一、引 言
FAST(five hundred meter aperture spherical radio telescope)是500 m口径球面射电望远镜的简称，是中国贵州省正在建设的世界上最大的单口径射电望远镜[1]。馈源舱是FAST工程的核心部件之一，在天文观测运行中，馈源舱由6根钢索概略拖动至反射面焦点，再通过精调机构微调，实现馈源高精度的定位和指向跟踪(如图 1所示)。FAST馈源测量系统的一项艰巨任务是：在500 m跨度的钢索结构上，对馈源舱精调机构的实时动态定位精度达到4 mm，定姿精度达到1°，并将测量结果实时反馈给控制系统，实现闭环控制[2]。
 |
| 图 1 馈源舱、精调机构简图 |
由于激光跟踪仪测程有限，摄影测量易受外界环境干扰且动态识别实时处理困难，GPS动态测量精度较低，目前提出的精调机构位姿测量方案中，主要考虑全站仪测量系统[3]。该系统由位于反射面内测量基准点上的全站仪、位于精调机构下平台边缘的目标棱镜、测量控制及数据处理系统、供电通信线路等组成。在测量实施时，由测量控制系统控制全站仪照准对应的目标棱镜进行测量，获得动态测量数据，并由数据传输线传给数据处理系统，通过全站仪动态测量数据处理软件实时处理获得棱镜的点位坐标。本文介绍了全站仪测量系统的组成和测量方案，着重对系统的测量条件进行了计算和分析，并通过仿真测量，分析了系统所能达到的定位和定姿精度，以及系统的可靠性。 二、测量系统组成及测量方案 1. 测量基准网
如图 2所示，中性反射面的口径约为500 m，测量基准网由均匀分布于反射面内的24个基准点(JD-0~JD-23)组成，目前基准点的点位坐标已经固化。其中，JD-0~JD-5位于反射面底部中心的正五边形顶点和中心；JD-6~JD-11近似均匀分布在水平半径约110 m的圆周上；JD-12~JD-23近似均匀分布在水平半径约210 m的圆周上，但个别基准点的位置有所调整。如JD-15的位置已调整至反射面的边沿，其距离反射面中心的水平距离约为250 m，是较为特殊的一个控制点。
 |
| 图 2 测量基准网的平面布设图 |
如图 3所示，用于精调机构位姿测量的全站仪共有9台，分别安置在JD-13~JD-15、JD-17~JD-19、JD-21~JD-23的9个基准点上。在测量实施时，由测量控制系统控制全站仪照准对应的目标棱镜进行测量，获得实时动态测量的距离和角度数据，并由数据传输线传给数据处理系统。
 |
| 图 3 全站仪测量系统示意图 |
如图 4所示，用于精调机构位姿测量的目标棱镜共有9个，分别安置在精调机构下平台边缘的9条棱上。为了提高测量精度，目标棱镜将采用高精度的角锥棱镜。
 |
| 图 4 目标棱镜示意图 |
由于棱镜跟随精调机构的最大运动速度为11.6 mm/s，全站仪进行动态跟踪测量时，必须解决时间同步的问题。目前，卫星授时、计算机守时技术比较成熟，且全站仪测量时滞的检定精度可达0.02 s，可满足FAST对时间同步精度的要求[4]。 4. 测量流程
1) 由测量控制系统向全站仪发送各种工作指令。
2) 全站仪按照动态测量模式运行，一台全站仪跟踪一个事先确定的棱镜，进行距离和角度测量，连续获得棱镜中心的距离和水平角、垂直角观测量，并发送给数据处理系统。
3) 数据处理系统对每台全站仪的测量数据进行实时处理，获得每个棱镜的瞬时位置，进而由9个棱镜的位置计算出精调机构的瞬时位置、姿态和对应的时间等信息，并发送给全站仪测量控制系统。
4) 全站仪测量控制系统将数据处理结果发送给测量总控系统。 三、系统测量条件计算和分析
系统测量条件主要有棱镜入射角、全站仪观测距离和观测高度角。棱镜入射角与棱镜面的法向指向有关，观测距离和观测高度角与棱镜的空间位置有关。而在FAST运行过程中，棱镜将跟随精调机构做整体运动。因此，系统的测量条件由精调机构的空间位置和姿态间接决定。 1. 精调机构的空间位置和姿态
