搅拌摩擦焊是一种先进的固相焊接方法，在压焊过程中能够形成致密的、力学性能优异的焊缝，广泛应用于飞机曲面壁板、机翼结构等轻金属(铝合金、钛合金等)结构材料的焊接制造中[1-2]。压焊过程需要施加较大的顶锻压力和驱动力矩[3]，因此具备优异的刚度性能和重载承受力是搅拌摩擦焊装备的重要特性；同时为满足复杂空间焊缝的需求，装备应具有良好的灵活性及姿态调整能力。机构作为搅拌摩擦焊机械装备的骨架，是其实现优异性能的根本[4]，现有搅拌摩擦焊机一般由机床改进而成，Longhurst[5]将铣床改装为搅拌摩擦焊机，成本较低，但该类焊机只适应于平面焊缝的连接，生产效率较低；Backer等[6]设计了串联型搅拌摩擦焊接机器人，灵活度及工艺柔性较好，但关节式串联机器人的低负载能力和低刚度限制了其在搅拌摩擦焊中的应用，且为具有足够的刚度，该类机器往往比较笨重[7]。本文提出一种以三自由度并联机构为主要执行机构的焊接装备，该机构由若干条闭环支链及动静平台组成，具有较高的刚度及承载能力，负载能力/机器人质量比远高于串联型机器人，且驱动关节累积误差小，运行精度高，因此更能适应航天制造中搅拌摩擦焊的焊接需求；但并联机构同时也存在自由度性质不稳定、位姿正解困难等缺点[8-9]，本文旨在得到一类具有稳定三自由度性质的并联机构(1T2R，1T：一个移动自由度，2R：两个转动自由度)，并对其位姿正反解和奇异性问题进行深入研究。
1983年，Hunt[10]首次提出了具有1T2R自由度性质的3-RPS (R为转动副，P为移动副，S为球面副)并联机构，该机构被应用于混联型数控铣床[11]、光电跟踪系统[12]等各领域。2005年，李艳文[13]推导了3-RPS的奇异判别式，并用线几何、螺旋理论等方法分析了10种奇异构型，指出该构型的奇异性问题较为严重。2016年, 邹成[14]提出了2UPR/RPS(U为万向铰)构型的1T2R并联机构，利用螺旋理论证明了该构型在特殊位型下有绕轴x转动、绕动平台轴线的转动自由度以及沿z轴的移动自由度。张扬[15]提出了一种无伴随运动的新型两转一移3-UPU并联机构，并应用螺旋理论对其自由度性质进行了分析，指出该机构在满足一定尺寸条件下具有全周自由度的性质。吴金波和韩鹏[16]应用线几何工具和旋量理论分析了3-UPU并联机构的奇异性。
目前，部分研究仅对提出的1T2R并联机构在特殊位型下进行自由度性质分析，这是不充分的，因为当机构位型发生变化时，机构的自由度数目和性质可能会发生变化[17]，即不具备全周自由度的性质，机构存在伴随运动和较大的奇异性问题，这对机构的力学性能、轨迹规划和控制精度等方面都极为不利。
机构位姿的正反解问题是轨迹规划及控制研究的基础。与串联机构不同，并联机构位姿的反解较为简单，可以直接得到解析解，而正解问题需面临多元非线性方程组的问题，较为复杂，因此一般采用数值法求解。Liu等[18]采用对偶神经网络与迭代法相结合的方法，将3-RRR并联机构的正解空间分为若干子空间以减少神经元个数，提高了位姿正解的计算速度与精度。王启明等[19]利用基于L-M(Levenberg-Marquardt)算法改进的BP神经网络模型，较好地解决了Stewart并联机构位姿正解效率对迭代初值过度依赖的问题。吴小勇等[20]利用改进蚁群算法，将非线性方程组的多目标优化问题转化为单目标优化问题，有效地解决了3-PPR并联机构位姿正解问题。
本文提出一种应用于搅拌摩擦焊机械装备上的2UPR-RRU全周自由度并联机构，首先利用螺旋理论推导了该机构在普通位型和特殊位型下的约束螺旋系，充分分析其自由度数目与性质，并结合修正Grübler-Kutzbach公式[21-22]进行了自由度数目的验证。随后利用闭环矢量法建立了动平台位姿输出与各驱动支链输入的关系，推导了其运动学反解解析式。在正解过程中，根据反解表达式构造了优化目标函数，在位姿空间内，采用粒子群优化(PSO)算法得到了位姿与驱动关节的关系。最后，对反解解析式进行求导，得到该机构输入/输出的速度雅可比矩阵关系式，基于雅可比矩阵的方法从边界奇异、驱动奇异和混合奇异3方面分析了机构的奇异性问题。
1 构型分析 1.1 机构描述搅拌摩擦焊执行部分主要由2UPR-RRU并联机构及搅拌头组成，其中并联机构由动平台、静平台、一条RRU支链及两条UPR支链组成，RRU支链中U副与动平台相连，UPR支链中的U副与静平台相连，如图 1所示。
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| 图 1 搅拌摩擦焊执行机构 Fig. 1 Manipulator of friction stir welding equipment |
如图 2所示，2UPR-RRU并联机构动静平台分别为等腰直角三角形△A1A2A3和△B1B2B3，分支B1A1及分支B2A2为UPR支链，分支B3A3为RRU支链，各支链末端运动副固定于相应平台的顶点。为便于分析，以静平台长边B1B2的中点为坐标原点O建立如图 2所示O-xyz坐标系，x轴沿OB3方向，y轴沿B1B2，z轴垂直于平台向上，同理以动平台长边A1A2的中点为坐标原点P建立P-x′y′z′坐标系，x′轴沿PA3方向，y′轴沿A1A2，z′轴根据右手定则确定，各点坐标Ai=(xAi, yAi, zAi)，Bi=(xBi, yBi, zBi)(其中i=1, 2, 3)，|PAi| =a，|OBi| =d。
