文章快速检索  
  高级检索
有替换Ⅰ型截尾试验无失效时设备可靠性分析
赵权1, 葛红娟1,2, 张璐1, 陈舒文1, 薛建良1     
1. 南京航空航天大学 民航学院, 南京 211106;
2. 南京航空航天大学 自动化学院, 南京 211106
摘要: 针对航空电子设备有替换Ⅰ型截尾试验无失效的情形,提出了一种改进综合E-Bayesian方法用于可靠性参数的综合估计。该方法利用失效因子和自适应系数,并结合可靠性参数先验值及其经典E-Bayesian评估结果,引入失效数据,同时使用相对概率法构造失效权重模型。以航空电子设备平均寿命为目标,建立了平均寿命的改进综合E-Bayesian估计模型,并以某型变压整流器(TRU)为对象进行应用研究和方法比较分析。结果表明,提出的改进综合E-Bayesian方法具有更好的评估性能,并能够改善可靠性评定中可能出现的“冒进”问题。
关键词: 航空电子设备     可靠性     综合E-Bayesian估计     有替换Ⅰ型截尾试验     无失效数据    
Reliability analysis of equipment for zero-failure of type-Ⅰ censoring test with replacement
ZHAO Quan1, GE Hongjuan1,2, ZHANG Lu1, CHEN Shuwen1, XUE Jianliang1     
1. College of Civil Aviation, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106, China;
2. College of Automation, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106, China
Received: 2017-06-26; Accepted: 2017-08-01; Published online: 2017-10-19 11:12
Foundation item: Graduate Student Innovation Base (Laboratory) Open Foundation of NUAA (kfjj20160701)
Corresponding author. GE Hongjuan, E-mail:allenge@nuaa.edu.cn
Abstract: In this paper, an improved synthetic E-Bayesian method is proposed to estimate the reliability parameters of aviation electronic equipment for the zero-failure situation of type-Ⅰ censoring test with replacement. This method employs the failure factor and self-adaptive coefficient, which are combined with the priori value and classical E-Bayesian estimation result of the reliability parameters, to import the failure data, and then structures the corresponding failure weight model with the method of relative probability. Aimed at the mean life of the aviation electronic equipment, this paper builds the improved synthetic E-Bayesian estimation model and employs a certain type of transformer rectifier unit (TRU) as the object to make application research and method comparison analysis. The results show that the improved synthetic E-Bayesian method has better estimation performance and can ameliorate the "rash" problem that may emerge in reliability assessment.
Key words: aviation electronic equipment     reliability     synthetic E-Bayesian estimation     type-Ⅰ censoring test with replacement     zero-failure data    

可靠性是衡量航空电子设备性能的重要指标,在工业领域,通过权衡成本、时间因素,工程人员常借助有替换Ⅰ型截尾试验获取设备的失效数据,然后进行可靠性参数的定量估计。但随着设备可靠性的提高,在有限的试验中往往会出现无失效的情况。

目前,较成熟的无失效数据经典统计学分析方法包括配分布曲线法[1]、修正似然函数法[2]、等效失效数法[3]等。但这些方法只在样本数量较大时,才能得到较好的估计。

Bayesian[4-18]分析方法是近年来无失效数据可靠性分析的主流方法,其突出优点是在样本数量不大时能得到较好的估计[4]。Bayesian分析方法主要包括多层Bayesian方法[6]、E-Bayesian方法[7-10]和综合E-Bayesian方法[11-16]。多层Bayesian方法往往意味着复杂的积分运算,因而在实际应用中具有局限性。E-Bayesian方法是利用Bayesian估计在超参数空间内取数学期望,从而降低了计算复杂程度,并且当样本逐渐增大时,与多层Bayesian方法渐进等价[7]。多层Bayesian方法和E-Bayesian方法都是直接根据无失效数据对设备进行可靠性评定,在实际应用中,可能会产生“冒进”[12-13, 15-16]。为应对这一问题,综合E-Bayesian方法提出人为引入失效数据,对E-Bayesian估计结果进行多重加权处理。目前,对综合E-Bayesian方法的研究是针对无替换寿命试验出现无失效的情形,且在引入失效数据后,以经验选取递减失效权重函数[12-15],忽略了失效数据与设备性能相对量决定试验效应这一本质。

