环面蜗杆的分度曲面是圆环内表面，蜗杆包围蜗轮或圆柱齿轮形成环面蜗杆副^[1]。Samuel^[2]研究了环面蜗杆传动的制造技术，并推广了其应用。环面蜗杆传动是一种多齿双线接触的传动形式，能够承受较大的承载力^[3]。因此，环面蜗杆传动主要应用在炼钢设备、采矿设备和重型升降设备等需要较大承载力的场合。双锥面二次包络环面蜗杆传动是环面蜗杆传动的一种，其由环面蜗杆和蜗轮组成^[4]。组成该蜗杆副的环面蜗杆由双锥面砂轮磨削而成，蜗轮由双锥面包络环面蜗轮滚刀滚切而成^[5-6]。该环面蜗轮滚刀以双锥面包络环面蜗杆为基体，通过加工容屑槽和侧后角面等工序，获得环面蜗轮滚刀。环面蜗轮滚刀制造工艺复杂，而且无法像圆柱滚刀那样具有重磨性^[7-8]。为了提高其使用寿命，环面蜗轮滚刀保留具有一定宽度的刃带面。刃带面是刃口线和刃带线之间的部分，其是环面蜗杆基体螺旋面的一部分。刃带面的刃带宽需要控制在一定的范围内以同时保证刃口的强度和锋利性，其范围一般控制在0.10~0.15mm之间^[9]。由于刃带宽较小，在加工过程中需要严格控制加工误差，保证刃带宽在合理的范围内。董李扬^[10]、柳冠伊^[11]和Liu等^[12]用实验分析的方式研究了各定位误差对平面包络环面蜗轮滚刀刃带宽的影响，但没有建立理论的误差分析模型，缺失理论计算依据。芮成杰和李海涛等^[13-15]研究了双锥面包络环面蜗轮滚刀刃带面的设计方法和侧后角面磨削方法，但对于磨削过程中定位误差对刃带宽加工精度的影响没有研究。

由于双锥面包络环面蜗轮滚刀采用螺旋槽前刀面，在进行侧后角面的磨削加工时，其周向定位基准的标定容易产生误差。如果周向定位误差较大，加工时容易破坏刃口而导致滚刀无法使用。在环面蜗轮滚刀加工过程中，为了控制周向定位误差对刃带面的影响，本文采用数学建模和模拟仿真验证的方法，研究周向定位误差对加工出的双锥面包络环面蜗轮滚刀刃带面的刃带宽的影响规律，为环面蜗轮滚刀的精密制造提供参考依据。

1 环面蜗轮滚刀的特征

图 1为整体式环面蜗轮滚刀，其包括刀体、螺旋容屑槽和刀齿等部分。刀体是滚刀滚切蜗轮时的装夹部分，滚切蜗轮时，滚刀刀体固定在滚齿机的回转轴上。螺旋容屑槽可使刃口的受力均匀，同时起到排屑的作用。刀齿是滚切蜗轮齿面的部分，其结构如图 2所示。环面蜗轮滚刀的刀齿包括前刀面、后刀面、侧后角面、顶后角面、刃带面、顶刃带面、刃口线和刃带线。其中，刃带面是刃口线和刃带线之间的部分，其是基本蜗杆螺旋面的一部分。P₀是刃口线上任意一点，P₁点位于刃带线上且与P₀位于同一环面上，P₀到P₁的距离为刃带面的刃带宽e。

环面蜗轮滚刀毛坯在精加工完成螺旋槽前刀面后，需要装夹到四轴联动环面蜗杆磨床上精加工螺旋面和侧后角面。通过磨削加工，即可得到各个刀齿具有一定宽度刃带面的双锥面包络环面蜗轮滚刀。如果滚刀毛坯在四轴联动环面蜗杆磨床上的周向定位产生误差，磨削出的各个刀齿的刃带面的刃带宽e将发生变化。

2 磨削侧后角面的数学模型 2.1 双锥面包络环面蜗杆磨床及其加工坐标系

图 3为进行螺旋面和侧后角面磨削的双锥面包络环面蜗杆磨床的三维简化模型。其中，滑台沿导轨移动，实现Z轴运动；工作台在滑台上移动，实现X轴运动；回转台与工作台相连，并且绕其自身轴线转动，实现B轴转动；磨头固定在回转台上，并能随B轴转动；双锥面砂轮安装在磨头上，安装倾角为β，双锥磨头如图 4所示。蜗杆或滚刀的一端与C轴的控制箱相连，另一端由回转顶尖支撑，这样蜗杆或滚刀可随C轴旋转。

