超流体量子干涉陀螺热驱动方式建模与分析<sup>*</sup>
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超流体量子干涉陀螺热驱动方式建模与分析
赵玉龙1, 沈怀荣2, 任元2     
1. 装备学院 研究生管理大队, 北京 101416;
2. 装备学院 航天装备系, 北京 101416
摘要: 超流体量子干涉陀螺采用热驱动方式时,陀螺内部流量、压强、温度多参数变化及相互影响,致使加热电阻功率与超流体在弱连接处形成的约瑟夫森频率关系复杂。为了保证陀螺持续稳定的工作在约瑟夫森频率下,必须对陀螺内部约瑟夫森频率的形成机理进行精确建模。针对超流体陀螺热驱动工作方式,首先,从陀螺内腔流体的熵变角度出发,建立了陀螺的温度变化、压强变化和输入-输出模型;然后,仿真分析了在恒定加热电阻功率和线性时变加热电阻功率时超流体陀螺温度和压强随时间的变化特性,对比不同加热电阻功率对陀螺的化学势差和约瑟夫森频率的影响,得出加热电阻功率的工作区间以及约瑟夫森频率的范围;最后,探索分析了约瑟夫森频率对超流体陀螺输出和陀螺精度的影响。
关键词: 超流体量子干涉陀螺     热驱动     建模     化学势差     约瑟夫森频率    
Modeling and analysis of superfluid quantum interference gyro driven by heat
ZHAO Yulong1, SHEN Huairong2, REN Yuan2     
1. Department of Graduate Management, Equipment Academy, Beijing 101416, China;
2. Department of Space Equipment, Equipment Academy, Beijing 101416, China
Received: 2016-12-08; Accepted: 2017-03-10; Published online: 2017-05-03 10:19
Foundation item: National Natural Science Foundation of China (51475472); National High-tech Research and Development Program of China (2015AA8018038C)
Corresponding author. REN Yuan, E-mail: renyuan_823@aliyun.com
Abstract: Multi-parameter change and interaction of internal flow, pressure and temperature lead to a complex relationship between heating resistor power and superfluid Josephson frequency when the superfluid quantum interference gyro is driven by heat. In order to obtain sustained and stable Josephson frequency, the Josephson frequency formation mechanism of gyro must be accurately modeled. With regard to heat-driven mode of superfluid quantum interference gyro, the temperature change, pressure change and input-output model of gyro were firstly established in terms of the inner cavity entropy change. Then, the characteristics of temperature and pressure change with time were analyzed under the condition of constant heating resistor power and linear time-varying heating resistor power. The ranges of heating resistance power and Josephson frequency were obtained by comparing the chemical potential difference and Josephson frequency at different heating resistance power. Finally, the effect of Josephson frequency on output and accuracy of the gyro is explored and analyzed.
Key words: superfluid quantum interference gyro     heat-driven     modeling     chemical potential difference     Josephson frequency    

1908年Onnes利用抽真空的方法首次实现了氦的液化,开创了低温工程研究的先河[1]。研究发现,液氦4在2 K附近的低温条件下会发生玻色-爱因斯坦凝聚而转变为一种具有超常流动特性的量子流体[2],被称为超流体,此时的液氦4具有超导热性和近乎为零的黏滞性,它的独特性质引起了低温技术领域的广泛关注。

2001年Sukhatme等观察到当超流体流过微孔阵列的速度超过某一临界值时将引发量子涡旋,对应会引起超流体流速发生衰减[3]。控制液氦4在临界温度附近,超流体在微孔阵列处将发生约瑟夫森效应而产生物质波流量[4]。基于超流体量子特殊性质,诞生了新型的低温超流体量子干涉陀螺[5],该陀螺是利用液氦4在低温下呈现的量子宏观效应,通过化学势差驱动超流体在弱连接发生约瑟夫森效应而产生物质波,基于物质波sagnac效应实现角速率敏感的一类新概念陀螺。基于微观量子领域实现角速度测量的超流体量子干涉陀螺具有超高精度、超高灵敏度、小体积等优势[6],有望成为未来的超高精度导航设备。