本文基于Bayesian思想和经典统计理论,提出了一种改进综合E-Bayesian方法用于有替换Ⅰ型截尾试验无失效情形下,航空电子设备可靠性参数的研究。

1 单峰共轭先验和超先验

航空电子设备寿命通常服从指数分布[8],其失效概率密度函数为

(1)

式中:λ为设备失效率;θ为设备平均寿命。

若对该类设备进行有替换Ⅰ型截尾试验,则样品失效数服从参数为ntλ的Poisson分布(nt分别为试验样品数、截尾时间)[17],此时,由文献[18]可知,失效率λ的共轭先验为伽马分布,则平均寿命θ的共轭先验为逆伽马分布,其密度函数为

(2)

式中:θ>0;ab为超参数,且a>0,b>0,

在对无失效数据的研究中,一般构造Bayesian先验为一个单调函数[8-16],但单调先验往往不符合设备实际情况。若多组试验均未发生失效,说明该型设备平均寿命相对较大,但仍是一个有限的量,因此,推断平均寿命θ的先验密度函数存在一个较大的极值点σ,当θσ时,θ的先验密度函数为增函数,当θσ时,θ的先验密度函数为减函数。对π(θ|a, b)进行一阶求导得

,求得极值点

由式(2)计算平均寿命θ的数学期望E(θ|a, b)为

(3)

为取得较大的σa值应较小,b值应较大。但b值过大,或a值过小会影响Bayesian估计的稳健性[18]。参数b应大于θ0θ0为设备平均寿命的一个先验值[19](由设备研制信息和经验下限寿命决定)。使E(θ|a, b)以b为上界,取a的超先验为区间[2, c]上的均匀分布U(2, c)。

2 平均寿命的经典E-Bayesian估计

若对设备进行k次有替换Ⅰ型截尾试验,获得无失效数据(ni, ti),i=1, 2, …, k,则θ的似然函数为

(4)

式中:niti分别为第i次试验的样品数和截尾时间。

根据Bayesian理论,由式(2)和式(4)求得θ的后验分布为

(5)

在平方损失函数下,θ的Bayesian估计为后验均值[18]

(6)

a的先验分布为U(2, c)时,θ的经典E-Bayesian估计(未引入失效数据)为

(7)
3 改进综合E-Bayesian方法 3.1 引入失效数据后平均寿命的E-Bayesian估计模型

现假设进行第k+1次有替换Ⅰ型截尾试验,试验样品数和截尾时间分别为nk+1tk+1,试验期间共出现了r次失效,则r服从参数为nk+1·tk+1/θ的Poisson分布:

(8)

式中:r∈[0, +∞),且r为整数。

考虑全部k+1次试验,则θ的似然函数为

(9)

根据式(2)和式(9),可得引入失效信息后θ的后验分布为

(10)

则在平方损失函数下,θ的Bayesian估计为

(11)

a的先验分布为U(2, c),则引入失效数据后,θ的E-Bayesian估计为

(12)

从式(9)和式(12)中可以看出,真正起作用的失效数据是样本容量nk+1tk+1和失效数r

3.2 失效数据引入方法和失效权重模型

在Bayesian理论中,θ被视为一个服从某一分布的自由变量,通过风险最小原则进行决策获得点估计。当θ被看作一个自由变量时,对于给定样本(nk+1, tk+1),将难以推断试验效能。本文利用经典统计思想,在确定失效数据时,将θ视作一个未知常数(从Bayesian理论上来讲,就是一个待定决策),并定义g=nk+1tk+1/θ为失效因子,则nk+1tk+1=g可以被视为样本容量nk+1tk+1的一个量度。

由于θ实际上是一个待估量,使用加权模型替代θ计算nk+1tk+1,这一过程相当于Bayesian估计的迭代过程。nk+1tk+1的初始计算模型可以表示为

(13)

