分数阶微分是整数阶微分的延展，是专门探索任何阶数微分数学性质、特点和应用的范畴。在挑选阶次数时分数阶微分不受整数的限制，这样计算的阶次就增加了。分数阶微分在模式快速识别、系统分析建模和信号滤波处理等方面应用广泛^[1-3]。

在分析土壤光谱时, 被选择的波段数和光谱采样间隔在土壤重金属预测时非常重要^[4]。高光谱分辨率数据能够同时提供成百上千个窄波段光谱反射信息，特别适用于描述复杂光谱特性的地物，因不同的重金属其光谱反射特征不同，对应反演的最佳光谱采样间隔也不相同。因此在重金属含量估算时，最佳光谱采样间隔的研究意义非凡^[5-7]。此外，进行土壤光谱数据分析建模时，光谱一、二阶微分在高光谱数据预处理中是一种常见的有效分析方法，常用于光谱信息增强^[8-10]。但其也有一些缺点：二阶和一阶微分的光谱曲线具有较大差异，一些中间的光谱信息会被遗漏、丢失，高频噪声会被放大。而分数阶微分恰好能够利用到其中间信息，整个光谱数据也能够被充分利用，光谱信息也被深度的挖掘和利用^[11-12]。

本文利用室内土壤实际测量高光谱数据，结合土壤重金属检测数据，从相关系数的角度探索不同采样间隔(15、25、35、45 nm)下分数阶微分对土壤重金属高光谱数据的影响，以期为土壤重金属容量值高光谱数据反演，以及利用航天星载高光谱数据监测大范围重金属污染提供借鉴，也可在波段设置方面为专门监测重金属含量的传感器提供参考。

1 分数阶微分

分数阶微分将微分阶数扩展到非整数阶，从而微分的定义被泛化了，而当微分阶数为正整数时，整数阶微分就成了分数阶微分的特例。分数阶微分常见的表达形式主要包括3种：Riemann-Liouville(R-L)、Grünwald-Letnikov(G-L)和Caputo。其中G-L定义形式更为常用，G-L分数阶微分定义为

式中，α为任意阶数；h为微分步长；t与α分别为微分的上、下限；Γ(α)为Gamma函数^[13]。

令h=1，能够推导出一元函数f(x)分数阶微分的差值表达式为

式中，v为阶数；n为数据长度，^[14]。

2 研究方法 2.1 研究区概况

本文选取的研究区位于湖南省岳阳县某镇，属于重金属低污染地区。研究区地理位置为112°37′E—112°45′E，29°29′N—29°35′N。随着经济的持续发展，研究区内工业规模发展迅速，然而化学工业生产、重金属农药、畜禽养殖废弃物和化肥施用等人类活动导致外源重金属进入土壤并不断累积，且研究区内湖泊星布、水系发达，受到污染后易于扩散。

2.2 土壤样本采集与处理

采样时间为2016年7月上旬，根据研究区特点，设置57个样点，采用5点“X”形混合采样法挖取0~20 cm深的浅表土样，挖取的土样重量约1 kg，用标号的保鲜袋封装后运回实验室进行室内测验。将经自然风干后的土壤样本进行碾碎，接着过100目筛；最后选用四分法取样，分成均匀两份，分别被用于重金属和光谱测定。测定土样重金属含量时，利用电热板消化法，使用HCl:HNO₃+HClO₄消解样品，然后通过电感耦合等离子发射光谱仪测定。

2.3 土壤样品光谱测定

使用SVC HR-1024i型光谱仪在暗室内进行，光谱仪波段范围为340~2515 nm。将预先处理好的土样倒入深3 cm、半径为10 cm的圆形黑色器皿中，倒满后压实并用钢尺刮平。采集光谱数据时，50 W的卤素灯被选做模拟光源，土样被放置于距离卤素灯50 cm远的位置，探头天顶角为15°，其距土壤表面15 cm。每次采样前，使用参考白板进行校正。每个样品采集5条光谱曲线，利用SVC HR-1024i PC Data Acquisition Software Ver.1.6软件，取平均后作为该土壤样本的反射率。

