2. 海军驻天津地区航保军事代表室, 天津 300042
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高斯投影作为大地测量常用的一种投影，被国内外学者广泛研究。如文献[1-4]中借助黎曼-柯西方程给出了高斯投影的实数型幂级数展开式，这种展开式形式在我国大地测量中被广泛应用，但是由于其被表示为经差的幂级数形式，因此该公式的适用范围仅限于一条很窄的条带内。由于复变函数在解决等角映射问题中具有得天独厚的优势，因此国内外学者常借助复变函数进行等角投影研究，如文献[5-11]采用不同方法推导出了高斯投影的复变函数表示，并将其表示成地球椭球第一或第三偏心率的形式，该形式适用于不同的参考椭球，并使得投影不受限于狭窄的条带内，具有“不分带”的优势。可以说，将复变函数应用于高斯投影研究中，已取得卓有成效的成果。
然而，被表示为复变函数表达式的高斯投影公式形式上虽然非常简洁，但因式中包含复数变量，导致结果不够直观且难以直接对其进行代数分析。鉴于此，本文将借鉴文献[9-11]中的方法，利用双曲 正弦函数及其与三角函数的关系，进而将高斯投影复变函数表示式等价变换为实数形式。经变换得到的实数型公式仍然具有复变函数公式的“不分带”优势，且表示结果将更直观，便于直接应用及后续分析。
一、高斯投影复变函数表示 1. 高斯投影复数公式
在利用复变函数求解高斯投影坐标的问题中 ，可将等号左边子午线弧长S向复数域开拓而得高斯投影复数坐标 z=x+iy，等号右边由等量纬度q开拓至复数等量纬度w=q+il，而等角纬度$\phi $复数开拓至复数等角纬度φ，最终得到高斯投影正解复变函数表示式。在文献[9]中，它一般表示为复数等角纬度倍角的正弦和形式，如下
式中，系数α2n参见文献[8]。 2. 长度比及子午线收敛角复数公式
在对高斯投影进行性质分析时，必然要推导出对应的长度比及子午线收敛角公式。借助复变函数来求解高斯投影问题时，尺度比和子午线收敛角就是解析函数在某点处的导数。有
式中，r=NcosB；N为卯酉圈曲率半径。根据长度比及子午线收敛角的定义可知，长度比为该导数的模，而子午线收敛角为该导数幅角的反向，即
将式(1)代入式(2)，则式(2)最终可表示为
式中，系数α2n同式(1)。 二、高斯投影实数表示
1. 高斯投影实数公式
在式(1)中，高斯投影公式被表示为复数等角纬度φ的表达式，为将投影公式表示为实部与虚部分开的形式，可将复数等角纬度φ表示成实部与虚部分开的形式，即令φ=u+iv。
将式(1)中第2个方程作如下等价变换
对式(5)两边分别取正切，并利用双曲正弦和函数的关系，可得
又根据文献[9]中可知，等量纬度q与等角纬度$\phi $存在关系式sin hq=tan$\phi $，进而可得关系式cos hq=$\sqrt{1+{{\sinh }^{2}}q}=\sqrt{1+{{\tan }^{2}}\phi }$=sec$\phi $，将这两个关系式代入式(6)，则式(6)中可消去等量纬度q，等价转换为
又根据双曲函数与三角函数的关系式
将式(7)、式(8)进行联立，可得
经化简，令式(9)中等号两边实部与虚部对应相等，可分别得实部及虚部对应关系为
求解该方程组，略去推导过程，可得
至此，已将复数等角纬度φ表示成实部与虚部分开的形式。
根据双曲函数与三角函数的关系式sin hv=-isin iv，cos hv=cos iv，则得
因此，则方程组(1)的第3个方程可表示为实部和虚部分开的形式，其中实部x为高斯投影纵坐标，虚部y为高斯投影横坐标
综上，已将高斯投影公式表示为实部与虚部分开的形式。
特别的，当地球第一偏心率e=0时，即系数α2n=0 n≥1 ，根据反双曲正弦的定义及其对应的对数表达式，则高斯投影公式简化为
由文献[12]可知，当地球椭球的第一偏心率e=0时，基于高斯投影复变函数公式推导出的“不分带”实数坐标公式(14)与文献[12]中给出的公式完全相同，该特例在一定程度上验证了本文推导的高斯投影实数型“不分带”公式的正确性。
2. 长度比及子午线收敛角实数公式
根据双曲函数与三角函数的关系式sin hv=-isin iv，cos hv=cos iv，则得
略去推导，令cosφcos 2nφ的实部与虚部分别为p和q，经过化简可得
将式(15)、式(16)代入式(4)，则式(4)可最终表示为实部与虚部分开的形式
至此，已推导出长度比及子午线收敛角公式的实数公式。