如图 5所示，球形反射面的口径约为500 m，测量坐标系原点O位于反射面的球心，Z轴指向天顶，X轴指向东，Y轴与X、Z轴构成右手系。阴影部分表示有效照明口径内的反射面，呈瞬时抛物面型，Or为抛物面顶点，O为中性反射面的球心[5]。则在理想状况下，精调机构通过一次索驱动的粗略调整，以及自身的精确微调，可以使其中心J到达抛物面的焦点Of，指向为z=OrO。当反射面的有效照明口径不断变换时，馈源精调机构的位置不断变化，其运动范围构成一球冠轨迹。该球冠轨迹半径r≈162.9 m，最高点H距离O点的水平极距约为100 m，即从Z轴方向看精调机构，其平面运动范围约为半径100 m的圆。
 |
| 图 5 精调机构的空间位姿 |
如图 5所示，设馈源位于球冠轨迹的底部中心L时，某棱镜Pi在测量坐标系下的位置为pi，棱镜面的法向(即棱镜的指向)为ni。由于精调机构在6根钢索的牵引下运动时，自旋运动较小，对棱镜入射角、观测距离和观测高度角的统计影响可以忽略，因此，精调机构中心由L点运动到Of点的过程，可等效简化为2个步骤：①精调机构沿
Z=[001]T，即测量坐标系Z轴方向的单位矢量。式(1)和式(2)中的Ra为绕a轴的旋转矩阵，关于Ra的求解，国内外诸多学者进行了广泛而深入的研究，求解方法基本可归纳为四元数法、旋转矩阵法、欧拉角法[7, 8, 9, 10]。本文采用的是文献[10]的方法。
3. 测量条件的计算方法
如图 5所示，由测站Os观测精调机构上的某棱镜Pi。用S表示观测矢量，则
式(3)中Os为测站点的坐标，为已知值。棱镜入射角α、观测距离d，以及观测高度角h可表示为
考虑到反射面内最外围控制网的12个测站具有一定的对称性，且精调机构的运动范围也具有对称性，因此只需要挑选具有代表性的测站统计棱镜入射角、观测距离和观测高度角即可。下面挑选了JD-15和JD-21两个基墩，JD-15的位置靠近反射面的边沿，位置较为特殊；JD-21距离反射面中心的水平距离约为210 m，同其他控制点的位置基本一致，具有代表性。
1. 棱镜入射角
图 6是以JD-15测站为例，计算测站与对应的观测棱镜之间的入射角。图中用颜色表示入射角的大小。
定义精调机构位于L点时的棱镜面法向为初始法向，图 6(a)是棱镜的初始法向指向测站时，全局范围内的棱镜入射角统计情况。其中入射角最大值小于45°，平均值为19.0°；图 6(b)是在图 6(a)的基础上将棱镜面的初始法向向下调整10°之后，全局范围内的棱镜入射角统计情况。其中入射角最大值约为35°，平均值为18°。显然，棱镜面的初始法向下调整大约10°后，棱镜入射角得到了全局改善。对于不同的测站，若要保证相应观测棱镜的入射角全局最优，需要对棱镜的初始法向进行不同幅度的调整。经过对每个测站的计算分析，表 1给出了9个测站的棱镜入射角最优统计结果。
文献[11—12]研究指出，利用棱镜进行激光测距时，棱镜的有效反射面积随入射角增大而减小，进而影响测距精度。当入射角达到35°时，激光测距误差约为0.05 mm；而入射角在20°以内时，测距误差小于0. 01 mm；入射角在15°以内时，测量精度最高，稳定性最好。因此，相对于精调机构4 mm的定位精度要求，因棱镜入射角产生的测距误差可以忽略。文献[13]研究了棱镜入射角对测角精度的影响，并通过试验给出了经验改正公式，改正后的测量点位坐标误差小于1 mm。
对于单个棱镜而言，因棱镜入射角偏大可能引入系统性的定位误差；但对9个棱镜而言，这一系统误差可能呈现一定的随机性，可通过最小二乘法等数据处理方法予以减弱。
2. 观测距离
图 7、图 8显示了JD-15测站和JD-21测站的测距变化范围。JD-15测站的测距变化范围约为150~350 m，JD-21测站的测距变化范围约为140~320 m。全站仪动态测距精度约为2 mm+1×10-6D，因此可以估算测距精度的变化范围约为2.1~2.4 mm。
