2. 现代农装优化设计北京市重点实验室, 北京 100083
2. Key Laboratory of Optimal Design of Modern Agricultural Equipment in Beijing, Beijing 100083, China
与圆柱蜗杆传动相比，环面蜗杆传动具有承载能力强、体积小、传动效率高和使用寿命长等优点[1-3]。环面蜗杆传动中的蜗轮通常由蜗轮滚刀滚切而成，滚刀的切削性能影响蜗轮的生产效率和齿面精度[4-5]。对于同一头数的环面蜗轮滚刀，容屑槽的类型决定刀齿刃口线的几何形状和刀齿两侧前角的大小，进而影响滚刀的切削性能[6]。
环面蜗轮滚刀头数较多时，如果容屑槽采用直槽[7-8]，滚刀刀齿分度环面上的前角一侧为正值另一侧为负值，且前角的绝对值较大。负前角一侧引起主切削力增大[9]，导致切削条件恶劣甚至无法加工[4, 10-11]。因此，多头、大模数滚刀通常采用零前角螺旋槽[4]。但是，由于环面蜗轮滚刀的每个刀齿形状不同，每个刀齿在同一环面螺旋线上的螺旋升角也不相同，其螺旋槽无法采用圆柱滚刀[12]和齿轮滚刀[13]一样的设计方法，而且不易保证每个刀齿的左右两侧前角都为0°，只能近似地控制在0°附近。
本文提出一种由圆柱产形面变传动比展成环面蜗轮滚刀螺旋槽前刀面的方法。首先，建立平面二次包络环面蜗轮滚刀前刀面的数学模型，求解刀齿两侧前角，得到每个刀齿从齿顶到齿根左右两侧前角的变化规律。然后，进一步对前刀面进行修正，将修正后的滚刀模型导入VERICUT软件中，测量其前角，验证设计方法的正确性。
1 前刀面展成原理及数学模型以平面为产形面Σd，一次包络展成螺旋面为Σ1的环面蜗杆，称为平面包络环面蜗杆[1]；以Σ1作为滚刀产形面，二次包络展成蜗轮齿面Σ2。上述环面蜗杆与蜗轮相配组成平面二次包络环面蜗杆副[1](见图 1)。其中，作为滚刀产形面Σ1的环面蜗杆称为滚刀基本蜗杆，以圆柱面为产形面Σqd，将滚刀基本蜗杆包络出螺旋槽，形成螺旋槽前刀面Σ3。滚刀产形面Σ1和螺旋槽前刀面Σ3的交线即为刀齿的刃口线[1]，前刀面Σ3的成形方法决定刀齿刃口线的几何形状和刀齿两侧前角的大小，进而影响滚刀的切削性能。
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| 图 1 环面蜗杆传动及蜗轮滚刀 Fig. 1 Hourglass worm driving and worm gear hob |
如图 2所示，取静坐标系σoi(Ooi；ioi，joi，koi)(i=1，2)与机架固连[1]。下标“1”表示环面蜗杆，下标“2”表示蜗轮，
取动坐标系σi(Oi；ii，ji，ki)(i=1，2)分别与蜗杆1和蜗轮2固连[1]；蜗杆瞬时转角为φ1，蜗轮瞬时转角为φ2=i21φ1，i21为蜗轮和蜗杆的传动比，初始位置φ1=φ2=0°。
取静坐标系σod(Ood；iod，jod，kod)与机架固连[1]，取动坐标系σd(Od；id，jd，kd)与刀座固连[1]，加工滚刀基本蜗杆螺旋面时，蜗杆毛坯绕回转轴ko1的转速为ω1，瞬时转角为φ1=|ω1|Δt，刀座绕回转轴kod的转速为ωd，转角为φd=|ωd|Δt，初始位置：φ1=φd=0°。
蜗杆毛坯瞬时转角φ1和刀座瞬时转角φd成正比，即φ1=i1dφd，i1d为蜗杆毛坯和刀座的速比。
通过改变刀座与蜗杆毛坯的相对位置和相对运动来实现滚刀基本蜗杆螺旋面的修形，本文中的修形参数：Δb=Δc=Δd=0，ΔΣ=0，Δa＞0，Δi=i1d-i12，i12为蜗杆副的传动比[1]。
如图 3所示，产形面Σd与半径为rb的蜗轮主基圆相切；与刀座回转轴线呈β角。u和v为产形面Σd的参数，u直线与id平行，v直线与u直线垂直；n为产形面上任一点处的法向量；Q为产形面上的任一个点。由平面产形面Σd包络展成右旋的滚刀基本蜗杆螺旋面Σ1。由齿轮啮合原理[14-17]得到滚刀基本蜗杆螺旋面Σ1在σ1中的方程为
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(1) |
式中：
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建立如图 4所示的右旋直角坐标系，取静坐标系σqo1(Oqo1；iqo1，jqo1，kqo1)与机架固连，动坐标系为σq1(Oq1；iq1，jq1，kq1)与滚刀基本蜗杆固连，Oq1为坐标原点，Oqo1和Oq1重合，kqo1=kq1与滚刀基本蜗杆回转轴线重合。
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| 图 4 加工前刀面的坐标系 Fig. 4 Coordinate systems of rake face machining |
取静坐标系σqod(Oqod；iqod，jqod，kqod)与机架固连，iqod=iqo1，kqod=-jqo1。取动坐标系σqd(Oqd；iqd，jqd，kqd)与刀座固连，iqd=iqod，kqd与刀座轴线重合，刀座轴心Oqd到A点的距离为Zqod，aq= 
