2. 美国圣母大学 航空机械系, 南本德 46556
2. Department of Aerospace and Mechanical Engineering, University of Notre Dame, South Bend 46556, USA
多孔介质中的流体流动与传热在化工、机械、能源、环境等诸多科学与工程领域有着广泛的应用，如化工分离过程、化学污染物在饱和水土壤中的分散、地热储层流体流动、热交换器的优化设计、电子器件及设备的冷却、房间通风和太阳能集热器等[1-2]。因此，对多孔方腔内的流体流动和传热特性进行深入研究具有重要意义。近年来，国内外学者采用数值方法对多孔方腔内的对流传热问题进行了研究。Saeid[3]采用有限容积法研究了受热壁面温度在空间上呈正弦变化的多孔腔内的自然对流传热；Roy和Basak[4]采用有限元法研究了壁面均匀和非均匀加热边界的方腔内自然对流传热，表明壁面均匀和非均匀加热对方腔壁面的传热速率有较大的影响。
近年来，许多学者采用的都是传统的数值模拟方法，该方法受数值稳定性、计算精度等条件的制约，难以满足微尺度传热流动、多孔介质等领域研究的要求。格子Boltzmann方法(LBM)是近年来新兴发展起来的介观模拟方法，其基于分子运动理论，与传统方法相比，具有程序结构简单、并行计算特性良好、边界条件处理简单等特点[5-6]，因此在求解多孔介质领域内的传热流动问题方面具有很好的应用。目前，已有许多学者采用LBM方法研究多孔腔内的自然对流传热。Zhao等[7]采用双种群热格子BGK模型模拟多孔介质中的二维自然对流传热，研究了孔隙密度、孔隙度及多孔介质结构(形状)对自然对流的影响；Dixit和Babu[8]采用基于BGK模型的LBM方法研究了高Rayleigh数下的方腔内自然对流传热；Liu等[9]采用多弛豫时间(MRT)模型模拟了垂直受热壁面多孔方腔内自然对流现象；Liu等[10]基于广义非达西(Darcy)模型提出了一种非正交MRT-LBM方法，研究了多孔介质在典型初等体积尺度下的对流换热，结果表明, 非正交MRT-LBM模型能够正确模拟对流换热过程, 且比格子BGK(LBGK)模型具有更好的数值稳定性。
对于方腔内自然对流的研究，大多数学者集中在处理垂直壁面加热的情况，而部分学者研究了方腔内含内热源、壁面冷却的情况。Lam和Prakash[11]采用有限元法对多孔腔体中顶部及底部放置热源的腔内自然对流现象进行了模拟研究；李培生等[12]采用LBM方法研究了内置高温体倾斜多孔腔体中的流体流动与传热机理，结果表明，孔隙率、达西数、Raleigh数及倾角对流体与热壁面之间的自然对流传热能力有较大影响；Siavashi等[13]采用有限容积法研究了两相流在内热源与溶质源作用下通过充满流体饱和多孔介质的方形封体的稳态双扩散自然对流，分析了腔体倾角，内热源的不同形状、位置和排列对流动传热传质特性的影响，并从热力学第二定律出发，进行了熵产分析，确定了最佳的内热源构型；Selimefendigil[14]采用CFD方法研究了方形腔内两内热源的自然对流冷却过程，分析了在腔体顶部、中部和底部放置内热源，以及两内热源之间的距离对传热特性的影响。基于前人的工作，本文采用非正交MRT方法研究了多孔方腔内含双内热源的自然对流冷却过程，讨论分析了在固定孔隙率ε=0.4，普朗特数Pr=0.71，达西数Da=10-2，不同Raleigh数情况下，内热源在多孔方腔水平中心、垂直中心、对角位置布局对冷、热壁面平均努塞尔数的影响，并在水平及对角布局的方式下讨论分析了内热源几何尺寸大小及两内热源之间的间距对传热特性的影响，从而得出内热源布局方式、内热源几何尺寸大小及间距对换热效果的影响规律，为电子器件及设备的冷却等实际工程应用领域提供帮助。
1 问题描述及计算模型物理模型如图 1所示。二维封闭方腔内放置布局方式为水平(Case 1)、垂直(Case 2)、对角(Case 3)的两发热方块，方块表面温度为Th，边长为H，两方块间的距离为d。外部方腔左右边壁温度为Tc(Th>Tc)，上下边壁绝热，边长为L，各壁面边界上的速度梯度均为零。内置方块与方腔的长度比定义为A=H/L，两方块间的距离与方腔的长度比定义为S=d/L。发热方块与腔体之间填充了各向同性、均质的多孔材料。本文不对内热源赋值，仅采用放置发热方块来代替内热源，在此前提下研究方腔内的流体流动及传热现象。
