锁相解调器是一种抗噪能力强、高稳定性的微弱信号检测技术[1-9]，常应用于多种检测系统[2-4]。一般情况下，微弱信号往往隐没在强噪声背景当中，而且其频率还会与谐波交叠在一起。如果不能有效快速地从强噪声中提取微弱信号，检测系统的性能将会受到影响。另外，在一些特殊的应用场景下，往往还需要考虑其跟踪信号变化的特性。比如，在电磁钢轨探伤的应用中，缺陷会引起感应信号的快速突变，假如不能及时响应跟踪信号的突变，则检测系统无法有效地识别出钢轨的缺陷[5-6]。而在实际现场当中，电磁钢轨探伤往往会耦合外界复杂电磁环境的干扰以及器械运动引起的干扰，则此时选择响应速度快的滤波器无法对信号进行有效地解调。由此，兼具实时性和强抗噪的数字锁相解调器对钢轨探伤工程显得尤为重要。
根据数字锁相解调器的原理可知，解调器的抗噪能力强，响应特性主要受限于低通滤波器(LPF)环节，而锁相环节仅对目标信号进行锁定移频，对其没有影响。低通滤波器的系统响应是受到其阶数及截止频率的制约[1, 10]。因此，需要选择合适的阶数及截止频率优化数字锁相解调器的解调性能。
针对动态响应的优化，数字锁相解调器将均值滤波器(AF)作为其低通滤波器[2, 11]。根据文献[12]中提出的均值滤波器，它是一种最简单的有限脉冲响应(FIR)低通滤波器，时域上每一点的系数相同且等于采样点的倒数。信号在与该均值滤波器进行卷积运算时，由于其零点频率恰好为锁相移频后的两倍频，所以此时卷积运算结果为零。对于均值滤波器的卷积来说，实际上是一个累加的过程，因此相应所需的计算时间较少，具有很好的动态响应特性。但是，当加入强白噪声时，解调器却无法准确地在强噪声中提取感应信号，其抗噪能力却变得比较差。
而针对解调抗噪能力的优化，数字锁相解调利用级联阻容(RC)滤波器作为其低通滤波器[5]。RC滤波器是一种无限脉冲响应(IIR)低通滤波器，其优点是可以使用较小的阶数获得较好的抗噪能力且实现简单。此外，多个级联的RC滤波器要比单个RC滤波器具有更高的抗噪能力。但是在系统的响应阶段，多个级联的RC滤波器需要消耗过多的响应时间，导致动态跟踪特性很差，从而难以跟踪突变的信号变化。
已知状态模型和高斯噪声的前提下，卡尔曼滤波器是统计意义上最优的低通滤波器[13-17]。为了实时处理信号和提高精度，文献[18-22]将卡尔曼滤波器引入数字锁相放大器。文献[18-20]利用卡尔曼滤波器模型建立了等效的数字锁相放大器，以实现实时处理信号准周期性的信号，并且在文献[18]中指出卡尔曼滤波器要比标准低通滤波器更具有优势；文献[21]利用传统锁相放大器对信号解调后引入卡尔曼滤波器，实现对信号的二次滤波，解决了光学膜厚监控系统中经锁相放大输出的监控信号精度较低、极值点附近变化不灵敏等问题；文献[22]也是将卡尔曼滤波器引入在数字锁相放大器之后，对信号进行二次滤波，并且利用Allan方差进行了分析，引入卡尔曼滤波器之后提升了原子磁力仪的灵敏度。
结合上述均值滤波器响应速度快的特点和RC滤波器抗噪能力强的特点，在保证解调器良好的动态跟踪情况下进一步提高抗噪能力，以实现快速在线电磁无损检测钢轨缺陷，本文对数字锁相解调器的滤波器进行了优化设计。此外，本文还对结合零点频率特点的卡尔曼滤波器被引入到数字锁相放大器中进行分析研究，并且给出调整动态跟踪特性和抗噪能力的方法。
1 数字锁相解调器原理如图 1所示，本文引入卡尔曼滤波器的数字锁相解调器与传统锁相解调器一致，主要分为相敏检测和卡尔曼滤波器两部分，S(k)、Srs(k)和Src(k)分别为源信号、正弦参考信号和余弦参考信号，k为当前时刻，H1(z)和H2(z)分别为2个通道的低通滤波器，z为离散域，R′和I′分别为实部和虚部的直流项。
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| 图 1 引入卡尔曼滤波的数字锁相解调器结构 Fig. 1 Structure of digital phase-locked demodulator with Kalman filter |
根据文献[6]中设计的电磁传感器，对输入信号采样可得离散序列如下：
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(1) |
式中：N为采样频率对源信号采样一个整周期需要的点数；A0和θ0分别为源信号的幅值和相位。由于参考信号是同频采样输入信号的相互正交序列，所以参考序列Srs(k)和Src(k)计算如下：
