高精度测量可以分为两类，一类是与地球形状或引力场相关联的如高铁CPⅡ和CPⅢ测量^[1]，它一般是在大范围内实施GNSS测量并结合精密水准测量获得首级控制，然后在局部范围用全站仪和水准仪进行“二维加一维”的平高测量；另一类是工业部门的大尺度如大型设备安装与运控中的纯几何测量，往往需要的是几何意义下的三维坐标^[2]，一般通过GNSS测量、平高测量或其他工业测量手段实现。

GNSS测量虽然可以求出纯几何坐标，但难以获得毫米级或更高的点位精度^[3]。平高测量以现有的测量仪器精度指标，在不足1 km范围内可获得以水准面为基准的亚毫米级精度的坐标。平高测量在数10米的小范围内，可不顾及水准面变化，能将“二维加一维”严密归算为精度很高的纯几何坐标；在较大范围内，特别是在山区环境中，水准面高(或高程异常)变化往往可达若干毫米且无法精密测定(高程异常测量精度与GNSS水准点精度相当)，这就难以获取亚毫米级精度的几何坐标。

500 m口径球面射电望远镜(five-hundred meter aperture spherical telescope，FAST)位于喀斯特洼地中^[4]，其几何意义下的基准控制网是工程运行和控制的基础，空间跨度较大(见表 1)。该网点位分3圈布设，内圈5个点，中圈6个点，外圈12个点。依据EGM2008，该地区重力异常值约为-35 mGal，由于无法获得FAST测区精密的高程异常和其变化值，无论是GNSS测量还是平高测量方法均难以满足1 mm以内的精度要求。因此，本文提出了在点距约30 m较为平坦的内圈5个控制点实施平高测量，在高差和点距较大的中外圈控制点使用三维测边网以获取整网的高精度空间几何坐标。

一、 精密测距误差分析

为获得高精度的点间斜距，分别对FAST台址现场最佳的观测时段^[5]、气象测定方法^[6]、仪镜高量取及结构误差进行分析。

1. 观测时段

为选取最佳观测时段，在台址中以JD4为测站点对中外圈进行了持续8 d的自动连续观测。试验表明，10:00—16：00观测数据变化较大，极差将近0.6 mm；16:00至日落前及00:00至日出前的观测数据最为稳定，其极差在0.2 mm以内(如图 1所示)。因此，在日出日落前4～5 h观测较为合适。

2. 仪器、棱镜结构误差

现有的测量仪器及棱镜基座在制造过程中很难做到结构严密。据分析，仪器视准轴中心与对中螺旋中心不一致，以及棱镜中心、连接杆中心与棱镜基座中心不一致(如图 2所示)的误差一般影响可达毫米级，不能忽略。精密测距除按相应规范执行外，棱镜最好选取球棱镜或360°全方位棱镜。在同一时间段内观测的半数测回间需要重新安置仪器和棱镜基座到对称的位置(即整体旋转仪器和棱镜的基座180°)再实施下半数测回观测，这样在上下半数测回的均值中其结构误差可以得到有效减弱；如果选取的是单面精密棱镜，在棱镜基座安置到对称位置后可以通过翻转或旋转棱镜使其对向仪器方向。

3. 量高误差

一般情况下，仪器视准轴中心、棱镜中心无法精密标识，仪器、棱镜的量高误差在垂直角较大时对斜距影响很大(如垂直角40°时，1 mm的量高误差对斜距造成0.7 mm的误差影响)，必须采取以下措施予以减弱或消除：

1) 在近似仪器、棱镜中心位置划一细标识线，以游标卡尺或量高仪精密量取仪器、棱镜高。

2) 通过对向观测并交换仪器及棱镜消除量高误差对测距的影响。

如图 3所示，将观测斜距S₁₂换算为两基准墩中心(高程起算为墩面高程水准点)的斜距S₁₂⁰的计算公式为

式中，H₁、H₂为墩面高程水准点近似高；L₁、L₂为仪器和棱镜标识线处量至墩面水准点的值。设仪器、棱镜量高的系统差为ΔL_仪和ΔL_棱，则量高系统差对距离归算到S₁₂⁰的影响为

互换仪器和棱镜后，同样有

则

由式(4)可以看出，通过对向观测距离并互换相同的仪器及棱镜，量高误差的影响交换前后为反号，取对向观测距离的平均值为距离测量的最后成果。

4. 气象影响与波道弯曲

电磁波测距是在地球自然表面上进行的，所得距离是仪器中心与反射镜中心之间的光波波道弧长。要想获取严密的光路距离，需沿光路连续测定气压、温度和湿度等气象参数，并对其沿光路进行曲线积分，但在实际操作中是不现实的。应用中通常仅采集仪器和棱镜处的气象，鉴于FAST场地气象参数的水平与垂直方向分布复杂，需在测距光路连线中点附近加测气象，以提高大气折射改正精度。