超流体量子干涉陀螺的驱动方式主要包括压差驱动和热驱动方式[7]。基于压差驱动的超流体陀螺,其工作时间仅能维持10 s左右[8],不能产生持续的约瑟夫森振荡频率。为了获得持续的约瑟夫森效应,1997年到2007年期间,美国加州大学伯克利分校在进行约瑟夫森效应研究和超流体量子干涉研究时设计了基于热源驱动的超流体量子干涉陀螺,实验获得了持续恒定的约瑟夫森振荡频率[9]。由于热源驱动时陀螺内腔的超流分量、常流分量、温度和压强等多参数同时发生改变,构建用于描述热驱动时陀螺内部机制的精确模型是进一步深入研究陀螺的关键。为此本文从加热电阻引起陀螺内腔的熵变分析出发,建立了用以描述陀螺热驱动时的温度变化模型和压强变化模型,分析了加热电阻功率与陀螺约瑟夫森频率之间的关系,在此基础上探索了约瑟夫森频率的范围以及对陀螺输出和精度的影响。

1 热驱动方式时陀螺内腔熵变分析

超流体量子干涉陀螺结构如图 1所示,由内腔和外腔2部分组成。双弱连接和薄膜围成的空间称为陀螺内腔,其余空间为陀螺外腔。陀螺内外腔都充满了超流体液氦4,外腔的温度被温度控制系统维持在液氦4发生超流相变的温度附近[10]。热驱动方式通过加热电阻使得陀螺内腔温度升高,外腔中的超流体在热机械效应下,通过弱连接流入到内腔,引起内腔压强增大从而使陀螺的内外腔形成压强差,同时内腔中的常流分量在陀螺压强差的作用下从内腔流出到外腔。

图 1 超流体量子干涉陀螺结构 Fig. 1 Structure of superfluid quantum interference gyro

设定陀螺内外腔的温度分别为T′和T,内外腔压强分别为P′和P,内外腔的氦4原子数分别为N′和NR为等效传热电阻。从内腔的熵变角度出发,在加热过程中,内腔的流体熵S′是内腔温度、压强和粒子数的函数:S′=f(T′, P′, N′),则流体熵的变化率可以表示为在整个加热过程中,内腔的温度、压强和粒子数的全微分方程:

(1)

式中:为内腔温度的变化率;为内腔压强的变化率;为内腔粒子数的变化率。

外腔温度通常在2 K附近,而加热电阻引起的内外腔温差在nK范围内,设计外腔体积远远大于内腔体积,则可以认为在加热过程中,外腔的温度和压强保持不变。则式(1)可重写为

(2)

式中:为内外腔的温度差的变化率;为内外腔的压强差变化率。

由基本的热力学原理有

(3)

式中:Ct为内腔总流体的等效热容;ρ为整体液氦4密度;cu为单位质量热容;V′为内腔的体积。

考虑流体熵不能直接测量,可通过麦克斯韦关系式间接得到[11]

(4)

式中:αe为线性膨胀系数。

(∂S′/∂N′)T′, P是每一个粒子包含的熵,可被写为单原子质量的熵密度:

(5)

式中:m4为氦4原子的质量;s为超流体单位质量的熵密度。

超流体的每一个粒子为氦4原子,则流入内腔的总质量流量为

将式(3)~式(5)代入式(2),得到内腔流体熵的变化方程为

(6)
2 超流体陀螺热驱动方式建模 2.1 热驱动方式时陀螺温度变化模型

根据二流体模型,发生超流相变的液氦4中,包含超流分量和常流分量,其中超流分量不携带熵[12]。从内腔的温度变化角度分析,假设陀螺初始时,内腔和外腔的温度相同,加热电阻使得内腔温度升高,携带熵的常流体分量由内腔流入外腔引起内腔温度下降,此外通过内腔的边界和外腔的热传递同样会引起内腔温度下降。

在加热电阻功率W的作用下,引起内腔的熵的变化率为[13]

(7)

在液氦4中单位体积的熵密度为sv=,加热电阻引起内腔熵的变化量为∂S′=sv∂Vn∂Vn为常流体部分的体积增量。则常流体分量熵的变化率为为常流体分量由内腔流入外腔的体积流率。常流体分量的质量流量ρn为常流体分量密度。可得由常流体分量引起的内腔熵的变化率为

(8)

热量通过内腔的边界与外腔发生热传递,假设热传导的等效热电阻为R,则热传递引起的热损失为ΔT/R,如果ΔT>0,由热传导引起内腔熵的变化率为[14]

