近年来，随着航天、核电、军工等领域的飞速发展，大型复杂系统的应用也越发普遍，随之而来的系统安全可靠性问题引起了人们的广泛关注。作为保护生命财产安全的有效手段，故障诊断一直在上述领域肩负着重要使命，但解决复杂系统的故障诊断问题绝非易事，通常需要一套可靠并具系统性的解决方案^[1]。故障诊断就是检测和隔离故障的过程，其通常以系统可测试性设计为基础，用测试的方法获得故障现象，进而确定故障原因并开展维修^[2]。传统的故障诊断一般以单故障模型为基础，然而对于工作于特定环境的空间站、月球车、战机等系统，测试维修的不及时可造成多故障并存的情况，系统的复杂性也加剧了多故障并发的可能。因此有必要对复杂系统多故障诊断问题展开探索研究。

故障检测是故障诊断的基础，信息流模型、多信号模型等基于图论的系统可测性模型^[3-7]为复杂系统的故障检测提供了有效方法。上述模型充分利用图论方法的内在简化特性，将故障与测试间的因果关系以图形的方式表示，并最终建立了故障-测试相关矩阵，用二值化测试结果序列实现了对故障现象的统一表述。基于上述方法，国内外学者围绕复杂系统可测性分析设计、多故障诊断等问题进行了深入研究^{[4, 8-13]}。其中，连可等^[8]提出了一种基于有向图模型的模糊多故障诊断算法，该算法计算测试向量与故障特性向量的空间向量夹角，并以夹角大小作为判定故障发生的依据，算法的有效性在航天工程领域得到了初步验证。但该算法未考虑故障诊断分优先级的情形，不利于对重点关注故障的快速筛查；以空间向量夹角大小作为故障判定指标损失了各测试传感器间的关联信息，降低了诊断结论的精细度，并且无法支持对诊断指标权重调整。

本文在考虑故障测试传感器的故障检测率和故障虚警率条件下提出了一种多故障模糊诊断方法，通过建立故障-测试相关矩阵，生成有排序的测试报警概率矩阵，并利用灰色关联度衡量故障测试结果向量与故障特征向量的接近度，避开了故障先验概率获取的难题。实验结果表明，与文献[8]相比，本文方法的首选结论诊断正确率和故障覆盖率均可达100%，并且在诊断指标权重调整、诊断精细度、重点关注故障检出等方面表现更优。

1 相关矩阵与灰色关联模型 1.1 故障-测试相关矩阵

相关矩阵(又称相关性矩阵)是一种表述2组对象序列间多重因果关系的有效方法。通过建立故障与测试(又称观测)间的相关矩阵，可将“直接判定某个故障是否产生的问题”转化为“判定获得的测试结果向量是否符合某故障的特征向量问题”，实现了对系统多逻辑层次故障问题的统一诊断求解。可以证明，相关矩阵可作为信息流、多信号等图论模型进行故障诊断的内在依据^[9]。下面给出相关矩阵的基本概念定义^[14]。

定义1  相关性：是指某个对象与另一对象之间的因果关系。这种相关性是有指向性的，若由x可推出y，则称y与x相关；若x与y可以互推，则称二者是互相关的。

定义2  N阶相关：是指两对象间因果关系的紧密程度。例如由x可直接推出y，则称y与x 1阶相关。若由x可推出y，再由y可推出z，则称z与x为2阶相关，y与x、z与y为1阶相关。同理可推得两对象间的N阶相关关系。

定义3  相关矩阵：是反映各对象间全阶相关(即包含各阶相关)关系的布尔矩阵。若矩阵中某列对象与某行对象相关，则矩阵相应行列的元素取值为1，否则为0。

故障-测试相关矩阵D_FT如式(1) 所示：

式中：F表示故障; T表示测试; r表示故障与测试的相关关系。当故障F_i可被测试T_j检测到，则矩阵元素r_ij=1，否则r_ij=0。矩阵行向量F_i=[r_i1, r_i2, …, r_in]^T为故障特征向量，描述了第i个故障发生时系统中全部测试的输出表现。矩阵列向量T_j=[r_1j, r_2j, …, r_mj]^T描述了第j个测试可检出的全部故障，反映了其故障检测能力。

因故障特征可完全由测试向量定义，故障-测试相关矩阵又称之为依赖矩阵。在工程应用中，通过对系统进行可测性建模，建立故障-测试相关矩阵，可获得系统故障与测试间的完整依赖关系。