图 9、图 10显示了JD-15棱镜和JD-21测站观测高度角变化范围。由于JD-15测站更靠近反射面边沿，因此其观测棱镜时的高度角偏小，最大值约为15°，最小值接近0°；JD-21测站相对靠近反射面中心，因此其观测棱镜时的高度角偏大，最大值约40°，最小值约为15°。因此，在馈源的整个运行轨迹上，观测高度角的分布比较合理，可兼顾水平和高程方向的精度控制。此外，较低的观测高度角有利于工程实践中全站仪的防护。
在JD-13、JD-14、JD-15、JD-17、JD-18、JD-19、JD-21、JD-22和JD-23共9个测站上设置9台全站仪，采用极坐标法仿真测量下平台9个棱镜。由于馈源最大运动速度约为12 mm/s，全站仪在百米尺度上进行的是准静态测量，距离和角度测量精度要低于标称精度。仿真测量中，参考徕卡TCA1800全站仪测量指标，取距离动态测量精度2 mm+1×10-6D，水平角和垂直角动态测量精度4″[14]。观测之前，全站仪需要进行定向，天文定向不失为一种有效的方法，即通过观测恒星、行星或月球实现[15, 16]。
下平台的半径按2 m计算，9个棱镜均匀分布在圆周上。每台全站仪跟踪观测固定的棱镜，实时解算棱镜在测量坐标系下的坐标。棱镜在精调机构坐标系下的坐标可通过标较测量获得，根据9个公共点的坐标，可以计算精调机构坐标系在测量坐标系下的位置和姿态，即实现馈源舱精调机构的位置和姿态测量。
2. 仿真计算结果
图 11、图 12给出了9台全站仪仿真测量精调机构的位置和姿态精度(RMS)。
由图 11、图 12可知，9个测站的定位精度优于2.5 mm，定姿精度优于360″，均达到精调机构对位置和姿态测量的要求。
3. 系统可靠性分析
为了检验测量系统的可靠性，下面采用6个测站(JD-13、JD-15、JD-17、JD-19、JD-21、JD-23)跟踪观测6个棱镜，仿真观测条件不变，结果如图 13、图 14所示。
如图 13、图 14所示，6个测站的定位精度优于3 mm，定姿精度优于430″，均达到精调机构对位置和姿态测量的要求，说明测量系统在保证测量精度的同时，至少有3个测站可作为备份，系统具有较强的冗余性。
上述仿真计算没有考虑实际测量中全站仪时间同步、测量时滞，以及风载荷等环境因素对测量精度的影响[17, 18]。预计实际位置和姿态测量精度要低于仿真结果，系统的冗余测站数要少于3个。在具体的工程实践中，可根据观测经验和效果，增减测站数目，节约测量成本。
六、结束语
本文对全站仪测量系统的测量条件进行了计算和分析，结果显示，全站仪观测棱镜的最大入射角约为35°，平均值约为13°~18°，由此产生的测量误差可以忽略；观测距离约为140~350 m；观测高度角约为0~40°。仿真测量结果表明，9个测站的定位精度优于2.5 mm，定姿精度优于360″；6个测站的定位精度优于3 mm，定姿精度优于430″，均达到精调机构的位置和姿态测量精度要求。本文提出的基于全站仪的精调机构位置和姿态测量系统，具有良好的观测条件和较高精度的定位定姿性能。
本文的研究论证了全站仪测量方案在FAST馈源舱精调机构位置和姿态测量中的可行性，对下一步的工程实践具有借鉴意义。
方向由L点平移至Of点；②精调机构在Of点，以a=z×Z为轴旋转θ[6]。则Of点的棱镜的位置矢量p′i和指向ni
图 6 棱镜初始指向与全局入射角的关系
测站 最大入射角 最小入射角 平均入射角
JD-13 34.16 0.0 18.00
JD-14 34.70 0.0 18.28
JD-15 35.07 0.0 18.48
JD-17 28.30 0.0 13.38
JD-18 30.85 0.0 15.71
JD-19 30.44 0.0 15.11
JD-21 28.97 0.0 13.99
JD-22 27.89 0.0 13.01
