地球不仅反映了地球的整体运动状态，同时表征固体地球与地核、地幔、海洋及大气在各种时空尺度上的相互作用过程，它们在没有外力的情况下构成了复杂的地球动力学系统。地球自转变化可以用地球定向参数(EOP)来描述，地球定向参数包括地球自转参数、岁差、章动，由于当前的IAU2000/IAU2006岁差、章动模型与实际的观测符合很好，对于大多数应用岁差、章动资料采用理论模型计算值就可以满足其要求，因此地球自转参数就成为进一步研究的重点主题。地球自转参数(ERP)包括极移参数、日长变化、UT1-UTC，极移参数包括X、Y两个方向上的极移分量。ERP是卫星精密定轨、深空探测、导航等领域的重要基础数据，由于空间测地技术获得的ERP存在几天到两个星期的滞后性，空间导航等领域对ERP高精度预报值的需求与日俱增，ERP高精度预报已成为亟待解决的问题。国际上常用的地球自转参数预报方法有最小二乘、卡尔曼滤波、神经网络方法、协方差法等，使得地球自转参数预报的精度逐渐提高。随着航空航天技术和大地测量技术的发展，地球自转参数的预报方法得到重大改进，预报精度也达到更高的水平。2012年徐君毅运用基于截距修正的GM (1.1) 模型进行极移预测^[1]；2011年张昊等利用最小二乘与差分自回归滑动模型进行极移的短期预报^[2]；2012年，许雪晴对地球定向参数预报高精度方法作了研究^[3]，并运用AR模型间隔方式和迭代方式预报地球自转参数^[4]；2012年王小辉等将经验模式分解运用在极移超短期预报中^[5]；2012年严凤等对残差序列进行差分运算之后，再采用自回归模型进行预报^[6]；2016年雷雨对地球自转参数的高精度预报方法进行了进一步研究^[7]。本文借鉴前辈的成果与经验，将遗忘因子递推最小二乘应用于地球自转参数的预报中，探究最佳预报遗忘因子，进一步提高预报稳定性和预报精度，并将该改进的模型投入实际应用。

1 LS-AR模型

现代研究表明，极移的时间尺度变化主要有:长趋势项、Chandler项、周年项、半年项及高频极移。其中高频极移变化较大且无一定规律性，因此在构造最小二乘拟合模型时，包含的固定线性项和周期项是：线性趋势项、Chandler项、周年项及半周年项，通过对一段时间的极移序列进行最小二乘拟合并求解模型参数，以达到预测的目的。其模型公式为

式中，a₀为常数项；t为UTC时；a₁为线性趋势项的系数；a₂、a₃为半年项的系数；a₄、a₅为周年项的系数；a₆、a₇为钱德勒周期项的系数。T₁为半年项的周期；T₂为周年项的周期；T₃为钱德勒项的周期。

AR模型表示平稳随机序列x_t(t=1, 2, …，n)在t时刻以前的规律性变化和t时刻白噪声的关系，其数学模型为

式中，φ₁、φ₂、…、φ_P为模型参数；a_t为白噪声；p为模型阶数；a_t~N (0，σ)，σ为白噪声的方差。式(3) 称为p阶自回归模型，简记为AR(P)。

从最小二乘求拟合参数的矩阵求解过程中可以发现最小二乘有以下不足：

(1) LS模型进行ERP预报时发现在反复求解拟合参数过程中对矩阵求逆时会产生秩亏。

(2) 每有一次新数据的加入都要重新求逆矩阵，工作量大，且矩阵秩亏的频率会增加，影响预报进程。

(3) 在预报过程中新旧数据同等对待，然而经试验发现通过对新旧数据设置不同的权重得出的预报结果是有很大的差异的。

根据最小二乘这些不足，引入遗忘因子递推最小二乘来解决以上问题。

2 遗忘因子递推最小二乘

通常情况下，最小二乘准则意义下的动态模型为

U (k)=V (k) B (k)+e (k)

