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一种疲劳损伤参数确定新方法
刘潇潇, 王依兵, 张铮     
北京航空航天大学 航空科学与工程学院, 北京 100083
摘要: 金属材料的疲劳断裂是工程结构中常见的失效模式。损伤力学将裂纹萌生视为渐进损伤过程,通过损伤演化方程描述并进行寿命预估。但损伤演化方程中的参数需要根据标准实验数据拟合得到,此过程通常需要多参数联合拟合,运算复杂,计算量大,物理意义不明确。为了避免上述问题,基于损伤力学的理论基础,提出了一种新的损伤演化方程参数确定方法,即根据损伤演化方程的性质,结合S-N曲线的特质,通过数学方法提出一种单一参数确定损伤演化方程的单参数方法。本文方法规避了多参数同时拟合的缺点,提高了计算速度计算精度,为工程分析提供了新的选择。通过具体算例验证了本文方法的使用效果。
关键词: 损伤力学     疲劳     演化方程     参数确定     S-N曲线    
A novel method for determining fatigue damage parameters
LIU Xiaoxiao, WANG Yibing, ZHANG Zheng     
School of Aeronautic Science and Engineering, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100083, China
Received: 2017-07-05; Accepted: 2017-10-20; Published online: 2017-11-30 14:33
Foundation item: National High-tech Research and Development Program of China (2015AA034401)
Corresponding author. ZHANG Zheng, E-mail:jordanzzhang@buaa.edu.cn
Abstract: Fatigue fracture of metal materials is a common failure mode in engineering structures. Damage mechanics regards crack initiation as a progressive damage process, describing and conducting life estimates through the damage evolution equation. However, the parameters in the damage evolution equation need to be fitted according to the standard experimental data. This process usually requires multi-parameter fitting, which involves complicated operation, large computational amount and vague physical meaning. To avoid these problems, based on the theoretical basis of damage mechanics, a new method to determine the parameters of damage evolution equation was proposed. According to the properties of damage evolution equation and the characteristics of S-N curves, a single parameter method, which employs single parameter to determine the damage evolution equation, was proposed using mathematical method. The proposed method avoids the disadvantage of multi-parameter fitting at the same time and improves the calculation accuracy and speed, which provides an alternative for engineering analysis. Finally, a concrete example is given to demonstrate the effect of the proposed method.
Key words: damage mechanics     fatigue     evolution equation     parameter determining     S-N curves    

金属材料的疲劳是各类机械结构中的常见失效形式[1-2]。承受循环载荷的受力构件易在初始缺陷或应力集中处萌生裂纹,裂纹逐渐扩展使得结构丧失承载能力最终导致破坏。材料的疲劳在没有产生宏观裂纹之前都难以观测,一旦产生了宏观裂纹之后,其损伤的发展速度会很快加速,在工程上会导致严重的后果[3]。目前工程上通过统计学与实验的结合,已经形成了一种较为成熟,适用性较强的一套理论方法,可以对工程件的寿命进行预测分析。通常是通过大量的疲劳损伤实验,拟合得到材料的S-N曲线,再通过力学分析计算结构的疲劳寿命[4]

损伤力学将疲劳过程中的裂纹萌生视为一个渐进损伤的过程[5]。认为材料在交变载荷下,在微观层次上出现微缺陷,这些微缺陷的发展导致了局部宏观力学性能的变化。在微缺陷生长到一定程度后,此处便出现了宏观裂纹。损伤力学方法用热力学方法描述此不可逆的过程,通过定义损伤度场来刻画局部微缺陷的危险程度,并推导损伤演化方程表征其演化规律[6-7]

损伤演化方程通常是描述损伤度累积速率的函数形式,其中损伤参数是代表材料损伤性能特征的材料参数。一般地,损伤演化参数多于一个,即会有2个或者更多的损伤演化参数,这些参数大多数都是通过实验决定。最常用的方法是通过S-N曲线决定参数,这些参数无法直接获得,而是采用参数拟合的方式进行估算,多参数拟合的方法计算量大,并且过程较为复杂,为结果带来一定的不确定性[8-14]

