高超声速飞行器是指以超燃冲压发动机为动力，以马赫数5以上的速度飞行在高度为20~100 km的临近空间中的一类飞行器，主要为军方执行情报收集、侦察监视、高空投送等任务^[1]。因其军民两用前景广阔，在情报侦查和通信运送等方面优势独特，从而引起了世界大国广泛且高度的关注，并迅速成为近年来空天领域研究的热点。飞控技术是高超声速飞行的核心问题之一。高超声速飞行器具有强非线性、强耦合、模型不确定和多干扰、多约束以及大时变等特性。由于临近空间中高超声速飞行器特定的飞行速度和复杂的飞行环境，飞行控制正经历着传统飞行器所未曾遇到过的新问题，这对于控制系统的设计提出了许多相应的新要求，对其开展控制新理论、新方法和新技术研究意义重大^[2-3]。

从目前公开的文献资料看，大多数的研究工作是基于建立的Winged-Cone刚体模型上开展的^[4-6]，一般很难反映出高超声速飞行器的结构动力学特性。Bolender与Doman^[7]则在以上研究的基础上，通过分别建立弹性动力学模型、气动力模型与发动机模型，最终得到了一个气动/推进/结构耦合的纵向一体化解析式系统模型。Parker等^[8]则在Bolender与Doman^[7]的工作基础上，通过忽略模型中的一些弱耦合关系，建立了一个面向控制的高超声速飞行器参数拟合模型。目前已有相当多的控制算法被应用于控制器的设计。经典的鲁棒控制在本质上是考虑不确定性为最坏情况时优化解的求取情况，文献[9]通过反馈线性化和极点配置的方法设计了标称控制器，通过鲁棒补偿器来抑制参数不确定和外界扰动带来的不利影响；滑模控制对模型本身的不确定与外部扰动都不敏感，具有良好的鲁棒性，文献[10]设计了一种多输入、多输出的自适应滑模控制律，确保了速度与高度跟踪误差指数收敛的滑模面，但控制输入存在高频抖振；文献[11]设计弹性自适应控制律，减弱了系统的抖振，跟踪效果较好，但控制律设计是基于刚体模型建立的且并未分析系统的弹性状态影响；反演控制能充分利用系统有用的非线性项，将非匹配不确定系统转化为匹配不确定系统，这已成为高机动飞行器控制系统设计的主流方法^[12-13]。文献[14]针对飞行器弹性模型设计了一种鲁棒反演控制器，虽然对指令输入跟踪效果较好，但是由于未考虑到加入干扰观测器后使得对模型的不确定项估计变得相对平滑，在后期鲁棒性能上无法确保。

虽然对于高超声速飞行器的参考轨迹跟踪研究已有大量的较好成果，但是考虑不确定扰动下跟踪误差的瞬态性能(如超调量、跟踪误差等)研究却少之又少^[15-16]。2008年，希腊学者Bechlioulis和Rovithakis^[15]提出了一种控制策略-预设性能控制，较好地实现了对跟踪误差瞬态性能的范围约束。预设性能控制方法的主要思路是通过设计预设性能函数对轨迹跟踪误差进行相应转化，从而保证误差能够以预期的瞬态性能收敛至预设范围内。文献[17]设计了一种预设性能的鲁棒反演控制，完成了控制任务且对未知随机扰动有较强的鲁棒性，但误差收敛速度较慢。文献[18]对于全状态的预设性能设计了一种受限指令的反演控制器，在输出和中间状态稳态分析的基础上，对全状态信号的瞬时性能进行了分析。

本文针对高超声速飞行器巡航段纵向动力学模型设计了一种新型预设性能神经反演控制方法。首先，将纵向运动模型分解为速度和高度子系统，并分别进行控制器设计，引入预设性能函数及转化误差来满足预先设定的瞬态性能和稳态精度。在设计控制器过程中引入径向基函数(RBF)神经网络对模型不确定项进行补偿和逼近，有效提高了控制精度。然后，分别对速度和高度子系统构造Lyapunov函数进行系统稳定性分析。最后，通过仿真对所设计控制器的可行性和有效性进行验证。

1 高超声速飞行器建模 1.1 高超声速飞行器纵向平面运动学方程

高超声速飞行器轨迹控制系统的任务是在保持飞行姿态稳定的前提下，通过调节燃料-空气比Φ和升降舵偏角δ_e在纵向平面内实现对速度参考指令和高度参考指令的有效跟踪。高超声速飞行器受力情况示意图如图 1所示，其在纵向平面内的运动模型为^{[7-8, 19-20]}