式中:β为自适应系数。

β的约束下,先验值和经典E-Bayesian评估结果组成的加权模型,将有助于改善对可靠性参数的评估性能。

此外,在Bayesian方法中,先验分布超参数对可靠性评定具有不可忽视的影响。根据本文第1节分析可知,b值过大或c值过小会使Bayesian估计的稳健性变差,当仅利用无失效数据进行可靠性评定时,可能会造成“冒进”现象。因此,希望β(的权)为b的减函数、c的增函数。参数b的取值与θ0相关,以b/θ0b值的大小进行衡量,构造β与(1-β)的关系为,则

(14)

由第1节分析可知,b/θ0>1,c>2,考虑到Bayesian估计的稳健性,有意限定1<b/θ0≤10,同时考虑到可能的“冒进”问题,倾向β≤1-β,则cb/θ0,可得2<cb/θ0≤10。nk+1tk+1的最终计算模型为

(15)

式中:2<cb/θ0≤10。

由式(12)和式(15)可得

(16)

根据式(8),失效数r的离散概率分布函数可以表示为

(17)

由Poisson分布性质可知,失效数r的期望和方差为E(r)=D(r)=g,同时r=g*(g*为不大于g的最大整数)是P(r)的一个极大值点。由于r是区间[0, +∞)上的未知整数,本文在g值附近,考虑r的1-α(0<α≤0.1)置信水平的置信区间Φ1-α=[rL, rU]作为r的近似取值空间,rLgrUrLrU皆为不小于0的整数:

1) 当g=g*P(0≤r≤2g*)≥1-α时,g*=(rL+rU)/2。

2) 当gg*P(0≤r≤2g*+1)≥1-α时,g*=(rL+rU-1)/2。

3) 当g=g*P(0≤r≤2g*)<1-α,或gg*P(0≤r≤2g*+1)<1-α时,rL=0。

由于失效数r的可能值具有非唯一性,在区间Φ1-α上,使用相对概率法构造失效权重ω(r|g)对式(16)进行加权。ω(r|g)数学模型表示为

(18)

式中:rΦ1-α,且r为整数。

3.3 失效因子取值模型

由3.2节可知,失效因子g可以视作nk+1tk+1的一个量度,相应地,区间Φ1-α和权重函数ω(r|g)可以看作是第k+1试验g的模糊效应。由式(17)可知,E(r)=D(r)=g,当给定置信水平1-α(0<α≤0.1)时,随着g的减小,r的近似取值空间Φ1-α将收缩并最终收敛于r=0,这将使g失去作为失效数据源的意义。用gL表示g的这一临界值(当ggL时,g失去其本质意义),则P(r=0|g=gL)=1-α,可得gL=-ln(1-α)。

g的取值应考虑置信水平的主观选择,另一方面又受gL约束(应远大于gL,但考虑无失效情形,仍应保守取值),又因为gL由置信水平1-α决定,因此以gL为中间量,确定g的取值模型。本文采用引入常系数的方法,令

(19)

式中:0<α≤0.1。可以看出,g的取值模型是置信水平1-α的减函数,这意味着当选取了较高的置信水平时,g值会较小,并试图压缩r的取值空间,从而有利于工程应用。

3.4 平均寿命的改进综合E-Bayesian估计模型

根据第2节及3.1节~3.3节的分析,建立有替换Ⅰ型截尾试验无失效情形下,航空电子设备平均寿命的改进综合E-Bayesian估计模型为

(20)

式中:2<cb/θ0≤10,1-α为区间Φ1-α的置信水平,0<α≤0.1。

4 应用与比较 4.1 方法应用

以C919飞机102架机试飞测试设备供电系统中的变压整流器(TRU)为对象,进行本文方法的应用研究。该型变压整流器样机和原理图分别如图 1图 2所示。

图 1 变压整流器样机 Fig. 1 Prototype of TRU
图 2 变压整流器原理图 Fig. 2 Schematic diagram of TRU

该型变压整流器的多组有替换Ⅰ型截尾试验数据见表 1,试验中无故障发生。

表 1 变压整流器无失效试验数据 Table 1 Zero-failure test data of TRU
i ti/h ni
1 58 1
2 134 1
3 204 2
4 262 1
5 324 2
6 368 2