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| 图 1 物理模型 Fig. 1 Physical model |
假设流体不可压缩，考虑温差引起的浮升力项，并忽略黏性耗散，引入Boussinesq假设，采用修正的Brinkman-Darcy-Forchheimer渗流模型描述腔体内的复杂流动，结合能量方程，二维多孔方腔内流体流动及传热的广义控制方程为
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式中：ρ为流体密度；u、p和T分别为流体的平均速度、压力和温度；ε为腔体的孔隙率；υe为流体的有效运动黏度；αe为有效热扩散系数；σ为多孔腔体内固相与液相之间的热容比值；F为外力项，是由多孔介质和其他外力所引起的合外力，其可以表示为
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其中：υ为流体的运动黏度；K为多孔介质的渗透率；Fε为几何形状因子；G为浮升力，G=gβ(T-T0)j，g为重力加速度，β为流体的热膨胀系数，T0为方腔内的平均温度，j为y轴的单位矢量。
为了描述多孔方腔内的对流传热特性，采用的无量纲参数有：达西数Da=K/L2，Raleigh数Ra=gβΔTL3/(υα)，ΔT为特征温度，雷诺数Re=LU/υ，普朗特数Pr=υ/α，黏度比J=υe/υ，热扩散率比γ=αe/α。其中, α为热扩散率，U为特征速度。为了量化传热效率，本文采用平均努塞尔数来表达，垂直壁面与水平壁面的平均努塞尔数为
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式中：Nuvavg和Nuhavg分别为垂直和水平壁面的平均努塞尔数。
2 耦合双分布非正交MRT-LBM模型 2.1 流场LBM方法是在粒子间的相互运动下，通过构建粒子分布函数来描述每个粒子处于某一状态下的概率，并通过统计方法得出系统的宏观参数。非正交MRT-LBM模型速度空间的密度分布演化方程为
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式中：fi为密度分布函数；δt为单位时间步长；e为离散速度的方向矢量；M为速度空间的非正交转换矩阵；S为速度空间的对角松弛系数矩阵，S=diag(s0, s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7, s8)；m和meq分别为f和feq对应的矩空间分布函数，m=M·f，meq=M·feq；I为单位矩阵；Fx，t为合外力；f和feq分别为密度分布函数和密度平衡态分布函数。
速度空间采用D2Q9离散速度模型，各离散速度的方向矢量为
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式中：c为格子单位速度。
非正交转换矩阵M为
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矩空间平衡态分布函数meq为
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式中：ux和uy分别为节点的水平和垂直方向速度。
速度空间的密度平衡态分布函数fieq为
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式中：ωi为权重系数，ω0=4/9, ω1=ω2=ω3=ω4=1/9, ω5=ω6=ω7=ω8=1/36；Cs为格子声速，
合外力F为
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式中：Fx、Fy分别为合外力F的x、y方向分力。
有效运动黏度υe可以表示为
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(12) |
式中：τv为计算密度场分布函数的弛豫时间。
非正交MRT-LBM方法同常规的LBM方法一样，分布函数的演化主要由2部分组成：碰撞和迁移。矩空间进行的碰撞过程为
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式中：m*为碰撞后的矩空间分布函数。
