色空间中L表示明度，A、B分别表示为红绿度与黄蓝度。色域映射过程中，在确保明度保护的前提下,可对地图离散点云进行2D Delaunay三角网剖分。 对图 1(b)中的离散点云，进行Delaunay三角网剖分的结果如图 2所示。
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| 图 2 CIE1976LAB色空间下地图颜色点云的Delaunay剖分结果图 Fig. 2 Delaunay subdivision of the map color points in the CIE1976LAB color space |
在本文的点云Delaunay三角形几何矩计算中，如果坐标(x,y)在形状(三角形)内部则密度函数f(x,y)取值为1，如果在形状外部则为0。
对于如图 3所示的三角形ABC,分别作A、B、C 3点到X轴的投影C′、B′、A′。
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| 图 3 三角形几何矩计算示意图 Fig. 3 Calculating the geometric moment of a triangle |
由二重积分的区域可加性可知
由图 3可知，AC线段的直线方程为
由几何矩的定义可以得到
同理可得到MABD、MADB′C′的解析解，从而求出三角形ACB的几何矩。进一步可以计算出点云Delaunay三角网几何矩值，并用于判断地图色域点云的整体形变。
如图 4所示，完整的地图色彩跨媒介传输与再现流程为：
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| 图 4 地图色域映射流程 Fig. 4 Flow chart of map gamut mapping |
(1) 地图色域点云数据提取。
(2) 将点云数据色彩值由设备相关的RGB色空间转换为设备无关的CIE1976LAB色空间。
(3) 目标设备色域计算。
(4) 判断点云内所有点是否都在目标色域范围内，若是，则无需色域映射直接得到目标色域下的色彩点的三刺激值，直接转入步骤7。
(5) 如不在或不全在目标设备色域范围内，则在CIE1976LAB色空间下对点云数据进行Delaunay剖分，进行几何矩计算。
(6) 迭代求解包括①采用分区最大边界描述方法(segment maxima gamut boundary descriptor,SMGBD)[17]来获取源设备色域边界，利用色域拉伸算法实现源设备色域边界到目标色域的映射，获取源、目标设备最大色差；②以最大色差作为色点最大偏移范围，以恰可察觉色差(just-noticeable color difference)[18]为步长，循环计算地图点云几何矩；③选择几何矩之差最小的点云作为最优形变点云。
(7) 通过逆设备变化，将CIE1976LAB值变换为设备颜色值(如：RGB、CMYK等)，完成色彩传递。 5 试验验证
为验证本文方法的可行性，采用《中华人民共和国人口环境与可持续发展地图集》中《中国人口密度图》(图 5)进行试验。试验中使用X-Rite Eye-One软硬件设备获取源设备(Dell desktop)目标设备(IBM Thinkpad T43)的ICC Profile文件。利用ColorThink软件查看地图色域与两个显示设备色域(图 6)。图中，源设备色域用线框模式显示，目标设备色域用实体模式显示，地图色域用离散点显示。由图 6可见，目标设备色域要小于原始设备，地图大部分色域介于两者之间。
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| 图 5 试验样图 Fig. 5 The sample map |
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| 图 6 地图色域与两个显示设备色域 Fig. 6 The color gamut of map compared with that of two kinds of devices |
ICC针对不同应用目的定义了饱和度意图(saturation intent)和绝对彩度意图(absolute colorimetric intent)等4种色域映射方法。饱和度意图被认为适合地图颜色的传递，绝对彩度意图适合于颜色精确复制。因此，试验中选择这两种色域映射方法作为比较对象。借助Adobe Photoshop软件对原地图进行饱和度意图和绝对彩度意图色域映射。本文算法试验首先获取地图色点RGB值，对其进行CIE1976LAB色空间转换，采用开源几何算法包CGAL对CIE1976LAB色空间下的离散点云进行Delaunay三角剖分，得到最优解，转换结果如图 7所示。
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| 图 7 颜色转换结果对比图 Fig. 7 The results of three gamut mapping methods |
对于试验获得的3组原始试验数据，采用CIE1976LAB色差公式来计算转换前后的色差，并对色差进行求和计算，获得点云数据的整体色差,原始数据和色差计算结果如表 1所示。由表 1可以看出，当地图色域超出目标色域范围时，ICC饱和度意图色域映射、ICC绝对彩度意图色域映射以及本文方法均会导致色点产生不同程度的偏移。与ICC饱和度意图色域映射、ICC绝对彩度意图色域映射相比，除ID为6的色点外，该方法单个色点色差全部小于前两者。其原因是：ICC饱和度意图和绝对彩度意图中的色域映射方法以整个设备色域为映射对象，当原色域与目标色域相差较大时，出现色域的整体变形，无法保证地图颜色信息的精确传递。从3组试验数据中还可以看出，该方法大部分色点的色差都小于ICC色域映射方法，但ID为6的色点色差大于ICC色域映射方法。其原因是：当两个色点色差很小时，无论采用色域裁剪还是色域压缩，均会导致色差变得更小，从而丢失局部色彩细节。由于该方法不仅顾及地图整体色貌还顾及了局部色差，该算法很好地保留了地图色彩的局部特征，使得某些色点的色差大于ICC色域映射方法。