式中，V (k)为因子数m的前k个因子向量X (i)，i=1, 2，…，k组成的矩阵；B (k)为前k个模型系数组成的矩阵；U (k)为前k个预报向量Z (k)，i=1, 2，…，k，组成的矩阵或向量，e (k)为前k个随机扰动组成的矩阵或者向量。在因子矩阵和预报向量矩阵中，加上衰减因子β(0 < β≤1) 后，因子矩阵和预报向量矩阵记作

通常定义

称之为逆相关矩阵。如果因子数为m，那么它是一个m×m的方阵。由于最小二乘方法很容易得到B (k)的估计

接着可以得到

式中，μ=β²，0 < μ≤1，μ称为遗忘因子，其大小可表征遗忘速度。当遗忘因子μ=1时，考虑遗忘因子线性自适应建模算法就是普通的线性自适应建模算法。显然可以得到

然后有

通常令

因此，上式可以写成

另外利用矩阵反演公式改写成

最终可得到

式中，P (k)为系数估计误差方阵，是一对称矩阵；Γ(k)为卡尔曼增益矩阵。

3 试验及试验结果分析

本文试验数据皆来自北斗分析中心(CGS), 选取2017年儒略日为57 835-57 847之间的地球自转参数超快速部分作为试验基础数据，试验以极移和日长变化3项为主，利用遗忘因子最小二乘递推方法进行ERP预报。

经过大量试验找出了适合预报的最佳遗忘因子，利用该最佳遗忘因子进行极移两个方向(PMX和PMY)及日长变化的预报。试验结果及分析如图 1所示。

一般遗忘因子的取值必须选择接近于1的整数，一般不小于0.9。如果是线性系统且时变特征明显，该因子的选择应该是更大点的值。由于遗忘因子选取的不确定性，进行了因子探究试验，从图 1中可以看出，遗忘因子为0.95时得到了精度最高的预报结果，也就是说最佳的遗忘因子为0.95。

利用探究出的最佳遗忘因子，确定了预报最终的遗忘因子递推最小二乘模型，将北斗分析中心的数据利用最小二乘模型(LS)、最小二乘和自回归组合模型(LS-AR)、遗忘因子递推最小二乘模型(RFFLS)分别进行试验预报，将预报结果进行分析。

从图 2中就可以看出，在日长变化的预报中LS模型的预报结果稍有起伏，当加入AR模型以后精度没有大的改善但是稳定性有所增强，应用遗忘因子最小二乘模型的预报精度中期精度稍差，不如LS-AR模型的预报精度。

从图 3中可以看出，在极移X方向上，LS的预报结果上下起伏较大，经过AR模型进行残差拟合预报后，发现LS-AR模型得出的结果在稳定性和精度上明显优于LS模型，遗忘因子最小二乘模型的预报精度前期的精度稍差，但优于LS预报模型的精度，在后期的精度与LS-AR模型精度相当，甚至优于LS-AR模型。

从图 4中可以看出，在极移Y方向上，LS单独的预报精度变化大，经过AR模型进行残差拟合预报后，LS-AR模型得出的结果在稳定性和精度上优于LS模型，遗忘因子最小二乘模型的预报精度个别点精度稍差，但优于LS预报模型的精度，总体的预报精度与LS-AR模型精度相当。

4 结论

经过以上预报试验与分析得出以下结论：

(1) 在ERP预报中LS模型单独预报的结果精度稍差且预报结果不稳定，当加入了AR模型进行残差拟合预报后，精度和稳定性都有不同程度的提高，在极移的预报上精度提高最为明显。

(2) 将遗忘因子递推最小二乘应用于ERP预报时，在极移预报中的作用较为明显，与LS模型单独进行预报精度有一定程度的提高，与LS-AR组合模型的预报精度相当，在日长变化的预报中作用不明显。

(3) 日长变化和极移对不同预报模型的敏感性不同，在进行极移和日长变化预报过程中，选取预报模型时应根据不同的预报类型、不同特性加以区分。