引言

垂直运动是影响暴雨发生发展的一个关键因素，把低层的水汽、动量和热量垂直输送到高层，实现高、低空动量、热量交换以及位能与动能的转换。大气的垂直速度无法直接测量，通常是通过其它物理量诊断分析而得到。准地转Omega方程是诊断分析垂直运动的重要理论之一^{[1, 2]}。Hoskins等^[3]提出准地转Q矢量，推导了Q矢量散度驱动的准地转Omega方程。研究表明^[4]，准地转Q矢量能够较好地表征斜压波动的垂直运动，且许多学者对Q矢量进行了多方面改进研究。Davies等^[5]突破准地转限制，提出了广义Omega方程和广义Q矢量。Xu^[6]发展了C矢量理论，把准地转Q矢量由二维拓展到三维空间。彭春华等^[7]通过尺度分析和简单参数化处理，发展了适用于850 hPa的非地转湿Q矢量，使其不仅适当地隐含非绝热加热作用，还包含低层摩擦耗散作用。张兴旺^[8]得出完全利用实际风计算的非地转干大气Q矢量，可用于次天气尺度运动和强烈天气系统。也有研究针对台风暴雨和梅雨锋暴雨，用地转风垂直切变代替实际风垂直切变以及地转风平衡关系，对非地转干大气Q矢量进行改进^[9-12]。

Q矢量广泛被用于诊断分析暴雨等灾害性天气^[13-16]。研究表明，非地转湿大气Q矢量辐合区是暴雨发生的有利区域，其垂直分布反映了次级环流的方向和强弱，暴雨区位于次级环流上升支附近^[17-19]。赵桂香等^[20]指出，湿Q矢量锋生函数具有明显的中尺度特征，与降水量有滞后6 h的正相关关系。张霞等^[21]研究表明，降水的强弱与Q矢量低层辐合及高层辐散强弱变化一致，Q矢量的经向分量能较好地反映出锋生、锋消，并能指示6~12 h后的暴雨落区。曹洁等^[22]研究指出，在雨带走向和暴雨中心位置的动力识别方面，改进的有限区域Q矢量分析方法具有明显优势。

非绝热加热项是非地转湿大气Q矢量中的关键项。通常非绝热加热项被简化为饱和水汽比湿的垂直平流，以此来讨论凝结潜热对垂直运动的强迫作用。实际大气既不是处处干的，也不是完全饱和的，而是处于非均匀饱和的状态。为了解决饱和区与未饱和区的过渡区潜热释放的不连续问题，有研究引入凝结潜热权重函数，提出了广义位温的概念，并应用到暴雨分析中^[23-25]。以往Q矢量和Omega方程包含位温，凝结潜热作用主要体现在Q矢量的非绝热加热项中。能否把广义位温引入到Q矢量，更好地用于暴雨分析是一个有意义的问题。因为一方面实际大气不是处处饱和的，不能处处释放凝结潜热；另一方面，非绝热加热项通常难以准确计算，但广义位温包含凝结潜热效应，引入广义位温的Q矢量含有一定的非绝热加热信息，更适合暴雨等灾害性天气的诊断分析。为此，本文在以往研究基础上，用比湿替换饱和比湿，对广义位温进行改进，推导包含广义位温的Q矢量和Omega方程，并利用包含广义位温的Q矢量，对2013年7月11—14日陕西地区一次暴雨过程中Q矢量散度、次级环流、锋生和锋消等动力学特点进行分析。

1 包含广义位温的Q矢量

在等压坐标系中，考虑非绝热加热作用的非地转湿大气Q矢量两个分量可写为：

$ {q_x} = f\left( { - \frac{{\partial u}}{{\partial p}}\frac{{\partial v}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial x}}\frac{{\partial v}}{{\partial p}}} \right) - h\left( { - \frac{{\partial u}}{{\partial x}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial x}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial y}}} \right) + h\frac{{\partial H}}{{\partial x}} $

(1)

$ {q_y} = f\left( { - \frac{{\partial u}}{{\partial p}}\frac{{\partial v}}{{\partial y}} + \frac{{\partial u}}{{\partial y}}\frac{{\partial v}}{{\partial p}}} \right) - h\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial y}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial y}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial y}}} \right) + h\frac{{\partial H}}{{\partial y}} $

(2)

其中，$ h = \frac{R}{p}{\left( {\frac{p}{{{p_s}}}} \right)^{\frac{R}{{{c_p}}}}}, H = \frac{\theta }{{{c_p}T}}{\rm{ }}S$为非绝热加热，S为非绝热加热率，其它均为气象常用符号。上述非地转Q矢量($ {q_x}, {q_y}$)由三部分构成，即拟涡度伸展矢量(右端第一项)、锋生矢量(右端第二项)以及非绝热加热梯度(右端第三项)。它的一个重要特点是引入非绝热加热作用，可用来研究非绝热加热对垂直运动的直接强迫。该Q矢量广泛应用在暴雨研究和温带气旋分析^{[26, 27]}中。

非绝热加热是影响大气垂直运动的重要物理因素，包括水汽相变的凝结潜热和辐射加热等。对局地暴雨过程来说，凝结潜热是主要的非绝热加热，在以往研究中有多种处理方案。Yao等^{[11, 12]}认为在大气饱和条件下，凝结潜热可以用饱和水汽比湿的垂直平流来表征，即：

$ S = - {L_v}\frac{{{\rm{d}}{q_s}}}{{{\rm{d}}t}} \approx - {L_v}\omega \frac{{\partial {q_s}}}{{\partial p}} $

(3)

其中，L_v为潜热加热, q_s为饱和水汽比湿，ω为垂直速度。Gao等^[23]针对非均匀饱和的湿大气，考虑饱和大气释放出部分凝结潜热，引入凝结潜热权重函数$ {\left( {\frac{{{q_v}}}{{{q_s}}}} \right)^k}$，得到非均匀饱和湿大气的凝结潜热加热率

$ S = - {L_v}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left[ {{q_s}{{\left( {\frac{{{q_v}}}{{{q_s}}}} \right)}^k}} \right] $

(4)

其中，q_v为水汽比湿, k为经验常数。在此基础上，进一步提出了广义位温的概念

$ {\theta ^ * } = \theta \exp \left[ {\frac{{{L_v}{q_s}}}{{{c_p}T}}{{\left( {\frac{{{q_v}}}{{{q_s}}}} \right)}^k}} \right] $

