引言

IPCC第五次评估报告(AR5)指出，1880—2012年全球平均地表温度升高0.85 [0.65~1.06] ℃，期间1951—2012年升温速率是1880年以来的2倍，并预估未来会继续升高，极端气候事件将进一步增多，中纬度大部分陆地区域强降水强度可能加大、发生频率可能增加^[1-3]；极端事件(高温热浪、极端降水、沿海洪涝等)造成的气候变化风险加剧，影响的分布有较大区域差异，如干旱区、沿海地区、贫困地区^[4]。随着全球气候变化，我国各地极端降水事件及严重城市内涝事件频发^[5-6]，干旱区也不例外^[7-8]。银川市位于我国西北高原沙漠边缘地区、黄河上游宁夏平原中部，1961— 2016年平均降水量只有192.9 mm，是典型的干旱少雨地区，近年极端降水事件频繁发生，内涝灾害突出。如2012年7月29日夜间，银川市大部、石嘴山市部分地区及贺兰山沿山出现了暴雨、局地大暴雨，区域自动站超过100 mm的有13个站，最大日降水量出现在贺兰山滚钟口，为166.2 mm，日降水量银川站达119.5 mm，贺兰站达107.2 mm，永宁站达79.6 mm，三站均创有气象记录以来的日降水量极值，暴雨导致城市特大内涝，造成道路损坏、银川老城区电力中断6 h，直接经济损失2.5亿元。2016年8月21日夜间贺兰山沿山拜寺口至苏峪口一线出现特大暴雨并引发洪水，其中区域站12 h最大降水量达239.5 mm，日降水量为宁夏有气象记录以来极值，特大暴雨造成银川市约9 400人、2 400.6 hm²农作物受灾，9间房屋倒塌，413间房屋受损。

暴雨强度公式是计算任意重现期、降水历时的降水强度公式，是排水规划、排水管道设计的主要依据，合理制定某地区暴雨强度公式，可使设计工程安全可靠、节约投资，社会经济效益明显^[9]。银川市暴雨强度公式为1980年代编制，显然已不适应目前的气候变化和应用需要。根据住房和城乡建设部和中国气象局的要求^[10]，一旦出现超记录的极端强降水事件，就必须对暴雨强度公式进行修编，所以重新推求银川市暴雨强度公式已非常迫切。

编制暴雨强度公式的方法有很多，普遍采用两步法，即第一步为曲线拟合，对选取的各历时降水量资料，采用指数分布、耿贝尔(Gumbel)分布、皮尔逊Ⅲ型(P-Ⅲ)分布概率模型对降水量资料进行曲线拟合讨论，得出降雨强度(i)、重现期(P)和降雨历时(t)三者的关系，即i-P-t关系表(以下简称i-P-t三联表)；第二步为公式参数的多方法求解(以下简称参数求解)，根据i-P-t三联表，采用最小二乘法和高斯牛顿法求解公式各参数，将得到的各参数代入公式中，即得暴雨强度公式。邓培德等^[11]研究表明，利用P-Ⅲ分布曲线表示样本规律，难以获得理论上的精度；顾骏强等^[12]等运用指数分布、耿贝尔分布、韦伯(Weibull)分布、P-Ⅲ分布等概率模型对瑞安市暴雨强度抽样的分布进行讨论，通过对比分析确定了用于描述瑞安市暴雨强度抽样分布的概率模型；Saleh A等^[13]用利雅得地区32 a的降水量资料建立了基于强度-持续时间-频率曲线的经验公式来估计降雨强度，指出概率分布拟合对暴雨强度样本拟合精度高，其对应的暴雨强度公式拟合的精度不一定也相应高。研究表明^[14-16]，利用高斯牛顿法和最小二乘法等方法实现对暴雨强度公式中参数的计算，得出的单一重现期的暴雨强度公式精度比总公式精度高。根据国家标准《室外排水设计规范》 ^[17] (以下简称《规范》)要求，这两步均要进行误差控制，暴雨强度公式参数估算误差以平均绝对均方根误差σ≤ 0.05 mm为主要衡量指标，对于降雨强度较大的地方，平均相对均方根误差f≤5%，或适当放宽条件为σ在多数重现期下(0.25 a, …10 a, 共8个重现期) f≤5%，对于一般降雨强度的地方，可f>5%。而对于年降水量小于等于300 mm的干旱地区，由于降水量级小、强降水样本少，使得短历时降水变率加大，在计算暴雨强度公式时每一步的σ均变得难以控制，而f等于σ除以样本均值，干旱区降水量少造成样本均值小，因而使得f更大。近10 a来干旱地区极端降水事件增多^[18]，使得降水样本数据变得更为不规整，进一步增加了暴雨强度公式计算过程中误差控制的难度。针对这一难题，本文以银川市新一代暴雨强度公式推求为例，设计了一种新的误差控制策略，将误差的两步控制改变为综合控制，以使公式推算过程的综合误差ΔI达到最小。在编制银川市新一代暴雨强度公式中，应用这一新的策略取得较好的效果，这对广大干旱区城市具有推广示范的意义。