完成碰撞后，通过f*=M-1·m*变换回速度空间，然后执行迁移过程：
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得到更新的分布函数后，流体的宏观密度ρ和速度u可以通过引入临时速度v求解得到
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二维温度场可以采用多种离散速度模型计算，本文采用计算量相对较小的D2Q5速度模型，该模型已足够对二维温度场进行准确模拟。二维温度场分布函数的演化方程为
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式中：gi为温度分布函数；gieq为温度平衡态分布函数；Q为温度场对角松驰系数矩阵，Q=diag(ζ0, ζ1, ζ2, ζ3, ζ4)；N为温度场非正交转换矩阵；ei为温度场各离散速度的方向矢量，表示为
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求解温度场的MRT-LBM模型的演化过程与求解速度场类似，其宏观温度T可以表示为：σT=
非正交转换矩阵N为
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矩空间平衡态分布函数neq为
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式中：φ为常值。
速度空间的温度平衡态分布函数gieq为
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有效热扩散系数可表示为
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式中：τT为计算温度场的分布函数的弛豫时间。
2.3 数值设定在模拟中，设置了φ=1/2，CsT2=c2φ/2=1/4，J=1, σ=1，γ=1, 其中，CsT2为D2Q5模型的格子声速，非正交MRT-LBM模型的矩空间对角松弛系数为
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式中：弛豫时间分别为
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为了验证数值结果的准确性，模拟了填充有饱和多孔介质的方腔内自然对流传热，方腔内无放置方块，左壁面为高温，右壁面为低温。通过计算热壁面平均努塞尔数(Nuavg)与文献[15]的结果进行比较，结果如表 1所示。在孔隙率ε=0.4，Ra=105，Da=10-2，Pr=1.0的情况下，与文献[10]比较了流线图和等温线图，结果如图 2所示。由表 1可以得出，本文非正交MRT-LBM方法模拟的数值结果与文献[15]相近，相对误差都在2.5%以内，充分验证了非正交MRT-LBM方法模拟多孔方腔内自然对流传热的可靠性。
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| 图 2 流线图与等温线图比较(Ra=105，Da=10-2，Pr=1.0，ε=0.4) Fig. 2 Comparison of streamlines and isotherms (Ra=105, Da=10-2, Pr=1.0, ε=0.4) |
图 3和图 4显示了在不同内热源几何尺寸大小A及间距S下，布局方式对Ra=104，105，106下热、冷壁面平均努塞尔数的影响。图 5~图 7的流线图与等温线图给出了最大流函数值与平均努塞尔数，分别为Ψmaxright(右漩涡)、Ψmaxleft(左漩涡)、Ψmaxdown(下漩涡)、Ψmaxup(上漩涡)、Ψmaxside(侧漩涡)最大流函数值及Nuavghot(热壁面)、Nuavgcool(冷壁面)平均努塞尔数。由于热壁面平均努塞尔数受多个因素的综合影响，因此本文中对主要的影响因素做出了分析。从图 3和图 4中可以发现，在Ra=104，两内热源间距S=5/64时，任意内热源几何尺寸大小，内热源采用对角布局都要比水平及垂直布局具有更好的换热效果。这是由于水平与垂直布局时，其相间的对流换热区域相比于对角布局的换热区域小，在其相间的等温线分布疏散，表明其相间的方块表面温度梯度低，且在其表面发展起来的热边界层较厚，因此导致换热不充分，换热效果减弱。