下面以一个用有向无环图描述的系统^[15]示例说明D_FT矩阵的建立方法。

图 1为某系统的有向信息流图^[15]，图中以节点表示系统的各组成模块，以有向边表示节点间的故障传播方向。示例中节点5、10、11、12和14同时设置了测试报警功能，其既可对本节点的故障进行监测，也可通过特征参数判断实现对下级节点的故障报警，例如当图示的节点2故障时，节点5、10、14将产生报警。系统的上述故障报警功能分别体现了故障-测试的1阶相关及N(N>1) 阶相关特性。通过遍历系统所有节点，可建立故障-测试相关矩阵，如表 1所示。

1.2 灰色关联分析

灰色关联分析方法是灰色系统理论的一个重要分支，其由邓聚龙教授在文献[16]中提出，可面向样本数量贫乏或影响系统特征的因素间不独立的情况下进行数据关联分析。灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断不同序列之间的联系是否紧密，具体实现思路是通过线性插值的方法将系统因素的离散行为观测值转化为分段连续的折线，进而根据折线的几何特征构造测度关联程度的模型。折线几何形状越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小^[17]。

公理1  灰色关联公理。设X₀=(x₀(1), x₀(2), …, x₀(n))为系统特征行为序列，且X_i=(x_i(1), x_i(2), …, x_i(n))(i=0，1, …, m)为相关因素序列。给定实数γ(x₀(k), x_i(k))，若实数满足条件

1) 规范性：0 < γ(X₀, X₁)≤1，γ(X₀, X₁)=1⇐(X₀=X_i)。

2) 接近性：|x₀(k)－x_i(k)|越小，γ(x₀(k), x_i(k))越大。

则称上述条件1) 和2) 为灰色关联公理。

定理1  灰色关联度。设系统行为序列X_i=(x_i(1), x_i(2), …, x_i(n))(i=1, 2, …, m)，对于ε∈(0, 1)，令

则γ(X₀, X_i)满足灰色关联公理，其中ε为分辨系数。γ(X₀, X_i)称为X₀与X_i的灰色关联度(又称邓氏灰色关联度^[16])。

对于系统故障诊断而言，每个故障都可视为一个系统特征因素，且均可由测试空间中的一个序列表征，所以基于D_FT矩阵的故障诊断问题在灰色关联公理的适用范围内。公理1的条件1) 表明系统中任何2个故障都不可能是严格无关的，不同故障的测试结果间具有相关性。公理1的条件2) 给出了相关性度量的依据。定理1则具体给出了符合公理1框架约束的一种有效形式。

为从测试空间推理故障，可将实际得到的测试向量结果序列对应为系统特征行为序列，将故障特征向量对应为系统相关因素序列，以此考察测试向量与故障特征向量的关联度。灰色关联度在故障诊断中的应用在第2节具体介绍。

2 多故障模糊诊断方法

在系统故障诊断工作中，D_FT矩阵支持由测试现象推理故障，理论上能做到对故障的准确识别。但在实际工作中，受限于测试传感器固有特性及环境影响，测试不能达到理想无误状态。故障与测试的逻辑关系可存在4种情况的不确定性，下面用条件概率P(t_j|f_i)的形式具体说明。

1) P(t_j=0|f_i=0)：故障f_i不发生、测试t_j不报警，此时t_j指示正确。

2) P(t_j=1|f_i=1)：故障f_i发生、测试t_j报警，此时t_j正确检出了故障f_i。

3) P(t_j=0|f_i=1)：故障f_i发生、测试t_j不报警，此时t_j漏检了故障f_i。

4) P(t_j=1|f_i=0)：故障f_i不发生，测试t_j报警，此时t_j虚报了故障f_i。

上述第2)~4) 种情况分别表示测试对故障的检测概率、漏检概率和虚警概率。除在测试t_j与故障f_i不相关的情况下P(t_j|f_i)为0，否则P(t_j|f_i)取值不为0。

不难看出，测试报警是故障诊断的触发条件，从测试传感器的故障检测概率和虚警概率指标中能够提取出模糊的故障信息，并且获取测试传感器的概率数据比之复杂系统的故障先验概率更容易，因此在测试空间上进行故障诊断具有可行性。

下面从测试不确定性角度重新考虑故障诊断问题，给出了多故障模糊诊断的具体流程，如图 2所示。

在对系统进行可测性分析并建立D_FT矩阵后，可基于D_FT矩阵构建测试报警概率矩阵P_AL=[p_ij]_m×n，该矩阵包含了测试不确定性因素影响，矩阵元素p_ij表示概率值。P_AL矩阵具体构造方式为：将D_FT矩阵中r_ij=1的元素替换为测试T_j对故障F_i的故障检测概率值，并将r_ij=0的元素替换为测试T_j对故障F_i的故障虚警概率值。P_AL矩阵考虑了在最坏情况下测试传感器以故障虚警概率对非故障节点进行报警的情形。一般来说，信息多层级传递将导致故障模糊性增强，故障与测试的相关阶数N值越大，存在测试虚警的可能性越大。为适于工程实用并简化计算，可选用式(2)~式(4) 定义的更新方法对P_AL矩阵中各故障虚警概率值进行更新。

