﻿ 基于拉普拉斯变换的空间目标碰撞概率计算方法<sup>*</sup>
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1. 装备学院航天装备系, 北京 101416;
2. 装备学院航天指挥系, 北京 101416

Computation method of collision probability of space object based on Laplace transformation
HUO Yurong1, LI Zhi2, HAN Lei2
1. Department of Space Equipment, Equipment Academy, Beijing 101416, China;
2. Department of Space Command, Equipment Academy, Beijing 101416, China
Received: 2017-04-26; Accepted: 2017-07-21; Published online: 2017-09-04 16:04
Foundation item: National High-tech Research and Development Program of China (2015SQ704102)
Corresponding author. LI Zhi, E-mail: lizhizys000@163.com
Abstract: The collision probability of space object is an important information for judging whether a collision occurs in the space debris collision warning, and is important for the maneuvering avoidance of the spacecraft. Based on the Laplace transformation and the definition of the power series, the collision probability calculation method and the collision probability expression expressed by the power series in the short-term encounter were discussed. The truncation error in the form of power series was determined and the number of terms of power series was analyzed under different precision requirements. The results of collision probability calculation based on Laplace transformation are compared with those of Chan method and Monte Carlo method for 2009 US-Russian satellite collision event. The validity of Laplace transformation method and the advantage of computing accuracy are verified.
Key words: space debris     collision warning     collision probability     Laplace transformation     power series

Monte Carlo方法以及Foster和Estes[2]提出的数值方法可以得到精度较高的碰撞概率结果但是计算速度较慢。Chan[5-6]解析方法计算速度快，但精度劣于数值方法。解析方法中比较经典的为Chan方法，根据文献[7]中对该方法的精度分析，在概率密度函数(Probability Density Function，PDF)接近圆分布时，能够较好地近似碰撞概率的真实值。但在PDF分布椭圆的长短轴之比较大时，误差较大，并且由于该方法对积分域进行了近似，导致近似积分模型与原积分模型产生了无法准确衡量的偏差。

1 碰撞概率计算的基本方法 1.1 碰撞概率计算假设

1) 由于2个目标的相遇时间非常短，可将相遇期间内2个目标的相对运动视为速度恒定的线性运动。

2) 在碰撞时，目标的相对速度非常大，并且碰撞时间很短，因此，可以忽略2个目标速度的不确定性。

3) 2个目标的位置误差互不关联。

4) 在2个目标间的相对运动过程中，相遇时间非常短，因此认为误差椭球在相遇期间内保持不变。

5) 2个空间目标均等效为半径已知的球体。

6) 由于2个目标的误差都是随机的，可以认为2个目标的位置误差都服从三维高斯分布。

1.2 相遇坐标系与位置误差的投影

1.2.1 相遇坐标系

 图 1 相遇坐标系示意图 Fig. 1 Schematic diagram of encounter coordinate system

3个轴的单位矢量可表示为

 (1)

1.2.2 位置误差的投影

 (2)

 (3)

 图 2 联合圆域和联合误差椭圆域示意图 Fig. 2 Schematic diagram of combined disk and combined error ellipse
1.3 碰撞概率计算的简化

 (4)

 (5)
2 基于拉普拉斯变换的碰撞概率计算模型 2.1 计算流程

1) 将由式(5)表示的二维PDF积分公式重写为g(λ)，其中λ=R2，函数g(λ)的拉普拉斯变换Lg在闭合域内进行。将Lg进行泰勒展开，然后使用拉普拉斯逆变换将原始的积分函数写成幂级数的形式。

2) 计算得到幂级数的相关系数。

3) 得到碰撞概率计算结果。

2.2 拉普拉斯变换与幂级数表达式

2.2.1 拉普拉斯变换

 (6)

2.1节因为把原二重积分公式重写为了函数g(λ)，所以若要求解原积分公式的拉普拉斯变换，首先需求得函数g(λ)的拉普拉斯变换。由拉普拉斯变换定理可得函数g(λ)的拉普拉斯变换为

 (7)

 (8)

 (9)

 (10)

 (11)

 (12)

 (13)

 (14)

2.2.2 幂级数表达式

Lh(s－1)的值定义为

 (15)