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| 图 2 2UPR-RRU并联机构示意图 Fig. 2 Schematic diagram of 2UPR-RRU parallel mechanism |
根据全周自由度的定义，一个能够正常工作的机构其自由度数必须是稳定的，即不论机构处于哪种位型，机构的自由度数目和性质都要保持稳定不变[15]。为分析该机构在一般位型下的自由度性质，假设支链1上的运动副1(
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(1) |
式中：u代表支链1方向向量在y轴方向上的投影。
根据约束螺旋与运动螺旋互易积为零的关系，求得该支链约束螺旋为
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(2) |
可以看到，支链UPR给动平台施加的约束是平行于分支末端转动副方向且过坐标原点的力线矢以及沿动平台法线方向的约束力偶。
同理，重复上述过程可以得到UPR支链2的约束螺旋为
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(3) |
对于RRU支链3，运动螺旋为
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(4) |
则支链约束螺旋为
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(5) |
RRU支链给动平台施加的约束为在yOz平面内平行于y轴方向的力线矢以及沿动平台法线方向的约束力偶。
综上，3条支链对动平台施加的约束螺旋系为
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(6) |
约束螺旋矩阵的秩为3，因此动平台有3个自由度。并且当β发生变化时，机构依旧能持续保持3个约束力偶垂直于动平台且保持平行，这是保证自由度数量不变的关键。下面对约束螺旋系(6)进一步求反螺旋，得到动平台的运动螺旋为
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(7) |
式(7)中的运动螺旋分别代表动平台可以实现绕y轴的旋转、绕动平台x′轴旋转以及沿动平台法线方向z′轴的移动，自由度性质不会随着动平台位型发生改变而变化。当β=0°时，机构处于特殊位型，其运动螺旋为
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(8) |
可以看到，该构型仍然可以实现动平台沿z′轴方向的移动、绕y轴的旋转及绕动平台x′轴的旋转。综上，2UPR-RRU并联机构在特殊位型和普通位型下均可以实现1T2R性质的运动，不会随着位型的改变发生自由度数目及性质变化的现象，是一类全周自由度机构，具有稳定的运动性质，满足焊接过程中的自由度需求[3]。
根据上述约束螺旋间的关系，采用修正Grübler-Kutzbach公式计算该机构的自由度数进行验证:
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(9) |
式中：M为机构自由度数；e为机构阶数，这里仅存在一个力偶的公共约束，所以e取5；n为包括机架的构件数目，取8；g为运动副数，这里为9；fi为第i个运动副的自由度数，这里均为低副，因此取1；v为过约束数量，在约束螺旋系中3组力偶一致的约束螺旋在降低机构阶数中已经考虑，而约束螺旋
位姿正反解问题是装备焊接过程中轨迹规划的基础。如图 2所示，定义Bi(i=1, 2, 3)为向量
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(10) |
式中：
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假设动平台在焊接运动过程中绕静平台的坐标系x轴旋转了α，绕y轴旋转了β。两条转轴分别位于xOz平面和y轴轴线上，因此在转动过程中POy始终为0，根据机构约束条件，移动副li方向与转动副的转动轴
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(11) |
令li表示
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(12) |
计算式(12)向量的模长即可以得到各支链长度：
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(13) |
对于支链3：
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(14) |
