﻿ 动态系统失效的不确定性分析及其高效算法<sup>*</sup>
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Uncertainty analysis of failure of dynamic system and its efficient algorithm
GONG Xiangrui, LYU Zhenzhou, LIU Hui, ZHOU Yicheng
School of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi'an 710072, China
Received: 2016-06-21; Accepted: 2016-07-05; Published online: 2016-07-27 13:05
Foundation item: National Natural Science Foundation of China (51475370); the Fundamental Research Funds for the Central Universities (3102015BJ(Ⅱ)CG009)
Corresponding author. LYU Zhenzhou, E-mail: zhenzhoulu@nwpu.edu.cn
Abstract: In order to study the failure of dynamic system when the failure rates of components are uncertain, a new method is proposed to analyze the system failure probability when function time is given and function time when the threshold of failure probability is shown in system. Meanwhile, a new importance measure technique is developed to estimate the impact of components' failure rates on system failure probability and function time in dynamic system. In this paper, the Monte Carlo procedure is given to solve the proposed indices. The fractional moments-based maximum entropy method is used to obtain failure probability density function in system efficiently. An efficient technique with multiplication dimensionality reduction is developed to estimate two importance measure indices. Valve control system and civil aircraft electro-hydraulic actuator system are presented to illustrate the rationality and efficiency of the proposed method.
Key words: system reliability     system failure prediction analysis     importance measure     maximum entropy     multiplication dimensionality reduction

1 确定性失效率下系统失效分析

 (1)

 图 1 系统失效概率随系统工作时间变化曲线 Fig. 1 Variation of system failure probability with system function time

2 不确定性失效率下系统失效分析

Zio等[5]指出，由于受外界环境和人为的一些不可控因素影响，系统元器件的失效率一般并不是定值，将它处理为一个随机变量更为合理。在考虑不确定性因素的影响时，元器件的失效率一般设定为服从正态分布[6]、三角分布[6]和对数正态分布[7]等分布的随机变量。根据实际问题，本文中将元器件的失效率设定为服从对数正态分布的随机变量，则它的概率密度函数为

 (2)

2.1 满足工作时间要求t0的失效概率预测分析

1) 根据元器件失效率的概率分布特征，抽取失效率λN组样本点A(N×n)：

 (3)

2) 从样本矩阵A(N×n)任意抽取一组失效率样本点λk=[λk1 λk2λkn](k=1, 2, …, N)，代入系统失效概率函数Pf=G(t, λ)中，那么就可以得到在给定系统工作时间要求t0时，系统的失效概率值Pfk=G(t0, λk)。

3) 重复步骤2)，遍历元器件失效率样本A(N×n)中的所有样本点，求得失效率样本A(N×n)在给定系统工作时间要求为t0时，对应的系统失效概率样本[Pf1 Pf2PfN]。

4) 根据求得的[Pf1 Pf2PfN]，采用核密度估计[14]等方法就可以得到系统失效概率的概率密度函数曲线，同时可以求出它的均值μPf、标准差σPf，以及满足某一置信度q要求的系统失效概率置信区间[Pf(t0, q), Pf(t0, q)]。

2.2 满足失效概率约束Pf0的正常工作时间预测分析

1) 根据元器件失效率的概率分布特征，抽取失效率λN组样本点A(N×n)。

2) 从样本A(N×n)任意抽取一组失效率样本点λk=[λk1 λk2λkn](k=1, 2, …, N)，代入系统失效概率函数Pf=G(t, λ)中，此时Pf仅为系统工作时间的单变量函数，即Pfk=G(t, λk)。由第1节所述，可以求得系统失效概率随系统工作时间的变化曲线。

3) 当设定系统失效概率阈值为Pf0时，由上述曲线可得对应的系统工作时间tk=G－1(Pfk, λk)。

4) 重复步骤2) 和步骤3)，遍历元器件失效率样本A(N×n)中的所有样本点，求得失效率样本A(N×n)在满足系统失效概率阈值Pf0要求时，对应的系统工作时间样本[t1 t2tN]。

5) 根据求得的[t1 t2tN]，采用核密度估计[14]等方法就可以得到系统正常工作时间t的概率密度函数曲线，同时可以求出它的均值μt和标准差σt，以及满足某一置信度q要求前提下的系统正常工作时间的置信区间[t(Pf0, q), t(Pf0, q)]。

3 元器件失效率重要性测度分析

3.1 给定系统工作时间要求t0时元器件失效率对系统失效概率的影响分析

 (4)

3.2 给定系统失效概率阈值Pf0时元器件失效率对系统正常工作时间的影响分析

 (5)

4 高效求解算法

4.1 基于分数矩的极大熵方法求解概率密度函数

 (6)

 (7)

αβ的求解，根据文献[16]所述，引入K-L交叉熵(Kullback-Leibler cross-entropy)，fY(y)与的K-L交叉熵定义为

 (8)

