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基于代理模型的空间飞越发射窗口
向开恒, 李人杰, 陈杨     
1. 航天科工空间工程发展有限公司, 北京 100854;
2. 北京电子工程总体研究所, 北京 100854
摘要: 为了高效地分析空间飞越过程中航天器的初始位置对发射窗口的影响,研究了空间飞越任务流程,提出了不同初始条件下发射窗口的数值计算方法。在此基础上,为提高计算效率,研究了代理模型技术,包括样本点选取方法、代理模型构造方法和精度校验方法。对比分析了径向基函数(RBF)模型和Kriging模型,结果证明前者精度更高。使用RBF模型对不同初始条件下的发射窗口进行计算,耗时仅为使用真实模型时的0.29%,且精度校验满足要求,表明代理模型可以快速有效地分析初始条件对发射窗口的影响,为空间飞越轨道规划与设计提供理论依据和参考。
关键词: 空间飞越     发射窗口     代理模型     试验设计     径向基函数(RBF)    
Launch window of space fly-by based on surrogate model
XIANG Kaiheng, LI Renjie, CHEN Yang     
1. CASIC Space Engineering Development Co., Ltd., Beijing 100854, China;
2. Beijing Institute of Electronic System Engineering, Beijing 100854, China
Received: 2018-05-08; Accepted: 2018-07-28; Published online: 2018-08-08 09:33
Corresponding author. XIANG Kaiheng, E-mail: xiangkaiheng@spacechina.com
Abstract: In order to analyze the influence of initial positions on the launch window in space fly-by problem efficiently, the process of space fly-by was studied firstly in this paper. Then, a numerical method to calculate the launch window under different initial conditions was proposed. For improving calculation efficiency, surrogate model technology was studied, including sample points selection methods, surrogate models construction methods, and accuracy assessment methods. On the basis, two models, radial basis function (RBF) model and Kriging model, were compared. The results show that RBF model is more accurate for the problem in this paper. So it was applied to calculate launch windows under different conditions, which costs only 0.29% of the time that the true model costs, and the accuracy meets requirement. The results prove that using surrogate models can efficiently analyze the influence of initial conditions on the launch window, which will provide valuable theoretical foundation and reference for the orbital planning and design of space fly-by missions.
Keywords: space fly-by     launch window     surrogate model     design of tests     radial basis function (RBF)    

空间飞越是指运行在停泊轨道的航天器,收到指令后沿着设计的转移轨道,从距离目标航天器或天体极近的空间一点(飞越点)掠过,进行短时间观测并远离的过程[1]。对空间飞越的研究具有重要意义。首先,飞越探测是深空探测的一种重要方式,如嫦娥二号对4179 Toutatis小行星的飞越探测[2]。其次,在进行在轨服务之前,对目标实施飞越可以对其进行快速有效的观察,获取目标运行状况、故障类别等信息[3]。最后,飞越式接近还可以作为一种安全接近方法,使在轨服务航天器沿一条无碰撞路径到达目标,且保证出现故障时也能安全撤离[4-5]

飞越轨道的优化设计是实施空间飞越的基础,然而因为各种不确定性因素的存在,航天器难以按照预先设计的最优轨道进行飞越,所以相对于轨道优化设计,更为关注的是在一定初始条件下发射窗口的计算方法。目前对运载火箭的发射窗口计算已较为成熟,但是对从停泊轨道出发的发射窗口研究较少。文献[6]使用遍历搜索方法,研究了嫦娥二号从环日地L2点轨道出发,飞越探测小行星的发射窗口;文献[7]提出了基于发射窗口的天基发射方案,在给定初始条件下计算了发射窗口,研究了轨道规划策略。在进行分析计算时,不同初始条件下的发射窗口不同,初始条件是一个重要的影响因素,所以有必要对此进行研究。

为研究初始条件的影响,需要对若干组不同初始条件下的发射窗口进行分析,而每一组都需要采用数值方法进行遍历搜索来计算,因此计算量大、耗时长,需要研究高效的计算方法。代理模型(surrogate models)技术是一种降低计算成本的有效方法,所谓代理模型是指计算量小、但计算结果与真实模型的结果相近似的分析模型。在研究过程中用代理模型替代真实的高精度模型,可以有效地减少计算量、提高仿真计算的效率[8-9]。代理模型技术是多学科优化领域的重要研究内容之一,但在航天器轨道设计与发射窗口计算中的应用较少。文献[10]通过构建BP神经网络(Back Propagation Neural Network,BPNN)代理模型,进行了空间飞行器可遭遇区与最小速度增量遭遇点的计算。

