﻿ 一种带移动副平面六连杆机构分支识别方法<sup>*</sup>
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1. 湖北工业大学机械工程学院, 武汉 430068;
2. 北京航空航天大学机械工程及自动化学院, 北京 100083

A method for branch identification of planar six-bar linkages with sliding pairs
GONG Yajing1, WANG Jun1, WANG Quan1, BI Shusheng2, REN Jun1, SUN Jinfeng1
1. School of Mechanical Engineering, Hubei University of Technology, Wuhan 430068, China;
2. School of Mechanical Engineering & Automation, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100083, China
Received: 2017-03-14; Accepted: 2017-04-13; Published online: 2017-05-18 17:33
Foundation item: National Natural Science Foundation of China (51405140, 51675015); Hubei Provincial Natural Science Foundation of China (2015CFA112); Outstanding Young Science and Technology Innovation Team Project of Hubei Provincial Department of Education (T201505)
Corresponding author. WANG Jun, E-mail:junwang@mail.hbut.edu.cn
Abstract: The identification of branch, motion defect and range of motion of the planar six-bar linkages with sliding pairs is an important indicator for motion characteristics of linkages. Firstly, this paper divides the planar six-bar linkages with two sliding pairs or three sliding pairs into four-bar chain or five-bar chain. B-ring in Euler's formula and trigonometric substitution method, the specific configurations (including branch points and dead points) of the planar linkages with sliding pairs in their limit positions, input and output relationship and joint rotation space are obtained. Secondly, this paper combines two chains and proposes a method for the branch identification of planar six-bar linkages with two or three sliding pairs. Finally, this paper verifies the proposed method with examples of planar six-bar linkages with two and three sliding pairs. The branches, dead points and the specific angles of joints in limit positions of the two mechanisms are calculated. The proposed method gives a convenient and effective way for the automatic branch identification of planar linkages with sliding pairs.
Key words: sliding pairs     planar six-bar linkages     limit position     branch     joint rotation space

1 带移动副四环链死点识别

 图 1 带2个移动副平面六连杆机构 Fig. 1 Planar six-bar linkage with two sliding pairs
 图 2 带3个移动副平面六连杆机构 Fig. 2 Planar six-bar linkage with three sliding pairs

 (1)

 (2)
 (3)

 (4)

θ2θ3为输入、输出参数时，式(4)表示θ2θ3输入-输出关系模型，利用半角公式x3=tan(θ3/2)，令sinθ3=2x3/(1+x32)，cosθ3=(1－x32)/(1+x32)，代入式(4)中，简化可得一个一元二次式，即

 (5)

P1≠0时，若要带移动副四环链型存在，即x3存在解，则式(5)必须满足：

 (6)

 (7)

 图 3 AB杆处于极限位置的2种构型 Fig. 3 Two configurations of AB bar in limit positions

1) A1=0且A2≠0，即a3=a2sin(θ2α2)+a1sin α2，可根据等式得到死点处AB杆的具体位置，BC杆垂直于滑块1的导路s1，其中，0 < θ2 < α2+π，θ4=±π/2+α2，滑块在D点处导路的上方。

2) A2=0且A1≠0，即a3=－a2sin(θ2α2)－a1sin α2，可根据等式得到死点处AB杆的具体位置，BC杆也垂直于滑块1的导路s1，其中，α2+π≤θ2 < 2π，θ4=±π/2+α2，滑块在D点处导路的下方。

 (8a)
 (8b)
2 带移动副五环链的关节旋转空间

2.1 带1个移动副五环链机构

 (9)

 (10a)
 (10b)

 (11)

 (12)

P2≠0，式(12)有解必须满足：

 (13)

 (14)

 (15a)
 (15b)

 图 4 EF杆处于极限位置的2种构型 Fig. 4 Two configurations of EF bar in limit positions

1) B1=0且B2≠0, 即a5=(a1+a7)sin α1+a2sin(θ2α1)+a4sin(θ3+βα1)，可根据等式得到在死点处EF杆的具体位置，其中，θ5=±π/2+α1，此时，EF杆垂直于移动副2的运动导路GF且移动副2在G点处导路的上方。