双锥面包络环面蜗轮滚刀的螺旋面和侧后角面都在四轴联动环面蜗杆磨床上加工，只是在加工时机床运动参数不同。加工坐标系如图 5所示，其中包含5个右手笛卡儿直角坐标系。第1个坐标系σ_o1(O₁; i_o1, j_o1, k_o1)表示滚刀或蜗杆的位置，O₁为滚刀或蜗杆的中心，O₂为蜗轮的中心，i_o1的方向是从O₁到O₂，k_o1与滚刀或蜗杆的回转轴线重合。第2个坐标系σ_od(O_od; i_od, j_od, k_od)表示磨头的位置，i_od=i_o1，O_od为蜗轮中间平面与B轴的交点，k_od与回转台的回转轴B轴保持一致。第3个坐标系σ₁(O₁; i₁, j₁, k₁)与滚刀或蜗杆相连，并且k₁=k_o1，σ₁相对于σ_o1的回转角度为φ_C。第4个坐标系为σ_d(O_d; i_d, j_d, k_d)，其与回转台相连，并且k_d=k_od，O_d与O_od重合，σ_d相对于σ_od的回转角度为φ_B。第5个坐标系为σ_a(O₀; i_a, j_a, k_a)，i_a=i_d，j_a和k_od(k_d)之间的夹角为安装倾角β，O₀为锥面砂轮的中心，其到O_od的距离为a₀。在蜗轮中间平面内，O_od(O_d)相对于O₂沿X轴和Z轴的距离分别为X和Z。O₁到O₂的距离为中心距a。

图 6为展成蜗杆螺旋面和磨削侧后角面的双锥面砂轮。砂轮的齿形角为α_d，半径为r_d，顶宽为s_a。N₀为双锥面砂轮锥面上的任意一点，u_s和θ_s为锥面上的2个参数。

2.2 双锥面包络环面蜗杆螺旋面的数学方程

双锥面包络环面蜗杆螺旋面的成形原理如图 7所示。磨削螺旋面时，X=0，Z=0，蜗杆毛坯以角速度ω₁回转，双锥面砂轮绕O₂点以角速度ω₂回转。同时，双锥面砂轮绕其自身轴线以角速度ω₀自转。|ω₂|=|ω₁|/i_1d，i_1d为环面蜗杆副的传动比。环面蜗杆绕C轴的旋转角度为φ_C；双锥面砂轮绕B轴的旋转角度为φ_B。磨削螺旋面的过程中，砂轮距a₀和安装倾角β保持不变。双锥面砂轮两侧的锥面都是产形面，分别磨削出相应侧的螺旋面。

坐标系σ_a中，产形锥面上的点用向量r₀表示：

式中：

在坐标系σ₁中，磨削出的螺旋面用r_s表示，其坐标分量为{x_s, y_s, z_s}。根据齿轮啮合原理，螺旋面的数学方程如下：

式中：u_s=H/G为共轭条件方程；ξ₀为坐标系σ_o1中从O₁到O₂的向量，ξ₀={a, 0, 0}；R[k₁, -φ_C]、R[i_o1, π/2]和R[k_od, φ_B]为坐标变换矩阵^[16-18]，其具体表达式如下：

在式(2)中，H和G的表达式如下：

式中：

2.3 侧后角面磨削运动的求解

环面蜗轮滚刀的每个刀齿保留具有一定刃带宽e的刃带面。对于刃带线上的任意一点P₁(x₁, y₁, z₁)，P₁点同时位于刃带面和侧后角面。P₁点在侧后角面上的法矢量为n_H={n_x^H, n_y^H, n_z^H}。在进行侧后角面磨削时，使双锥面砂轮锥面上的一点N₀与刃带线上点P₁接触，同时保证砂轮锥面上N₀点的法矢量n_w与刃带线上磨削点P₁在侧后角面上的法矢量n_H平行，如图 8所示。

为了能够磨削到刀齿的根部，在进行侧后角面磨削时，使双锥面砂轮的顶部始终与滚刀的齿根槽底相接触。齿根的侧后角面磨削半径R_f大于磨削螺旋面时的齿根环面半径R_fd，这样能避免由于加工过程中的误差，刀齿侧后角面磨削不完全的情况发生。在进行机床的运动计算时，不考虑任何误差。双锥面砂轮锥面上一点N₀在坐标系σ₁中的位置向量为r_w。当磨削刃带线上的任意一点P₁时，四轴联动环面蜗杆磨床的4个运动参数为(φ_B, φ_C, X, Z)，求解方程如下：

式中：ξ₁为坐标系σ_o1中从O₁到O_od的向量，ξ₁={a+X, 0, Z}；n_d为刃带线上磨削点处双锥面砂轮锥面上的法矢量，n_d={n_x, n_y, n_z}。

根据磨削P₁点时机床的运动参数(φ_B, φ_C, X, Z)，NC程序能够实现P₁点的磨削。通过对刃带线上各个点的连续展成，能够获得各个刀齿的侧后角面，并获得刃带面。