本文针对空间飞越问题,研究不同初始条件下发射窗口的数值计算方法和代理模型技术,对比分析不同的代理模型构造方法在解决该问题中的效果和适用性,基于代理模型快速分析初始条件对发射窗口的影响。

1 考虑初始条件的发射窗口计算 1.1 空间飞越任务流程

一次空间飞越任务如图 1所示。

图 1 空间飞越任务示意图 Fig. 1 Schematic diagram of space fly-by mission

从接收飞越任务指令到完成飞越任务的具体流程如下:

1) t0时刻接收指令,此时飞越航天器和目标航天器的位置分别为rf0rt0

2) 接收飞越任务后,飞越航天器和目标航天器继续飞行Δt0时间,到达t1时刻,t1=t0t0。此时飞越航天器的位置为rf,目标航天器的位置为rt

3) 在t1时刻,飞越航天器施加脉冲进行变轨。

4) 飞越航天器变轨后,飞行Δt时间,到达t2时刻,t2=t1t。此时飞越航天器到达飞越点,实现飞越。因为飞越点与目标航天器的距离和该点与地心的距离相比极小,可以忽略,所以假定此时飞越航天器和目标航天器的位置均为rt

完整的飞越任务时序如图 2所示。定义从接收指令到施加脉冲前的时间Δt0为等待时间,从施加脉冲到完成飞越的时间Δt为转移时间,总时间为飞越时间Δts= Δt0t

图 2 空间飞越任务时序 Fig. 2 Timing sequence of space fly-by mission
1.2 不同初始条件下发射窗口计算方法

空间飞越发射窗口的计算需要考虑多个约束条件,包括变轨速度增量、飞越时间、飞越点状态、飞越过程燃料等。其中飞越点状态约束包括飞越点位置和速度约束、飞越点光照条件约束等;飞越过程燃料约束是为了保证飞越点精度,进行中途修正所需的燃料约束。

因为本文研究的是空间飞越而非空间交会,所以飞越点速度约束暂不考虑;本文采用二体动力学模型下的Lambert变轨,不考虑摄动因素,因而可以保证飞越点位置约束满足要求,且无需考虑中途修正及其燃料约束;在飞越点附近对目标航天器进行观测时要求日光、月光、地气光等不能进入观测设备的视场影响观测效果,仿真结果表明,光照条件在短时间内变化极小,因此本文假设在任务期间飞越点光照条件不变且满足约束。而变轨速度增量和飞越时间是最重要、最基本的2个约束,如文献[7, 10-11]均在只考虑这2个约束的条件下来计算发射窗口。综上,本文重点考虑变轨速度增量约束和飞越时间约束。

将所有满足约束的t1时刻的集合作为发射窗口,发射窗口随t0时刻初始条件的变化而变化。假设不考虑摄动力的影响,飞越航天器和目标航天器的轨道在空间固定不变,则t0时刻两者的初始位置rf0rt0只与其平近点角mf0mt0有关。所以,研究初始条件对发射窗口的影响即研究平近点角的影响,具体步骤如下:

步骤1  初始化飞越航天器平近点角mf0=0°。

步骤2  初始化目标航天器平近点角mt0=0°。

步骤3  初始化等待时间Δt0t0 min,Δt0min为最小等待时间。

步骤4  初始化转移时间Δttmin,Δtmin为最小转移时间。

步骤5  根据mf0mt0计算飞越航天器和目标航天器的初始位置rf0rt0,然后根据Δt0和Δt计算出rfrt,使用普适变量法求解Lambert问题得到速度增量Δv;计算飞越时间Δtst0+Δt;如果Δv < Δvmax且Δts < Δtsmax,则t1时刻属于初始条件为mf0mt0时的发射窗口,其中ΔvmaxΔtsmax分别为变轨速度增量和飞越时间的最大允许值。

步骤6  更新Δtttstep,Δtstep为转移时间的步长;如果Δt < Δtmax,则返回步骤5,否则进行步骤7,其中Δtmax为最大转移时间。

步骤7  更新Δt0t0t0step,Δt0step为等待时间的步长;如果Δt0 < Δt0max,则返回步骤4,否则进行步骤8,其中Δt0max为最大等待时间。