2.4 光谱数据处理

信噪比较低的340~399 nm与2401~2515 nm光谱波段被去除后，Savitzky-Golay滤波平滑去噪被用于处理土样反射率光谱^[15]。同时为了研究在不同光谱采样间隔下分数阶微分算法对土壤重金属高光谱数据的影响，进行了15、25、35和45 nm间隔的光谱重采样。光谱的分数阶微分算法处理采用Python语言并依据式(2)编程实现。光谱重采样后，0~2阶的各阶次(间距0.2阶)微分处理分别在土壤光谱中进行，并分别得到各光谱采样间隔下各阶微分和土壤重金属的相关系数，比较分析各光谱采样间隔下各阶微分相关系数的曲线变化规律。

3 试验与分析

光谱反射率与地表目的参数的相关系数越大，光谱响应表现得越敏感，就越有可能在最后建立模型时被选入特征波段^[16]。这里以15 nm重采样的光谱反射率和重金属Cu为例，首先，进行各波段的光谱反射率0~2阶(间隔0.2阶)微分和土壤Cu含量的相关性分析，并在0.01程度上检验相关系数的显著性，结果如图 1所示。原始土壤光谱曲线(0阶微分)中，土壤重金属Cu含量和全部波段反射率不存在显著性，从图中显而易见，属于0.01显著性水平的波段数目于0.6阶微分处理中明显大于0.4、0.2、0阶微分处理。

重金属Cu含量和光谱反射率各阶微分属于极显著相关水平的波段数量从图 1中无法看出，因此，统计重金属Cu含量和每种采样间隔(15、25、35、45 nm)下各阶微分(共11阶次)的相关系数完成0.01显著性检验的波段数目，结果见表 1。从纵向来看，对于这4种光谱采样间隔，随着阶数的增加，通过显著性检验的波段数量先增加后减少是整体的呈现趋势；但对35、45 nm采样间隔而言，在总体趋势下，局部出现一定的反弹(对于35和45 nm，都是2阶多于1.8阶)。从横向来看，对于这4种光谱采样间隔，在确定的微分阶数情况下，属于0.01显著性水平的波段数目的先后顺序为：15 nm > 25 nm > 35 nm > 45 nm，因此，在研究区的57个土壤样本中，在提升相关性的效果方面，15 nm采样间距优于其他3种采样间距。

在重金属Cu含量和各采样间隔下各阶微分之间的相关系数的绝对值最大时，波段数量统计结果见表 2。从纵向来看，对于各光谱采样间隔，当微分阶数变大时，相关系数绝对值的最大值max|P|曲线均大体呈现先升后降的趋势，15 nm的相关系数绝对值|P|在1.6阶微分的535 nm处达到最大，25 nm的|P|在1.2阶微分的550 nm处达到最大，其他两种采样间隔(35、45 nm)分别在2阶微分的680和670 nm处达到最大值。从横向来看，对于这4种光谱采样间隔，在微分阶数一定的情况下，max|P|均整体表现减小的趋势，只有少部分的阶数微分表现增大的趋势。此外，在4种光谱采样间隔下，max|P|的极大值排序为：15 nm > 25 nm > 35 nm > 45 nm。

4 结语

本文通过对土壤重金属和不同光谱采样间隔下分数阶微分处理后的光谱反射率的相关系数进行统计与分析，研究了不同采样间隔下分数阶微分在土壤重金属方面对高光谱实测数据的影响。经过分数阶微分处理后，属于极显著相关水平的波段数目明显增加；当微分阶数变大时，波段数目整体上先增大后减小，且15 nm重采样间隔提升相关性的效果在4种采样间隔中最好。对于每种光谱采样间隔，随微分阶数的增加，相关系数绝对值的最大值max|P|均大体呈现先增加后减少的趋势，且15 nm的相关系数绝对值，在1.6阶微分的535 nm处达到最大，为4种采样间隔中各分数阶微分下max|P|的极大值。

分数阶微分是整数阶微分的延伸, 极大地扩展了光谱数据预处理的方法。由于室内高光谱与野外和星载高光谱存在很多差异，因此在以后的研究中，要进一步探索利用不同光谱采样间隔下分数阶微分处理野外和星载高光谱数据的方法。