 (9)

 (10)

4.2 基于乘法降维的分数矩求解

 (11)

4.3 系统失效概率和正常工作时间的概率密度函数高效求解流程

1) 满足工作时间要求t0的系统失效概率的概率密度函数求解。

2) 满足系统失效概率阈值Pf0的系统正常工作时间的概率密度函数求解。

4.4 重要性测度指标的高效求解流程

 (12)
 (13)

5 算例分析 5.1 阀门控制系统

 图 2 阀门控制系统[17] Fig. 2 Valve control system[17]

 λi 均值/10-2 方差/10-5 λ1 4 2 λ2 2 1 λ3 1 0.5

1) 给定阀门控制系统工作时间要求为t0=30 h，预测分析系统失效概率Pf的取值规律及元器件失效率λi的重要性测度指标。

 图 3 阀门控制系统失效概率的概率密度曲线 Fig. 3 Probability density curves of failure probability of valve control system

 方法 μPf σPf 置信区间(95%) 计算量 MCS-KDE 0.489 3 0.045 1 [0.401 2, 0.578 0] 1×103 MaxEnt-FMD 0.489 4 0.045 6 [0.400 0, 0.578 8] 16

 方法 λ1 λ2 λ3 计算量 MCS 0.090 2 0.353 1 0.569 0 4×106 本文方法 0.089 8 0.354 0 0.567 1 181

2) 给定阀门控制系统失效概率阈值为Pf0=0.2，预测分析系统正常工作时间t的取值规律及元器件失效率λi的重要性测度指标。

 图 4 阀门控制系统工作时间的概率密度曲线 Fig. 4 Probability density curves of function time of valve control system

 方法 μt σt 置信区间(95%) 计算量 MCS-KDE 13.058 6 1.424 8 [10.266 0, 15.851 2] 142 172 MaxEnt-FMD 13.010 3 1.511 5 [10.047 8, 15.972 8] 2 279

 方法 λ1 λ2 λ3 计算量 MCS 0.060 2 0.201 2 0.786 5 2.36×108 本文方法 0.067 9 0.189 9 0.780 3 26 656

5.2 民用飞机电液舵机系统

 图 5 空客A系列飞机电液舵机结构[18] Fig. 5 Aircraft electro-hydraulic actuator structure of Airbus A[18]
 图 6 空客A系列飞机电液舵机系统故障树[18] Fig. 6 Fault tree of aircraft electro-hydraulic actuator system of Airbus A[18]

 λi 均值/10-7 方差/10-14 λ1 3.5 2 λ2 2 1 λ3 3 1.5 λ4 10 5 λ5 6 5 λ6 2.5 1

1) 给定飞机电液舵机系统工作时间要求为t0=5 000 h，预测分析系统失效概率Pf的取值规律及底事件失效率λi的重要性测度指标。

 图 7 飞机电液舵机系统失效概率的概率密度曲线 Fig. 7 Probability density curves of failure probability of aircraft electro-hydraulic actuator system

 方法 μPf σPf 置信区间(95%) 计算量 MCS-KDE 0.068 1 0.004 0 [0.060 3, 0.075 9] 1×105 MaxEnt-FMD 0.068 1 0.003 9 [0.060 5, 0.075 7] 31

 方法 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λ6 计算量 MCS 0.068 2 0.032 3 0.050 2 0.165 2 0.655 1 0.031 5 7×107 本文方法 0.065 2 0.032 6 0.048 9 0.162 9 0.651 7 0.032 0 811

2) 给定飞机电液舵机系统失效概率阈值为Pf0=0.01，预测分析系统正常工作时间t的取值规律和底事件失效率λi的重要性测度指标。

 图 8 飞机电液舵机系统工作时间的概率密度曲线 Fig. 8 Probability density curves of function time of aircraft electro-hydraulic actuator system

 方法 μt σt 置信区间(95%) 计算次数 MCS-KDE 3 111.78 207.21 [2 705.65, 3 517.91] 132 178 MaxEnt-FMD 3 115.26 203.46 [2 716.48, 3 514.04] 5 894

 方法 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λ6 计算量 MCS 0.040 8 0.031 2 0.059 2 0.145 2 0.621 1 0.031 5 5.97×109 本文方法 0.043 8 0.029 6 0.058 6 0.147 1 0.614 4 0.029 7 42 851

6 结论

1) 鉴于系统在实际工程应用中存在的各种不确定性问题，本文将系统元器件的失效率处理成含有不确定性的随机变量，在考虑失效率不确定性条件下，系统失效概率函数为失效率和系统工作时间的多变量函数。提出了一种新的系统失效性能(包括给定失效概率约束的正常工作时间和给定工作时间要求的失效概率)预测分析理论和2种新的元器件失效率重要性测度指标。本文提出的新理论方法能够合理预测系统失效概率和系统正常工作时间受系统元器件失效率不确定性的影响情况，为工程实际提供理论指导。