圆柱产形面的轴线与
图 5为圆柱产形面的示意图，θ和h为产形柱面Σqd的参数，θ≥0，h≥0。
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| 图 5 圆柱产形面 Fig. 5 Cylindrical generating surface |
如图 6所示，由圆柱产形面Σqd展成螺旋槽前刀面Σ3。刀座沿iqod轴和jqod轴移动的瞬时速度分别为vx和vy，vx=vytan δ；圆柱产形面的前端面的运动轨迹为以Rf1为半径，以Oqod为圆心的圆弧，且在σqod中的坐标为
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| 图 6 展成螺旋槽原理图 Fig. 6 Schematic diagram of spiral flute machining |
滚刀基本蜗杆绕回转轴kqo1的瞬时转速为ωq1，转角为
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(2) |
式中：
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|
设定：滚刀基本蜗杆分度环面螺旋线的导程角为γ，前刀面曲线的导程角为γq。在滚刀基本蜗杆的各径向截面Yqod=Zi(-0.5Lw≤Zi≤0.5Lw，Lw为滚刀基本蜗杆的工作长度)处，令导程角满足关系式：
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(3) |
即
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(4) |
在滚刀基本蜗杆的各径向截面Yqod=Zi处，蜗杆毛坯v1与平面砂轮的线速度vd分别为
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(5) |
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(6) |
滚刀基本蜗杆分度环面螺旋线的导程角γ(螺旋面右旋时为正)由式(7)求得[1, 18]：
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(7) |
将式(5)和式(6)代入式(7)得
|
(8) |
式中：ri为滚刀基本蜗杆在轴向坐标Zi(-0.5Lw≤Zi≤0.5Lw)处的分度圆半径；α为蜗轮分度圆压力角；φd为加工滚刀基本蜗杆螺旋面时刀座的瞬时转角；i1d=ω1/ωd为蜗杆毛坯和刀座的速比。
2.2 前刀面曲线的导程角γq如图 6所示，在滚刀基本蜗杆的各径向截面Yqod=Zi处，滚刀基本蜗杆和刀座的线速度表达式分别为
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(9) |
|
(10) |
前刀面曲线(左旋)的导程角γq(左旋为负)由式(11)求得：
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(11) |
将式(9)和式(10)代入式(11)得
|
(12) |
将式(8)和式(12)代入式(4)式求得传动比iqd1的表达式为
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(13) |
当ri=r1时，由式(8)求得滚刀基本蜗杆喉部分度圆导程角γm的表达式为
|
(14) |
由式(12)求得前刀面曲线的导程角γq为
|
(15) |
将式(14)和式(15)代入式(4)求得定传动比i′qd1的表达式为
|
(16) |
式中：r1=0.5d1，d1为蜗杆分度圆直径。
3 实例本文针对表 1提供的算例，首先求解导程角和传动比iqd1。由于本算例是4头环面蜗轮滚刀，将滚刀设计为4排刀齿可以保证每排刀齿具有相同的前角变化规律，便于讨论。因此，在滚刀圆周方向上加工不同螺旋槽前刀面时传动比一致。
| 参数 | 数值 |
| 中心距a/mm | 160 |
| 传动比i12 | 10 |
| 滚刀头数z1 | 4 |
| 蜗轮分度圆压力角α/(°) | 21.866 7 |
| 蜗轮分度圆直径d2/mm | 255 |
| 蜗杆分度圆直径d1/mm | 65 |
| 滚刀齿顶圆弧半径Ra1/mm | 122.24 |
| 滚刀齿根圆弧半径Rf1/mm | 133.24 |
| 滚刀工作长度Lw/mm | 90 |
| 滚刀喉部分度圆导程角γm/(°) | 21.420 5 |
| 产形平面轴线倾角β/(°) | 22.5 |
| 主基圆直径db/mm | 95 |