同理在S=13/64，A=1/16，1/8，3/16情况下，仍然采用对角布局的换热效果更好。但随着内热源几何尺寸大小及间距的增加，其相间的对流换热区域增大，因此对热壁面平均努塞尔数的主要影响转变为在热源B、C周围形成的漩涡对其表面努塞尔数的影响。如图 5所示，在A=3/16且S=21/64时，水平布局下内热源B、C的周围产生了4个漩涡，且均铺展其上下表面，因此在相应的热源表面形成的热边界层较薄，温度梯度较陡，聚集了较密集的等温线；而在垂直及对角布局时，仅在周围产生了2个漩涡，且其位置相对于热源的表面比之水平布局时较远，尽管漩涡强度较之水平布局时更强，但综合影响即此时采用水平布局换热效果更好。
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| 图 3 不同Raleigh数、内热源几何尺寸大小及间距下布局方式对热壁面平均努塞尔数的影响 Fig. 3 Influence of layout mode on heated wall average Nusselt number with different Rayleigh numbers, heat source sizes and spacing |
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| 图 4 不同Raleigh数、内热源几何尺寸大小及间距下布局方式对冷壁面平均努塞尔数的影响 Fig. 4 Influence of layout mode on cold wall average Nusselt number with different Rayleigh numbers, heat source sizes and spacing |
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| 图 5 Ra=104，A=3/16，S=21/64下3种布局方式的流线图与等温线图 Fig. 5 Streamlines and isotherms for three layout modes at Ra=104, A=3/16, S=21/64 |
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| 图 6 Ra=105，A=1/8，S=5/64下3种布局方式的流线图与等温线图 Fig. 6 Streamlines and isotherms for three layout modes at Ra=105, A=1/8, S=5/64 |
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| 图 7 Ra=106，A=1/16，S=21/64下3种布局方式的流线图与等温线图 Fig. 7 Streamlines and isotherms for three layout modes at Ra=106, A=1/16, S=21/64 |
当Ra=105时，对流换热效果增强，因此在热源B、C周围形成的漩涡对其表面努塞尔数的影响对总的平均努塞尔数的影响增强，而在水平与垂直布局时，热源B、C之间相间区域大小的影响减弱，但在内热源间的间距S小的情况下，其仍然是主要影响，如图 6所示。分析过程与上述一致，因此在Ra=105，S=5/64时，任意内热源几何尺寸大小，采用对角布局可获得最佳换热效果，在S=13/64，21/64时，则采用水平布局更优。
当Ra增加为106时，腔内以对流换热为主导机制。此时在热源B、C周围形成的漩涡对其表面努塞尔数的影响对总的平均努塞尔数的影响显著增强，而水平与垂直布局时，热源B、C之间相间区域大小的影响显著减弱。因此，如图 3、图 4所示，在两热源间的间距S=5/64时，任意内热源几何尺寸大小下，水平及对角布局的换热效果相差无几，因此均可采用这2种布局方式；在S=13/64，21/64时，任意内热源几何尺寸大小下，则采用水平布局能够获得最佳换热效果，其中垂直布局在A=1/16，S=21/64时，其换热效果与水平布局相差无几，因此在此情况下宜采用水平或垂直布局。