(5)

广义位温可以综合描述干大气、未饱和湿大气和饱和湿大气的热力状况。Yang等^[24]假设非均匀饱和湿大气的凝结潜热加热率主要与权重饱和比湿的垂直平流有关，即：

$ S = - {L_v}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left[ {{q_s}{{\left( {\frac{{{q_v}}}{{{q_s}}}} \right)}^k}} \right] \approx - {L_v}\omega \frac{\partial }{{\partial p}}\left[ {{q_s}{{\left( {\frac{{{q_v}}}{{{q_s}}}} \right)}^k}} \right] $

(6)

并进一步诊断分析了非均匀饱和Q矢量散度对江淮强降水过程发展演变的指示作用。岳彩军等^[19]对比分析了非均匀饱和大气的凝结潜热加热(即式（6）)、对流凝结潜热加热($ H = {c_p}\Delta T$，根据Kuo积云对流参数化方案计算)以及除了凝结潜热加热之外的其它非绝热加热($ {S_d} = \frac{\theta }{{\theta *}}\frac{{{\rm{d}}\theta *}}{{{\rm{d}}t}}$)对垂直运动的影响，结果表明非绝热加热对对流系统的发展有正的促进作用。

式(4)和式(6)的凝结潜热加热率更适合饱和大气，而在实际暴雨过程中，大气并不总是饱和的，Yang等^[24]认为对于中小尺度系统来说，非绝热加热主要来自水汽相变($ - {L_v}\frac{{{\rm{d}}{q_v}}}{{{\rm{d}}t}}$)。本文以此为基础，采用与Yang等^[24]类似的处理方法，把非绝热加热率写为：

$ S = - {L_v}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left[ {{q_v}{{\left( {\frac{{{q_v}}}{{{q_s}}}} \right)}^k}} \right] $

(7)

式(7)与式(4)和式(6)的主要区别是，采用了相对湿度幂函数$ {({q_v}/{q_s})^k}$权重的水汽比湿的变化而不是相对湿度幂函数权重的饱和水汽比湿的变化。相应的热力学第一定律可写为：

$ {c_p}\frac{{{\rm{d}}T}}{{{\rm{d}}t}} - \frac{{RT}}{p}\frac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}t}} + {c_s}{q_v}{\left( {\frac{{{q_v}}}{{{q_s}}}} \right)^k}\frac{{{\rm{d}}T}}{{{\rm{d}}t}} = S = - {L_v}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left[ {{q_v}{{\left( {\frac{{{q_v}}}{{{q_s}}}} \right)}^k}} \right] $

(8)

其中，$ {c_s} = T\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}T}}\left( {\frac{{{L_v}}}{T}} \right)$。由位温定义可以得：

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\ln \theta } \right) = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\ln T} \right) - \frac{R}{{{c_p}}}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\ln p} \right) $

(9)

利用式(9)消去式(8)中有关$ \frac{{{\rm{d}}T}}{{{\rm{d}}t}}$项，整理可得：

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\ln {\theta ^\# }} \right) = 0 $

(10)

其中，θ^#为修改的广义位温

$ {\theta ^\# } = \theta \exp \left( \beta \right) $

(11)

其中，$ \beta = \frac{{{L_v}{q_v}}}{{{c_p}T}}{\left( {\frac{{{q_v}}}{{{q_s}}}} \right)^k}$。

对比式(1)和式(5)可以看出，θ^#和θ^*的区别在于前者包含水汽比湿引起的潜热而不是饱和水汽比湿引起的潜热。如图 1a、b所示，对于给定的温度(290 K)、气幂函数$ {({q_v}/{q_s})^k}$的作用是，使得广义位温把位温和相当位温无缝地连接起来，幂指数k的取值非常关键。如图 2所示，对于给定的温度(290 K)和气压(700 hPa)，随着相对湿度的增加，k也要相应地增大，这样才能使广义位温接近位温，从而与相当位温区分开来。例如，若要使广义位温在小于或等于0.9相对湿度条件下接近位温，k要大于40。因此，k取较大值时，广义位温才能有效地把位温区和相对位温区分开，更突出与降水密切相关的高温高湿区。在接下来研究中，k取值45。

根据广义位温的守恒性式(10)和式(11)，Q矢量中非绝热加热可写为：

$ \begin{array}{l} \\ \frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}t}} = H = - \theta \frac{{{\rm{d}}\beta }}{{{\rm{d}}t}} \end{array} $

(12)

对式(12)取x和y的偏导数，可得到：

$ \frac{{\partial H}}{{\partial x}} = - \frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}\frac{{{\rm{d}}\beta }}{{{\rm{d}}t}} - \theta \left[ {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial \beta }}{{\partial x}}} \right) + \frac{{\partial {v_h}}}{{\partial x}} \cdot {\nabla _h}\beta + \frac{{\partial \omega }}{{\partial x}}\frac{{\partial \beta }}{{\partial p}}} \right] $

(13)

$ \frac{{\partial H}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial \theta }}{{\partial y}}\frac{{{\rm{d}}\beta }}{{{\rm{d}}t}} - \theta \left[ {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial \beta }}{{\partial y}}} \right) + \frac{{\partial {v_h}}}{{\partial y}} \cdot {\nabla _h}\beta + \frac{{\partial \omega }}{{\partial y}}\frac{{\partial \beta }}{{\partial p}}} \right] $

(14)

把式(13)和式(14)分别代入式(2)和式(1)，则有：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{q_x} = f\left( { - \frac{{\partial u}}{{\partial p}}\frac{{\partial v}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial x}}\frac{{\partial v}}{{\partial p}}} \right) - h\frac{{\partial {v_h}}}{{\partial x}} \cdot \left( {{\nabla _h}\theta + \theta {\nabla _h}\beta } \right)}\\ { - h\theta \frac{{\partial \omega }}{{\partial x}}\frac{{\partial \beta }}{{\partial p}} - h\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}\frac{{{\rm{d}}\beta }}{{{\rm{d}}t}} - h\theta \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial \beta }}{{\partial x}}} \right)} \end{array} $