式中：r为支链3中两连杆的长度；θ为关节夹角。式(13)和式(14)即为该并联机构的位姿反解解析式。
2.2 位姿正解位姿正解是已知2UPR-RRU并联机构各驱动关节的输出参数求解动平台的位姿独立参数POz、α及β的问题，这里采用PSO算法求解上述非线性方程组的解。为便于计算，将支链3的输出考虑成杆长输出，后续再计算关节夹角，即输入参数为li1、li2及li3，运算过程如下：
1) 构造优化目标函数
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(15) |
2) 初始化PSO算法函数
设置标准惯性权重、最大搜索速度、种群规模和最大迭代次数等基本参数，粒子位置为x =(POz, α, β)，为提高计算效率，根据动平台姿态运动范围设置搜索范围，具体参数如表 1所示。
| 参数 | 数值 |
| 种群规模 | 40 |
| 学习因子 | 2 |
| 最大迭代次数 | 500 |
| 最大搜索速度 | 0.01 |
| 最小搜索速度 | -0.01 |
| 惯性权重初值 | 0.9 |
| 惯性权重末值 | 0.4 |
| POz取值范围/m | [-0.3, -0.1] |
| α取值范围/rad | [-0.314, 0.314] |
| β取值范围/rad | [-0.314, 0.314] |
3) 粒子适应度函数
令f =[f1 f2 f3]，求其F-范数：
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将其设置为评价收敛结果的重要指标，当其小于10－6时，循环结束。
4) 粒子速度及位置更新过程
首先将每一个粒子的初始位置都设置为自身最佳位置pid，同时计算并比较各粒子的适应度函数║A║F，寻找到粒子群中最佳的粒子作为全局最优粒子pgt，随后更新粒子的速度和位置，更新公式为
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(16) |
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(17) |
式中：vidt为t时刻粒子速度；xidt为t时刻粒子位置；r1与r2为均匀分布在[0, 1]区间的随机数。
设置好新的粒子速度和位置后进行适应度计算，并比较此前适应度函数值，若优于自身最佳位置，用该粒子位置则替代之前位置pid，同理，若种群中的最佳粒子优于pgt，则替代之；循环该过程，一直迭代到所需适应度精度，此时即得到了该输入杆长条件下的动平台位姿。
下面进行算例分析，结果如表 2所示。各算例PSO算法适应度曲线如图 3所示。
| 算例 | 输入/mm | 输出 | 迭代次数 | ||||||
| li1 | li2 | li3 | 位置/mm | 位置绝对误差/mm | 姿态/rad | 姿态绝对误差/rad | |||
| 1 | 180 | 200 | 180 | [6.022 0 －146.571] | [0 0 －0.003] | [－0.072 －0.041 0] | [0 0 0] | 458 | |
| 2 | 200 | 220 | 180 | [20.543 0 －170.672] | [0 0 －0.001] | [－0.068 －0.032 0] | [0 0.001 0] | 399 | |
| 3 | 280 | 260 | 220 | [43.613 0 －237.684] | [0.001 0 0] | [0.062 －0.182 0] | [0 0.001 0] | 421 | |
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| 图 3 各算例PSO算法适应度曲线 Fig. 3 PSO algorithm fitness curves of different examples |
从表 2和图 3可以看到，上述算例均得到了在给定驱动条件下的动平台精确位姿，绝对误差较小，适应度曲线收敛快，达到了2UPR-RRU并联机构位姿正解的目的。因此，将位姿正解的非线性问题转化为最优化问题，在其工作空间内采用PSO算法进行优化求解是具备高效的求解效率和精度的，该方法具有良好的适应性。
3 驱动奇异性分析机构出现奇异时其自由度数目或者性质将发生变化，导致机构运动性能变差，承载能力下降，进而对焊缝质量造成不利影响[7]。1.2节研究得出了机构具有全周自由度的性质，但这仅能说明机构在不含驱动的情况下不存在奇异现象，驱动奇异性是指当驱动关节全部锁定后，动平台若仍保留未被约束掉的自由度，将会发生动平台不可控的现象。本文采用雅可比矩阵的方法来分析以支链1、支链2的移动副以及支链3中间的转动副为驱动关节的2UPR-RRU并联机构驱动奇异性问题。
对式(13)求导整理后得到支链输入速度与动平台位姿输出速度的关系：
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(18) |
式中：输出速度雅可比矩阵A为
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(19) |