电磁波在大气中传播时，由于大气密度随高度不同呈下密上疏状态，因此光迹路径不是直线，而是向上弯曲的弧线。其波道弯曲改正公式为^[7]

对具有几百米边长的FAST，波道弯曲改正可以忽略不计。

二、 三维测边网与精度分析

三维网的平差和平高控制网平差方法有共同之处，但它们的平差基准并不一样，所需要的必要起算数据个数也不相同。三维网总的基准个数为^[8]

1. 测边解算模型

三维测边网如图 4所示，需要两个点位的三维坐标及一个已知高差(可以水准测量实现，FAST中选取JD4和JD9作为已知点构成的局部坐标系)作为起算数据，利用斜距观测值解算测边网中未知点的三维坐标。

已知斜距方程为

其误差方程为

其雅可比系数矩阵为

当DF(x_i, y_i, z_i)非奇异时，可得非线性方程的迭代递推公式为

直到相邻两次近似值(x_i^(k), y_i^(k), z_i^(k)T和(x_i^(k+1), y_i^(k+1), z_i^(k+1))^T满足式(10)限差条件终止迭代。

在FAST基准墩三维测边网中，已知内圈JD4、中圈JD9点位三维坐标，以及中圈JD9与JD11的高差H₀，通过已知数据结合JD11至JD4和JD9的斜距观测值迭代解算JD11的三维坐标；然后由3个点位三维坐标结合全组合斜距观测值解算测边网中其余未知点的近似坐标。

2. FAST基准控制网精度估算

设计该控制网时，由点位精度与观测值先验的函数关系^[9]，列出其方程误差的系数矩阵A，给定各观测值的先验精度后，输入先验单位权中误差使权矩阵P(其中a与b分别为测距仪固定/比例误差)趋近于I，之后可以组成未知数法方程的系数阵N

进而可以求得未知点坐标的协因数阵Q_X为

点位精度协方差阵M_P为

试验场地(FAST)以JD4、JD6—JD23构成精密短边测边网，依据JD4、JD6—JD23的概略坐标，反算出中外圈测边控制网内全组合171条仿真斜距观测值并构建三维平差数据处理模型，可得到中外圈未知17个点的点位误差。

在算例中，使用Leica μ-base精密激光测距仪(标称精度为0.1 mm+0.1×10^-6D)在中外圈测边网中进行全组合测边，未知点位中误差分布如图 5(a)所示，精度基本在0.2 mm上下浮动；由于JD14、JD15与JD16高差较大，其中以JD15高差最大，其点位中误差最大接近0.4 mm，完全满足FAST基准控制网1 mm的精度要求。而用TS30全站仪测边(标称精度为0.6 mm+1×10^-6D)同样的组合测边，未知点的中误差分布如图 5(b)所示，中圈基准墩的点位精度在1 mm以内；随着外圈基准墩高程的递增，其精度逐渐达到1 mm，接近2 mm，同样JD15的点位中误差最大将近2.5 mm，精度较Leica μ-base低，但对于精度要求不甚高的工程需求也是一种可以采纳的方案。

三、 结束语

FAST工程中的基准控制网最终测量需求是局部坐标系下的几何点位误差不超过1 mm。如果选取与水准面相关联的边角网确定水平位置和精密水准测量测定高差，必须经过测站相对于坐标原点垂线偏差、高程异常变化量的改正才能获得精密的几何三维坐标。众所周知，精确求定垂线偏差和高程异常或其变化是十分困难的，而FAST场区是复杂的喀斯特地貌，垂线偏差和水准面(或高程异常)在500 m范围内变化是十分显著的(据估算，垂线偏差变化^[10]可达1″～2″，高程异常变化也达几毫米)，因此GNSS测量和平高测量都难以满足FAST的精度需求。

本文根据FAST工程实际在FAST中心数10米区域(地势较为平坦)小范围内的基准点, 利用测角网和水准测量建立测边三维网的起始基准，其他相距且高差较大的中外圈基准点组成高精度组合测边三维网，边长无需归算至椭球面或测站基准平面，从而回避了平高测量数据归算中垂线偏差和高程异常变化的影响，可直接获得基准控制点的三维几何坐标。算例仿真也验证了本文所提方案的可行性。为了获得精密的斜距观测值，除选取仪器满足高精度测边外，本文还对测量实践中往往不予重视的观测时段、仪器与棱镜结构误差、仪器与棱镜量高误差和气象等因素进行了分析，并提出了有效的解决途径，为实现高精度测边提供了有力的保障。