3 含周向定位误差的刃口线求解

双锥面包络环面蜗轮滚刀适用于多头小传动比的场合，为了避免产生较大的负侧前角，其前刀面采用螺旋槽前刀面^[19-20]。刃口线是螺旋面与前刀面的交线。本文中的环面蜗轮滚刀螺旋前刀面满足3个条件：①基准前刀面通过喉部齿；②在喉部位置，螺旋槽前刀面的螺旋升角与滚刀喉部导程角相等；③环面蜗轮滚刀的槽底是圆弧槽底。图 9为螺旋槽前刀面成形原理图。圆柱产形面以速度v_c运动，同时环面蜗轮滚刀毛坯以角速度ω_c运动。

γ_m为环面蜗轮滚刀的喉部导程角，d₁为环面蜗轮滚刀分度圆直径。在坐标系σ₁中，前刀面的位置向量为r_c。根据齿轮啮合原理，基准螺旋槽前刀面的方程如式(5)所示，其他前刀面是基准前刀面沿滚刀轴线的圆周阵列。

式中：θ_c和u_c为展成前刀面时的圆柱产形面的参数，θ_c在[0, 2π]内变化，u_c在[0, l]内变化，l为圆柱产形面长度；ξ₂={-a₀, 0, ρ_c}；ξ₃={a+X, 0, -Z}。圆柱产形面上一点用r₁表示，r₁={ρ_ccosθ_c, ρ_csin θ_c, u_c}，ρ_c为圆柱产形面半径。式(5)中的第2个式子是共轭条件方程。R[i_od, -π/2]为回转矩阵，表达式为

由于螺旋面的加工和侧后角面的加工是在同一台四轴联动双锥面包络环面蜗杆磨床上连续加工而成的，因此，无论周向定位误差是否存在，磨削出来的侧后角面相对于螺旋面的位置不变，刃带线在螺旋面上的位置不发生变化。但是，当存在周向定位误差时，侧后角面和螺旋面相对于螺旋槽前刀面的位置发生了变化，这种变化导致刃口线的位置发生了变化，产生了新的刃口线，如图 10所示。

由于刃带面是刃口线和刃带线之间的螺旋面区域，因此，刃带面也发生了变化。当存在周向定位误差D_C时，可将原有的前刀面方程绕其自身轴线旋转D_C得到新的方程：

式中：

将式(6)和螺旋面式(2)联立，即可求得含周向定位误差D_C时的刃口线上任意一点P₀的坐标(x₀^d, y₀^d, z₀^d)，方程如下：

含有周向定位误差时的刃带宽e为各环面上刃口线上的坐标点P₀(x₀^d, y₀^d, z₀^d)到刃带线上的坐标点P₁(x₁, y₁, z₁)之间的距离。

4 典型算例分析

表 1为一个五头双锥面包络环面蜗轮滚刀的参数。在进行环面蜗轮滚刀前刀面的设计时，从2个方面考虑：①最大包围齿数要满足要求；②基准前刀面通过喉部点。本文中的算例是一个五头双锥面包络环面蜗轮滚刀。算例中的滚刀设计有5个前刀面，共5排刀齿，每排刀齿的包围齿数均为4个刀齿。5个前刀面沿轴线均匀分布，每个前刀面都通过喉部齿。设计的刃带宽为e=1mm。

在VERICUT软件中，建立四轴联动双锥面包络环面蜗杆磨床的运动模型，编制NC程序，对双锥面包络环面蜗轮滚刀进行加工^[21]。图 11展示了单个刀齿侧后角面的磨削过程；图 12为侧后角面磨削完全后的完整环面蜗轮滚刀，并对一排刀齿从1~5进行编号。

4.1 误差影响规律及误差最大位置的分析

环面蜗轮滚刀螺旋容屑槽完成精加工后，安装到机床的C轴上进行后续加工，需要定位环面蜗轮滚刀沿C轴的角度值。滚刀的周向定位影响螺旋面相对于螺旋槽前刀面的位置，同时影响侧后角面相对于螺旋槽前刀面的位置。在进行C轴周向定位误差的研究时，可通过设置周向定位误差D_C的值分析其对刃带宽的影响。

在分析时，选取两边齿和一个喉部齿，即对刀齿1、刀齿3和刀齿5进行分析。当周向定位误差D_C=0°时，各刀齿刃带宽的变化趋势如图 13所示。图 13(a)为刃带宽从齿顶到齿根的变化规律，R_i对应不同的圆弧半径；图 13(b)为VERICUT中一排刀齿的仿真分析结果。从图 13(a)中可以看出，刃带宽在1.0~1.04mm的范围内，可以近似为给定的设计值1.0mm。关于刃带宽的设计方法，可参看笔者已发表的文章^{[13, 15]}。