1 资料与方法

(1) 银川国家气象站1961—2016年历年夏半年(5—10月)气温、降水量资料，历年月平均气温、降水量资料，及分钟降水量资料，其中1961—2003年分钟降水量资料通过该站历时雨量自记纸信息化处理后得到，2004—2016年资料则直接取自自动气象站分钟降水量资料。根据《规范》规定，计算出每年5、10、15、20、30、45、60、90、120、150、180 min等11个短历时的连续滑动最大值(可以跨时、日、月，不跨年)作为原始分析样本。

(2) 采用指数分布、耿贝尔分布、P-Ⅲ分布等3种概率模型对降水量资料进行曲线拟合，误差控制标准为σ≤0.05 mm·min^-1(一般降雨强度的地方)，或f≤ 5.0% (在较大降雨强度的地方)，必要时只对重现期为2~20 a情况进行统计，具体方法见参考文献^[10]。

(3) 采用最小二乘法和高斯牛顿法等2种方法求解暴雨强度总(分)公式的4(3)个关键参数，误差控制标准同上。

(4) 在以上6种组合中，选取曲线拟合结合参数求解二者综合误差ΔI最小的为最佳组合，所得暴雨强度总(分)公式作为最终的暴雨强度公式，误差控制标准同上述第2步。综合误差ΔI定义为：

$ \Delta I = 1/2\left( {\Delta {i_1} + \Delta {i_2}} \right) $

(1)

其中，Δi₁、Δi₂分别为第一步曲线拟合误差、第二步参数求解误差，单位为mm·min^-1或%。

(5) 离差系数或变差系数(Cv)

$ Cv = \mu /x $

(2)

其中，μ为标准差，x为平均值。

2 结果分析

在对银川市夏半年平均气温和年降水量分析的基础上，对银川市短历时强降水样本少、变率较大的特征进行了分析；通过两步法推求了该样本数据的暴雨强度公式，每步均对其误差进行控制计算，最后通过计算ΔI选取了银川市暴雨强度公式。下面作具体分析。

2.1 夏半年气温、降水量及短历时雨强变化趋势分析

银川市1961—2016年年平均降水量为192.9 mm，其中夏半年为168.4 mm，占全年降水量的87.3 %，这一时期的降水可以表征全年降水变化的基本特征。图 1为1961—2016年银川市夏半年平均气温和降水量变化图，从中可见，1961年以来，银川市夏半年平均气温总体呈升高趋势，从20世纪90年代后期开始显著上升，高于平均值，进入一个相对偏暖时期；夏半年的降水量总体没有明显的变化趋势，但年际变率较大，最大值为305.7 mm，最小值为45.7 mm。

表 1为银川市11个降水历时年最大雨强均值x、离差系数Cv和与时间的相似系数r，从中可见，11个短历时x随历时的延长逐渐减小；Cv普遍较大(0.44以上)，30、45、60 min的雨强Cv达到59%，可见银川市短历时年最大雨强的年际变化程度较大；特别值得注意的是r全部为正，但未通过0.1的统计检验(0.1统计检验的临界值为0.218)，说明11个短历时的最大雨强为一致性的增强趋势，其中30 min以上最大雨强增加趋势更明显。银川市11个短历时年最大雨强年际变化程度大、增强趋势明显，这与近年来银川市频繁遭遇短历时暴雨袭击相吻合。