步骤8  更新mt0=mt0+mtstepmtstep为目标航天器平近点角的步长;如果mt0 < 360°,则返回步骤3,否则进行步骤9。

步骤9  更新mf0=mf0+mfstepmfstep为飞越航天器平近点角的步长;如果mf0 < 360°,则返回步骤2,否则结束。

计算过程如图 3所示。

图 3 发射窗口计算过程 Fig. 3 Calculation process of launch window

可以看出,研究初始条件对发射窗口的影响,需要对mf0mt0、Δt0和Δt 4个变量进行循环计算,计算量极大。

文献[11]研究了一种特殊的情况:飞越航天器和目标航天器的轨道为共面圆轨道时,初始条件对发射窗口的影响。定义初始相位角θ0t0时刻飞越航天器与目标航天器的地心角,即两者纬度幅角之差,则在共面圆轨道的假设下,初始条件的变化只与初始相位角θ0的变化有关。因此,只需研究初始相位角的变化对发射窗口的影响,即在计算过程中只需θ0、Δt0和Δt 3个变量的循环。研究结果显示,在共面圆轨道情况下计算耗时约为10 min。而对于一般情况,初始条件与平近点角mf0mt0有关,相比于共面圆轨道,计算过程多了一重循环,假设以1°为步长,则计算量为原来的360倍,预计耗时约60 h,计算时间过长,因此需要研究提高计算效率的方法。

2 代理模型技术

代理模型是根据真实模型的输入/输出样本数据来构造的一个替代模型。构造代理模型一般需要3个步骤:首先, 选取样本点,通过真实模型计算出对应的输出值,生成输入/输出样本数据;然后, 根据样本数据构造出代理模型;最后, 对代理模型的精度进行校验,评估其可信度[12-13]

2.1 生成样本数据

构建代理模型,首先是选取样本点并计算样本点的输出值。通常使用试验设计作为采样策略,通过科学合理的数学安排,在设计空间内生成能够反映真实计算模型的数值特征的样本点[14]。常用的试验设计方法包括:全析因设计、正交设计、中心复合设计、均匀设计、拉丁超立方设计等。

在试验设计中,输入变量被称为因素,因素所处的状态称为水平[15]。本文选用全析因设计方法,该方法将所有因素的所有水平进行组合来选取样本点,能够全面反映输入变量及其相互间的交互作用对输出值的影响。全析因设计生成的样本点数ns

(1)

式中:nv为因素数,即输入变量的个数;nl为水平数。

通过试验设计得出样本点x=[x1, x2, …, xns]之后,需要计算每个样本点所对应的输出值,针对本文研究的问题来说,即为样本点所对应的发射窗口长度。发射窗口长度的计算使用1.2节的方法,只是对于每个样本点来说,mf0mt0确定,只需计算Δt0和Δt 2个变量的循环,即步骤3~步骤7。最终得到样本点输出数据y=[y1, y2, …, yns]。

生成输入/输出样本数据后,可以进行代理模型的构造。

2.2 构造代理模型

常用的代理模型构造方法包括多项式响应面法(Response Surface Method,RSM)、移动最小二乘(Moving Least Square,MLS)、径向基函数(Radial Basis Function,RBF)、Kriging模型、BPNN和支持向量回归(Support Vector Regression,SVR)等。文献[14]从近似精度、计算成本、实现难度等方面对典型的代理模型构造方法进行了对比评估,得出RBF模型和Kriging模型的综合性能优于其他代理模型。因此,本文研究这2种代理模型在空间飞越发射窗口计算中的应用。

2.2.1 RBF模型

径向函数是以未知点与样本点之间的欧氏距离为自变量的一类函数。以径向函数为基函数,通过线性叠加构造出来的模型即为RBF模型,其基本形式为[14, 16]

(2)

式中:fR(xu)为未知设计点xu处RBF模型的预测值;α=[α1, α2, …, αns]T为权重系数向量;gi(xu)为径向函数,常用的径向函数有

(3)

式中:r=||xu-xi||为两点之间的欧氏距离,xi为第i个样本点;c为形状系数,可通过经验公式或优化求得。

构建RBF模型的重点是求解权重系数αα应满足插值条件,使样本点处的预测值与真实值相等,即

(4)

式中:xj为第j个样本点;yj为第j个样本点的输出。式(4)的矩阵形式为

(5)

式中:G为径向函数矩阵

(6)

则权重系数

(7)

2.2.2 Kriging模型

Kriging模型是由南非地质学者Krige提出的一种针对空间分布数据的无偏最优估计插值模型,由全局模型和局部偏差模型叠加而成,其基本形式为[14, 17]

(8)

式中:w(xu)为多项式全局近似模型,反映近似对象在设计空间内的总体变化趋势,可取常数μ;局部偏差项Z(xu)是一个随机过程,其均值为零、方差为σ2、协方差非零。Kriging模型的近似能力主要由局部偏差项Z(xu)决定,其协方差矩阵可表示为

(9)

式中:Q为对称相关矩阵; q(xi, xj)为高斯相关函数

(10)