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(2) |
根据正余弦的周期性可知，参考序列满足：
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(3) |
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(4) |
式(3)表明只需要预先存储一个周期的参考序列就可推算任意周期的参考序列。一般情况下，为了获得精确的结果，N往往取值很大，即周期参考序列越长，则相对于实时计算正余弦参考序列，储存长参考序列会消耗更多的内存。但由于CPU直接读取储存在内存的参考值所需的时间要小于实时计算参考值所需的时间，所以在内存允许的条件下预先储存参考序列会节省CPU计算的时间。此外，由式(4)可知，Srs(k)和Src(k)可以相互推算出对方。为了适应内存相对不够的情况下，存储的参考序列可以只是一个整周期的Srs(k)或Src(k)，以此优化相敏检测环节。
将输入的源信号采样值与相应参考序列相乘得
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(5) |
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(6) |
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(7) |
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(8) |
式中：R(k)和I(k)分别为含有交流项和直流项的实部和虚部。
从式(5)~式(7)中可以看出，相敏检测的实质是乘法器，通过将源信号与参考信号相乘使得源信号的频谱迁移。相频谱迁移的结果向±2π/N方向移动。其中，式(6)和式(8)当中均含有相互正交的直流项，且该直流项包含了目标信号的幅值和相位等信息。在低通滤波器的作用下，由式(6)和式(8)可得
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(9) |
则幅值和相位可得
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(10) |
时域上，卡尔曼滤波是一种模型化的参数迭代估计方法。结合锁相环节的分析，低通滤波器的目的是滤除交流部分而获得直流项。因此，将2个通道的直流项作为卡尔曼滤波器的状态变量, 则设当前时刻的状态变量为
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(11) |
式中：R′[k]和I′[k]分别为当前时刻双通道直流项的最优估计值。根据一阶自回归(AR)模型，则状态预测方程和其协方差预测方程可以分布表示为
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(12) |
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(13) |
式中：F为状态转移矩阵，由于在一定时间内状态估计值(即直流部分)保持不变，所以令F等于单位矩阵E；W[k－1]为均值为0，方差为σ2的预测白噪声，也令σ2 = 0；Q[k－1]为系统预测误差的方差，即Q[k－1]=qE，q为估计误差系数。
根据上述可知，获得实际测量值的过程为：先通过ADC对感应线圈上模拟信号采样得到的离散点，再经过相敏运算后得到双通道的R[k]和I[k]。目标获取的是两通道的直流部分，而其他均为交流干扰部分，且两者相互独立不影响。因此，可得观测方程为
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(14) |
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(15) |
式中：m为序号；SPSD[k]为双通道卡尔曼滤波器系统的输入信号；V[k]为观测模型的测量噪声。