式中：V为飞行速度；γ为飞行航迹角；h为飞行高度；θ为俯仰角；g为重力加速度；Q为俯仰角速率；m和I_yy分别为飞行器的质量和俯仰转动惯量；L、T、D和M分别为升力、推力、阻力和俯仰力矩；攻角α=θ－γ；η_i为弹性状态量；ζ_i和ω_i分别为第i阶弹性模态的阻尼系数和自然频率；N_i为第i阶广义弹性力；为第i阶弹性模态的耦合系数;

式(1)中L、T、D、M的拟合式如下：

式中：q为空气动压；ρ为空气密度；S和c分别为飞行器参考气动面积和气动弦长；Φ和δ_e分别为燃料-空气比和升降舵偏角；z_T为推力力矩耦合系数。式(1)和(2)中飞行器几何参数和气动参数见文献[21]。

注1  本文所采用的Parker弹性体模型相比于文献[22-23]中采用的刚体模型更能准确地模拟出飞行器的真实飞行状态。本文所采用模型的气动力拟合公式中充分考虑了弹性状态的影响，将弹性状态视为系统的不确定项处理，因此相应的控制难度加大。

由式(1)和式(2)可以看出，速度的变化主要与燃料-空气比Φ相关，而高度的变化主要与舵偏角δ_e相关。因此控制输入选择燃料-空气比Φ和升降舵偏角δ_e，输出为速度V和高度h。

由式(1)和式(2)可以看出，飞行器弹性体状态通过气动力L、T、D、M严重地同刚体状态耦合，如果抑制弹性状态的效果不明显，将会对刚体状态的控制产生较大影响。因此，控制系统的任务除了保证刚体系统稳定跟踪参考输入外，还要保证弹性状态最终是收敛的。

为便于控制律设计，通常先将高超声速飞行器的运动模型分解为速度子系统与高度子系统，再分别对其设计相应控制律。这里已将2个子系统的耦合考虑在内^[14]。

1.2 RBF神经网络

引入如下RBF神经网络用来逼近模型不确定项：

式中：F∈R和ξ∈Rⁿ分别为神经网络的输出和输入；W∈Rⁿ为权值向量；ψ(ξ)=[ψ₁(ξ), ψ₂(ξ), …, ψ_n(ξ)]^T为径向基函数。通常情况下，将ψ_i(ξ)选取成如下高斯基函数：

式中：ξ_i∈Rⁿ为高斯基函数中心向量；b_i∈R⁺为高斯基函数的宽度。

引理1^[24]  给定任意连续函数F(ξ)是定义在紧集Ω_ξ上的实函数以及任意常数。当n足够大时，选取合适的b_i和ξ_i使得RBF神经网络变为

式中：表示估计误差；∀ξ∈Ω_ξ，W^*为最优权值向量，将W^*定义为如下形式：

2 控制器设计与稳定性分析 2.1 预设性能分析

定义1  连续函数ρ(t):R⁺→R⁺，若同时满足以下条件^[25]：①ρ(t)是严格单调递减的正函数；②。则该连续函数可被称为预设性能函数。

基于定义1，本文选取如下预设性能函数：

式中：ρ₀, ρ_∞, l∈R⁺为待设计参数且ρ₀>ρ_∞，ρ₀为函数ρ(t)的初值，ρ_∞为函数ρ(t)的稳态值，l为函数ρ(t)的下降速率。

可以看出，ρ(t)具有如下性质：①ρ(t)为正的单调递减函数；②ρ(0)=(ρ₀－ρ_∞)+ρ_∞=ρ₀>ρ_∞；

跟踪误差e(t)应满足下述定义不等式：

式中：κ和λ为正参数。

则对于任意未知但有界的e(0)，均有

由式(8)可以看出，ρ_∞表示e(t)稳态值的上界，即－κρ_∞ < e(∞) < λρ_∞，故可通过选取合适的ρ_∞来保证e(t)具有理想的稳态精度。ρ(0)表示e(t)所允许的最大超调量。

在设计控制系统的过程中，直接对不等式约束(式(8))进行处理的难度非常大，因此可以先将不等式约束转化为等式约束再进行设计，这里定义一个误差转换函数H(ε(t))：

式中：ε(t)为转换误差。

H(ε(t))平稳递增，则有

那么H(ε(t))的逆可以写成

这里将ε(t)选取为如下形式：

对式(13)求导可得

式中：

显然，μ和ν是有界的。

定理1  若ε(t)有界，则有－κρ(t) < e(t) < λρ(t)。

证明  当e(0)>0时，因为ε(t)有界，必存在有界正数ε_M使得|ε(t)|≤ε_M。这样，式(13)的逆变换为

由式(15)可得

也即

反之可得e(0) < 0的情况。    证毕

下文的控制器设计将基于转换误差ε(t)。定理1表明，只要ε(t)有界，误差e(t)便可被限定在式(8)所定义的预设区域内。通过为ρ(t)设计合适的参数，便可保证e(t)具有预期的瞬态性能与稳态精度。