在置信水平1-α=0.9的条件下,求得g=-10ln0.9,Φ0.9=[0, 3]。

变压整流器研制保证等级为C级,失效率数量级为10-5,取θ0=105 h,由于2<cb/θ0≤10,在不同的bc取值条件下,由式(20)计算变压整流器平均寿命估计值,计算结果见表 2

表 2 变压整流器平均寿命的改进综合E-Bayesian估计 Table 2 Improved synthetic E-Bayesian estimation for mean life of TRU
105h
b/θ0 c=3 c=3.5 c=4 c=4.5 c=5 Δ
6.0 3.662 9 3.327 0 3.061 1 2.841 9 2.656 0 1.006 9
6.5 3.892 4 3.537 2 3.257 2 3.027 0 2.832 2 1.060 2
7.0 4.121 0 3.745 9 3.451 2 3.209 5 3.005 6 1.115 4
7.5 4.349 4 3.953 7 3.643 6 3.390 1 3.176 6 1.172 8
8.0 4.577 7 4.160 9 3.835 1 3.569 4 3.346 0 1.231 7
Δ 0.914 8 0.833 9 0.774 0 0.727 5 0.690 0

根据GJB/Z 299C—2006[20],该型变压整流器工作在最大限制温度(70℃)条件时,最大临界应力和额定应力下的平均寿命预计分别为1.035 2×105 h和4.651 1×105 h,可以认为表 2中的估计结果是可接受的。此外,观察表 2可以发现,极差与bc的取值有关(b值的大小以b/θ0进行衡量),b值越大,极差越大,而c值越大时,极差越小,这与本文第1节中对超参数的分析一致。

4.2 与经典E-Bayesian估计的比较

由于传统综合E-Bayesian方法不适用有替换寿命试验出现无失效的情形,故将经典E-Bayesian方法与本文提出的改进综合E-Bayesian方法进行应用比较。在相同的参数取值条件下,由式(7)可算得变压整流器平均寿命的E-Bayesian估计值,计算结果见表 3。同时,为了更直观地比较2种方法的实际应用效果,绘制了如图 3所示的变压整流器平均寿命估计值三维图。

表 3 变压整流器平均寿命的E-Bayesian估计 Table 3 E-Bayesian estimation for mean life of TRU
105h
b/θ0 c=3 c=3.5 c=4 c=4.5 c=5 Δ
6.5 4.521 0 3.984 3 3.582 8 3.268 4 3.014 0 1.507 0
7.0 4.867 6 4.289 7 3.857 5 3.519 0 3.245 1 1.622 5
7.5 5.214 2 4.595 2 4.132 1 3.769 5 3.476 1 1.738 1
8.0 5.560 7 4.900 6 4.406 8 4.020 1 3. 707 2 1.853 5
Δ 1.386 2 1.221 7 1.098 6 1.002 2 0.924 2

图 3 变压整流器平均寿命估计 Fig. 3 Estimation for mean life of TRU

图 3中可以看出,在参数取值范围内,当b值(以b/θ0进行衡量)较小、c值较大时,2种估计结果比较接近,都在接受的范围内。但经典E-Bayesian方法对b值和c值的变化更加敏感,当b值较大、c值较小时,将明显大于,并且传递出一种较强的“冒进”信息,说明改进综合E-Bayesian方法具有更稳定的评估性能,也反映出经典E-Bayesian方法在稳健性上的不足。

为了更直观地比较2种估计方法的稳健性,绘制了如图 4所示的变压整流器平均寿命估计值极差曲线。图中:Δ表示改进综合E-Bayesian估计值极差;Δ表示经典E-Bayesian估计值极差。可以看出,当bc取值变化时,利用改进综合E-Bayesian方法得到的变压整流器平均寿命估计值极差更小,极差曲线变化更加平缓,说明本文方法具有更好的超参数选择稳健性,能够一定程度上改善可靠性评定中可能出现的“冒进”问题。综合图 3图 4,可以认为本文提出的改进综合E-Bayesian方法要优于经典E-Bayesian方法。

