立体像对的相对定向就是要恢复摄影时相邻两影像摄影光束的相互关系，一种是单独像对相对定向，它采用两幅影像的角元素运动实现相对定向；另一种是连续像对相对定向，它以左影像为基准，采用右影像的直线运动和角运动实现相对定向^[1-4]。多个连续模型的处理中通常采用连续法相对定向。在传统的连续像对相对定向中，多考虑理想的情况，将角元素视为小角，因此大大简化了共面方程的线性化结果，得到近似的相对定向平差模型^[5]。但是当连续像对相对定向法用于航偏角大的长航带时，有可能会使后续像对的相对定向κ角偏大，以至于传统的公式不能再使用。此时应该考虑更严密的解法，将像点坐标视为观测量，如文献[6—7]便将像点坐标而非上下视差作为观测量，给其加入改正数，对共面方程进行严格的线性化，这种更严密的相对定向解法可适用于偏航角大的长航带。然而，现有文献中关于相对定向的研究多是针对同一航带中的相同相机所拍摄的立体像对，即两张像片具有相同的焦距^[8-10]。实际上，随着摄影测量影像获取方式的多样化^[11-12]，覆盖同一地区的影像并非仅来源于同一相机，此时需研究不同焦距情况下的相对定向方法, 如文献[13]将右片焦距作为待求参数，将相对定向元素个数增加至6个，然后通过将共面方程线性化，推导出了一种适用于可变焦距的相对定向公式，该公式适用于仅知一张像片焦距的情况。受以上文献启发，为充分利用不同相机所拍摄的现有影像信息，丰富摄影测量理论，本文将在现有文献的基础上，推导出适用于解算不同焦距的连续像对相对定向元素的公式。

1 共面方程及其线性化 1.1 共面方程表示

如图 1所示，P₁、P₂为连续像对；S₁、S₂分别为其摄影中心；m₁、m₂表示地面点M在左右影像上的构象。S₁m₁、S₂m₂表示一对同名光线，它们与基线S₁S₂共面。记f₁, f₂分别为左右影像的主距，(x₁, y₁)、(x₂, y₂) 分别为同名点在左右影像上以像主点为原点的像点坐标，右影像相对于左影像的旋转矩阵为R_右，以左影像的像空间坐标系作为本像对的像空间辅助坐标系，则在该辅助坐标系中左影像的位置及姿态信息为：u₁=v₁=w₁=φ₁=ω₁=κ₁=0，右影像的位置信息为：u₂=b_X, v₂=b_Y, w₂=b_Z，S₁S₂=b_X, b_Y, b_Z，S₁m₁=(X₁, Y₁, Z₁)，S₂m₂=(X₂, Y₂, Z₂)，有共面方程

式中

另外，由于旋转矩阵通常表示为φ、ω、κ转角系统，如下

将式 (2)、式 (3) 代入式 (1) 中，可知共面方程中包含6个未知变量b_X、b_Y、b_Z、φ、ω、κ。由于b_X仅影响相对定向模型大小，而不影响模型的建立，故可得相对定向元素为5个待求参数b_Y、b_Z、φ、ω、κ。

1.2 共面方程线性化

假设同名点对为n对，x_i、y_i、x′_i、y′_i分别为其在左、右影像的观测值。由于在严密相对定向过程中，考虑了影像坐标的观测误差，给其加入了改正数，将式 (1) 分别对每一个同名点对应的观测值x_i、y_i、x′_i、y′_i和相对定向元素b_Y、b_Z、φ、ω、κ求导，可得

式中，V为观测值L的改正数；X为相对定向元素近似值X₀的改正数；F_0i为观测值L及相对定向元素近似值X₀代入式 (1) 所得结果。各矩阵具体为

可借助计算机代数系统，推导出系数矩阵A_i、B_i中的各元素如下

2 最小二乘平差 2.1 计算过程

每对同名点可列1个形如式 (4) 的方程，由于相对定向元素为5个，当有5对观测点时即可列出5个方程，求出5个待求参数。为了保证精度，通常进行多余观测，然后借助最小二乘平差对其进行解算。由于像点坐标与相对定向元素同时作为模型中的未知量参与平差，故可根据附有参数的条件平差法^[14-15]解算相对定向元素。主要步骤为：