(15)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{q_y} = f\left( { - \frac{{\partial u}}{{\partial p}}\frac{{\partial v}}{{\partial y}} + \frac{{\partial u}}{{\partial y}}\frac{{\partial v}}{{\partial p}}} \right) - h\frac{{\partial {v_h}}}{{\partial y}} \cdot \left( {{\nabla _h}\theta + \theta {\nabla _h}\beta } \right)}\\ { - h\theta \frac{{\partial \omega }}{{\partial y}}\frac{{\partial \beta }}{{\partial p}} - h\frac{{\partial \theta }}{{\partial y}}\frac{{{\rm{d}}\beta }}{{{\rm{d}}t}} - h\theta \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial \beta }}{{\partial y}}} \right)} \end{array} $

(16)

上述两式右端第二项中括号项可写为：

$ {\nabla _h}\theta + \theta {\nabla _h}\beta = \theta \left( {{\nabla _h}\ln \theta + {\nabla _h}\beta } \right) = \theta {\nabla _h}\left( {\ln \theta + \beta } \right) $

(17)

对广义位温表达式(11)两端取对数，则有：

$ \ln {\theta ^\# } = \ln \theta + \beta $

(18)

这样式(17)可写为：

$ {\nabla _h}\theta + \theta {\nabla _h}\beta = \theta {\nabla _h}\ln {\theta ^\# } $

(19)

把式(19)代入式(15)和式(16)，整理可得：

$ {q_x} = q_x^\# - h\theta \frac{{\partial \omega }}{{\partial x}}\frac{{\partial \beta }}{{\partial p}} $

(20)

$ {q_y} = q_y^\# - h\theta \frac{{\partial \omega }}{{\partial y}}\frac{{\partial \beta }}{{\partial p}} $

(21)

其中，

$ \begin{array}{*{20}{c}} {q_x^\# = f\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\frac{{\partial v}}{{\partial p}} - \frac{{\partial u}}{{\partial p}}\frac{{\partial v}}{{\partial x}}} \right) - h\frac{\theta }{{{\theta ^\# }}}\frac{{\partial {v_h}}}{{\partial x}} \cdot {\nabla _h}{\theta ^\# }}\\ { - h\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}\frac{{{\rm{d}}\beta }}{{{\rm{d}}t}} - h\theta \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial \beta }}{{\partial x}}} \right)} \end{array} $

(22)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {q_y^\# = f\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial y}}\frac{{\partial v}}{{\partial p}} - \frac{{\partial u}}{{\partial p}}\frac{{\partial v}}{{\partial y}}} \right) - h\frac{\theta }{{{\theta ^\# }}}\frac{{\partial {v_h}}}{{\partial y}} \cdot {\nabla _h}{\theta ^\# }}\\ { - h\frac{{\partial \theta }}{{\partial y}}\frac{{{\rm{d}}\beta }}{{{\rm{d}}t}} - h\theta \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial \beta }}{{\partial y}}} \right)} \end{array} $

(23)

为包含改进广义位温的Q矢量分量。该矢量也由三部分构成：拟涡度伸展矢量(右端第一项)，用广义位温表达的锋生矢量(右端第二项)和非绝热加热项(右端第三、四项)，其中拟涡度伸展矢量含有垂直风切变，对降水有明显的影响。由于水汽梯度个别变化难以准确计算，因此在实际诊断分析中，Q矢量分量式（22）和式（23）右端最后两项通常不予计算，但这并不表明这两项不重要。除了具体的非绝热加热项(右端最后两项)，上述Q矢量与以往Q矢量的明显不同点是，锋生矢量(右端第二项)引入了改进的广义位温θ^#而不是传统位温θ。由于θ^#包含了水汽相变的潜热加热信息，在高湿区随相对湿度增加而剧烈增长，所以包含广义位温的Q矢量对水汽变化比较敏感，能够描述饱和大气与未饱和大气过渡区的动、热力不连续性，与降水的发生发展联系紧密。

把式(20)和式(21)代入附录方程(A.20)，可得到：

$ \begin{array}{*{20}{c}} { - {f^2}\left( {\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {p^2}}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {h\theta \left( {\frac{1}{\theta }\frac{{\partial \theta }}{{\partial p}} + \frac{{\partial \beta }}{{\partial p}}} \right)\frac{{\partial \omega }}{{\partial x}}} \right] + }\\ {\frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {h\theta \left( {\frac{1}{\theta }\frac{{\partial \theta }}{{\partial p}} + \frac{{\partial \beta }}{{\partial p}}} \right)\frac{{\partial \omega }}{{\partial y}}} \right] = \frac{{\partial q_x^\# }}{{\partial x}} + \frac{{\partial q_y^\# }}{{\partial y}}} \end{array} $

(24)

根据广义位温的定义式(11)，其垂直梯度可以写为：

$ \frac{1}{{{\theta ^\# }}}\frac{{\partial {\theta ^\# }}}{{\partial p}} = \frac{1}{\theta }\frac{{\partial \theta }}{{\partial p}} + \frac{{\partial \beta }}{{\partial p}} $

(25)

把式(25)代入方程(24)，可得到包含广义位温的Omega方程：

$ {\nabla _h} \cdot \left( {\sigma {\nabla _h}\omega } \right) + {f^2}\left( {\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {p^2}}}} \right) = - \left( {\frac{{\partial q_x^\# }}{{\partial x}} + \frac{{\partial q_y^\# }}{{\partial y}}} \right) $

(26)

其中，$ \sigma = - \frac{{h\theta }}{{{\theta ^\# }}}\frac{{\partial {\theta ^\# }}}{{\partial p}}$为包含广义位温的静力稳定度参数，通常情况下为正值。包含广义位温的Q矢量散度是新Omega方程的唯一强迫项，Q矢量的辐散引起下沉运动，Q矢量辐合引起上升运动。对于干空气，广义位温退化为位温，新Omega方程与传统的Omega方程相同，没有凝结潜热作用。当大气接近或达到饱和时，广义位温逐渐趋近于相当位温，包含水汽相变的凝结潜热作用，因而新Omega方程隐含了凝结潜热，可以随着水汽(或相对湿度)变化描述不同热力状态的垂直运动，可用于暴雨等灾害性天气发展演变的研究。下面利用包含广义位温的Q矢量(即式(22)和式(23))对2013年7月11—14日陕西地区一次暴雨过程进行诊断分析。