图 4 变压整流器平均寿命估计值极差曲线 Fig. 4 Range curves of estimation values for mean life of TRU
5 结论

1) 本文针对有替换Ⅰ型截尾试验,研究了一种改进综合E-Bayesian方法用于航空电子设备无失效数据下,可靠性参数的综合估计,通过实际应用和比较分析,表明了该方法是正确有效的。由于现有综合E-Bayesian方法仅适用于无替换寿命试验出现无失效的情形,本文方法可视作为对现有综合E-Bayesian方法的补充和改进。

2) 在引入失效数据时,以可靠性参数先验值和经典E-Bayesian估计作为输入,并利用自适应系数进行关系约束,提高了参数估计准确性。在自适应系数的约束下,可靠性参数先验值和经典E-Bayesian估计可以实现一定程度互补,以避免单个量的选择失误对估计结果造成较大影响。改进综合E-Bayesian方法估计的准确性主要受上述2个量以及先验分布超参数的影响,但由于可靠性参数先验值往往更可控,因此必须重视对产品研制信息和经验数据的获取和分析,这些信息和数据也有助于对超参数取值的合理性进行判断。

3) 改进综合E-Bayesian方法表现出较强的超参数选择稳健性,其中一部分得益于自适应系数的随动调节作用,这意味着在超参数的选择上,可以一定程度地包容人为主观失误,因而有助于改善可靠性评定中可能出现的“冒进”问题。

4) 在有替换试验的情况下,为获得可用的失效数取值空间,本文方法根据分布数字特征,采用置信区间近似,牺牲了小部分准确性,但由于上述其他因素的作用,使得最终结果仍是可接受的;此外,本文使用相对概率法构造失效权重模型,这与大样本条件下对试验效应的期望一致。

5) 本文提出的改进综合E-Bayesian方法是Bayesian方法与经典统计理论的结合,不仅可以用于航空电子设备,也可用于其他寿命服从指数分布的设备在有替换Ⅰ型截尾试验无失效情形下的可靠性分析和研究工作。