(1) 记观测权矩阵为P，为求出满足V^TPV=min的一组解，按求函数条件极值的方法，组成函数

式中，K是条件数。为求Φ的极小值，将其分别对V和X求一阶导数，并令其等于零，可得

式中，N_AA=AP^－1A^T；N_BB=B^TN_AA^－1B。

(2) 计算像点坐标平差值及相对定向元素平差值将其替代式 (4) 中初始值L、X₀，重新计算相对定向元素改正数X。

(3) 将相对定向元素改正数与限差相比，若小于限差，则改正数与初始近似值之和即为相对定向元素的值。否则，重复步骤 (2)、(3)。反复趋近，直至改正数小于限差。

2.2 精度评定

由于每对同名点可列1个形如式 (4) 的方程，而待求参数个数为5个，则必须观测5对同名点可唯一确定待求参数。因此可根据文献[15]，得单位权中误差的估值

则所求相对定向元素的精度为

式中，Q_ii为N_BB^－1主对角线上的第i个元素。

3 算例分析

为验证本文算法的正确性及可靠性，以下通过两组算例对其进行验证。其中，算例1和算例2采用的数据分别为不含与包含观测噪声的像对。数据如下：已知左、右像片 (A为小航偏角像对、B为中航偏角像对、C为大航偏角像对) 的外方位元素真值见表 1，在某区域范围内选取9个地面点见表 2，利用共线方程，可分别计算它们在左、右像片上对应的像点坐标 (认为各像点坐标为等精度观测)。

3.1 算例1(不含观测噪声像对的相对定向)

分别根据9对像点坐标，令B_X=200 m，可利用本文连续像对相对定向公式解算小航偏角、中航偏角、大航偏角像对的相对定向元素，并将结果列于表 3。

由表 3可以看出，在像点坐标不含有观测误差时，利用本文方法分别对不同焦距的小航偏角、中航偏角、大航偏角像对进行连续相对定向，解算结果与真值相比，差异可忽略不计。此外，由于文中将像点坐标作为观测量，且对相对定向元素的求导过程中不存在小角近似简化。因此，该方法理论严密，且可用于解算大航偏角像对的相对定向元素。

3.2 算例2(含有观测噪声像对的相对定向)

分别为9对像点坐标上加上0.5像素的量测误差 (像元大小为6 μm)，然后令B_X=200 m，利用本文相对定向方法解算小航偏角、中航偏角、大航偏角像对的相对定向元素，并将结果列于表 4。

由表 4可以看出，在像点坐标含有0.5像素误差时，利用本文方法进行连续像对相对定向元素解算时，与真值相比，小航偏角、中航偏角、大航偏角像对的相对定向角元素均可达到秒级精度，而小航偏角像对的相对定向线元素可达到毫米级精度，中航偏角、大航偏角像对的相对定向线元素具有厘米级精度。综上，本节利用两组试验数据 (不含与包含观测误差的像点坐标)，分别对不同焦距的小、中、大航偏角像对进行相对定向元素解算，结果表明本文方法正确可靠且可适用于大航偏角像对。

4 结语

本文以像点坐标作为观测量，给其加入改正数，对共面方程进行线性化，推导了适用于不同焦距的连续像对相对定向元素解算公式，可得出结论如下：

(1) 该公式是对共面方程进行线性化而得，将像点坐标与相对定向元素同时作为模型中的未知量参与平差，其函数模型为附有参数的条件平差法。

(2) 当存在多于5对的同名像点时，可通过解算观测量及待求参数的改正数后，反复迭代，趋近最终解。该方法在相对定向元素的求导过程中，不存在小角近似简化，理论严密。

(3) 该公式可适用于解算不同焦距像对的相对定向元素，可处理不同相机拍摄的像片，提高现有影像信息的利用率，在一定程度上丰富了摄影测量理论。