2) 为了能够高效求解所提性能和指标，引入基于分数矩的极大熵方法来求解概率密度函数，采用高斯积分和乘法降维求解2种新的重要性测度指标。所提方法的优势在于直接继承了极大熵方法和乘法降维的优越性，在很大程度上减少了调用功能函数的次数。

 [1] PARRY G W, WINTER P W. Characterization and evaluation of uncertainty in probabilistic risk analysis[J]. Nuclear Safety, 1981, 22 (1): 251–263. [2] HOFFMAN F O, HAMMONDS J S. Propagation of uncertainty in risk assessments:The need to distinguish between uncertainty due to lack of knowledge and uncertainty due to variability[J]. Risk Analysis, 1994, 14 (5): 707–712. DOI:10.1111/risk.1994.14.issue-5 [3] ELDRED M S, SWILER L P, TANG G. Mixed aleatory-epistemic uncertainty quantification with stochastic expansions and optimization-based interval estimation[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2011, 96 (9): 1092–1113. [4] KELLY E J, CAMPBELL K. Separating variability and uncertainty in environmental risk assessment—Making choices[J]. Human and Ecological Risk Assessment, 2000, 6 (1): 1–13. DOI:10.1080/10807030091124419 [5] BARALDI P, ZIO E, COMPARE M. A method for ranking components importance in presence of epistemic uncertainties[J]. Journal of Loss Prevention in the Process Industries, 2009, 22 (5): 582–592. DOI:10.1016/j.jlp.2009.02.013 [6] ZAFIROPOULO E P, DIALYNAS E N. Reliability and cost optimization of electronic devices considering the component failure rate uncertainty[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2004, 84 (3): 271–284. [7] BLANKS H S. Arrhenius and the temperature dependence of non-constant failure rate[J]. Quality and Reliability Engineering International, 1990, 6 (4): 259–265. DOI:10.1002/(ISSN)1099-1638 [8] BORGONOVO E. A new uncertainty importance measure[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2007, 92 (6): 771–784. [9] SALTELLI A, MARIVOET J. Non-parametric statistics in sensitivity analysis for model output:A comparison of selected techniques[J]. Reliability Engineering & System Safety, 1990, 28 (2): 229–253. [10] SOBOL I M. Global sensitivity indices for nonlinear mathematical models and their Monte Carlo estimates[J]. Mathematics and Computers in Simulation, 2001, 55 (1): 271–280. [11] NOVI INVERARDI P L, TAGLIANI A. Maximum entropy density estimation from fractional moments[J]. Communications in Statistics-Theory and Methods, 2003, 32 (2): 327–345. DOI:10.1081/STA-120018189 [12] DENG J, PANDEY M D. Estimation of the maximum entropy quantile function using fractional probability weighted moments[J]. Structural Safety, 2008, 30 (4): 307–319. DOI:10.1016/j.strusafe.2007.05.005 [13] ZHANG X, PANDEY M D. Structural reliability analysis based on the concepts of entropy, fractional moment and dimensional reduction method[J]. Structural Safety, 2013, 43 (9): 28–40. [14] CREMERS D, OSHER S J, SOATTO S. Kernel density estimation and intrinsic alignment for shape priors in level set segmentation[J]. International Journal of Computer Vision, 2015, 69 (3): 335–351. [15] 张磊刚, 吕震宙, 陈军. 基于失效概率的矩独立重要性测度的高效算法[J]. 航空学报, 2014, 35 (8): 2199–2206. ZHANG L G, LYU Z Z, CHEN J. An efficient method for failure probability-based moment-independent importance measure[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2014, 35 (8): 2199–2206. (in Chinese) [16] LEIBLER R A, KULLBACK S. On information and sufficiency[J]. Annals of Mathematical Statistics, 1951, 22 (1): 79–86. DOI:10.1214/aoms/1177729694 [17] 尹晓伟, 钱文学, 谢里阳. 系统可靠性的贝叶斯网络评估方法[J]. 航空学报, 2008, 29 (6): 1482–1489. YIN X W, QIAN W X, XIE L Y. A method for system reliability assessment based on bayesian networks[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2008, 29 (6): 1482–1489. (in Chinese) [18] 袁朝辉, 崔华阳, 侯晨光. 民用飞机电液舵机故障树分析[J]. 机床与液压, 2006 (11): 221–223. YUAN C H, CUI H Y, HOU C G. Fault tree analysis of civil aircraft electro-hydraulic actuator[J]. Machine Tool & Hydraulics, 2006 (11): 221–223. DOI:10.3969/j.issn.1001-3881.2006.11.075 (in Chinese)

#### 文章信息

GONG Xiangrui, LYU Zhenzhou, LIU Hui, ZHOU Yicheng

Uncertainty analysis of failure of dynamic system and its efficient algorithm

Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2017, 43(7): 1460-1469
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2016.0533