(9)

联立式(6)~式(8),从温度变化角度分析得到内腔流体总熵变化率为

(10)

考虑加热电阻引起内腔温度的变化值远小于外腔的温度,近似认为T′=T,则可忽略线性膨胀项,结合式(6)和式(10)得到最终内外腔温度差的变化方程:

(11)
2.2 热驱动方式时陀螺压强变化模型

超流体陀螺利用弹性薄膜结构将无法直接测量的陀螺流量信息转变为可检测的薄膜位移信息。薄膜的表面涂有超导涂层,当薄膜发生位移时将引起薄膜和电极间的磁场变化,通过超导量子干涉仪的超高精度磁场检测能力可检测该变化,进而得到薄膜的位移信息。薄膜的位移信息与超流体陀螺的压强关系满足[15]

(12)

式中:Af为弹性薄膜的面积;k为弹性薄膜的弹性系数;x为薄膜的位移。

对式(12)求导得到压强随时间的变化率:

(13)

内腔中总流体的质量为[16]

(14)

式中:x0为初始时弹性薄膜距离弱连接的距离。

对式(14)求导得到内腔的质量流量:

(15)

忽略内腔流体的密度变化,近似认为超流体是不可压缩流体。则得到内腔中的质量流量与内外腔的压强差满足:

(16)

常流分量在压强的作用下由内腔流出外腔,且遵循Navier-Stokes方程[17]:

(17)

式中:β为几何因子;η为流体黏度;ρs为超流体分量密度。

促使超流体在弱连接发生约瑟夫森效应产生物质波的前提是化学势差,其表达式为[18]

(18)

当加热电阻功率W较小且为常值,由温度差引起的势差m4sΔT被流体流入内腔而引入的势差m4ΔP/ρ相抵消,当陀螺系统达到平衡态时,此时化学势差Δu=0,则由Navier-Stokes方程得到平衡态时常流分量的流量为

(19)

结合式(11)、式(16)、式(19),得到压强变化方程:

(20)

式中:A为陀螺的敏感面积。

进一步求解得到最终的压强变化方程:

(21)

式中:ΔP0为内外腔的初始压强差。

当输入为时变加热功率W=W0+ct时,W0为加热电阻的初始功率,c为时变加热电阻功率的斜率,则得到对应的压强方程:

(22)

增大加热电阻功率,对应In、ΔP和超流分量流量Is都将随之增大,然而由于量子涡旋效应的存在,导致超流分量存在临界流量值,假定功率为Wc时,超流分量流量Is达到临界流量,此时内外腔的压强差和临界流量的关系满足:

(23)

式中:ΔPc为内外腔压强差达到的最大值;Ic为超流体的临界流量。

2.3 陀螺输入-输出模型

超流体在化学势差的作用下在弱连接处发生约瑟夫森效应产生物质波流量,在弱连接1,2处分别产生成形如Ic1sin Δφ1Ic2sin Δφ2的物质波流量,其中Ic1Ic2分别为通过弱连接1和弱连接2的最大流量,Δφ1、Δφ2分别为弱连接1和弱连接2两侧的相位差。根据约瑟夫森效应原理和物质波干涉原理得到陀螺内超流体总流量为[19]

(24)

式中:N为弱连接孔数数目;ω为外界输入角速度;h为普朗克常量。

当陀螺采用热驱动方式时,化学势差与约瑟夫森振荡频率fJ满足[20]

(25)

在超流体流量的作用下,陀螺内腔的体积发生变化,引起弹性薄膜发生位移变化,弹性薄膜的位移和超流体流量的关系为[21]

(26)

式中:x(t1)为t1时刻超流体陀螺的薄膜位移。

3 超流体陀螺热驱动方式仿真分析 3.1 加热电阻功率与压强、温度

设置超流体量子干涉陀螺的工作环境温度为2.175 K,根据二流体模型,超流分量密度为3 kg/m3,常流分量密度为143 kg/m3,超流体的临界流量为5.6×10-12 kg/s,弹性薄膜的面积为0.5×10-4 m2,几何因子为4.83×10-20 m3,超流体陀螺内腔体积为2.45×10-8 m3,薄膜弹性系数为4.7×103 N/m,等效热电阻为17.55 K/W,陀螺敏感面积为10 cm2。加热电阻输入分别为50、400和600 nW的恒定功率时,仿真得到陀螺内外腔压强差随时间的变化曲线如图 2所示。