| ID | 原始颜色(CIE1976LAB) | ICC 饱和度意图 | ICC 绝对彩度意图 | 本文方法 | |||||||||||
| CIE1976LAB值 | 色差 | CIE1976LAB值 | 色差 | CIE1976LAB值 | 色差 | ||||||||||
| 1 | 99.20, | -0.50, | 2.74 | 99.18, | -0.57, | 2.47 | 0.28 | 98.21, | -3.90, | -1.83 | 5.79 | 99.24, | -0.27, | 2.57 | 0.28 |
| 2 | 89.53, | 0.00, | 0.00 | 89.61, | 0.35, | 0.12 | 0.38 | 88.69, | -2.62, | -3.74 | 4.65 | 89.71, | 0.00, | 0.00 | 0.18 |
| 3 | 97.98, | 3.02, | -1.37 | 98.26, | 2.03, | -0.50 | 1.35 | 97.36, | -1.76, | -4.00 | 5.49 | 98.12, | 2.93, | -1.15 | 0.27 |
| 4 | 95.46, | 7.36, | -2.95 | 96.28, | 4.79, | -0.82 | 3.44 | 95.43, | 1.44, | -5.24 | 6.34 | 95.87, | 6.83, | -2.11 | 1.07 |
| 5 | 75.95, | 0.00, | 0.00 | 75.96, | 1.15, | 0.41 | 1.22 | 75.26, | -1.71, | -3.21 | 3.70 | 76.42, | 0.00, | 0.00 | 0.48 |
| 6 | 78.14, | -9.94, | -33.65 | 78.94, | -2.13, | -30.14 | 8.59 | 77.90, | -4.47, | -33.48 | 5.48 | 74.89, | -22.22, | -38.41 | 13.57 |
| 7 | 86.99, | 23.01, | -10.08 | 90.11, | 13.65, | -2.64 | 12.36 | 89.17, | 10.09, | -6.22 | 13.66 | 88.46, | 20.31, | -7.09 | 4.28 |
| 8 | 92.31, | 13.03, | -5.68 | 93.83, | 8.33, | -1.74 | 6.31 | 92.90, | 4.69, | -5.67 | 8.35 | 93.01, | 11.97, | -4.14 | 1.98 |
| 9 | 81.58, | 34.02, | -14.75 | 86.92, | 18.60, | -3.03 | 20.09 | 85.90, | 14.91, | -6.57 | 21.23 | 83.93, | 29.01, | -10.12 | 7.21 |
| 10 | 70.00, | 59.44, | -25.81 | 82.21, | 25.22, | -2.09 | 43.39 | 81.08, | 21.36, | -5.72 | 44.46 | 76.46, | 43.98, | -14.48 | 20.22 |
| 11 | 51.14, | 79.85, | -34.17 | 71.27, | 24.00, | 1.93 | 69.48 | 70.45, | 20.15, | -1.02 | 70.97 | 65.24, | 44.27, | -11.28 | 44.58 |
| 12 | 46.62, | 73.60, | -31.62 | 65.04, | 22.89, | 1.85 | 63.49 | 64.29, | 19.16, | -1.25 | 64.80 | 59.74, | 40.97, | -10.52 | 41.01 |
| 13 | 55.52, | 84.59, | -36.11 | 76.71, | 25.03, | 2.01 | 73.82 | 75.85, | 21.17, | -1.18 | 75.21 | 70.35, | 46.90, | -11.89 | 47.19 |
| 求和 | 304.20 | 330.13 | 182.32 | ||||||||||||
总体来看，该方法以地图色域为映射对象，以目标色域作为色域边界，以最小点云形变作为约束条件，很好地保持了地图整体色貌、颜色之间的对比、连续等特征，色域映射质量要优于ICC饱和度再现意图和绝对彩度再现意图。 6 结 论
随着电子地图、网络地图的广泛应用，地图的承载介质呈现多元化的趋势，地图在跨媒介再现过程中，地图颜色传输精确性、可预见性问题均需要深入研究。地图色彩设计本身有其规律性，加之地图色彩所指代的地理对象出现分布和分异特征，使得地图颜色不同于普通图像、图形。本文在分析地图色域特征的基础上，将地图色彩高精度跨媒介再现问题转换为一个点云数据在边界约束下的整体形变问题。引入Delaunay三角剖分和几何矩，将点云形变问题转化为一个单目标优化问题。试验表明，该方法很好地保持了地图整体色貌以及具备图斑之间的对比、连续。下一步的工作包括优化问题的快速求解以及主观、客观地图色彩传递与再现结果的评价方法。
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