由式(8)求得左侧齿面分度环面螺旋线的导程角在17.1°~21.4°之间，滚刀基本蜗杆喉部分度圆导程角最大，为γm=21.420 5°；环面蜗轮滚刀左侧齿面螺旋线的导程角和右侧齿面螺旋线的导程角关于Zi=0对称，为照顾左右两侧刀齿的前角都能近似为0°，取分度环面上左右两侧齿面螺旋线导程角的平均值来求解传动比，其导程角的变化规律如图 7所示。
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| 图 7 分度环面处螺旋线导程角变化 Fig. 7 Variation of helix lead angle of indexing torus |
由式(16)求得定传动比i′qd1=-0.012 1，由式(13)求得传动比iqd1的平均值在-0.008 6~-0.012 1之间，其变化规律如图 8所示。
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| 图 8 分度环面处传动比变化 Fig. 8 Variation of transmission ratio at indexing torus |
滚刀基本蜗杆和刀座按照求得的传动比运动，形成如图 9所示的螺旋槽前刀面Σ3，其中：L3-1、L3-2和L3-3分别为螺旋槽前刀面Σ3与滚刀基本蜗杆齿顶环面、分度环面和齿根环面的交线。将滚刀基本蜗杆螺旋面Σ1的方程式(1)和螺旋槽前刀面Σ3的方程式(2)联立，即可求得滚刀刀齿的刃口线。设定：滚刀基本蜗杆左侧螺旋面和前刀面的交线为左侧刃口线，左侧刃口线上任一点处的前角为左侧前角，同理，右侧刃口线上任一点处的前角为右侧前角，其中，L3-1、L3-2和L3-3与刃口线交点处的前角依次记为Vq(Ri=122.24 mm)、Vq(Ri=127.5 mm)、Vq(Ri=132.24 mm)。
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| 图 9 螺旋槽滚刀三维模型 Fig. 9 Three-dimensional model of spiral flute hob |
在σ1坐标系中，由刃口线上任一点在前刀面的法向量(nq1)1和在螺旋面的法向量(n1)1求得该点处的前角Vq表达式为[16, 19]
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(17) |
式中：arccos((nq1)1(n1)1)记为该点处的夹角Wq，(nq1)1表达式为
|
(18) |
其中：(nqd)qd表示在刀座动坐标系σqd中Σqd上任一点的单位法矢量，表达式为
|
(19) |
|
(20) |
式中：(nd)d表示在刀座动坐标系σd中Σd上任一点的单位法矢量，表达式为
|
(21) |
由式(17)分别求得采用ϕ6 mm的圆柱产形面定传动比和变传动比加工滚刀的螺旋槽前刀面时，L3-2与刀齿刃口线交点处的前角，结果如表 2和表 3所示。
| 齿序号 | 左侧 | 右侧 | |||
| 前角/(°) | 轴向位置Zi/mm | 前角/(°) | 轴向位置Zi/mm | ||
| 1号齿 | 1.708 83 | -38.171 39 | -5.341 03 | -30.950 36 | |
| 2号齿 | -0.060 04 | -21.520 36 | -1.637 29 | -13.517 04 | |
| 3号齿 | -0.501 66 | -4.226 86 | -0.085 59 | 3.920 86 | |
| 4号齿 | 1.129 17 | 13.246 70 | -0.667 29 | 21.148 44 | |
| 5号齿 | 4.830 84 | 30.652 93 | -2.642 67 | 37.881 56 | |
| 齿序号 | 左侧 | 右侧 | |||
| 前角/(°) | 轴向位置Zi/mm | 前角/(°) | 轴向位置Zi/mm | ||
| 1号齿 | 0.445 06 | -38 | -0.378 63 | -31 | |
| 2号齿 | 0.067 97 | -21 | -0.116 36 | -13 | |
| 3号齿 | -0.036 67 | -4 | 0.087 35 | 4 | |
| 4号齿 | 0.131 01 | 13 | -0.062 32 | 21 | |
| 5号齿 | 0.411 12 | 31 | -0.511 75 | 38 | |
由表 2和表 3可知：采用定传动比加工前刀面时，分度环面上左右两侧前角都在±5°左右，而采用变传动比加工前刀面时，刀齿分度环面上左右两侧前角都在±0.5°左右；变传动比有效减小了刀齿两侧前角的绝对值，使得分度环面上刀齿左右两侧的前角近似为0°。
再由式(17)求得采用变传动比加工滚刀的螺旋槽前刀面时，各个刀齿从齿顶到齿根左右两侧前角的大小，结果如表 4所示。
| (°) | ||||||||
| 齿序号 | 前角类型 | 不同环面的Ri值 | ||||||