由于测量误差来自于ADC采样的量化误差以及电路的高斯白噪声，所以测量误差是稳定地服从高斯分布。通过观测到的Y[k]对预测值X[k|k－1]和P[k|k－1]进行校正，可以得到最优的估计结果
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(16) |
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(17) |
其中：
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(18) |
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(19) |
式中：r为测量误差系数；E()为求期望的运算符；R为观测方程误差的协方差，是确定的高斯噪声且不随时间变化；K为卡尔曼增益，决定了预测值和测量值对实际最优估计的影响权值，其值在每次迭代过程中通过预测协方差被更新。
2 数字锁相解调器分析与评估第1节中已经介绍了引入卡尔曼滤波的数字锁相解调器的优化设计。为了验证引入卡尔曼滤波器的数字锁相解调器既能改善解调速度又能使抗噪能力有所提高，本节将会对卡尔曼滤波器的系统进行分析，从而分析讨论数字锁相解调器引入卡尔曼滤波器的适用性及稳定性，并且进行仿真实验以评估解调器的速度以及抗噪能力。
2.1 卡尔曼滤波器的系统分析假设卡尔曼增益不随迭代次数进行更新，根据式(16)，离散系统的结构框图如图 2所示，图中z-1表示单位时间延迟。
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| 图 2 卡尔曼滤波器的系统简化结构 Fig. 2 Simplified system structure of Kalman filter |
从图 2中可知，当仅考虑单通道时，卡尔曼滤波器离散系统的闭环传递函数为
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(20) |
式中：i=1和i=2分别表示数字锁相解调器的通道1或通道2。从式(20)可以看出，此时卡尔曼滤波器已退化成IIR数字滤波器，而IIR数字滤波器的优点恰好在于可以用较少的计算量获得较好的滤波效果。通道i的卡尔曼增益Ki在每次迭代过程都会被更新，由此可见卡尔曼滤波器实际上也是一个自适应的系统。
由于IIR滤波器其结构存在反馈，所以卡尔曼增益必然需要满足一定条件才能使得滤波器收敛。卡尔曼滤波器的收敛条件根据卡尔曼滤波器的稳定性求得，由式(20)可得卡尔曼滤波器的闭环特征方程为
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(21) |
根据离散系统稳定条件：所有闭环特征根在单位圆内，即
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(22) |
则可得滤波器系统稳定的卡尔曼增益条件为：0 < Ki < 2。
2.2 卡尔曼滤波器的频域分析令z=ejωT代入式(20)，则将卡尔曼滤波器从z域转化成了ω域，即频域；其中，T为采样间隔。频域形式Hi(ω)表示为
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(23) |
图 3是H1(ω)(仅考虑通道1)在不同增益情况下(0 < K1 < 2)的幅值随频率的响应。图中可以发现，当K1＞1时，卡尔曼滤波器则不再对高频进行抑制反而增强，且随着卡尔曼增益增加而增大；当K1=1时，卡尔曼滤波器是全通滤波器；当K1＜1时，卡尔曼滤波器就是低通滤波器，并且低通滤波器的截止频率随着卡尔曼增益减少而减小。此外，经过推导可知，当卡尔曼滤波是低通滤波器时，其截止频率fL为
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(24) |
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| 图 3 不同卡尔曼增益的频率响应 Fig. 3 Frequency response to different Kalman gains |
式中：fs为采样频率。