滑动提取5、10、15、20、30、45、60、90、120、150、180 min历时的每年最大降水量，对它们的年际变化特征进行分析。图 2为1961—2016年银川市5 min和120 min短历时的年最大降水量变化图，从中可见，5 min的年最大降水量在20世纪70年代后期到80年代前期的年际变率较大(图 2a)，10 min、15 min的年最大降水量年际变化趋势与5 min的年最大降水量年际变化趋势相似(图略)；120 min的年最大降水量在20世纪70年代后期到90年代前期以及在2005年以后的年际变率较大(图 2b)，其他历时与120 min的年最大降水量变化趋势相似(图略)，但120 min的年最大降水量随着年代的增加降水量的上升趋势最明显。总体来看，11个短历时的年最大降水量呈上升趋势，降水历时越长，降水量的上升趋势越明显。

上述分析表明，以银川市为例的干旱区夏半年平均气温从20世纪90年代后期开始显著上升，进入一个相对偏暖时期，夏半年降水年际变率较大，但总体没有明显的增加趋势；银川市短历时年最大降水量为一致性的增强趋势，年际变率较大，造成编制暴雨强度公式的样本数据排列不规整，对曲线拟合带来困难。

2.2 短历时雨强的曲线拟合及误差控制 2.2.1 曲线拟合分析

图 3a为银川市不同降水历时降水强度随重现期的样本变化曲线，在原始降水资料的基础上，分别利用指数分布、耿贝尔分布、P-Ⅲ型分布概率模型曲线拟合出不同历时降水强度随重现期的理论变化曲线(图 3b—3d)。从中可见，各历时样本变化曲线波动均较大，尤其在10~30 a重现期区间的曲线波动更大(图 3a)；指数分布曲线、耿贝尔分布曲线以及P-Ⅲ分布曲线均对样本数据进行了平滑(图 3b—d)。通过拟合可知，样本曲线的波动较大增加了曲线拟合的难度。

2.2.2 误差控制效果分析

表 2为各降水历时下样本与曲线拟合结果的误差，从中可见，指数分布、耿贝尔分布和P-Ⅲ分布曲线的拟合结果绝大部分σ较小，但f较大；在2~20 a重现期下，三种曲线拟合均达到了σ≤0.05 mm·min^-1的《规范》精度要求，而f均没有达到精度要求。其主要原因是银川市处在季风带的边缘，近年来全球气候变暖，银川极端降水频发，降水样本排列不规整，样本数据不规律造成。因此第一步误差控制无法确定选取哪种曲线拟合，只能先全部进行下一阶段的参数计算。

2.3 暴雨强度公式推算与误差控制 2.3.1 i-P-t三联表

通过利用指数分布、耿贝尔分布以及P-Ⅲ分布概率模型对样本数据进行曲线拟合，得到i-P-t三联表，作为暴雨强度公式参数估算的原始资料之一。表 3为利用耿贝尔分布概率模型对样本数据进行曲线拟合得到的i-P-t三联表。

2.3.2 最小二乘法推算的暴雨强度公式及误差检验

将三类曲线拟合得到的i-P-t三联表数据分别用最小二乘法计算暴雨强度总公式和分公式，再计算各重现期下分公式、总公式的相应精度误差(表 4、表 5)。

由表 4可见，除指数分布在2~20 a重现期下的σ和f不满足精度检验要求外，耿贝尔和P-Ⅲ分布下的σ≤0.05 mm·min^-1，f≤5%，均达到《规范》提出的精度检验要求。

由表 5可见，指数分布、耿贝尔分布和P-Ⅲ分布曲线拟合、经最小二乘法求出的总公式，各参数在2~ 20 a重现期下的σ和f均没有达到《规范》的要求。通过对比表 4、5可知，相同的分布曲线下使用总公式算出的各重现期暴雨强度公式误差结果明显大于分公式的相应值，分公式比总公式的计算结果更为精确。