本文研究目的是提出一种损伤演化方程参数确定的新方法,推导出充分利用实验数据,减少同时拟合参数个数,逐一确定损伤演化参数。

1 损伤演化方程

首先,根据损伤力学理论[5, 8],对于各向同性金属材料,定义损伤度D

(1)

式中:E为材料的弹性模量;ED为材料损伤后微缺陷造成的有损弹性模量。显然损伤度D的取值范围为0~1。当D=0时,材料无损;当D=1时,材料局部失去承载能力,产生宏观裂纹。

材料含损伤的本构方程可以表示为

(2)

式中:εij为应变分量;σkl为应力分量;Cijkl为四阶柔度张量。

损伤驱动力Y可定义为[8]

(3)

式中:ρ为材料密度;e为应变能密度。

此时,损伤演化方程可以表示为[9]

式中:N为交变载荷循环次数;Yth为损伤驱动力门槛值;YM为相应于载荷峰值的损伤驱动力;Ym为载荷谷值的损伤驱动力;αp为待定的材料常数。

特别地,对于单轴加载情况,由式(3)知:

式中:σth为损伤应力门槛值;σmax为载荷应力峰值;σmin为载荷应力谷值。当YthYm时,损伤演化方程简化为

(4)

代入单轴加载损伤驱动力表达式得

(5)

一般通过式(5)的积分形式建立载荷与寿命的关系。然后利用标准疲劳实验数据对αp这2个参数进行最小二乘法同时拟合,这种“多参数直接拟合”计算量大,对于误差十分敏感,给疲劳问题的计算带来了不必要的麻烦。

2 参数确定新方法 2.1 损伤参数p的确定

对式(5)进行积分得

(6)

式(6)等号左边取D=0和D=1为积分上下限定积分可得

(7)

观察式(7)右边非常数项,其乘积为一常量,当最大应力σmax产生微小增量Δσmax时,相应的循环次数N也将产生相应的微小负增量ΔN,即

(8)

泰勒展开式(8)右边项,消去高阶小量

(9)

整理式(9)并取极限可得

(10)
(11)

式(10)和式(11)中仅有一个未知材料损伤参数p,令对应的损伤度为1,式(10)即为S-N曲线上一点(σmaxN)的斜率,损伤参数p即可基于实验的S-N曲线通过式(10)确定。

基于材料疲劳寿命的分散性和实验误差,可在S-N曲线上取多组中值疲劳实验数据点(σmaxiNi),对式(10)两边取对数并整理后得

(12)

进一步,定义参数拟合均方差函数为

(13)

一般认为损伤参数p为材质参数,与载荷无关,故对于特定S-N曲线,p为常数。因此,p的取值应使其拟合均方差取得极小值,即

(14)

至此,综合式(10)~式(14)可计算出p值,从而实现损伤参数的单一确定。

2.2 损伤参数α的确定

参看式(5),假设材料初始无损伤,当材料产生宏观裂纹时有

假定疲劳实验数据中,同一应力下疲劳寿命N0最长的实验点对应于无初始损伤的情况,则有

(15)

由式(15)可确定损伤参数α

参照2.1节做法,为提高参数确定的准确性,可在S-N曲线上取多组距中值疲劳寿命最远的实验点N0i(对应于无初始损伤的情况),对式(15)两边取对数并整理后有

(16)

定义参数拟合均方差函数为

(17)

令参数拟合均方差取极小值,即

(18)

至此,综合式(15)~式(18)可计算出α值,从而实现了损伤参数的单一确定。

2.3 损伤参数D0的确定

如2.2节所述,在应用成组法确定材料疲劳的S-N曲线的实验中,可以假定同一应力下疲劳寿命N0最长的实验点对应于材料无初始损伤的情况。

当初始损伤度D0≠ 0时,对式(5)积分有

(19)