2.2 速度控制器设计与稳定性分析

根据文献[14]中的时间刻度原理，由于速度的动态变化比高度角及角速率(γ、θ、Q)更慢，可以认为速度和高度属于长周期模态，高度角属于短周期模态，这样在设计控制器时就可以将高超声速飞行器运动模型分解为速度子系统和高度子系统。因此将式(1)中表达式改写为如下形式：

式中：为未知的非线性函数。

定义速度跟踪误差为

将式(18)求导，得到

根据式(13)，速度的转换误差ε_V可以表示为

式中：ρ_V=(ρ_V0－ρ_V∞)e^－l_Vt+ρ_V∞，ρ_V0、ρ_V∞、l_V均为正的待设计参数。

结合式(19)对式(20)求导可得

若假设μ_V>μ_V0>0，式(21)可以进一步写成

式中：为未知的非线性函数，需要用RBF来进行估计。

基于反演理论，将实际控制律Φ设计为

对于式(5)中未知的最优权值向量，定义

根据式(24)可得

式中：为的估计值；c_V>0、τ_V>0和σ_V>0为待设计的参数。

证明  选取如下Lyapunov函数：

式中：。

对式(26)求导可得

将式(23)和式(25)代入式(27)可得

又有不等式

将不等式(29)代入式(28)可得

式中：

结合式(29)可得

显然，ε_V、和是有界的，再结合式(13)及式(18)可以保证预期的瞬态性能。     证毕

2.3 高度控制器设计与稳定性分析

为了便于控制器设计，根据式(1)将高超声速飞行器高度子系统改写为如下形式：

式中：和均为未知的非线性函数。

定义高度跟踪误差为

将式(33)求导并结合式(32)，得到

根据式(13)，高度的转换误差函数ε_h可表示为

式中：ρ_h=(ρ_h0－ρ_h∞)e^－l_ht+ρ_h∞，ρ_h0、ρ_h∞、l_h均为正的待设计参数。

类似的，航迹角的转换误差函数ε_γ可表示为

式中：ρ_γ=(ρ_γ0－ρ_γ∞)e^－l_γt+ρ_γ∞，ρ_γ0、ρ_γ∞、l_γ均为正的待设计参数。

俯仰角的转换误差函数ε_θ可表示为

式中：ρ_θ=(ρ_θ0－ρ_θ∞)e^－l_θt+ρ_θ∞，ρ_θ0、ρ_θ∞、l_θ均为正的待设计参数。

俯仰角速率的转换误差函数ε_Q可表示为

式中：ρ_Q=(ρ_Q0－ρ_Q∞)e^－l_Qt+ρ_Q∞，ρ_Q0、ρ_Q∞、l_Q均为正的待设计参数。

结合式(34)对式(35)求导可得

若假设μ_h>μ_h0>0，式(39)可以进一步写成

式中：为未知的非线性函数，需要用式(5)提到的RBF神经网络来进行估计：

其中：为估计误差。

基于反演理论，将虚拟控制律γ_d设计为

同时

式中：为的估计值；c_h>0、τ_h>0和σ_h>0为待设计的参数。

选取如下Lyapunov函数：

对式(44)求导可得

根据Yong不等式，有

又有不等式

因此

将式(42)、式(43)代入式(48)可得

定义航迹角误差为

将式(50)求导并结合式(32)，得到

结合式(51)对式(36)求导可得

若假设μ_γ>μ_γ0>0，式(52)可以进一步写成

式中：为未知的非线性函数，需要用式(5)提到的RBF神经网络来进行估计：

其中：为估计误差。

基于反演理论，将虚拟控制律θ_d设计为

同时

式中：为的估计值；c_γ>0、τ_γ>0和σ_γ>0为待设计的参数。

选取如下Lyapunov函数：

对式(57)求导可得

与式(46)和式(47)类似可得

定义俯仰角误差为

将式(60)求导并结合式(32)，得到

结合式(61)对式(37)求导可得

若假设μ_θ>μ_θ0>0，式(62)可以进一步写成

式中：为未知的非线性函数，需要用式(5)提到的RBF神经网络来进行估计：

其中：为估计误差。

基于反演理论，将虚拟控制律Q_d设计为

同时

式中：为的估计值；c_θ>0、τ_θ>0和σ_θ>0为待设计的参数。

选取如下Lyapunov函数：

对式(67)求导可得

与式(46)和式(47)类似可得

定义俯仰角速率误差为

将式(70)求导并结合式(32)，得到

结合式(71)对式(38)求导可得

若假设μ_Q>μ_Q0>0，式(72)可以进一步写成

式中:为未知的非线性函数，需要用式(5)提到的RBF神经网络来进行估计：

其中：为估计误差。

基于反演理论，将实际控制律δ_e设计为

同时

式中：为的估计值；c_Q>0、τ_Q>0和σ_Q>0为待设计的参数。

证明  选取如下Lyapunov函数：

对式(77)求导可得

与式(46)和式(47)类似可得

注2  RBF神经网络具有补偿和逼近系统的不确定项的能力，这样一来避免了虚拟控制量的重复求导问题。在每一步设计控制律中，通过引入神经网络权值的估计值，使得只有一个参数需要在线更新，这样简化了参数设计降低了计算量。同时考虑到RBF神经网络的估计性能是建立在紧集Ω上的，这里只能保证控制系统的局部稳定。