而根据式(15)可知，测量模型SPSD[k]实际上是对锁定后的信号进行平均滤波，因此所设计的卡尔曼滤波器具有均值滤波器的性质。从图 4中可以发现，均值滤波器随着N值的增大，其截止频率会趋向于低频，对噪声的抑制能力增强。此外，第1个零点频率fm=fs/N，也随N值增加而减小。由于在零点频率时均值滤波器可以将零点频率抑制为零，所以本文卡尔曼滤波器利用零点频率的这种性质所建立的测量模型能够更加有效地滤除交流部分。另外，前面已经提到，K1小于1时，卡尔曼滤波器表现为低通滤波器。从图 4中也可以发现，当频率是非零点频率时，均值滤波器对噪声的抑制能力却不如低通滤波器滤波器(卡尔曼增益K1为0.01时)，尤其是在高频区域其抑制的能力明显弱于卡尔曼滤波器。并且，此时的低通滤波器其截止频率要比均值滤波器的截止频率小很多。因此，以SPSD[k]为测量模型的卡尔曼滤波器对噪声的抗干扰能力更具有优势。
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| 图 4 IIR低通滤波器和均值滤波器的频率响应 Fig. 4 Frequency response between IIR low-pass filter and averaging filter |
图 5是卡尔曼滤增益K1在每次迭代过程中变化的曲线。从图中可以看出，卡尔曼增益K1随着迭代次数Nt下降且最终值与r/q的比值有关。由于卡尔曼增益随迭代次数减小，且卡尔曼增益始终小于1，所以卡尔曼滤波器可以看做是截止频率随迭代不断减小的低通滤波器，即可以通过不断实时迭代获得截止频率更低的低通滤波器。
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| 图 5 卡尔曼增益随迭代次数的变化 Fig. 5 Variation of Kalman gain with number of iterations |
众所周知，数字锁相解调器实质上是一带通滤波器，其中低通滤波器的截止频率越低则数字锁相解调器的通带越窄，解调器的抗噪能力越强。由于迭代次数持续增加使得低通滤波器的截止频率也持续减小，所以数字锁相解调器的通带也是随着迭代次数不断变窄的带通滤波器，其扫频特性所示如图 6所示。因此，利用卡尔曼滤波器的数字锁相解调器是随实时迭代抗噪能力不断增强。
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| 图 6 基于卡尔曼滤波的数字锁相解调器的扫频特性 Fig. 6 Frequency sweep characteristics of digital phase-locked demodulator based on Kalman filter |
引言中已经提到了，低通滤波器的响应速度和截止频率是一对矛盾。均值滤波器的优势在于快速性，但抗噪能力弱；而RC低通滤波器，其优势在于抗噪能力强，但响应时间长、解调速度慢。在2.2节已经分析指出，卡尔曼滤波器是截止频率随着迭代次数增加而减小的IIR低通滤波器，其具有精度高的优势，而由于利用均值滤波器零点频率的性质建立了测量模型，此时卡尔曼滤波器又具有均值滤波器的特点。因此，本节将从三者的动态响应速度和抗噪能力进行仿真测试。
设仿真时激励信号的频率为10 kHz，采样频率为320 kHz，即N为32，且其幅值为1 V。另外，表 1列出了6种不同情况下的仿真参数，其中白噪声是通过MATLAB的awgn函数产生并添加在噪声幅值最大为0.1 V的实测正弦信号。利用均值滤波器、卡尔曼滤波器和级联RC滤波器的数字锁相解调器分别对不同噪声的仿真实验进行解调并对比结果，如图 7所示。其中，由于卡尔曼滤波器的测量模型实际上是对信号进行平均滤波，即均值滤波器平均点数和卡尔曼滤波器中式(15)的累加点数N均设置为32。
| 编号 | 噪声幅值/V | SNR/dB | RC截止频率/kHz | r/q | ||
| DC | 干扰频率为50Hz | 干扰频率为100kHz | ||||
| 1 | 0 | 0 | 0 | 30 | 4 | 104 |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 30 | 0.7 | 104 |
| 3 | 1 | 1 | 1 | 10 | 4 | 104 |
| 4 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0.7 | 104 |