 (16)

Hh(0)=a0以及式(16)可知，Hh(s)在复平面内是复可微的，根据幂级数的定义[14]Hh(s)可展开为幂级数的形式。幂级数的求解复杂，因此使用了Maple数学工具(世界上最为通用的数学工具之一，如MATLAB、Mathematica等，可在www.maplesoft.com下载)对其进行系数的求值。根据Hh(s)=s－2Lh(s－1)，可知Lh(s)的幂级数形式为

 (17)

 (18)

 (19)

 (20)

 (21)
3 截断误差与幂级数项数的确定 3.1 截断误差

 (22)

 (23)

 (24)

 (25)
3.2 幂级数项数的确定

 (26)

 (27)

 (28)

Dd，通过计算可知

 (29)

 (30)

n+1=n1，由于n1≥1，则式(30)中的最后一个不等式可写为

 (31)

 (32)

 图 3 幂级数项数随概率门限值的变化 Fig. 3 Variation of number of terms of power series with probability threshold

 图 4 幂级数项数随概率门限值以及联合圆域有效半径的变化 Fig. 4 Variation of number of terms of power series with probability threshold and radius of combined disk

4 碰撞实例仿真验证

 km/s 目标 x y z 主目标 -1 457.353 760 1 589.546 912 6 814.195 621 从目标 -1 457.572 590 1 589.024 470 6 814.313 123

 km/s 目标 vx vy vz 主目标 -7.001 700 -2.439 510 -0.926 295 从目标 3.578 697 -6.172 823 2.200 328

4.1 不同误差椭球分布下的碰撞概率变化

 图 5 不同球形分布下碰撞概率的变化趋势 Fig. 5 Change trend of collision probability under different spherical distribution

4.2 不同方法的碰撞概率计算结果比较

 目标 σR/km σS/km σW/km 主目标 0.231 207 0.206 188 5 0.071 975 从目标 0.036 323 4 0.410 206 9 0.034 114

 图 6 3σ联合误差椭圆和碰撞圆域 Fig. 6 3σ combined error ellipse and collision disk

 k Pk/10-4 1 1.817 439 461 411 834 2 1.828 466 082 330 511 3 1.828 488 389 607 843 4 1.828 488 412 175 072 5 1.828 488 412 188 786 6 1.828 488 412 188 801 7 1.828 488 412 188 806 8 1.828 488 412 188 808 9 1.828 488 412 188 809 10 1.828 488 412 188 809

 k Pk/10-4 Sk 1 1.772 573 705 611 427 8.291 431 627 403 867×10-7 2 1.815 996 175 328 694 2.031 139 453 405 921×10-8 3 1.817 048 378 909 693 3.317 101 046 456 115×10-10 4 1.817 052 720 190 974 4.062 926 108 033 688×10-12 5 1.817 053 331 566 511 3.981 155 431 361 421×10-14 6 1.817 053 372 236 674 3.250 858 729 893 972×10-16 7 1.817 053 375 065 217 2.275 308 404 578 399×10-18 8 1.817 053 375 264 924 1.393 447 138 227 291×10-20 9 1.817 053 375 279 203 7.585 569 687 077 649×10-23 10 1.817 053 375 280 234 3.716 451 044 970 535×10-25

 方法 碰撞概率 Monte Carlo 0.000 181 848 841 218 880 Chan 0.000 182 848 841 218 880 9 拉普拉斯变换 0.000 181 705 337 528 023 4

 方法 相对误差/% Chan 0.549 9 拉普拉斯变换 0.078 9

4.3 计算精度需求对幂级数项数的影响分析

 -lg Dd n Pc Sn 4 3 0.000 181 704 837 890 969 3 9.122 027 877 754 318×10-10 5 6 0.000 181 705 337 223 667 4 5.108 492 289 833 384×10-16 6 9 0.000 181 705 337 527 920 3 8.344 126 655 785 414×10-23

4.4 基于拉普拉斯变换方法与Chan方法的计算时间比较

Monte Carlo方法是数值方法之一，由于数值方法没有简化，所以精度高，但是计算速度慢。因此本节只对解析方法中的Chan方法和拉普拉斯变换方法的计算时间进行实验比较，以验证拉普拉斯变换方法在计算速度上的优势。