式中:xik为第i个样本点中的第k个变量;θk为相关参数,为了降低复杂度,通常θk可以取常值θ

对任一设计点xu,引入相关向量p(xu)为

(11)

由此,Kriging模型可以表示为

(12)

式中:d可设为元素全为1的ns维列向量。模型中存在3个未知量:μθσ2,其中μσ2都是θ的函数,两者的最小二乘估计可通过式(13)和式(14)求出:

(13)
(14)

μσ2的表达式代入式(15)所示的一维优化问题可求解得到相关参数:

(15)
2.3 校验代理模型精度

代理模型构建完成之后,需要对其精度进行评估和校验。通常根据以下2个准则来判断代理模型的精度[8]:复相关系数R2和均方根误差(Root Mean Square Error,RMSE),其表达式为

(16)
(17)

式中:nt为进行精度校验的测试样本点个数;ŷi为测试样本点通过代理模型预测得到的输出值;y为样本点真实输出值的均值。

R2越接近1,表示代理模型的全局近似程度越好,一般认为大于0.9即满足要求,此处R2为统计学符号,并非平方,其值可能为负;RMSE越接近0,表示最大的局部误差越小,一般认为小于0.2即满足要求。

3 两种代理模型方法的对比

针对本文研究的空间飞越过程中初始条件对发射窗口影响的问题,利用1.2节提出的数值计算方法,根据代理模型技术构造RBF模型和Kriging模型,对2种模型的精度进行对比分析。

t0时刻飞越航天器和目标航天器的轨道根数如表 1所示。表中,a为半长轴,e为偏心率,i为轨道倾角,Ω为升交点赤经,ω为近地点幅角。

表 1 t0时刻轨道根数 Table 1 Orbit elements at moment t0
航天器a/kmei/(°)Ω/(°)ω/(°)
飞越航天器6 9780.0697.11800
目标航天器7 8780.15102.018090

采用全析因试验设计方法选取样本点。本文研究的是初始条件对发射窗口的影响,因此输入变量设为飞越航天器和目标航天器的平近点角mf0mt0,因素数为2;在设计空间[0°, 360°)内以10°为步长取值,因素数为36;因此是一个2因素36水平的试验设计问题,样本点数ns=362=1 296。

计算出每个样本点所对应的输出值,利用输入/输出样本数据xy构建RBF模型和Kriging模型。

为校验代理模型的精度,在设计空间内随机选取200个测试样本点,计算2个代理模型的R2和RMSE。计算结果如表 2所示。

表 2 两种代理模型精度对比 Table 2 Accuracy comparison of two surrogate models
模型R2RMSE
RBF模型0.9930.018
Kriging模型0.9520.049

表 2可以看出,以R2和RMSE 2个准则来判断,RBF模型的精度都高于Kriging模型。测试样本点的预测值与真实值的对比如图 4所示,图中的点越靠近对角线,表示该点的预测值与真实值越接近。可以看出,相对于Kriging模型,RBF模型的点在对角线附近更集中,精度更高。

图 4 测试样本点分布 Fig. 4 Distribution of test sample points

因此,本文采用RBF模型研究空间飞越过程中初始条件对发射窗口影响。

4 实例验证

表 1中的轨道根数为例,基于RBF模型进行分析。计算发射窗口时,变轨速度增量约束Δvmax=500 m/s,飞越时间约束Δtsmax= 9 000 s。

提高计算效率、减小计算耗时是本文研究代理模型的初衷和目的,因此首先检验应用代理模型后计算时间上的变化。根据第1节中的分析,在设计空间内以1°为步长使用真实模型进行计算,预计耗时约60 h,计算时间过长。因此以2°为步长使用真实模型和代理模型分别进行计算,计算时间如表 3所示。

表 3 代理模型和真实模型计算时间对比 Table 3 Comparison of calculation time between surrogate model and true model
s
模型
代理模型
构建时间
发射窗口
计算时间
总计算
时间
真实模型57 68857 688
RBF模型3 4731683 641

表 3可以看出,使用RBF模型计算发射窗口耗时仅为使用真实模型的0.29%,计算效率得到极大提高。使用代理模型之前需要先进行构建,因为在构建和校验精度时需要大量样本数据,而这些样本数据是通过使用真实模型计算得出的,所以需要花费一定的时间。但总计算时间也仅为使用真实模型的6.31%,相比而言效率还是较高。而且代理模型的构建是一次性的,一旦构建完成,对于相同轨道根数情况的计算就可以重复使用,无需再次构建。