2 天气形势

2013年7月11—14日陕西出现大范围降水，其中陕西中北部、关中西北部和东南部、陕南西部和东北部遭遇特大暴雨。13日0000 UTC 24 h观测降水区主要成东西向带状分布(图 3)，三个强降水中心分别位于(108°E，37°N)、(110°E，36.6°N)和(120°E，37.8°N)，最大日降水量达到80 mm以上。此次暴雨给陕西和山西等省造成严重的洪涝和次生地质灾害，经济损失惨重，其中陕西省延安、渭南、商洛、榆林、安康、咸阳和西安等7市34县(区)288个乡(镇)受灾人口达62.85万，损毁农作物4.35×10⁴hm²，倒塌和严重损坏房屋2.05万间。

此次暴雨受高空急流、副热带高压(以下简称副高)和低层切变线的共同影响(图 4)。12日0000 UTC200 hPa高空急流区从巴尔喀什湖延伸到日本北部，陕西中北部处于高空急流出口区的左侧，高空气流辐散，存在较强的次级环流上升支。500 hPa副高脊线西伸北抬，脊点移至陕西东南部，副高西南侧的东南风向陕西地区输送暖湿空气。同时，甘肃中部有短波槽生成，并逐步东移，不断引导西北冷空气南下。东南暖湿气流与西北干冷气流交汇在陕西中北部地区，形成冷暖气团对峙的局面，产生强降水。700 hPa等压面上西南气流与西北气流形成一条东北-西南走向的切变线，从河套地区经宁夏延伸到陇南。该切变线具有辐合抬升作用，有利于释放不稳定能量，触发对流。850 hPa等压面上源自南海的东南暖湿气流跨过云贵高原抵达四川中部，然后转向偏北方向，直达陕西中北部，向降水区输送水汽。

综上所述，高空急流和低层切变线相配合，形成高层辐散抽吸和低层辐合上升的动力配置，同时副高南侧的东南气流提供充足的水汽供应，在有利的不稳定条件下，陕西中北部产生强降水。另外，陕西地处青藏高原东侧和秦岭南侧，周边地形呈“喇叭口”形状，东南气流遇到地形强迫抬升，加强了低层暖湿气流的辐合，与切变线的动力作用相耦合，造成局地暴雨增幅。

针对此次暴雨，本文根据式(22)和式(23)，利用美国环境预报中心(NCEP)的全球预报系统(Global Forecast System，简称GFS)的分析场资料，诊断分析降水区包含广义位温的Q矢量散度的空间分布和时间演变特点，以此来研究降水区垂直运动特征。在此基础上，利用GFS的预报场资料对Q矢量散度进行降水落区预报释用，检验这个物理量对降水落区的指示作用。需要强调的是，由于GFS资料中包含的非绝热加热信息有限，且时间间隔比较大，故本文计算Q矢量式和式(21)中拟涡度伸展矢量和锋生矢量，但不计算与凝结潜热有关的个别变化项。

GFS是NCEP的业务预报模式之一，每日00、06、12、18 UTC四次循环预报。GFS的分析场来自全球数据同化系统(Global Data Assimilation System，简称GDAS)。GFS输出等压面资料，水平分辨率为0.5°× 0.5°，垂直方向上26个等压面，包括温度、湿度、水汽和风速等多种气象要素。

3 Q矢量散度 3.1 垂直结构

在沿108°E的经向垂直剖面内(图 5)，2013年7月12日0000 UTC观测的6 h累计降水区主要位于36°— 38°N，强降水中心出现在37°N附近。包含广义位温的Q矢量散度高值区(图 5a)位于强降水区上空中低层，正负值区相间分布，强降水中心上空650—400 hPa主要表现为负值，代表Q矢量辐合引起垂直上升运动，促进降水发展。在38°N附近700 hPa以下高度存在Q矢量散度的正值区，代表Q矢量辐散引起下沉运动，对应着相对较弱的降水区。在Q矢量散度的组成项中(图 5c、e)，锋生矢量散度的强度比拟涡度伸展矢量散度略强，其垂直分布结构与Q矢量散度相似，是Q矢量散度的主要组成部分，表明强降水区锋生特征明显。拟涡度伸展矢量散度在强降水中心上空为负值，表明那里垂直涡度的高低层差异将要减小；降水区两侧的正值代表那里垂直涡度的高低层差异将要增大。随着降水系统的发展移动，13日0000 UTC强降水中心南移到36.5°N。由Q矢量散度的分布可以看出(图 5b)，强降水中心南侧上升运动明显，而强降水中心北侧以下沉运动为主，且强降水区的上升、下沉运动主要是由锋生矢量散度引起的，说明锋生是此次暴雨的主要强迫过程(图 5d、f)。在经向方向上Q矢量散度正负值区相间分布，具有波动特征。

从水平散度的垂直分布来看(图 6)，在12日0000 UTC和13日0000 UTC强降水时刻，强降水中心南侧低层大气辐合、高层辐散，与Q矢量散度负值区相对应，上升运动明显，把水汽从低层垂直输送到中层，导致出现垂直伸展的湿舌；强降水中心北侧低层辐散、中层辐合，与Q矢量散度正值区相配合，对应着下沉运动，地面存在冷中心，这可能与质量连续性和降水粒子下落蒸发冷却有关。

从相当位温的垂直分布来看(图 7)，12日0000 UTC和13日0000 UTC相当位温高值区从高层倾斜向下伸展，直至强降水区中低层，在降水区近地面层及两侧形成明显的对流不稳定区。在强降水中心南侧，存在低层对流不稳定、Q矢量辐合以及低层大气辐合和高层大气辐散的有利配置，能触发不稳定，加强垂直上升运动，在偏南暖湿气流配合下，在强降水中心南侧形成倾斜上升运动，为强降水的发生发展创造有利条件。