式中：变量FAR和FAR′分别表示更新前后的矩阵元素中故障虚警概率。

当统一考虑第i个故障特征向量的测试虚警概率时可采用式(2) 计算，当统一考虑第j个测试对其各阶相关故障的虚警概率时可采用式(3) 计算，当统一考虑所有虚警概率并选取其最大值时可采用式(4) 计算。下面以图 1所示的系统为例，假设按式(3) 进行数据更新、节点3上的所有测试FAR值均为最大，构建P_AL矩阵如表 2所示，其中变量FDR表示故障检测概率。

对于系统多故障的情况，可基于P_AL矩阵构造有排序的扩展测试报警概率P_EX矩阵。假定有两故障的组合{p, q}，首先在P_AL矩阵上新插入1行来存储故障组合的特征向量，并将故障p和故障q所在行的元素按列序号逐个比较，选择值较大的放入扩展行的对应位置。上述处理方式对其他故障组合具有普适性。在不考虑多故障并发后出现故障消减或衍生条件下，m个故障最多可有2^m－1种故障组合，考虑到实际系统的故障多集中在少数关键节点上，对上述经扩展后的矩阵按设定的诊断优先级重新进行故障行排序(优先级越高，则故障行号越小)，即可得到P_EX矩阵。依据P_EX矩阵可优先实现对重点关注故障的诊断，进而提高诊断效能。

对于表 2给出的P_AL矩阵示例，假设节点号顺序即为诊断优先级、且优先级高的节点的FDR值较大，在考虑最多两故障并存的条件下，可构建如表 3所示的P_EX矩阵示例。

从空间投影角度讲，基于P_EX矩阵进行故障模糊诊断的实质是确定哪个故障在测试空间的投影向量(反映了故障特征)与实测结果向量更接近。本文以灰色关联度γ作为衡量故障实测结果向量T与该故障特征向量F接近程度的指标，γ值越大，诊断结果为“发生故障”的可信度越高。假定有实测结果向量为X₀(向量元素值为1或0，分别表示“报警”或“不报警”)，P_EX矩阵某行的故障特征向量为X_i，下面给出灰色关联度γ的计算步骤。

步骤1  对X₀序列元素进行非零化处理。设X₀=(x₀(1), x₀(2), …, x₀(n))，∀x₀(j)=0，令x₀(j)=0.01, j=1, 2, …, n。

步骤2  对各序列X_i进行初值归一化，令，i=0, 1, …, m。

步骤3  求X′₀与X′_i对应分量之差的绝对值序列，记Δ_i(k)=|x′₀(k)－x′_i(k)|，Δ_i=(Δ_i(1), Δ_i(2), …, Δ_i(n)), i=1, 2, …, m。

步骤4  求Δ_i(k)在X_i全序列范围内的最大值和最小值，分别记为，m= ，k=1, 2, …, n，i=1, 2, …, m。

步骤5  计算序列元素的关联系数γ，，ε∈(0, 1)，k=1, 2, …, n，i=1, 2, …, m。

步骤6  求序列X′₀与X′_i(亦是X₀与X_i)间的关联度，, i=1, 2, …, m。

对各序列X_i做初值归一化处理可将各向量元素均转化为初值可比的无量纲数据，便于后续计算分析。对X₀序列元素做非零化处理可防止进行初值归一化时分母为0，本文将非零值选取为0.01不会造成计算结果的符号改变和非线性。参数M、m和ε的引入使得关联系数γ具有多分辨特性，可根据各序列元素的实际取值情况进行诊断精度调优。通常情况下，M和m取值会分别从各测试的FDR和FAR中产生，否则与工程实际不符，此时ε取值的大小将反映FDR与FAR2种因素在故障诊断中的权重分配。

需要说明的是，考虑到基于FDR和FAR的故障诊断具有一定的模糊性，在实际应用中，可按由灰色关联度γ最大取值递减的次序选取n个故障或故障组合状态候选，以此提高诊断正确率。另外，前期工作涉及的系统测试性模型、测试确定性概率统计均属于诊断前准备，具体方法可参见相关文献，本文不做赘述。