当周向定位误差D_C=-0.5°时，3个刀齿的刃带宽沿齿高方向的变化趋势如图 14所示。可得出：①磨削出的刃带宽e_s小于给定的刃带宽e；②刃带宽从齿顶到齿根逐渐增大，刃带宽整体呈现上小下大的趋势；③齿顶处的刃带宽值与刃带宽的设计值差别最大，误差对各个刀齿的齿顶影响最大。

当周向定位误差D_C=0.5°时，3个刀齿的刃带宽沿齿高方向的变化趋势如图 15所示。可得出：①磨削出的刃带宽e_s大于给定的刃带宽e；②刃带宽从齿顶到齿根逐渐减小，刃带宽整体呈现上大下小的趋势；③误差对各个刀齿的齿顶影响最大。

表 2为对应不同误差值时，1~5号刀齿的齿顶刃带宽的计算值，并将其绘制成图 16，可得出，误差对滚刀边齿刃带宽的影响较大。当周向定位误差从-0.5°变化到0.5°时，刀齿1的齿顶刃带宽的变化量为1.1389mm，刀齿5的齿顶的刃带宽的变化量为1.1181mm。因此，左侧边齿刀齿1齿顶受的影响比右侧边齿刀齿5的齿顶稍大一点。

4.2 刃带宽与周向定位误差的相关性分析

刃带宽e与周向定位误差D_C存在一定的函数关系，其方程推导起来很麻烦。根据统计学原理，探讨两者之间的关系。对于刀齿1，取不同周向定位误差值时，齿顶、分度和齿根处的刃带宽如表 3所示。

图 17展示了不同周向定位误差D_C时，刀齿1的刃带宽的变化趋势。通过对周向定位误差与刃带宽的相关性分析，两者的皮尔逊相关系数均为1，说明两者之间极度相关。即磨削出的刃带宽e_s与周向定位误差D_C存在线性关系，且斜率在齿顶处最大。

当D_C=0°时，刃带宽为e₀。直线的斜率k表示周向定位误差对刃带宽的影响程度，刃带宽与误差之间的关系式可表达为

在本算例中，对于齿顶处的刃带宽，可算出k=1.139，e₀=1.039，即e_s=1.139D_C+1.039。

4.3 周向定位误差允许误差限

在实际生产中，刃带宽允许一定的误差范围。通过4.1节的分析，周向定位误差对刀齿1齿顶处的刃带宽影响最大，因此，只需要保证误差最大处刃带宽符合要求即可。在本算例中，刃带宽的允许取值区间设置为[0.9, 1.1]mm。根据式(8)，允许的周向定位误差D_C的取值范围为[-0.122°，0.054°]，具体如图 18所示。

当刃带宽设置为0.1mm时，刃带宽与周向定位误差满足关系式e_s=1.139D_C+0.1039。当刃带宽的允许取值区间设置为[0.09, 0.11]mm，允许的周向定位误差D_C的取值范围为[-0.0122°，0.0054°]。

5 结论

本文研究了在加工双锥面包络环面蜗轮滚刀的侧后角面时，周向定位误差对刃带宽的影响。可得到如下结论：

1) 螺旋面和侧后角面是在同一台四轴联动双锥面包络环面蜗杆磨床上连续加工而成的，因此，无论周向定位误差是否存在，磨削出来的侧后角面相对于螺旋面的位置不变，刃带线在螺旋面上的位置不发生变化。当存在周向定位误差时，侧后角面和螺旋面相对于螺旋槽前刀面的位置发生了变化，这种变化导致刃口线的位置发生了变化，最终引起刃带面的刃带宽发生变化。

2) 通过使无误差的前刀面绕滚刀轴线旋转一个周向定位误差角，可得到一个新的前刀面。新的前刀面能正确表达含有周向定位误差时，前刀面、刃带面和侧后角面三者之间的位置关系。通过联立含新前刀面的数学方程和螺旋面的数学方程，可得到新刃口线的坐标点。通过计算新刃口线和刃带线之间的距离，即可得到含有周向定位误差时的刃带宽。

3) 当周向定位误差D_C < 0时，刃带宽e_s小于给定值e，当D_C>0时，刃带宽e_s大于给定的刃带宽e。周向定位误差对滚刀边齿齿顶的刃带宽影响最大。

4) 刃带宽与周向定位误差存在线性关系，斜率k表示误差对该处的影响程度。对于特定的滚刀，当给定刃带宽e时，可以获得边齿齿顶的k值，并且能够获得表达式e_s=kD_C+e₀。根据此表达式，可计算出在刃带宽允许的变化范围内，周向定位误差D_C允许的变化范围，为实际生产中机床的调整提供参考。

致谢   感谢中南大学高性能复杂制造国家重点实验室对VERICUT软件提供的技术支持。