应用如下不等式：

将式(79)写成如下形式：

式中：

令ι=min{2c_iμ_i, τ_iσ_i}，式(81)变为

则由式(83)可得

式(84)表明了L(t)是有界的，又有ε_i、和都是有界的。由于ε_i都是有界的，根据转化误差函数式(13)，可以得到－κρ(t) < e(t) < λρ(t)，这也就保证了期望的预设性能。    证毕

3 仿真与分析

针对高超声速飞行器动力学模型进行速度与高度的闭环仿真实验。速度与高度参考输入均由图 2所示的二阶参考模型给出。该二阶参考模型的传递函数为^[26]

二阶参考模型参数取为：ζ_A=0.9，ω_A=0.1。RBF神经网络的输入ξ_V、ξ_h、ξ_γ、ξ_θ、ξ_Q以及非线性函数的高斯基宽度均为1。定义的自适应律的初值为：0。控制器参数的选取为：c_V=0.5，c_h=0.04，c_γ=150，c_θ=120，c_Q=100，τ_V=10，τ_h=0.1，τ_γ=0.1，τ_θ=0.01，τ_Q=0.01，σ_V=1，σ_h=0.1，σ_γ=0.1，σ_θ=0.1，σ_Q=0.1。预设性能函数参数设计为：ρ_V0=30，ρ_V∞=2，l_V=0.05，ρ_h0=ρ_γ0=ρ_θ0=ρ_Q0=100，ρ_h∞=ρ_γ∞=ρ_θ∞=ρ_Q∞=20，l_h=l_γ=l_θ=l_Q=0.05，κ=λ=1。仿真中，高超声速飞行器的初始状态取值如表 1所示。

通过MATLAB/Simulink搭建控制系统，采用步长为0.01 s的四阶Runge-Kuta法验证本文控制方法的有效性。在保持动压q=90 148 Pa不变的前提下，要求巡航阶段高超声速飞行器在速度阶跃100 m/s, 高度阶跃100 m作用下。控制的目的是要求系统输出跟踪给定的速度和高度参考指令并保证跟踪误差稳定在给定的预设性能范围内。为了检验控制律的鲁棒性，假设高超声速飞行器模型气动系数存在±40%的摄动量，定义

式中：C₀为高超声速飞行器气动系数的标称值。

为了验证本文方法的优越性，将其与文献[27]中传统反演控制方法进行对比仿真，仿真结果如图 3~图 9所示。由图 3和图 4可见，速度与高度均能准确跟踪参考输入，采用预设性能控制方法时的速度跟踪误差与高度跟踪误差均能够被限定在预设的区域内；与文献[27]方法相比，本文方法能够保证速度跟踪误差与高度跟踪误差具有较好的瞬态性能和稳态性能；当存在气动参数摄动时，本文方法的控制精度更高，也具有更强的鲁棒性。图 5表明，2种控制方法的航迹角控制效果并无很大差别，但本文方法的航迹角响应更平滑。虽然文献[27]方法的俯仰角与俯仰角速率响应更平滑，但采用本文方法时，这2个角度响应没有出现高频抖振，并且本文方法能够保证俯仰角以及俯仰角速率跟踪误差具有更好的动态性能与稳态精度。由图 6~图 8可见，2种控制方法的弹性状态与控制输入均没有高频抖振现象。图 9表明，误差转换函数ε_V(t)、ε_h(t)、ε_γ(t)、ε_θ(t)与ε_Q(t)均有界。

4 结论

针对高超声速飞行器纵向动力学模型设计了一种预设性能神经反演控制方法。

1) 通过构造预设性能函数，使得速度跟踪误差和高度跟踪误差能够同时满足预先设定的瞬态性能和稳态精度。

2) 为了保证系统具有足够的鲁棒性应对参数及模型的不确定，在每个子系统反演控制器设计过程中的未知非线性函数引入RBF神经网络估计，在对不确定项逼近的过程中仅有一个参数需要实时更新，既有效将控制精度提高，又顺利避免了反演控制方法中的“微分膨胀问题”，并降低了计算量。

3) 基于Lyapunov函数证明了所有闭环系统均是有界的。仿真结果表明，同现有的反演控制器相比，本文所设计的控制方法可以很好地实现控制目标，满足预设性能且对未知的随机扰动具有较强的鲁棒性。