2) B2=0且B1≠0，即a5=－(a1+a7)sin α1a2sin(θ2α1)－a4sin(θ3+βα1)，同样可根据等式得到死点处EF杆的具体位置，同样，θ5=±π/2+α1，但EF垂直于滑块2的运动导路GF且移动副2在G点处导路的下方。

 (16a)
 (16b)

2.2 带2个移动副五环链机构

 (17)

 (18a)
 (18b)

 (19)

s3为未知数，式(19)的判别式为

 (20)

3 分支识别方法 3.1 带2个移动副平面六连杆机构分支识别方法

 图 5 带2个移动副平面六连杆机构分支识别流程 Fig. 5 Flowchart of branch identification of planar six-bar linkage with two sliding pairs

 图 6 带2个移动副平面六连杆机构分支曲线 Fig. 6 Curve of branches of planar six-bar linkage with two sliding pairs

1) 死点a在关节旋转空间的阴影范围内，整个机构运动过程中，此死点是存在的，将1-4分支分成2个子分支1-a以及a-4。

2) 死点b不在关节旋转空间的阴影范围内，机构在运动过程中，并不能达到1-2曲线，因此b在此参数的带移动副平面六连杆机构中不存在。

3.2 带3个移动副平面六连杆机构分支识别方法

3.3 带移动副平面六连杆机构雅可比矩阵分析法

 (21)

 (22)

4 实例 4.1 带2个移动副平面六连杆机构分支及死点判断实例

 参数 数值 a1 2.4 a2 5.5 a3 4.8 a4 4.2 a5 2.5 a7 2.4 β/(°) 45 α1/(°) 30 α2/(°) 50

 图 7 带2个移动副平面六连杆机构实例的分支曲线 Fig. 7 Curve of branches of planar six-bar linkage with two sliding pairs

 分支点 θ2/(°) θ3/(°) θ4/(°) θ5/(°) 1 -161.4 -28.6 16.4 120 2 -141.6 -92.2 -47.2 -60 3 -105.5 55.3 100.3 120 4 -15.6 91.3 136.3 120 5 7.9 -152.7 -107.7 -60 6 72.6 -74.6 -29.6 120

 死点 θ2/(°) θ3/(°) θ4/(°) θ5/(°) b[1] -162.7 -40.0 10.0 163.9 b[2] -162.7 -40.0 10.0 77.5

4.2 带3个移动副平面六连杆机构分支及死点判断实例

 参数 数值 a1 3 a2 6 a3 5.2 a4 5 a7 4 β/(°) 50 γ/(°) 30 α1，α2/(°) 30

 死点 θ2/(°) θ3/(°) θ4/(°) a -78.9 -40.0 10.0 b -158.9 -40.0 10.0

4.3 基于雅可比矩阵分析法的带移动副平面六连杆机构分支判断实例

 参数 位置1 位置2 θ2/(°) -50 10 B (3.54, -4.21) (5.42, 0.96) E (2.94, -0.06) (1.75, -1.10) F (1.32, 1.85) (-0.12, -2.97) Δ4 0.25 -0.34

 图 8 带2个移动副平面六连杆机构Δ4随θ2变化曲线 Fig. 8 Change of Δ4 with θ2 for planar six-bar linkage with two sliding pairs

5 结论

1) 根据欧拉公式，消去移动副移动距离对环路的影响，得到机构在极限位置的具体构型。

2) 结合三角换元法和判别式法，得到机构极限位置各个关节的具体角度，为带移动副平面六连杆机构的设计与制造提供了一定的理论基础。

3) 2个链路的结合(四环链和五环链)可准确得到抑制机构运动移动副六连杆链的分支点、死点，并得到机构的运动分支及所有分支的具体运动范围。通过实例验证及与雅可比矩阵分析法比较，得到本文方法能判断一定参数下的带移动副平面六杆机构的运动缺陷和运动顺序，以及2种方法各自的侧重点和优缺点，有助于探讨多环平面机构的一般研究方法。

#### 文章信息

GONG Yajing, WANG Jun, WANG Quan, BI Shusheng, REN Jun, SUN Jinfeng

A method for branch identification of planar six-bar linkages with sliding pairs

Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2018, 44(3): 645-652
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2017.0151