2.3.3 用高斯牛顿法推算的暴雨强度公式及误差检验

表 6为利用高斯牛顿法求解暴雨强度总(分)公式对应的误差，从中可见，在2~20 a重现期下，指数分布、耿贝尔分布和P-Ⅲ分布曲线拟合求出的σ均≤ 0.05 mm·min^-1，仅耿贝尔曲线拟合得到的f≤5%，满足《规范》提出的精度检验要求。

2.4 综合误差判别与暴雨强度公式选取

通过2.2和2.3节的分析可知，三种曲线拟合的σ达到了精度检验要求(σ为主要衡量指标)，但f均较大；耿贝尔分布和P-Ⅲ分布下利用最小二乘法计算得到的暴雨强度分公式的误差达到了精度检验要求，但总公式误差较大未达到精度要求；三种曲线拟合下利用高斯牛顿法计算得到的暴雨强度总(分)公式均达到了精度检验要求。通过两步误差控制很难得出选用哪种曲线拟合下高斯牛顿法参数求解的最终暴雨强度公式，因此计算了ΔI，并与第一步曲线拟合误差和第二步高斯牛顿法公式参数求解误差进行对比。表 7为两种误差控制策略下2~20 a重现期的误差对比，通过比较可知，两步误差控制的第一步曲线拟合误差，指数分布和耿贝尔分布的σ均为0.042，且f不大，相比之下P-Ⅲ分布的σ和f是最小的；而第二步公式参数求解误差，耿贝尔分布下的σ和f最小。两步误差控制增加了暴雨强度公式选取的难度，但是通过ΔI计算可知，耿贝尔分布下的ΔI最小。因此，针对银川市1961—2016年56 a降水数据，推荐使用耿贝尔分布曲线拟合结合高斯牛顿法的组合作为银川市暴雨强度总(分)公式的计算方法和结果。

通过误差比较，选用耿贝尔分布曲线拟合结合高斯牛顿法计算公式参数得到的银川市暴雨强度总(分)公式为：

$ i = \frac{{4.595 \times \left( {1 + 1.792\lg P} \right)}}{{{{\left( {t + 10.452} \right)}^{0.778}}}}\;\;\left( {单位:\;{\rm{mm}} \cdot {{\min }^{ - 1}}} \right) $

(3)

$ 或\;\;\;q = \frac{{765.795 \times \left( {1 + 1.792\lg P} \right)}}{{{{\left( {t + 10.452} \right)}^{0.778}}}}\;\;\left( {单位:\;{\rm{L}} \cdot {{\rm{s}}^{ - 1}} \cdot {\rm{h}}{{\rm{m}}^{ - 2}}} \right) $

(4)

高斯牛顿法所求暴雨强度总(分)公式误差一览表见表 6，该暴雨强度总公式和分公式是一致的，曲线拟合、总(分)公式在重现期为2~20 a下的平均绝对误差分别为0.042 mm·min^-1，0.024 mm·min^-1，相对误差分别为8.101%，4.116%，除了曲线拟合的相对误差外，其他各项指标均满足《规范》要求，综合误差更是所有组合中最小的。

3 结论与讨论

干旱区强降水样本少、变率大，针对编制暴雨强度公式过程中曲线拟合和参数求解这两个重要步骤过程中误差难以控制的缺陷，以银川市为例，设计了一种新的误差控制策略，将误差的两步控制改变为综合控制，从而可使公式推算过程的误差达到最小。

(2) 以银川市为例的干旱区夏半年平均气温从20世纪90年代后期开始显著上升，进入一个相对偏暖时期，夏半年降水年际变率较大；银川市56 a的短历时降水强度兼有波动性和趋势性，其中30~180 min历时近10 a波动加大、趋势加强。

(3) 优选耿贝尔曲线拟合结合高斯牛顿法求解公式参数，作为银川市暴雨强度总(分)公式的组合计算方案，其中曲线拟合、总(分)公式在重现期2~20 a下的σ分别为0.042 mm·min^-1，0.024 mm·min^-1，f分别为8.101%，4.116%，除了曲线拟合的f外，其他各项指标均满足《规范》要求；该方案较好地编制了银川市新一代暴雨强度公式，可为干旱区暴雨强度公式的编制提供了可供参考的思路。