3 应用实例及评估

下面以阿波罗飞船发射前系统状态^[18]为例说明本文诊断方法的有效性。该系统考虑了10个故障状态和15个故障观测传感器，对其建立的D_FT矩阵如表 4所示。

为了便于结果比较, 本文采用与文献[8]相同的实验条件：

1) 假设各传感器故障检测概率均为90%，虚警概率均为1%。

2) 假设传感器报警为理想状态，则P_EX矩阵的行向量即为故障特征向量。

3) 假设系统最多同时发生2个故障，则P_EX矩阵共有55个故障特征向量。

4) 备选诊断结论中包含的最大疑似故障数n取值为3。

进一步地，本文将故障状态编号次序作为故障诊断优先级排序；选用式(4) 对所得P_AL及P_EX矩阵进行数值更新，本例中所有测试的FAR值均为1%；均衡考虑FDR和FAR的影响权重，选取灰色关联度分辨系数ε=0.5。基于文献[8]方法和本文方法的实验结果比较如表 5所示，需要说明的是，表中2种方法所用的诊断指标(相似度与接近度)之间并无量值比较意义。

实验结果表明，本文方法的首选结论诊断正确率和故障覆盖率均可达到100%。与文献[8]相比，本文方法在以下方面具有特别优势：

1) 支持通过改变灰色关联度分辨系数ε值来调整FDR和FAR值在诊断中的权重。对复杂系统而言，在不同工况条件下获得的测试指标FDR和FAR的可信度也将存在不确定性。在考虑FDR值大于FAR值的情况下，当认定测试的FDR值更可信时，可令ε取值大于0.5；当认定测试的FAR值更可信时，可令ε取值小于0.5；否则可令ε取值等于0.5。下面以表 5中的故障状态5为例，令ε取值分别为0.1, 0.5, 0, 9，保持其他实验条件不变，可获得如图 3所示的γ值结果分布。其中，纵轴为灰色关联度γ值计算结果；横轴数字代表按可能性递减次序给出的诊断结论次序N，例如N值为1、2、3的情况分别对应第1次序结论“最可能-故障5”、第2次序结论“次可能-故障4，5”、第3次序结论“第三可能-故障1，5”。

图 3中数据表明：相同实验条件下，诊断结论的γ值与ε取值整体上表现为正比例关系。赋予FDR的权重越高(即认定其更可信)，诊断获得的γ值就越大，并逐渐向1逼近；反之，则γ取值越小。进一步计算可知，ε的上述不同取值并未对诊断结论正确得出造成影响。可变参数ε为工程人员进行多故障模糊诊断提供了一定的灵活性，对于不确定因素较多的复杂系统而言，支持诊断指标权重动态调整是非常必要的。文献[8]中基于空间向量间夹角的计算方式仅可算得固定值，不具备权重调整特性。

2) 同等条件下，本文方法的故障诊断精细度更优。因诊断给出的n个最大疑似故障状态将作为后续维修工作的直接参考，故可通过指标“维修建议正确率SCR”对诊断精细度进行结果导向性评价。本文定义D_FT矩阵中各行向量对应的故障为“元故障”，P_EX矩阵中的组合故障均可分解为元故障，则可得到如式(5) 所示的SCR算式：

式中:N_f为实际发生的元故障总数; N_s为诊断给出的n个最大疑似故障中包含的元故障总数。实际应用中，系统维护人员只需排查N_s个元故障即可完成对n个检出故障的覆盖。以表 5中的故障组合(6，8) 为例，易知其N_f值为2，N_s值为4，SCR值为50%。

图 4给出了表 5中列出的全部故障状态的SCR值。结果表明，本文方法比文献[8]方法表现更优。

3) 本文采用故障诊断次序分级的策略，同等条件下，支持将重点关注故障优先检出，与工程中对故障按影响度分级的思路相吻合。在复杂系统故障组合数目庞大、多个故障或故障组合具有同等疑似程度的情况下，本文方法的优先级排序方式与文献[8]中任意选定的排序方式相比，具有更高的故障检出及排查效率。一个直观的例子是表 5中的故障组合(1，10)，本文计算得到接近度取值同为0.995 7的疑似故障共有5个，如表 6所示。按实验条件中设定的诊断优先级，本文方法可首选筛选出含故障2(优先级较高)的故障组合。容易证明，当诊断优先级改变时，例如以故障状态编号“逆序”作为诊断优先级排序，本文方法筛出的重点关注故障实例数将显著增多。

总体而言，对于上述故障-测试简单组合的实验场景，本文方法已表现出基于小样本数据的多项诊断优势，在多故障组合、大实验数据量的情况下将可获得更优的诊断结果，可为复杂系统的多故障模糊诊断提供新的解决思路。

4 结论

1) 本文方法无需获取复杂系统先验故障概率即可完成测试不确定性条件下多故障模糊诊断。

2) 本文方法可通过改变灰色关联度分辨系数支持诊断指标权重动态调整，为工程实用中多故障模糊诊断提供了灵活性。

3) 本文方法与文献[8]方法性能表现相当，例如在单故障和双故障组合情况下，首选结论诊断正确率及故障覆盖率均可达100%，但本文方法具有更优的诊断精细度及重点关注故障筛选效果。