| 5 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0.7 | 107 |
| 6 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0.7 | 109 |
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| 图 7 不同噪声下的解调 Fig. 7 Demodulation under different noises |
根据图 4可知，均值滤波器的频率响应在N=32时其截止频率为4 kHz。从图 7可以发现，当RC滤波器的截止频率设置为4 kHz时，三者的响应时间基本一致，但此时卡尔曼滤波器的抗噪能力要比级联RC滤波器和均值滤波器的抗噪能力强。也就是说，在响应时间一致(即动态跟踪性能一致)时，卡尔曼滤波器的抗噪能力是三者中最强的。由于截止频率高会降低RC滤波器对低频信号抗扰能力，因此响应时间一致时RC滤波器时三者中抗噪能力最差的。但是，当RC滤波器的截止频率减为700 Hz时，三者的抗噪能力达到一致，甚至当噪声增加时比其他2种解调器强。不过此时其响应时间却变长至0.002 s，而卡尔曼滤波器的响应时间略微长于均值滤波器但几乎一致均远小于0.002 s。也就是说，相同抗噪能力的同时，卡尔曼滤波器的动态跟踪能力与均值滤波器的一致，且优于级联RC滤波器。
上述表明利用卡尔曼滤波器的数字锁相解调器其动态跟踪性能优于级联RC滤波器的解调器，并且其抗噪能力强于均值滤波器的解调器。根据图 7可知，卡尔曼滤波器的动态跟踪性能和抗噪能力跟r/q的比值有关。通过调节卡尔曼滤波器r/q的比值，抗噪能力会随着比值增大而得到改善，不过却会使其响应时间增大。因此，可以通过调节r/q的比值以达到兼具良好动态跟踪和抗噪能力的目的。
3 实验及验证 3.1 在线电磁钢轨缺陷检测实验为了进一步验证引入卡尔曼滤波的数字锁相解调器的性能，本文利用电动平移台设计了一套在线钢轨缺陷检测系统，并且对比不同滤波器的数字锁相解调器跟踪缺陷信号的结果。钢轨裂纹缺陷检测系统如图 8所示。图中，钢轨试板经过加工，在其中间位置处有一宽为0.01 mm、深为1 mm的横向裂纹。而传感器则是采用了文献[6]中设计的电磁线圈传感器，利用中间线圈激励产生交变磁场，采集前后检测线圈的电压差分信号。采集模块则是利用了4路16位、4 MS/s的NI PXle-6124多功能DAQ设备，在信号连接器BNC-2120扩展下对线圈的电压差分信号进行采样收集。
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| 图 8 钢轨缺陷检测系统实验图 Fig. 8 Experimental picture of rail defect detection system |
实验中，令钢轨试件固定在平移台上，而线圈传感器则悬浮固定在试件上方不动，则试件将随平移台以0.3 m/s速度移动与线圈传感器进行相对运动。缺陷的位置也设置在运动轨迹的中点，并且与试件运动的方向垂直，即垂直于线圈队列。另外，设置正弦激励信号的频率为10 kHz，经过模拟放大电路放大后通入中间的激励线圈。对前后两线圈的感应信号进行差分放大，用频率为320 kHz采样差分信号，如图 9所示。
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| 图 9 钢轨裂纹的实测数据 Fig. 9 Measured data of rail crack |
从图 9中可以看出，在未遇到缺陷时线圈上感应的电压幅值平稳，当传感器几何中心靠近缺陷时差分感应电压幅值变化为：增大—变小，而当传感器几何中心离开缺陷时变化为：减小—增大—减小。由于前后线圈的参数不一致，那么阻抗不平衡且对缺陷的敏感性也不一致。根据差分的原理，阻抗不平衡会导致在没有缺陷和缺陷在传感器中心位置时差分感应电压不为零。另外，线圈敏感性的差异导致对缺陷的感应幅值也不同。因此，在遇到缺陷时感应电压的变化不是按照缺陷位置空间对称。虽然线圈阻抗的不平衡导致没有缺陷时也存在电压差，但是不影响线圈遇到缺陷时的变化特征。