特别的，当地球第一偏心率e=0时，即系数α2n=0 n≥1 ，根据反双曲正弦的定义及其对应的对数表达式，则高斯投影公式简化为
因此，高斯投影的长度比及子午线收敛角公式的实数公式分别为
由文献[13]可知，当地球椭球的第一偏心率e=0时，利用高斯投影复变函数公式推导出的“不分带”实数型长度比及子午线收敛角公式(19)与文献[13]中的公式相同，该特例一定程度上验证了长度比和子午线收敛角实数型“不分带”公式的正确性。
三、算例分析
为验证本文推导公式的正确性，将其与高斯投影复变函数表示式进行比较。以CGCS2000椭球(长半轴a=6378137m，扁率f=1/298.257222101)为例，取展开至e10的高斯投影公式，记x1、y1、m1、γ1分别为借助实数公式推导出的纵坐标、横坐标、长度比及子午线收敛角；x2、y2、m2、γ2分别为借助复数公式推导出的纵坐标、横坐标、长度比及子午线收敛角；令Δx=x1-x2，Δy=y1-y2，Δm=m1-m2，Δγ=γ1-γ2，可借助计算机代数系统[14-15]分别绘制出在P={ B,l : l ≤80°,B ≤80°}范围内，Δx、Δy、Δm、Δγ的变化趋势图，分别如图 1-图 4所示，其中Δx、Δy的单位为m，Δm的单位为1，Δγ的单位为角秒。
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| 图 1 实数和复数公式计算的高斯纵坐标差异 |
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| 图 2 实数和复数公式计算的高斯横坐标差异 |
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| 图 3 实数和复数公式计算的高斯投影长度比差异 |
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| 图 4 实数和复数公式计算的子午线收敛角差异 |
由图 1、图 2可以看出，在P={ B,l : l ≤80°,B ≤80°}范围内，利用高斯投影实数型“不分带”公式与利用高斯投影复变函数公式计算的坐标间差异绝对值均小于10-8m，其中，纵坐标差异在-3×10-9～2×10-9m范围内，横坐标差异在-7×10-9～7×10-9m范围内。考虑到计算机代数系统本身存在的计算误差，可得出结论：利用以上两种公式计算的高斯坐标完全相同，经变换后的高斯投影实数型“不分带”坐标公式与高斯投影复变函数坐标公式是等价的，即该算例验证了本文推导的实数型“不分带”坐标公式的正确性。
由图 3、图 4可以看出，在P={ B,l : l ≤80°,B ≤80°}围内，利用高斯投影实数型“不分带”公式与利用高斯投影复变函数公式计算的差异为：长度比差异在-4×10-15～5×10-15范围内，子午线收敛角的差异在-5×10-10″～5×10-10″范围内。考虑到计算机代数系统本身存在的系统误差，可得出结论：利用以上两种公式分别计算的长度比及子午线收敛角完全相同，经变换后的高斯投影长度比及子午线收敛角实数型“不分带”公式，与高斯投影长度比及子午线收敛角复变函数表示式是等价的，即该算例验证了本文推导的实数型“不分带”长度比及子午线收敛角公式的正确性。
综上，高斯投影实数型“不分带”公式具有与复数公式相同的运算结果，即本文基于高斯投影复变函数表示式推导高斯投影实数型“不分带”公式的过程是等价变换，以上两个算例验证了该推导过程的正确性。
四、结 论本文通过借助双曲正弦和公式、双曲函数与三角函数间的函数关系，经过一系列变换，将高斯投影复变函数表示式等价变换为实数形式，并借助计算机代数系统验证了该实数公式的可靠性，得出如下结论：
1) 与高斯投影复变函数表示式相比，本文推导出的实数型公式同样具有“不分带”的优点，且表示结果更直观、了然，便于直接应用及后续的研究分析。
2) 本文推导出的高斯投影实数型“不分带”公式，在一定程度上完善了高斯投影理论，丰富了地图投影数学基础。
3) 由于复变函数在解决等角问题中具有得天独厚的优势，可进一步借助双曲函数及其与三角函数间的变换关系，实现由复数公式到实数公式的等价转换，这种思路在解决类似等角问题具有较好的应用前景。
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