图 2 超流体陀螺压强差曲线 Fig. 2 Pressure difference curves of superfluid gyro

图 2可知,当输入50、400 nW的较小电阻功率时,陀螺内外腔压强差逐渐增大,最终分别达到稳定值0.193和1.544 Pa。在1.5 s处陀螺的过渡压强分别为0.122 2和0.977 9 Pa,计算得到该压强均为稳态压强的0.63倍。当输入较大恒定功率600 nW时,陀螺内外腔的压强差迅速增长到临界压强2.011 Pa,之后内外腔压强差保持不变。

在3种不同恒定加热电阻功率作用下,陀螺内外腔的温度差随时间的变化曲线如图 3所示。

图 3 线性时变功率时超流体陀螺温度差曲线 Fig. 3 Temperature difference curves of superfluid gyro with linear time varing power

在3种恒定功率作用下,陀螺内外腔的温度差最终分别增长到稳定值8.422×10-7、6.738×10-6和1.011×10-5 K,可见内外腔的稳态温度差与加热电阻功率成正比例关系,功率越大,稳态温度值越高。

考虑当超流体陀螺的加热电阻功率为线性时变功率50t nW的情况时,得到陀螺内外腔的压强差随时间的变化曲线见图 4,温度差随时间的变化曲线如图 5所示。由图 4可知,在线性时变功率作用下,到达临界压强之前,陀螺内外腔压强差与输入功率基本呈现线性关系,当加热电阻功率达到521 nW的临界功率值时,陀螺内外压强差达到最大值,之后无论如何增大功率,均不会改变陀螺内外腔的压强差。由图 5可知,内外腔的温度差随加热电阻功率的增大呈线性增大,当加热电阻功率为1 000 nW时,内外腔的温度差达到1.558×10-5 K。

图 4 线性时变功率时超流体陀螺压强差曲线 Fig. 4 Pressure difference curve of superfluid gyro with linear time varing power
图 5 线性时变功率时超流体陀螺温度差曲线 Fig. 5 Temperature difference curve of superfluid gyrowith linear time varing power
3.2 加热电阻功率与约瑟夫森频率

当加热电阻输入功率分别取400、600和50 tnW,结合式(18),仿真由加热电阻引起陀螺内腔形成的化学势差变化曲线如图 6所示。当加热电阻功率小于临界功率值时,陀螺内腔的化学势差恒为零,这是因为由温度差引起的势差与流体流入内腔而引入的势差相互抵消,导致化学势差Δu=0。观察加热电阻功率为600 nW时对应的陀螺化学势差曲线可知,3.027 s之后化学势差不再为零,而是逐渐增大到恒定值-1.4×10-29 J。这是因为t=3.027 s时,由陀螺压强引起的化学势差达到最大值并保持不变,而陀螺内腔温度仍在增大,打破了化学势差的平衡,导致化学势差Δu≠0。受限于恒定的加热电阻功率值,最终内腔形成的化学势差维持在恒定值。当加热电阻功率为线性递增时变功率时,由图 6可知,当打破Δu=0的平衡态之后,陀螺内腔的化学势差绝对值将随着功率的增大而线性增大。

图 6 化学势差变化曲线 Fig. 6 Change curves of chemical potential difference

进一步分析加热电阻功率与超流体在弱连接处的约瑟夫森频率关系,得到超流体陀螺约瑟夫森频率曲线如图 7所示。

图 7 超流体陀螺约瑟夫森频率曲线 Fig. 7 Josephson frequency curves of superfluid gyro

结合图 6图 7可知,约瑟夫森频率与化学势差随时间的变化趋势相同。当t=20 s时,化学势差为-7.154×10-29 J,对应该时刻的约瑟夫森频率为1.08×105 Hz,其关系满足式(25),曲线准确地反应了陀螺的约瑟夫森频率特性。

陀螺内外腔的温度差达到稳态时,考虑陀螺温度变化模型成立的前提是建立在内外腔的温度差远小于超流体陀螺的工作温度。为了保证模型的准确性和计算精度,设陀螺最大温度差ΔTmax为0.1 mK,则对应得到最大加热电阻功率为