如图 7所示，原因在于：热源在A=1/16，S=21/64的情况下，垂直布局时在热源B、C周围产生的2个漩涡，因对流换热强度的增加，其漩涡范围增大并将热源表面覆盖，因此在热源B、C的左右表面形成较薄的热边界层，聚集较密集的等温线，温度梯度较陡；而水平布局时，虽然在热源B、C周围产生了4个漩涡，但靠近上壁面的两漩涡的位置距离其表面较远，因此对热源B、C表面的努塞尔数影响不大，并且靠近方腔左右壁面的两漩涡相比垂直布局时漩涡强度更小，且没有较好的覆盖热源B、C表面，产生的热边界层较厚，温度梯度较低。因此综合影响，两者布局方式的换热效果差不多，而对角布局时，从图 7中可以看出，虽然热源周围产生了3个漩涡，但因热源C周围的漩涡明显偏离其表面，且向右上角迁移，这在一定程度上削弱了方腔右边壁的漩涡强度，造成相应的热源表面等温线聚集较疏，温度梯度较低，因此综合影响导致了此时的对角布局换热效果最差。
3.3 内热源间距对流动及传热的影响 3.3.1 水平布局如图 8所示，在Ra=104的情况下，任意内热源几何尺寸大小，热源B、C的对流换热效果均随着热源间间距的增加而增强。这是因为方腔内的传热机制以导热为主，因此随着热源间的间距S增大，热源C的左壁面及热源B的右壁面与方腔左右边壁的距离减小，其表面形成的热边界层变薄，温度梯度变得更陡，因此换热效果增强，如图 9所示。而热源B、C的上壁面及下壁面因为热源间间距的增大，在热源B、C周围产生的漩涡逐渐向热源B、C上下两表面迁移，且随着内热源几何尺寸大小的增加，漩涡范围增大，如图 10所示。在热源B、C上下两表面的漩涡显著增强了对流换热，因此换热效果增强。对于热源B、C相间的区域，其随着热源间间距的增加，对流换热区域增大，对流换热得以充分发展，其相间的热源壁面热边界层变薄，但随着继续增加，热边界层变得稳定，因此其对流换热区域增大的影响减弱，且增大到一定值时，热源B、C相间区域的壁面主要受到热源B、C下壁面漩涡的影响。当Ra增加为105面及热源B的右壁面与方腔左右边壁的距离足够小时，引起的换热效果增强仍是影响总体换热强度的主要因素，因为此时对应的热源表面温度梯度大，如图 9所示。但随着内热源几何尺寸大小的减小，其影响逐渐减弱，而热源B、C周围产生的漩涡的影响转化为主导影响。对于热源B、C的上壁面及下壁面因为热源间间距的增大，在其周围产生的漩涡逐渐向其上下两表面迁移，但随着热源间间距的继续增加，漩涡逐渐脱离热源B、C的下表面。因此，其上表面形成较薄的热边界层，温度梯度增大，换热增强，而下表面换热减弱。对于热源B、C相间的区域，其分析过程与Ra=104时一致。因此，综合影响表现为如图 8所示。在Ra=105，A=1/4，3/16，1/8时，热源B、C的对流换热效果随着热源间间距的增加而增强；在A=1/16时，其对流换热效果随着热源间间距的增大先增强后减弱。
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| 图 8 水平布局时，不同Raleigh数、内热源几何尺寸大小及间距对热壁面平均努塞尔数的影响 Fig. 8 Influence of different Rayleigh numbers, heat source sizes and spacing on heated wall average Nusselt number in horizontal layout |
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| 图 9 水平布局时，不同Raleigh数、内热源几何尺寸大小及间距下冷壁面局部努塞尔数的分布 Fig. 9 Distribution of local Nusselt number on cold wall with different Rayleigh numbers, heat source sizes and spacing in horizontal layout |
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| 图 10 水平布局时，Ra=104，A=1/4，S=5/64，13/64，21/64下的流线图与等温线图 Fig. 10 Streamlines and isotherms for horizontal layout at Ra=104, A=1/4, S=5/64, S=13/64, S=21/64 |