参考文献
[1] WANG X, SHEN J. Reliability estimate of ships life based on zero-failure data[C]//5th International Joint Conference on Computational Sciences and Optimization. Piscataway, NJ: IEEE Press, 2012: 280-282.
[2] ZHONG J M, ZHENG H Y. The reliability estimation of double-parameter exponential distribution on zero-failure data[J]. Advanced Materials Research, 2013, 605-607 : 769–774.
[3] YIN Y C, LIU J F, WU X H, et al. An E-Bayesian estimation for reliability assessment of a success-failure type device[C]//International Conference on Quality, Reliability, Risk, Maintenance, and Safety Engineering. Piscataway, NJ: IEEE Press, 2013: 316-319.
[4] 赵宇, 杨军, 马小兵. 可靠性数据分析教程[M]. 北京: 北京航空航天大学出版社, 2009: 205-218.
ZHAO Y, YANG J, MA X B. Tutorial of reliability data analysis[M]. Beijing: Beihang University Press, 2009: 205-218. (in Chinese)
[5] HAN L, JIANG P, YU Y, et al. Bayesian reliability evaluation for customized products with zero-failure data under small sample size[C]//International Conference on Reliability, Maintainability and Safety. Piscataway, NJ: IEEE Press, 2014: 904-907.
[6] ZHU T, YAN Z, PENG X. A Weibull failure model to the study of the hierarchical Bayesian reliability[J]. Eksploatacja i Niezawodnosc-Maintenance and Reliability, 2016, 18 (4): 501–506. DOI:10.17531/ein
[7] HAN M. Estimation of reliability derived from binomial distribution in zero-failure data[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University (Science), 2015, 20 (4): 454–457. DOI:10.1007/s12204-015-1648-1
[8] YIN Y C, HUANG H Z, PENG W, et al. An E-Bayesian method for reliability analysis of exponentially distributed products with zero-failure data[J]. Eksploatacja i Niezawodnosc-Maintenance and Reliability, 2016, 18 (3): 445–449. DOI:10.17531/ein
[9] CAI Z Y, CHEN Y X, XIANG H C, et al. Method for evaluation of weight expected-Bayesian reliability based on zero-failure data[J]. Systems Engineering & Electronics, 2015, 37 (1): 219–223.
[10] LI J, GUO W, ZHANG L, et al. Reliability analysis of an electric control system based on type Ⅰ censored test zero-failure data using Bayesian methods[C]//International Conference on Quality, Reliability, Risk, Maintenance, and Safety Engineering. Piscataway, NJ: IEEE Press, 2013: 1160-1163.
[11] 韩明. 液压泵的可靠性分析[J]. 机械工程学报, 2002, 38 (1): 101–104.
HAN M. Reliability analysis of a hydraulic pump[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2002, 38 (1): 101–104. (in Chinese)
[12] 韩明. 产品无失效数据的综合处理[J]. 机械工程学报, 2003, 39 (2): 129–132.
HAN M. Synthesized process for zero-failure data of the pro-ducts[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2003, 39 (2): 129–132. (in Chinese)
[13] 韩明, 丁元耀. 失效率的综合E-Bayes估计[J]. 数学物理学报, 2005, 25A (5): 678–684.
HAN M, DING Y Y. Synthetic expected Bayesian estimation of the failure rate[J]. cta Mathematica Scientia, 2005, 25A (5): 678–684. (in Chinese)
[14] 郭金龙. 基于无失效数据船体可靠性的研究[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工程大学, 2009.
GUO J L. Researches on reliability of hull life based on zero-failure data[D]. Harbin: Harbin Engineering University, 2009(in Chinese). http://cdmd.cnki.com.cn/article/cdmd-10217-2009154501.htm
[15] 刘永峰. Bayes方法在无失效数据可靠性中的若干应用[D]. 温州: 温州大学, 2011.
LIU Y F. Some applications of Bayes method in the study for the reliability of zero-failure data[D]. Wenzhou: Wenzhou University, 2011(in Chinese). http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10351-1011215511.htm
[16] 徐天群, 刘焕彬, 陈跃鹏. 无失效数据情形失效率的综合E-Bayes估计[J]. 数理统计与管理, 2011, 30 (4): 644–654.
XU T Q, LIU H B, CHEN Y P. Synthetic expected Bayesian estimation of failure rate in the case of zero failure data[J]. Application of Statistics and Management, 2011, 30 (4): 644–654. (in Chinese)
[17] 宋保维. 系统可靠性设计和分析[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2008.
SONG B W. System reliability design and analysis[M]. Xi'an: Northwestern Polytechnic University Press, 2008. (in Chinese)
[18] 韦来生, 张伟平. 贝叶斯分析[M]. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2013.
WEI L S, ZHANG W P. Bayesian analysis[M]. Hefei: Press of University of Science and Technology of China, 2013. (in Chinese)
[19] Al-HEMYARI Z A, Al-DOLAMI J A. Two modified estimators of reliability function with exponential failure model based on prior information and time-censored data[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part O:Journal of Risk & Reliability, 2014, 228 (6): 578–589.
[20] 中国人民解放军总装备部. 电子设备可靠性预计手册: GJB/Z 299C-2006[S]. 北京: 中国人民解放军总装备部, 2006.
General Armament Department of PLA. Reliability prediction handbook for electronic equipment: GJB/Z 299C-2006[S]. Beijing: General Armament Department of PLA, 2006(in Chinese).
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2017.0427
北京航空航天大学主办。
0

文章信息

赵权, 葛红娟, 张璐, 陈舒文, 薛建良
ZHAO Quan, GE Hongjuan, ZHANG Lu, CHEN Shuwen, XUE Jianliang
有替换Ⅰ型截尾试验无失效时设备可靠性分析
Reliability analysis of equipment for zero-failure of type-Ⅰ censoring test with replacement
北京航空航天大学学报, 2018, 44(6): 1246-1252
Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2018, 44(6): 1246-1252
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2017.0427

文章历史

收稿日期: 2017-06-26
录用日期: 2017-08-01
网络出版时间: 2017-10-19 11:12

相关文章

工作空间