其中：
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若矩阵行列式|A| =0，机构则发生驱动奇异，表现为机构驱动关节有输入的情况下，动平台却没有相应自由度的输出，即机构失去了自由度。
输入速度雅可比矩阵B为
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(20) |
若矩阵行列式|B|=0，机构则发生边界奇异，表现为动平台有输出时，机构驱动关节可以没有输入，即机构得到了自由度，刚度不可控。
当矩阵行列式|A|与|B|同时为0时，机构发生混合奇异。计算行列式(19)以及(20)得
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(21) |
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(22) |
可以看到，当θ=0°或180°时，支链3的两杆重合或共线，发生边界奇异；当β=90°时，机构同样发生边界奇异；另外，l1与l2的长度不可能为0；根据实际情况，边界奇异是可以通过限制动平台转动角度来避免的，在运动范围内难以发生；更有可能发生奇异现象的情形为当POz=asinβ或POz2=adcos2βsinαtanα时。下面进行详细讨论。
情况1 机构的输出位置参数和姿态参数分别为[asinβtanβ 0 asinβ]T，[0 β 0]T。即POz=asinβ，α=0°，此时求得动平台各点在静平台坐标系中的坐标为
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(23) |
可以看到，zA3=0，即当动平台的A3点运动到静平台xOy平面内时，机构必发生驱动奇异。
情况2 机构的输出位置参数和姿态参数分别为
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(24) |
为分析2UPR-RRU并联机构驱动奇异性空间分布规律，令a=180 mm，d=300 mm，在α∈[－0.314, 0.314] rad与β∈[－0.314, 0.314] rad范围内作出动平台理论上的奇异位姿，如图 4所示。图中实线代表静平台，曲面代表动平台发生驱动奇异时的所有理论位型。可以看到，该奇异空间是关于静平台平面对称的，发生在z=125.6 mm和z=－125.6 mm两个平面之间，且动平台的A2 图 5位于z=－100 mm平面之外的驱动奇异位型空间分布Fig. 5 Spatial distribution of driven singular position outside z=－100 mm plane点非常靠近静平台的B2点(z方向上最大差值为10.15 mm)，考虑到A2B2之间还存在关节与连杆，两点z方向坐标之差不可能小于10.15 mm，因此这类奇异性可以避免。
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| 图 4 2UPR-RRU并联机构理论驱动奇异位型空间分布 Fig. 4 Theoretical spatial distribution of driven singular positions for 2UPR-RRU parallel mechanism |
考虑动平台实际工作范围的需求，将动平台各z向坐标的搜索空间定义在-100 mm之外搜索时，如图 5所示，发现奇异位型已消失，即不存在驱动奇异的现象。综上所述，2UPR-RRU并联机构具有较好的运动特性和驱动特性，在实际工作空间内不会发生奇异现象。
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| 图 5 位于z=－100 mm平面之外的驱动 奇异位型空间分布 Fig. 5 Spatial distribution of driven singular position outside z=－100 mm plane |
本文提出一种用于轻金属材料搅拌摩擦焊的新型2UPR-RRU三自由度并联机构，利用螺旋理论分析了机构自由度性质，随后进行了位姿正反解分析以及奇异性分析。研究表明：
1) 新型2UPR-RRU并联机构具有1T2R的三自由度性质，且自由度性质不会随着动平台位姿变化而改变，是一类具有全周自由度性质的并联机构，运动特性较好。
2) 在机构位姿正解问题上，将非线性方程组问题转化为优化问题并采用PSO算法进行求解，结果显示该方法具备良好的计算精度和适应性。
3) 2UPR-RRU并联机构不存在边界奇异和混合奇异，但存在驱动奇异，且理论上该奇异位型空间是关于静平台平面对称的，但在实际应用工作空间内不会发生驱动奇异的现象，表明该构型拥有良好的驱动特性，具备较好的应用潜力。同时，本文也为该装备承载能力、动/静刚度及运动精度等性能的研究奠定了基础。
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