3.2 时间演变

从时间演变来看(图 8)，在经强降水中心(108°E，37°N)的时间-垂直剖面内，存在两个强降水时段，即10日0000 UTC—11日0000 UTC (简记为“A”)和11日1200 UTC—13日1800 UTC(简记为“B”)，其中降水时段“B”持续时间长、降水强度较大。在降水区上空，整个研究时段均具有对流层中低层辐合、高层辐散的动力特点，Q矢量散度在中高层主要呈现负值，说明降水区上空中高层伴有垂直上升运动。另外，在12日0600 UTC和13日1200 UTC，700 hPa附近存在较小范围的Q矢量散度正值区，代表那里存在下沉运动。对比可知，该下沉运动主要是由锋生矢量散度造成的，表明该下沉运动可能与雨水蒸发冷却有关。综上所述，在强降水阶段，Q矢量散度引起的垂直运动主要是锋生强迫产生的，对强降水落区有一定的指示作用。

3.3 水平结构

在水平分布上(图 9)，11日1800 UTC—12日0000 UTC观测的6 h降水区呈准东西向带状分布，从宁夏东部跨越陕西省北部，伸展到山西省西北部(图 9a)。观测降水区位于700 hPa Q矢量散度的高值区内，降水区中南部为Q矢量散度负值，代表上升运动；北部为Q矢量散度正值区，代表与上升运动相配合的补偿下沉运动。另外在(115°E，32°—36°N)附近存在Q矢量散度高值，但没有对应强降水，这可能与那里水汽供应不充分和不稳定能量较弱有关。13日0000 UTC降水区向东南方向移动(图 9b)，Q矢量散度高值区与其重叠，两个强降水中心位于Q矢量辐合区，垂直上升运动明显；二者之间的弱降水区为Q矢量散度的正值区，代表两个垂直运动之间的补偿下沉运动。Q矢量散度正负值区相间分布，代表强降水区不但存在垂直上升运动，而且同时存在质量连续性和雨水蒸发冷却造成的补偿下沉运动，表明降水区的垂直运动在水平分布上具有波动特征。

为了对比不同凝结潜热方案的Q矢量散度的差异，本文利用凝结潜热方案式（3）和式（6）计算了Q矢量(即式（2）和式（1）)的散度，分别记作Q1矢量散度和Q2矢量散度。分析可知，Q1矢量散度高值区主要位于强降水区的北侧(图 9c，d)。虽然Q2矢量散度异常值区(图 9e，f)覆盖部分降水区，但是在34°N以南地区存在大范围的Q2矢量散度高值区，并未对应降水区。对比可见，相对来说，本文发展的Q矢量散度与观测降水存在更好的对应关系。在12日0000 UTC和13日0000 UTC，Q矢量散度中锋生矢量散度的强度要大于拟涡度伸展矢量散度(图 10)，表明锋生对降水区垂直运动的发展有较大的贡献。

上述分析表明，包含广义位温的Q矢量散度在空间分布上呈现出明显的波动特征，与观测降水联系紧密，具有指示降水落区的作用。需要强调的是Q矢量散度的正负值是瞬时的，所代表的垂直上升和下沉运动也是瞬时的，而观测降水是6 h累计的，因此二者虽然在空间位置上有一定的重叠，但是在分布位相上还存在一定差异。另一方面，Q矢量散度可以指示垂直运动状态，但不能表明垂直速度的大小或垂直运动的强度。

3.4 次级环流

Q矢量可以指示次级环流的方向^[5]，在纬向和经向垂直剖面内，次级环流可分别表示为：

$ \sigma \frac{{\partial \omega }}{{\partial x}} - {f^2}\frac{{\partial {u_a}}}{{\partial p}} = - q_x^\# $

(27)

$ \sigma \frac{{\partial \omega }}{{\partial y}} - {f^2}\frac{{\partial {v_a}}}{{\partial p}} = - q_y^\# $

(28)

寿绍文^[28]指出，根据Q矢量分量的正负值可以判断次级环流的方向。通常Q矢量箭头所指的方向代表上升支，Q矢量离开的方向代表下沉支。Q矢量分量的正值(负值)代表次级环流逆(顺)时针旋转。图 11为包含广义位温的Q矢量的水平分布，从中可见，12日0000 UTC在108.5°E以西的降水区(简称“西降水区”)，700 hPa Q矢量主要从降水区边缘指向中心区，代表降水区南、东、北边缘为次级环流下沉支，而强降水中心区为次级环流的上升支。在108.5°E以东的降水区(简称“东降水区”)，Q矢量指向东南方向，说明该降水区的东南部为次级环流上升支，而降水区北部为次级环流下沉支。另外，东降水区Q矢量的模要比西降水区大一些，说明东侧垂直环流要比西侧垂直环流发展得旺盛，整体降水区可能向东南方向移动。13日0000 UTC降水区向东南方向移至(106.5°—112°E，35.5°—37.7°N)，Q矢量方向发生明显变化。109°E以西强降水区的西南侧和北侧为Q矢量箭头离开的方向，代表下沉支；西北侧和东南侧为Q矢量所指方向，代表上升支。在109°E以东降水区，除了东北侧的Q矢量指向降水区外侧的东南方向，其它各个方位Q矢量均指向降水中心区，代表降水中心区存在强烈的上升支，而边缘主要为下沉支。上述Q矢量分析表明，降水中心区为次级环流的上升支，而下沉支主要位于降水区的边缘，该结果与Q矢量散度(图 9)的分析结果基本一致。

3.5 锋生函数

上述分析表明，在强降水区，锋生矢量散度对Q矢量散度有较大贡献，次级环流比较明显，说明此次过程中存在明显的锋生现象。下面通过Q矢量锋生函数来说明这一点。利用广义位温，锋生函数可以写为：

$ {\nabla _h}{\theta ^\# } \cdot \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}{\nabla _h}{\theta ^\# } = \frac{{{\theta ^\# }}}{{h\theta }}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_F} \cdot {\nabla _h}{\theta ^\# } - \left( {\left( {{\nabla _h}\omega } \right)\frac{{\partial {\theta ^\# }}}{{\partial p}}} \right) \cdot {\nabla _h}{\theta ^\# } + {\nabla _h}S \cdot {\nabla _h}{\theta ^\# } $

(29)