| 122.24 mm | 124 mm | 126 mm | 127.5 mm | 129 mm | 131 mm | 132.24 mm | ||
| 1号齿 | 左侧前角 | 7.025 7 | 5.088 7 | 2.614 5 | 0.445 1 | -2.024 5 | -6.025 4 | -8.589 3 |
| 右侧前角 | -5.082 5 | -3.736 9 | -1.985 1 | -0.378 6 | 1.405 1 | 4.081 5 | 5.744 1 | |
| 2号齿 | 左侧前角 | 5.978 7 | 4.364 7 | 2.052 5 | 0.068 0 | -2.140 9 | -5.414 3 | -7.523 2 |
| 右侧前角 | -4.134 5 | -3.016 4 | -1.422 3 | -0.116 4 | 1.066 4 | 2.958 2 | 4.167 5 | |
| 3号齿 | 左侧前角 | 4.879 0 | 3.545 8 | 1.613 1 | -0.036 7 | -1.965 0 | -4.761 3 | -6.593 1 |
| 右侧前角 | -6.584 7 | -4.642 2 | -2.027 5 | 0.087 4 | 2.166 4 | 5.054 4 | 6.760 8 | |
| 4号齿 | 左侧前角 | 4.178 1 | 3.022 8 | 1.435 6 | 0.131 0 | -1.413 2 | -3.730 5 | -5.314 0 |
| 右侧前角 | -6.183 8 | -4.516 3 | -2.106 9 | -0.062 3 | 2.159 2 | 5.557 6 | 7.692 8 | |
| 5号齿 | 左侧前角 | 5.360 6 | 3.935 0 | 2.047 6 | 0.411 1 | -1.593 7 | -4.552 7 | -6.391 6 |
| 右侧前角 | -6.899 1 | -4.953 6 | -2.504 0 | -0.511 8 | 1.900 8 | 5.554 3 | 7.985 6 | |
根据表 4的数据，绘制螺旋槽前刀面对应各刀齿从齿顶到齿根左右两侧的前角，其变化规律如图 10所示。
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| 图 10 两侧前角变化规律 Fig. 10 Variation of rake angles on both sides |
由图 10可知，滚刀分度环面处的前角近似为0°，而刀齿左侧的前角从齿顶到齿根由正变负，右侧的前角从齿顶到齿根由负变正，并且正前角和负前角的绝对值较大。因此，需要对滚刀前刀面进行修正。
4 前刀面的修正滚刀基本蜗杆各环面螺旋线的导程角都不相同，式(8)中，代入不同环面处的分度圆半径和对应的刀座转角φd，求得齿顶环面螺旋线导程角和齿根环面螺旋线导程角。其变化规律如图 11所示。
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| 图 11 不同环面处螺旋线导程角变化 Fig. 11 Variation of lead angles on different torus |
分别取左右两侧齿面螺旋线导程角的平均值求得传动比的变化规律如图 12所示。
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| 图 12 不同环面处传动比变化 Fig. 12 Variation of transmission ratio on different torus |
采用不同的传动比会形成不同的前刀面，图 13分别表示由分度环面螺旋线、齿顶环面螺旋线和齿根环面螺旋线的导程角对应的铣削传动比加工出的不同螺旋槽前刀面Σ3、Σ4和Σ5，其中：L4-1、L4-2和L4-3分别为螺旋槽前刀面Σ4与滚刀基本蜗杆齿顶环面、分度环面和齿根环面的交线；L5-1、L5-2和L5-3分别为螺旋槽前刀面Σ5与滚刀基本蜗杆齿顶环面、分度环面和齿根环面的交线。
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| 图 13 前刀面示意图 Fig. 13 Schematic of rake faces |
分别求解L4-1和L5-3与刃口线交点处的前角，结果如表 5和表 6所示。以齿顶环面处的传动比加工螺旋槽前刀面对应各刀齿两侧的前角在±0.5°左右，以齿根环面处传动比加工螺旋槽前刀面对应各刀齿两侧的前角在±0.6°左右。因此，采用L4-1和L5-3这两条曲线来修正前刀面Σ3，使得齿顶环面和齿根环面上刀齿左右两侧的前角也近似为0°。
| 齿序号 | 左侧 | 右侧 | |||
| 前角/(°) | 轴向位置Zi/mm | 前角/(°) | 轴向位置Zi/mm | ||