 图 7 Chan方法和拉普拉斯变换方法的计算时间结果 Fig. 7 Results of computation time of Chan and Laplace transformation methods

5 结论

1) 基于拉普拉斯变换的碰撞概率计算方法将概率密度函数的积分公式转换到复平面内进行计算，再通过拉普拉斯逆变换并使用Maple数学工具将原积分公式表示为幂级数形式，这使得原本在实数域中计算较复杂的问题变得简单和易理解。

2) 通过对幂级数项数的确定，可以在保证计算精度的条件下，提高碰撞概率的计算速度。

3) 针对美俄卫星碰撞实例，将基于拉普拉斯变换方法的碰撞概率计算结果与Chan方法和高精度的基于Monte Carlo数值方法的概率计算结果进行比较。结果表明，基于拉普拉斯变换的碰撞概率计算方法与Chan方法相比，能够避免积分域的近似，在计算精度上有所提高，能够满足碰撞预警的精度要求。

 [1] ALFANO S. Satellite conjunction Monte Carlo analysis[J]. Advances in the Astronautical Sciences, 2009, 134 : 2007–2024. [2] FOSTER J L, ESTES H S. A parametric analysis of orbital debris collision probability and maneuver rate for space vehicles: NASA/JSC-25898[R]. Houston: NASA Johnson Space Flight Center, 1992. [3] PATERA R P. General method for calculating satellite collision probability[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2001, 24 (4): 716–722. DOI:10.2514/2.4771 [4] ALFANO S. Satellite collision probability enhancements[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2006, 29 (3): 588–592. DOI:10.2514/1.15523 [5] CHAN F K. Collision probability analysis for earth orbiting satellites[J]. Advances in the Astronautically Sciences, 1997 (96): 1033–1048. [6] CHAN F K. Spacecraft collision probability[M]. El Segundo, CA: Aerospace Press, 2008. [7] 陈磊, 韩蕾, 白显宗, 等. 空间目标轨道力学与误差分析[M]. 长沙: 国防科技大学出版社, 2010: 178-180. CHEN L, HAN L, BAI X Z, et al. Orbit target orbit mechanics and error analysis[M]. Changsha: National University of Defense Technology Press, 2010: 178-180. (in Chinese) [8] SERRA R, ARZELIER D, JOLDES M, et al. Fast and accurate computation of orbital collision probability for short-term encounters[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2016, 39 (5): 1–13. [9] ALFRIEND K T., AKELLAM R, FRISBEE J, et al. Probability of collision error analysis[J]. Space Debris, 1999, 1 (1): 21–35. DOI:10.1023/A:1010056509803 [10] AKELLA M R, ALFRIEND K T. Probability of collision between space objects[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2000, 23 (5): 769–772. DOI:10.2514/2.4611 [11] ALFANO S. A numerical implementation of spherical object collision probability[J]. Journal of the Astronautical Sciences, 2005, 53 (1): 103–109. [12] CHEVILLARD S, MEZZAROBBA M. Multiple-precision evaluation of the Airy Ai function with reduced cancellation[C]//21st IEEE Symposium on Computer Arithmetic (ARITH). Piscataway, NJ: IEEE Press, 2013: 175-182. [13] GAWRONSKI W, MVLLER J, REINHARD M. Reduced cancellation in the evaluation of entire functions and applications to the error function[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis, 2007, 45 (6): 2564–2576. DOI:10.1137/060669589 [14] HACKBUSCH W, SCHWARZ H R. Teubner-taschenbuch der mathematik[M]. Berlin: Springer, 2013: 595. [15] 李甲龙, 熊建宁, 许晓丽, 等. 碰撞风险评估标准适用性分析[J]. 天文学报, 2014, 55 (5): 404–414. LI J L, XIONG J N, XU X L, et al. A research on adaptability of collision criteria[J]. Acta Astronomica Sinica, 2014, 55 (5): 404–414. (in Chinese)

#### 文章信息

HUO Yurong, LI Zhi, HAN Lei

Computation method of collision probability of space object based on Laplace transformation

Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2018, 44(4): 810-819
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2017.0263