其中，$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_F} = {\rm{ }} - h\frac{\theta }{{{\theta ^\# }}}({\nabla _h}{v_h}) \cdot {\nabla _h}{\theta ^\# }$为Q矢量的锋生矢量，${\mathit{\boldsymbol{V}}_h} = (u, v, 0) $为水平速度矢量。Q_F包含两个水平分量，即$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}_F} = \left( {{Q_{Fx}}, {Q_{Fy}}, 0} \right)$，其中$ {Q_{Fx}} = {\rm{ }} - h\frac{\theta }{{{\theta ^\# }}}{\nabla _h}u \cdot {\nabla _h}{\theta ^\# }, {Q_{Fy}} = {\rm{ }} - h\frac{\theta }{{{\theta ^\# }}}{\nabla _h}v \cdot {\nabla _h}{\theta ^\# }$。上式右端第一项${F_Q} = \frac{{{\theta ^\# }}}{{h\theta }}{\mathit{\boldsymbol{Q}}_F} \cdot {\nabla _h}{\theta ^\# } $为包含广义位温的Q矢量锋生函数。如图 12所示，12日0000 UTC 700 hPa Q矢量锋生函数正负高值区与降水区重叠，表明降水区存在明显的锋生或锋消，其中108.5°E以西降水区对应F_Q负值，存在锋消；108.5°E以东降水区存在较强的F_Q正值，锋生明显；F_Q正高值中心出现在强降水中心的东侧，意味着降水区将随着冷暖气团的对峙向东移动。13日0000 UTC强降水中心东移至(111°E, 36.5°N)，东降水区加强，西降水区减弱，这与前面的12日0000 UTC Q矢量锋生函数的分析相一致。此时，Q矢量锋生函数高值区覆盖观测降水区，正负相间分布，较强的F_Q正值区位于降水区东侧边缘，较强的负值区位于降水区西侧边缘，代表降水区东侧锋生、西侧锋消，说明降水区伴随锋面将继续东移。综上所述，此次过程伴有明显的锋生和锋消，锋生区与Q矢量散度代表的上升区部分重叠，与次级环流、低层辐合、对流不稳定等多种物理因素相互配合，促进降水发生发展。

3.6 Q矢量分解

有研究表明，Q矢量分解可以分析天气过程中不同尺度所起的作用^[9]。本文把Q矢量分解成垂直于等广义位温线和平行于等广义位温线的两个正交矢量，即：

$ \mathit{\boldsymbol{Q}}_n^\# = \left( {{\mathit{\boldsymbol{Q}}^\# } \cdot \frac{{{\nabla _h}{\theta ^\# }}}{{\left| {{\nabla _h}{\theta ^\# }} \right|}}} \right)\frac{{{\nabla _h}{\theta ^\# }}}{{\left| {{\nabla _h}{\theta ^\# }} \right|}} $

(30)

$ \mathit{\boldsymbol{Q}}_s^\# = \left[ {{\mathit{\boldsymbol{Q}}^\# } \cdot \left( {k \times \frac{{{\nabla _h}{\theta ^\# }}}{{\left| {{\nabla _h}{\theta ^\# }} \right|}}} \right)} \right]\left( {k \times \frac{{{\nabla _h}{\theta ^\# }}}{{\left| {{\nabla _h}{\theta ^\# }} \right|}}} \right) $

(31)

其中，$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}^\# } = (q_x^\# , q_y^\# ), \mathit{\boldsymbol{Q}}_n^\# $为垂直于等广义位温线的法向分量，$\mathit{\boldsymbol{Q}}_s^\# $为平行于等广义位温线的切向分量。Yue等^[29]指出$\mathit{\boldsymbol{Q}}_n^\# $与锋生和锋消有关，具有非绝热和非地转特征，主要包含反映中尺度运动的锋区尺度信息，决定了垂直于锋面的次级环流性质；而$\mathit{\boldsymbol{Q}}_s^\# $与热成风(平行于等位温线)有关，具有绝热和准地转特征，主要包含大尺度运动信息，决定了平行于锋面方向大尺度环流的特点。因此分解的Q矢量分量能够体现不同尺度系统对垂直运动的强迫作用。如图 13所示，12日0000 UTC Q矢量法向分量散度($ {\nabla _h} \cdot \mathit{\boldsymbol{Q}}_n^\# $)在降水中心区及其南侧为负值，而在降水中区北侧主要为正值，表明伴随锋生的中尺度系统在降水中心区强迫产生上升运动，而在其北侧产生补偿下沉运动。Q矢量切向分量散度(${\nabla _h} \cdot \mathit{\boldsymbol{Q}}_s^\# $)在强降水区呈现高值，代表大尺度准地转强迫垂直运动；${\nabla _h} \cdot \mathit{\boldsymbol{Q}}_s^\# $正负高值区相间分布，说明降水中心区的波动活动主要是由大尺度系统强迫引起的。此时正是暴雨发展阶段，对比可以看出，$ {\nabla _h} \cdot \mathit{\boldsymbol{Q}}_n^\# $代表的中尺度强迫起主要作用，而${\nabla _h} \cdot \mathit{\boldsymbol{Q}}_s^\# $代表的大尺度强迫起次要作用。13日0000 UTC $ {\nabla _h} \cdot \mathit{\boldsymbol{Q}}_n^\# $和${\nabla _h} \cdot \mathit{\boldsymbol{Q}}_s^\# $高值区均覆盖降水区，表明降水中心区的垂直运动主要是由大尺度强迫和中尺度强迫共同造成的；但是相对来说，${\nabla _h} \cdot \mathit{\boldsymbol{Q}}_s^\# $的强度更大一些，说明此时(暴雨处于强盛时期)大尺度强迫是主要的，而中尺度强迫是次要的。上述分析表明，Q矢量法向分量代表的中尺度强迫和切向分量代表的大尺度强迫对降水中心区垂直运动的发展均有重要贡献，但在不同阶段强迫作用也不同。

综上所述，本文提出的Q矢量包含了水汽、垂直风切变和大气湿斜压性以及凝结潜热等信息，在一定程度上综合描述产生降水的环境背景条件。Q矢量及其散度可以指示暴雨过程中大气垂直运动状态，反映次级环流性质，显示锋生和锋消特征，体现大尺度和中尺度系统的强迫作用，这些物理因素均是影响暴雨发展演变的关键因素，因而包含广义位温的Q矢量及其散度与强降水的发生发展密切相关。