JD-23 28.85 0.0 13.86
图 7 JD-15测站的测距变化范围 
图 8 JD-21测站的测距变化范围 
图 9 JD-15测站的高度角变化范围 
图 10 JD-21测站的高度角变化范围 
图 11 精调机构位置精度 
图 12 精调机构姿态精度 
图 13 精调机构位置精度 
图 14 精调机构姿态精度
| [1] | NAN R D. Five Hundred Meter Aperture Spherical Radio Telescope (FAST)[J].Science in China Series G:Physics Mechanics and Astronomy,2006,49(2):129-148. |
| [2] | 朱丽春.500米口径球面射电望远镜(FAST)测量与控制研究[D].上海:中国科学院国家天文台,2006. |
| [3] | 骆亚波. 测量机器人在 FAST 馈源动态跟踪测量中的应用[D]. 郑州:信息工程大学,2003. |
| [4] | 骆亚波,郑勇,夏治国,等. 测量机器人动态测量技术及应用研究[J].测绘通报,2006(9):14-18. |
| [5] | 李明辉,朱丽春. FAST瞬时抛物面变形策略优化分析[J].贵州大学学报:自然科学版,2012,29(6):24-29. |
| [6] | 路英杰.大射电望远镜馈源支撑系统定位与指向控制研究[D].北京:清华大学,2007. |
| [7] | KOVÁCS E. Rotation about an Arbitrary Axis and Reflection through an Arbitrary Plane[J]. Annales Mathematicae et Informaticae,2012(40): 175-186. |
| [8] | 何援军.图形变换的几何化表示[J].计算机辅助设计和图形学学报,2005,17(4):723-728. |
| [9] | 王美山, 李文亮, 杨传路, 等. 绕任意轴μ旋转φ对应的欧拉角的新求解公式[J]. 大学物理,25(9):31-33. |
| [10] | 王春艳, 王志坚. 基于旋转矩阵理论的火炮定向精度分析[J]. 光学精密工程, 2004, 12(4): 108-111. |
| [11] | 刘万里, 欧阳健飞, 曲兴华.激光光束入射角度变化对角锥棱镜测量精度的影响[J]. 光学精密工程, 2009, 17(2): 286-291. |
| [12] | 刘万里,王占奎,曲兴华,等.激光跟踪测量系统跟踪转镜的误差分析[J]. 光学精密工程, 2008, 16(4): 585-590. |
| [13] | 武威.FAST主动反射面自动测量系统的研究[D].郑州:信息工程大学,2009. |
| [14] | 保宏,段宝岩,陈光达.具有慢速时滞机动目标三维跟踪[J]. 控制理论与应用,2006,23(4):526-530. |
| [15] | 詹银虎,张超,郑勇,等.月球视面中心拟合算法及其在测月快速定向中的应用[J].测绘学报,2012,41(3):353-358. |
| [16] | 詹银虎.基于自然天体的快速定向理论及技术研究[D]. 郑州:信息工程大学,2012. |
| [17] | 孙京海, 朱文白, 李辉. FAST大跨度索牵引运动控制系统全过程仿真分析[J]. 高技术通讯,2012,22(2):192-197. |
| [18] | GAWRONSKI W.Control and Pointing Challenges of Large Antennas and Telescopes[J].IEEE Transactions on Control systerns Technology,2007,15(2):276-289. |