3.2 实测数据解调比较图 10显示的是分别引入3种数字锁相的解调器实时解调信号幅值的结果，其中3种滤波器的参数均与表 1中编号2的设计参数相同。从图 10中可以看出，3种解调器均吻合地跟踪了信号的幅值变化。对比3种解调器解调的结果发现，在初始解调阶段引入卡尔曼滤波器和均值滤波器响应时间小于引入级联RC滤波器的响应时间，这就表明了实际解调中卡尔曼滤波器和均值滤波器的动态跟踪优于级联RC滤波器。
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| 图 10 3种滤波器的检测钢轨裂纹结果 Fig. 10 Detection results of rail crack with three filters |
另外，从图 10中也可以看出，利用卡尔曼滤波器解调的幅值是三者中波动最小。分别绘制实测数据和3种解调结果的幅频图，如图 11所示。从图 11中可知，实测数据的幅频图中包含频率为10 kHz的信号、直流偏置以及大量高频干扰噪声。实际上，实测数据幅频图中频率为10 kHz的信号为电磁线圈检测到的的差分感应信号，而其他频段的均为噪声干扰。而从经过3种解调器解调后的结果发现，3种解调器解调后的主要成分均为直流部分，且依然含有的低频成分。这是因为解调器在对激励频率锁定滤波后为直流，但是由于缺陷引起了幅值波动，因此3种解调后的幅频图中主要分量为直流且低频段也有部分分量。此外，对比3种幅频图发现，利用均值滤波器的解调结果中低频段存在大量的毛刺且高频依然存在一定强度的分量。利用级联RC滤波器的解调结果，虽然在其高频部分光滑无分量，但是在其低频部分也依然存在一定强度，尤其在激励频点附近存在较强的分量。而利用卡尔曼滤波的解调结果几乎不存在高频分量，同时其低频部分也非常光滑基本无毛刺。由此，3种解调器解调结果的幅频分析进一步说明了卡尔曼滤波器时3种滤波器抗噪能力最优的。
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| 图 11 实测数据和3种解调器解调后的幅频图 Fig. 11 Measured data and amplitude-frequency diagram after demodulation by three demodulators |
根据性能仿真的结论，改变r/q的比值可以调节引入卡尔曼滤波的数字锁相器的抗噪和动态跟踪性能，以适应不同的噪声环境。增大比值有利于改善解调抗噪性能，但是却不利解调器的动态跟踪，即比值越大其响应所需的时间越长，则动态跟踪性能越差。为了进一步说明了数字锁相解调器引入卡尔曼滤波后受r/q比值影响，进行了不同比值下的解调试验。如图 12所示，当增大r/q比值，利用卡尔曼滤波的锁相解调抗噪能力也随着增高，但是其缺陷的峰值特征递减。此时，峰值特征减小与利用级联RC滤波解调器一样，增大比值使得系统的响应时间加长，未能及时响应跟踪缺陷突变引起的幅值变化，即动态响应变差。
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| 图 12 调节r/q比例的解调结果 Fig. 12 Demodulated results while adjusting r/q |
因此，为了能够使引入卡尔曼滤波的数字锁相解调器提高识别缺陷的能力，需要实际噪声大小调节r/q合适的比值，在抗噪能力和动态跟踪性能之间做一个折中。另外从图 12可知，如果解调后的幅值特征存在很大噪声以致于影响特征的识别，则此时需要将r的值增大，也就是r/q的比值变大。而当解调的幅值特征噪声很小，但是特征的峰值很小表明响应的时间过长，动态跟踪的能力受到影响，则此时可适当的增大q值，也就是使得r/q的值变小。
4 结论1) 本文介绍了数字锁相解调器引入卡尔曼滤波的优化设计，从时域和频域上分析，并发现引入卡尔曼滤波的数字锁相解调器是通带随着迭代次数增加而变窄的带通滤波器。
2) 结合零点频率的性质，通过调节r/q的比值，数字锁相解调器引入卡尔曼滤波后能够高效、快速地从噪声中解调出弱的信号。与使用单一均值滤波器和级联RC滤波器的解调器相比，引入卡尔曼滤波后的数字锁相解调器在能保证解调的动态跟踪性能的同时又能提高抗噪能力。
3) 钢轨裂纹在线电磁检测实验的结果表明，通过调节r/q的比值，引入卡尔曼滤波的数字锁相器能够很好地跟踪缺陷突变引起的幅值变化。
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