4 基于数值预报产品的释用

为了把前述Q矢量散度应用到暴雨预报实践，并检验它对6 h观测降水落区的指示作用，本文针对4次强降水过程，利用GFS 24 h预报场资料计算Q矢量散度，分析该物理量与6 h观测降水的关系。图 14给出2013年7月17日1800 UTC、7月18日0000 UTC、7月22日0000 UTC和7月23日0000 UTC 4次强降水过程GFS 24 h预报的Q矢量散度$ (\left\langle {|{\nabla _h} \cdot {Q^\# }|} \right\rangle = - \int_{{\rm{850hPa}}}^{100{\rm{hPa}}} {} \rho |{\nabla _h} \cdot {\mathit{\boldsymbol{Q}}^\# }|dp)$、GFS预报的6 h降水和观测降水的水平分布。从中可见，7月17日1800 UTC和18日0000 UTC Q矢量散度高值区呈东北-西南向带状分布，在走向和位置上与6 h观测降水区比较一致；而在非降水区，预报的Q矢量散度的强度比较小。17日0000 UTC GFS预报的6 h降水落区主要出现在观测降水带的南端，大部分观测降水带未预报出来；18日0000 UTC GFS预报降水区能够反映观测降水带的南端和东北端，但观测降水带的中段未反映出来。在7月22日0000 UTC和23日0000 UTC，预报的Q矢量散度高值区覆盖观测降水区，能够反映观测降水的落区和位置；虽然GFS预报降水与观测降水区有部分重叠，但二者降水区域和中心位置存在明显偏差。总之，预报的Q矢量散度基本上能够指示观测降水落区和走向，但Q矢量散度的中心位置与观测降水中心位置也略有偏差，主要位于观测降水中心的周围。降水区与非降水区动、热力学性质有明显差异，在二者过渡区垂直风切变和广义位温等物理量的水平梯度较大，所以Q矢量散度在降水过渡区呈现高值，这是造成预报Q矢量散度与观测降水中心位置偏差的一个可能原因。

综上所述，根据Q矢量散度的异常可以判断降水落区，实现降水落区的预报。这种预报思路以数值模式的温、压、湿、风等基本气象要素为基础，其预报效果取决于数值模式要素场预报的准确性，在本质上属于数值模式预报产品的延伸释用。这是从降水系统典型的宏观动、热力特征角度进行暴雨落区预报，不同于数值模式自身的暴雨预报(它是云微物理过程的结果)，但二者可以互为验证，互为补充。

5 结论和讨论

(1) 在等压坐标系中考虑水汽相变释放的凝结潜热，引入改进的广义位温，发展包含广义位温的Q矢量，推导了新的非地转湿大气Omega方程。改进的广义位温包含潜热加热信息，在高湿区随相对湿度增加而剧烈增长，能够突出高能高湿区。包含广义位温的Q矢量散度是新Omega方程的唯一强迫项，由拟涡度伸展矢量、锋生矢量及凝结潜热梯度三项构成。除了具体的非绝热加热项，包含广义位温的Q矢量与以往Q矢量的不同点是锋生矢量包含了改进的广义位温而不是传统的位温，故该Q矢量对水汽变化较敏感，与降水联系紧密。

(2) 针对2013年7月11日我国西北地区一次暴雨过程，分析了包含广义位温的Q矢量散度的时、空结构特征及其与6 h观测降水的关系。结果表明，Q矢量散度高值区主要发生在强降水区，能够反映强降水区大气的垂直运动状态。降水中心区存在Q矢量辐合，对应着垂直上升运动；弱降水区存在Q矢量辐散，对应补偿下沉气流。Q矢量分量能够反映降水区的次级环流方向，降水中心区为次级环流的上升支，而下沉支主要位于降水区的边缘，与Q矢量散度的分析结果基本一致。在此次暴雨过程中，存在明显的锋生和锋消，相应地包含广义位温的Q矢量锋生函数正负高值区与降水区重叠，锋生区与Q矢量散度代表的上升区部分重叠，降水区东侧锋生、西侧锋消，反应出降水系统东移的特点。Q矢量法向分量散度代表的中尺度强迫和切向分量散度代表的大尺度强迫对降水中心区垂直运动的发展均有贡献，在降水发展阶段，垂直运动的主要强迫是中尺度强迫，而在成熟阶段，大尺度强迫是主要的。

(3) 提出的包含广义位温的Q矢量及其散度能够反映暴雨过程中大气垂直运动状态，指示次级环流方向，显示锋生和锋消强度，体现大尺度和中尺度系统的强迫作用，这些物理因素都是影响暴雨发展演变的重要因素，因而包含广义位温的Q矢量及其散度与强降水存在紧密联系。利用全球预报系统GFS的24 h预报场资料对包含广义位温的Q矢量散度进行解释应用，结果表明：Q矢量散度在走向和位置上与6 h观测降水比较接近；在强降水区或强降水时段，预报的Q矢量散度的强度较大，表现为强信号；在非降水区或非降水时段，预报的Q矢量散度强度较小，为弱信号。即预报Q矢量散度与6 h观测降水存在一定的对应关系，基本上能够指示降水落区，可以根据预报的Q矢量散度的异常判断降水的可能落区。

本文通过引入广义位温改进了传统Q矢量中对湿大气的描述，适用于暴雨过程的垂直运动和锋面分析。同时，引入了凝结潜热个别变化项，该项在本文中未计算，需在今后研究中进一步分析。目前，改进的Q矢量主要通过GFS预报场资料对降水进行预报，其在高分辨数值模式中的解释应用还需进一步研究。

附录A 非地转Omega方程推导

在等压坐标系中f平面近似下的原始方程组为：

$ \frac{{\partial u}}{{\partial t}} + \mathit{\boldsymbol{V}} \cdot \nabla u - fv = - \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} $

(A.1)

$ \frac{{\partial v}}{{\partial t}} + \mathit{\boldsymbol{V}} \cdot \nabla v + fu = - \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}} $

(A.2)

$ \frac{{\partial \varphi }}{{\partial p}} = - \frac{1}{\rho } $

(A.3)

$ \frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial y}} + \frac{{\partial \omega }}{{\partial p}} = 0 $

(A.4)

$ \frac{{\partial \theta }}{{\partial t}} + \mathit{\boldsymbol{V}} \cdot \nabla \theta = H $

(A.5)

$ \theta = T{\left( {\frac{{{p_s}}}{p}} \right)^{\frac{R}{{{c_p}}}}} $

(A.6)