当Ra增加为106时，方腔内的对流换热强度继续增强，并且以对流为传热的主导机制。但当内热源为大尺寸，随着热源间间距的增大使得其左右表面足够接近方腔壁面时，此时热源B、C的左右壁面的平均努塞尔数仍然是影响总体换热强度的主要因素，如图 9所示，分析过程与上述一致。但随着内热源几何尺寸大小的减小，其周围产生的漩涡的影响迅速成为主导影响，随着热源间间距的增大，在其表面形成的漩涡逐渐向方腔左右两壁的下表面迁移，且在迁移过程中在方腔上壁表面分裂出2个小漩涡，小漩涡随着间距的增大充分发展，如图 11所示，因此对于热源C的左壁面及热源B的右壁面，因漩涡迁移导致其漩涡强度减弱，表面的热边界层增厚，温度梯度减小，所以在热源间间距小时其热边界层较薄，换热效果更好，并且随着热源间间距的增加，从图 11可以看出，漩涡逐渐脱离热源B、C下表面，而对于热源B、C相间的区域，其过程与Ra=104时一致。因此，综合影响表现为如图 8所示。在Ra=106，A=1/4时，热源B、C的对流换热效果随着热源间间距的增加而增强；在A=3/16时，其对流换热效果随着热源间间距的增加先减弱后增强；在A=1/8，1/16时，其对流换热效果随着热源间间距的增大而减弱。
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| 图 11 水平布局时，Ra=106，A=1/8，S=5/64，13/64，21/64下的流线图与等温线图 Fig. 11 Streamlines and isotherms for horizontal layout at Ra=106, A=1/8, S=5/64, S=13/64, S=21/64 |
通过图 12可以看出，在Ra=104时，任意内热源几何尺寸大小下，热源B、C的对流换热效果均随着热源间间距的增加而增强。这是因为低Raleigh数下，方腔内的传热机制以导热为主，随着热源间间距的增大，热源B、C之间相间的区域范围增大，对流换热得以充分发展，因此相应表面发展的热边界层变薄，温度梯度变陡；并且热源C的左壁面及热源B的右壁面与方腔左右边壁的距离减小，温度梯度增大，两壁面的换热增强。如图 13所示，因而此情况下，换热效果随着热源间间距的增加而增强。
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| 图 12 对角布局时，不同Raleigh数、内热源几何尺寸大小及间距下对热壁面平均努塞尔数的影响 Fig. 12 Influence of different Rayleigh numbers, heat source sizes and spacing on heated wall average Nusselt number in diagonal layout |
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| 图 13 对角布局时，不同Raleigh数、热源几何尺寸大小及间距下冷壁面局部努塞尔数的分布 Fig. 13 Distribution of local Nusselt number on cold wall with different Rayleigh numbers, heat source sizes and spacing in diagonal layout |
当Ra=105时，腔内对流换热效果增强，此时从图 12中可以看出，内热源几何尺寸大小A=1/4，3/16，1/8时，其表面对流换热效果随着热源间间距的增加而增强；在A=1/16时，热源B、C的对流换热效果随着S的增大而减弱。这是因为，在A=1/4，3/16，1/8时，随着热源间间距的增大，热源C的左壁面及热源B的右壁面与方腔左右边壁的距离减小，温度梯度增大，两壁面的换热增强，但随着内热源几何尺寸的减小，此影响减弱，而随之增强的是热源B、C周围形成的漩涡对表面平均努塞尔数的影响，随着热源间间距的增大，热源C周围形成的漩涡逐渐向方腔左下角迁移因而逐渐脱离其左表面和下表面，而热源B周围形成的漩涡则逐渐向方腔右上角迁移而逐渐脱离其下表面和右表面，导致这些表面形成的热边界层变厚，温度梯度减小。因而综合影响出现上述现象。