(27)

计算可得加热电阻功率的上限为5 734 nW。综合以上分析,超流体陀螺产生持续约瑟夫森效应的条件是加热电阻功率在521~ 5 734 nW之间,对应得到超流体量子干涉陀螺的最大约瑟夫森工作频率为1.45×106 Hz。

3.3 约瑟夫森频率与超流体陀螺输出

在超流体约瑟夫森振荡作用下,陀螺内腔形成了物质波流量,进而引起超流体陀螺输出时变的薄膜位移。进一步探索约瑟夫森频率对超流体量子干涉陀螺输出的影响,考虑输入角速度为5×10-7 rad/s恒定不变的情况下,约瑟夫森频率分别取200、500、1 000 Hz,得到超流体陀螺的流量曲线如图 8所示。超流体总流量成余弦规律变化,在整周期时间内总流量值为零,且流量振荡频率与约瑟夫森频率相同。对比不同频率时的陀螺流量幅值均为4.73×10-8 kg/s,可见流量振荡幅值的大小与约瑟夫森频率无关。

图 8 超流体陀螺流量曲线 Fig. 8 Flow curves of superfluid gyro

陀螺内部流量的变化对应会引起弹性薄膜发生形变,结合式(26),仿真得到陀螺输出的薄膜位移随时间的变化曲线如图 9所示。

图 9 超流体陀螺薄膜位移曲线 Fig. 9 Film displacement curves of superfluid gyro

图 9可知,超流体陀螺薄膜位移成正弦规律变化,在整周期时间内总薄膜位移不为零,薄膜位移周期分别为0.001、0.002和0.005 s,其变化周期与约瑟夫森频率周期相同。对比不同约瑟夫森频率下的薄膜幅值发现,频率越低,陀螺输出薄膜位移振荡越激烈,可见选取较低的约瑟夫森频率,可以获得更为明显的陀螺效应。

3.4 约瑟夫森频率与超流体陀螺精度分析

超流体陀螺的工作原理是通过检测薄膜位移的变化来解算角速度,为了实现薄膜位移的有效检测,对应薄膜位移幅值变化量应该不小于超导量子干涉仪所能检测的最小位移10-15 m,设ωmin为陀螺的最小检测角速度,则结合式(26)得到

(28)

在不考虑陀螺噪声的影响下,通常认为陀螺所能检测的最小角速度即为陀螺的测量精度。为了直观分析陀螺参数对陀螺精度的影响,取约瑟夫森频率范围为1~10 kHz,薄膜面积范围为0.5~5 cm2,得到陀螺精度曲面如图 10所示。

图 10 超流体陀螺精度曲面 Fig. 10 Precision surface of superfluid gyro

由陀螺精度曲面走势可知,在固定约瑟夫森频率情况下,薄膜面积越小陀螺精度越高;在固定薄膜面积情况下,约瑟夫森频率越低,陀螺精度越高。根据选取的参数范围,由图 10可知当约瑟夫森频率为1 kHz,薄膜面积为0.5 cm2,陀螺的精度最高可达到2.195×10-8 rad/s。

4 结论

本文运用熵变分析理论,对超流体陀螺热驱动方式进行建模,通过数值仿真揭示了加热电阻作用下陀螺温度、压强、化学势差和约瑟夫森频率的变化特性。得到:

1) 为了获得持续的约瑟夫森频率,加热电阻的功率应该在521~5 734 nW之间,最大约瑟夫森频率为1.45×106 Hz。

2) 约瑟夫森频率越低,薄膜位移振荡幅值越大,为了获得较明显的陀螺效应,应当选取较低的约瑟夫森频率。

3) 为了获得较高的陀螺精度,应尽量选取较低的约瑟夫森频率和较小的薄膜面积。

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http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2016.0927
北京航空航天大学主办。
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赵玉龙, 沈怀荣, 任元
ZHAO Yulong, SHEN Huairong, REN Yuan
超流体量子干涉陀螺热驱动方式建模与分析
Modeling and analysis of superfluid quantum interference gyro driven by heat
北京航空航天大学学报, 2017, 43(12): 2473-2479
Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2017, 43(12): 2473-2479
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2016.0927

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收稿日期: 2016-12-08
录用日期: 2017-03-10
网络出版时间: 2017-05-03 10:19

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