代理模型除了极大地提高计算效率外,还需要满足一定的精度要求。表 2中的数据显示,RBF模型的R2>0.9,RMSE < 0.2,均满足要求。为直观显示其应用效果,绘制发射窗口长度相对于平近点角mf0mt0的等值线图,如图 5所示。可以看出,应用RBF模型计算得到的等值线图与使用真实模型得到的结果基本相同,可以反映出初始条件对发射窗口的影响。

图 5 真实模型和RBF模型的发射窗口长度等值线图 Fig. 5 Contour map of launch window length of true model and RBF model

通过对等值线图分析可以看出:

1) 对于飞越航天器和目标航天器为非共面圆轨道的情况,发射窗口长度取决于初始时刻两者的平近点角,平近点角之差相同并不能保证发射窗口长度相同。图 6中的虚线为两者平近点角之差为零的点的集合,这些点对应的发射窗口长度不等,最长为2 204.4 s,最短为0 s。

图 6 平近点角相等时的发射窗口长度 Fig. 6 Launch window length of equal mean anomalies

2) 对于任意的mf0,都存在对应的可行mt0区间,使发射窗口存在,即当目标航天器位于该区间内时,飞越航天器在速度增量和时间约束下能够实现飞越。不同的mf0对应的mt0区间不同,区间长度108°~172°;同样,对于任意的mt0,都存在mf0区间,区间长度108°~188°。如图 7所示,当mf0=160°时,可行mt0区间为[40°, 158°],区间长度118°;当mt0=160°时,可行mf0区间为[162°, 288°],区间长度126°。

图 7 可行的平近点角区间示意图 Fig. 7 Schematic diagram of feasible region of mean anomaly

3) 从图 5能够直观地看出发射窗口长度的分布情况和变化趋势,可以选取发射窗口较长的点,在实施空间飞越任务时将其作为初始条件。从图 5(b)可以看出,当以mf0=112°、mt0=72°为初始条件时发射窗口最长,为5 743.1 s。而飞越航天器的轨道周期为5 801.1 s,这意味着在一个周期之内基本都可以实施飞越。

4) 对任意一点,可以根据图 5直接判断其是否具备飞越条件及其发射窗口长度;若以某点为初始条件的发射窗口为0,则可以判断出多长时间后可以具备飞越条件。如图 8所示,A点对应的mf0mt0为(40°, 80°),以其为初始条件,发射窗口为0,根据飞越航天器和目标航天器的轨道根数,两者平均角速度n1/n2=1.2,则两者的位置随时间的变化在图上表示为以A为起点、斜率为1.2的线段,如图中的虚线所示。可以看出,经过2 526.2 s后虚线与等值线图首次相交于B点,以该点为初始点发射窗口长度为500 s;若要求发射窗口长度不少于某值,如2 000 s,则需要从A点起经过4 124.6 s后到达C点,以C点为初始条件开始飞越。以A点为起点,发射窗口长度随时间变化如图 9所示。

图 8 任意一点的发射窗口分析 Fig. 8 Analysis of launch window of one point
图 9 发射窗口长度随时间的变化 Fig. 9 Change of launch window length with time
5 结论

1) 本文分析了空间飞越任务流程,建立了用于分析初始条件对发射窗口影响的数值计算模型,该模型包含4个变量的循环,计算耗时约60 h,效率较低。

2) 研究了代理模型技术,采用全析因试验设计方法生成样本数据,构建了RBF模型和Kriging模型,以R2和RMSE准则对比了2种模型的精度,结果表明RBF模型精度较高。

3) 应用RBF模型计算发射窗口长度,计算耗时仅为真实模型0.29%,而且精度校验满足要求。根据发射窗口长度的等值线图,分析了初始条件对发射窗口的影响。

4) 后续可以在2个方面进一步开展研究:一方面,提高发射窗口计算模型的精度,如采用高精度轨道动力学模型,考虑飞越点状态约束、飞越过程燃料约束等;另一方面,提高代理模型的效率和精度,如改善样本点选取方法来减少构建代理模型的成本,研究代理模型的更新和修正方法来提高模型精度等。

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LI J.Launch vehicle trajectory optimization based on improved quantum particle swarm algorithm[D].Xiangtan: Xiangtan University, 2014: 19-23(in Chinese). http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10530-1014412550.htm
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2018.0264
北京航空航天大学主办。
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文章信息

向开恒, 李人杰, 陈杨
XIANG Kaiheng, LI Renjie, CHEN Yang
基于代理模型的空间飞越发射窗口
Launch window of space fly-by based on surrogate model
北京航空航天大学学报, 2018, 44(12): 2613-2620
Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2018, 44(12): 2613-2620
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2018.0264

文章历史

收稿日期: 2018-05-08
录用日期: 2018-07-28
网络出版时间: 2018-08-08 09:33

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