当Ra=106时，腔内以对流为传热的主导机制，此时从图 12中可以看出，内热源几何尺寸大小A=1/4时，其对流换热效果随着热源间间距的增加而增强；在A=3/16时，其对流换热效果随着热源间间距的增加先减弱后增强；在A=1/8，1/16时，其对流换热效果随着热源间间距的增大而减弱。这是由于在以对流为传热主导的因素下，只有当内热源几何尺寸大小足够大且使得热源间间距增加时，热源C的左表面与热源B的右表面足够接近方腔壁面，此时引起的换热增强为对热源总体平均努塞尔数大小的主要影响，如图 13所示。其分析过程与上述一致。而随着内热源几何尺寸大小的逐渐减小，热源B、C周围产生的漩涡对平均努塞尔数的影响增强且转变为主要影响。如图 14所示，在A=1/16时，随着热源间间距的增加，热源C周围产生的漩涡逐渐向方腔左下角迁移因而逐渐脱离其左表面和下表面，且随着热源间间距继续增加，其漩涡开始向方腔右上角迁移，一定程度上阻碍了热源B周围产生的漩涡的充分发展，并随着热源间间距的增加使得其在方腔上壁面分裂出一个小漩涡，且小漩涡得到充分发展，因而在一定程度上随着热源间间距的增加削弱了方腔右表面上的漩涡强度，并且使得相应表面上形成的热边界层变厚，温度梯度减小，虽然小漩涡得到充分发展，但因其位置距离热源B、C的上表面较远，因而对其表面努塞尔数的影响不大，因此其综合影响导致热源在此尺寸下，随着热源间间距的增加，其换热效果逐渐减弱。
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| 图 14 对角布局时，Ra=106，A=1/16，S=5/64，13/64，21/64下的流线图与等温线图 Fig. 14 Streamlines and isotherms for diagonal layout at Ra=106, A=1/16, S=5/64, S=13/64, S=21/64 |
通过图 3、图 4可以看出，在Ra=104，105，106，热源间间距S=5/64，13/64，21/64，内热源几何尺寸大小A=1/16，1/8，3/16，1/4情况下，随着内热源几何尺寸大小的增加，方腔内的对流换热效果显著增强。这是因为在固定Raleigh数、热源间间距的情况下，热源表面距离方腔边壁的距离远近为对其总平均努塞尔数的主要影响，因此随着内热源几何尺寸大小的增大，其表面距离方腔边壁的距离减小，导致热边界层变薄，温度梯度变陡，因此换热效果增强。
4 结论本文采用非正交MRT-LBM方法，对多孔方腔内含双加热块的自然对流冷却过程进行了数值模拟研究，研究过程通过改变Raleigh数、内热源几何尺寸大小、布局方式、热源间间距来研究方腔内加热块壁面和冷壁面平均努塞尔数的变化规律，从而得出最佳换热模型。研究结果如下：
1) 布局方式对冷、热壁面平均努塞尔数的影响。在Ra=104，S=5/64时，任意内热源几何尺寸大小及S=13/64，A=1/16，1/8，3/16情况下，宜采用对角布局方式；在S=21/64时，A=3/16，1/4情况下，宜采用水平布局方式；在Ra=105情况下，S=5/64时，任意内热源几何尺寸大小，采用对角布局方式可获得更好的换热效果；在其他热源间间距及内热源几何尺寸大小下，采用水平布局方式更优；在Ra=106情况下，S=5/64时，宜采用水平或者对角布局；在A=1/16，S=21/64时，宜采用水平或者垂直布局，其换热效果更好；但在其他内热源几何尺寸大小及热源间间距下，则采用水平布局方式更优。
2) 相同的布局方式下，热源间间距对冷、热壁面平均努塞尔数的影响。在热源水平及对角布局方式下，Ra=104时，任意内热源几何尺寸大小，Ra=105时，A=1/8，3/16，1/4情况下，其换热效果均随着热源间间距的增大而增强；而在Ra=105，A=1/16情况下，随着热源间间距的增大，其换热效果先增强后减弱；在Ra=106，A=1/4时，其换热效果随着热源间间距的增大而增强；在A=3/16时，随着热源间间距增大，其换热效果先减弱后增强；而在A=1/8，1/16情况下时，随着热源间间距增大，其换热效果减弱。
3) 热源大小对冷、热壁面平均努塞尔数的影响。在相同的热源间间距S=5/64，13/64，21/64，Ra=104，105，106情况下，任意内热源几何尺寸大小，随着内热源几何尺寸大小增加，其对流换热效果增强，因此结合上述规律，发现采用水平布局方式，内热源几何尺寸大小选择为1/4，热源间间距选择为21/64情况下，可获得最佳的换热效果。
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