在2.1节和2.2节中已经确定损伤参数αp的前提下,利用式(19)可基于疲劳实验的S-N曲线确定材料的初始损伤度D0

与2.1节同理,基于材料疲劳寿命的分散性和实验误差,在同样的疲劳寿命置信度下,在S-N曲线上取多组这样对应于初始损伤度D0的实验数据点(σmaxiNi),遵循前述的处理方法,对式(19)两边取对数有

(20)

定义参数拟合均方差函数为

(21)

令参数拟合均方差取极小值,即

(22)

至此,综合式(19)~式(22)可计算在建立材料疲劳的S-N曲线的实验中,具有同样置信度的初始损伤D0

3 应用举例

本节举例说明第2节参数拟合方法的应用,选取航空工程常用的铝合金材料LC9标准板件的疲劳实验数据[15]拟合损伤参数。

超硬铝合金LC9板材标准疲劳实验的几何外形和尺寸如图 1所示,材料热处理方法为CGS1,在室温下沿轴向施加循环载荷,加载频率为160 Hz,在应力集中系数Kt分别为1、3和5时的疲劳实验数据如表 1所示。

图 1 标准试样示意图 Fig. 1 Schematic diagram of standard specimen
表 1 LC9CgSi疲劳实验数据 Table 1 Fatigue test data of LC9CgSi
Kt=1 Kt=3 Kt=5
σn/MPa lg N σn/MPa lg N σn/MPa lg N
270 4.996 4 147 4.733 5 98 4.707 0
221 5.345 6 98 5.314 1 78 5.074 4
196 5.449 2 88 5.664 5 67 5.305 7
156 5.916 7 76 5.969 8 60 5.317 8
130 6.445 8 70 5.994 1 57 5.527 3

根据表 1数据拟合S-N曲线,然后根据上述单一损伤参数确定方法分别计算pα,所得结果如表 2所示。

表 2 参数拟合结果 Table 2 Parameter fitting results
Kt p α
1 1.021 2.505 67×10-5
3 1.112 3 4.304 6×10-4
5 0.389 9 2.867×10-4

分别将表 2中3套参数代入损伤演化方程式(15),并假设初始损伤为零。拟合曲线如图 2所示,可见拟合效果良好。

图 2 实验点与拟合曲线 Fig. 2 Test point and fitting curve
4 结论

金属材料虽然各方面的性能不尽相同,但就疲劳问题而言,损伤演化的规律性有着很强的一致性,即损伤演化可用损伤驱动力的指数函数表示。因此,常规的多参数拟合也具有较好的适用性,但是,参数越多拟合结果的不确定性就越强,可能由此造成损伤演化方程对损伤描述的偏离。一般应用中,多参数拟合是最常用的方式。

1) 本文单一损伤参数确定法旨在充分利用实验(现象/曲线)的特征,在理论框架内建立损伤参数的物理含义,不仅确定参数的方法简明,拟合的计算量小,适用性更宽泛,同时可以准确地反映金属构件的疲劳性能。

2) 本文分别基于典型结构材料的标准件(棒件/板件)疲劳实验结果,进行了损伤参数的单一确定,与实验结果相比,取得了良好的一致性,也证明了本文方法的合理性和适用性。

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http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2017.0448
北京航空航天大学主办。
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刘潇潇, 王依兵, 张铮
LIU Xiaoxiao, WANG Yibing, ZHANG Zheng
一种疲劳损伤参数确定新方法
A novel method for determining fatigue damage parameters
北京航空航天大学学报, 2018, 44(6): 1253-1257
Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2018, 44(6): 1253-1257
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2017.0448

文章历史

收稿日期: 2017-07-05
录用日期: 2017-10-20
网络出版时间: 2017-11-30 14:33

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