| 1号齿 | 0.462 56 | -38 | -0.483 52 | -31 | |
| 2号齿 | -0.038 43 | -21 | 0.131 94 | -13 | |
| 3号齿 | -0.114 90 | -4 | 0.176 31 | 4 | |
| 4号齿 | 0.267 71 | 13 | -0.204 22 | 21 | |
| 5号齿 | 0.333 19 | 31 | -0.430 43 | 38 | |
| 齿序号 | 左侧 | 右侧 | |||
| 前角/(°) | 轴向位置Zi/mm | 前角/(°) | 轴向位置Zi/mm | ||
| 1号齿 | 0.511 02 | -38 | -0.420 14 | -31 | |
| 2号齿 | 0.239 34 | -21 | -0.135 27 | -13 | |
| 3号齿 | -0.068 67 | -4 | 0.170 25 | 4 | |
| 4号齿 | 0.125 45 | 13 | 0.076 51 | 21 | |
| 5号齿 | 0.395 23 | 31 | -0.558 03 | 38 | |
由曲线L4-1、L3-2和L5-3拟合出一个新的曲面作为滚刀的螺旋槽前刀面。图 14为最终拟合出的螺旋槽环面蜗轮滚刀三维模型。
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| 图 14 最终拟合出的滚刀模型 Fig. 14 Final fitted hob model |
如图 15所示，将滚刀模型导入VERICUT软件中，测量刃口线上任一点处两法向量的夹角Wq，再由Vq=Wq-90°计算出刀齿两侧的前角Vq，如表 7所示，结果表明：1~5号刀齿从齿顶到齿根左右两侧的前角在-0.6°~0.5°之间。
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| 图 15 测量两法向量的夹角Wq Fig. 15 Measurement of angle Wq between two normal vectors |
| (°) | ||||||
| 齿序号 | 前角类型 | 不同环面的Ri值 | ||||
| 122.24 mm | 125 mm | 127.5 mm | 130 mm | 132.24 mm | ||
| 1号齿 | 左侧前角 | 0.227 9 | 0.405 1 | 0.315 2 | -0.376 6 | -0.144 6 |
| 右侧前角 | 0.031 3 | -0.188 5 | -0.502 7 | 0.125 0 | 0.076 3 | |
| 2号齿 | 左侧前角 | 0.276 0 | 0.147 4 | 0.091 1 | 0.041 9 | 0.153 8 |
| 右侧前角 | -0.222 8 | 0.095 6 | 0.184 8 | -0.081 8 | 0.260 1 | |
| 3号齿 | 左侧前角 | -0.098 1 | -0.073 3 | 0.132 2 | -0.137 1 | -0.190 1 |
| 右侧前角 | 0.171 5 | -0.130 6 | -0.210 7 | 0.195 5 | -0.061 2 | |
| 4号齿 | 左侧前角 | 0.305 6 | 0.233 4 | -0.086 0 | -0.122 4 | 0.382 8 |
| 右侧前角 | -0.150 8 | 0.082 1 | -0.254 3 | 0.265 3 | 0.115 5 | |
| 5号齿 | 左侧前角 | 0.418 4 | 0.166 6 | 0.320 1 | -0.177 6 | -0.160 4 |
| 右侧前角 | -0.185 2 | -0.332 7 | -0.267 3 | 0.289 1 | 0.256 2 | |
5 结论
1) 本文提出一种由圆柱产形面变传动比展成环面蜗轮滚刀螺旋槽前刀面的方法。建立了平面二次包络环面蜗轮滚刀螺旋槽前刀面的数学模型；分别求解采用定传动比加工螺旋槽和变传动比加工螺旋槽时，滚刀左右两侧前角的变化规律；对比分析了变传动比对滚刀前角的改善效果；得出变传动比可以控制刀齿左右两侧的前角近似为0°。
2) 计算出每个刀齿从齿顶到齿根左右两侧前角的变化规律，进一步提出前刀面的修正方法，将修正后的滚刀模型导入VERICUT软件中，测量其前角。结果表明，1~5号刀齿从齿顶到齿根左右两侧的前角在-0.6°~0.5°之间，解决了滚刀两侧前角绝对值较大的问题，具有实用价值。
3) 由于此设计方法采用圆柱产形面来包络前刀面，并且在计算传动比时采用数值计算方法，难以保证刀齿两侧的前角绝对0°。
致谢
感谢中南大学高性能复杂制造国家重点实验室对VERICUT软件提供的技术支持。
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