$ p = \rho RT $

(A.7)

其中，$\mathit{\boldsymbol{V}} = (u, v, \omega ) $为速度矢量，f为科氏参数，φ为位势高度，H为非绝热加热，其它为气象常用符号。

热成风平衡可表达为：

$ \frac{{\partial {u_g}}}{{\partial p}} = - \frac{1}{f}\frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial y\partial p}} = \frac{h}{f}\frac{{\partial \theta }}{{\partial y}} $

(A.8)

$ \frac{{\partial {v_g}}}{{\partial p}} = \frac{1}{f}\frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial x\partial p}} = - \frac{h}{f}\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}} $

(A.9)

其中，${u_g} = {\rm{ }} - \frac{1}{f}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}} $和$ {v_g} = \frac{1}{f}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}{\rm{ }}$为地转风，$h = \frac{R}{p}{\left( {\frac{p}{{{P_s}}}} \right)^{\frac{R}{{{c_p}}}}} $。对上述方程两端取时间t偏导数，可得到：

$ \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{{\partial {u_g}}}{{\partial p}}} \right) + \mathit{\boldsymbol{V}} \cdot \nabla \left( {\frac{{\partial {u_g}}}{{\partial p}}} \right) = - \frac{h}{f}\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{V}}}}{{\partial y}} \cdot \nabla \theta + \frac{\omega }{f}\frac{{\partial h}}{{\partial p}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial y}} + \frac{h}{f}\frac{{\partial H}}{{\partial y}} $

(A.10)

$ \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{{\partial {v_g}}}{{\partial p}}} \right) + \mathit{\boldsymbol{V}} \cdot \nabla \left( {\frac{{\partial {v_g}}}{{\partial p}}} \right) = - \frac{h}{f}\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{V}}}}{{\partial x}} \cdot \nabla \theta + \frac{\omega }{f}\frac{{\partial h}}{{\partial p}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}} + \frac{h}{f}\frac{{\partial H}}{{\partial x}} $

(A.11)

对方程（A.1）和（A.2）取垂直偏导数，则有：

$ \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial p}}} \right) + \mathit{\boldsymbol{V}} \cdot \nabla \left( {\frac{{\partial u}}{{\partial p}}} \right) = - \frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial x\partial p}} - \frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{V}}}}{{\partial p}} \cdot \nabla u + f\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial p}}} \right) $

(A.12)

$ \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial p}}} \right) + \mathit{\boldsymbol{V}} \cdot \nabla \left( {\frac{{\partial v}}{{\partial p}}} \right) = - \frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial y\partial p}} - \frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{V}}}}{{\partial p}} \cdot \nabla v - f\frac{{\partial u}}{{\partial p}} $

(A.13)

由（A.12）—（A.10）和（A.13）—（A.11）可分别得到：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{{\partial {u_a}}}{{\partial p}}} \right) + \mathit{\boldsymbol{V}} \cdot \nabla \left( {\frac{{\partial {u_a}}}{{\partial p}}} \right) = f\left( {\frac{{\partial {v_a}}}{{\partial p}}} \right) - \frac{{{q_y}}}{f}}\\ { + \frac{h}{f}\frac{{\partial \omega }}{{\partial y}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial p}} - \frac{\omega }{f}\frac{{\partial h}}{{\partial p}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial y}}} \end{array} $

(A.14)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{{\partial {v_a}}}{{\partial p}}} \right) + \mathit{\boldsymbol{V}} \cdot \nabla \left( {\frac{{\partial {v_a}}}{{\partial p}}} \right) = - f\left( {\frac{{\partial {u_a}}}{{\partial p}}} \right) + \frac{{{q_x}}}{f}}\\ { - \frac{h}{f}\frac{{\partial \omega }}{{\partial x}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial p}} + \frac{\omega }{f}\frac{{\partial h}}{{\partial p}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}}} \end{array} $

(A.15)

其中，$ {u_a} = u - {u_g}$和$ {v_a} = v - {v_g}$为非地转风，

$ {q_x} = f\left( { - \frac{{\partial u}}{{\partial p}}\frac{{\partial v}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial x}}\frac{{\partial v}}{{\partial p}}} \right) - h\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial x}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial y}}} \right) + h\frac{{\partial H}}{{\partial x}} $

(A.16)

$ {q_y} = f\left( { - \frac{{\partial u}}{{\partial p}}\frac{{\partial v}}{{\partial y}} + \frac{{\partial u}}{{\partial y}}\frac{{\partial v}}{{\partial p}}} \right) - h\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial y}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial y}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial y}}} \right) + h\frac{{\partial H}}{{\partial y}} $

(A.17)

为Q矢量的两个分量，即$ \mathit{\boldsymbol{Q}} = \left( {{q_x}, {q_y}} \right)$。

根据选择近似^[5]，略去非地转风的个别变化以及小量$\frac{\omega }{f}\frac{{\partial h}}{{\partial p}}\nabla \theta $，则（A.14）和（A.15）变为：

$ f\left( {\frac{{\partial {u_a}}}{{\partial p}}} \right) - \frac{{{q_x}}}{f} + \frac{h}{f}\frac{{\partial \omega }}{{\partial x}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial p}} = 0 $

(A.18)

$ f\left( {\frac{{\partial {v_a}}}{{\partial p}}} \right) - \frac{{{q_y}}}{f} + \frac{h}{f}\frac{{\partial \omega }}{{\partial y}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial p}} = 0 $

(A.19)

由$\frac{\partial }{{\partial x}} $（A.18）- $\frac{\partial }{{\partial y}} $（A.19）可得到Omega方程

$ \begin{array}{l} - \left[ {{f^2}\left( {\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {p^2}}}} \right) - h\frac{{\partial \theta }}{{\partial p}}\left( {\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {y^2}}}} \right)} \right] + \\ h\left( {\frac{{\partial \omega }}{{\partial x}}\frac{{{\partial ^2}\theta }}{{\partial x\partial p}} + \frac{{\partial \omega }}{{\partial y}}\frac{{{\partial ^2}\theta }}{{\partial y\partial p}}} \right) = \frac{{\partial {q_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {q_y}}}{{{\partial _y}}} \end{array} $

(A.20)