2. 黑龙江科技大学 机械工程学院, 哈尔滨 150022;
3. 北京强度环境研究所 可靠性与环境工程技术重点实验室, 北京 100076
2. College of Mechanical Engineering, Heilongjiang University of Science and Technology, Harbin 150022, China;
3. Science and Technology on Reliability and Environment Engineering Laboratory, Beijing Institute of Structure and Environment Engineering, Beijing 100076, China
刚弹耦合动力学是研究物体变形与其大范围刚性运动的相互耦合，以及这种耦合所导致的独特的动力学效应。在航天领域，很多问题需要用刚弹耦合动力学来解决。蒋建平和李东旭[1]应用Lagrange方程建立了航天器的刚柔耦合动力学一次近似模型，并利用Wilson-θ方法进行了数值仿真；戈庆明和郭军[2]以模态展开方法及Kane方程为理论基础，研究了作大范围运动刚柔混合体的动力学建模与仿真问题；陆毓颖等[3]对挠性航天器系统，基于单向递推理论，给出了姿态耦合系数的计算方法；游斌弟等[4]引入非线性应变和位移关系，建立了带柔性附件航天机构的完整非线性动力学模型，等。在机器人领域，刚弹耦合动力学也有着重要的应用。韩清鹏和高培鑫[5]对大范围运动条件下的刚柔混合机械臂进行了动力学分析；车仁炜等[6]基于等效元素集成法建立了港口起重机5R机械臂刚柔耦合动力学模型，给出动力响应曲线；张清华和张宪民[7]建立了平面3-RRR柔性并联机器人的刚弹耦合非线性动力学模型；凌云等[8]建立了一个由3种刚性臂和柔性臂组合的表层月壤取样器的动力学模型。另外，刚弹耦合动力学还广泛应用于航空、航海、交通运输、机械工程等领域[9-18]。
综上所述，刚弹耦合动力学在民用经济建设和国防建设中有着广阔的应用前景，是国内外学者不断探索的重要课题，且诸多学者做出了重要的贡献，但是目前还没有完全成熟的理论研究成果，理论研究工作还任重而道远[19-21]。变分原理是从总体上把握事物，对于这类交叉学科，特别适于应用变分原理进行研究[22]。而在工程实际中，又不可避免地会涉及到初值问题，Gurtin[23]利用卷积理论提出了与弹性动力学初值-边值问题等价的变分原理，中国学者罗恩在这一学科领域做出重要贡献[24-25]。本文将其推广应用于刚弹耦合动力学初值问题的研究中，首先建立刚弹耦合动力学初值问题拟变分原理然后推导出其控制方程，最后给出应用算例。
1 建立拟变分原理首先给出刚体动力学初值问题拟变分原理以及弹性动力学初值问题拟变分原理，以此为基础，考虑耦合效应，进而建立出刚弹耦合动力学初值问题拟变分原理。
1.1 刚体动力学初值问题拟变分原理一类变量刚体动力学初值问题拟变分原理表示为
|
(1) |
式中：
|
其中：ρ为质量密度；V为体积；
研究表明[22, 26]，上述拟变分原理的拟驻值条件正是刚体动力学微分控制方程。这便说明，拟变分原理所描述系统与系统的动力学微分方程具有等价性。
1.2 弹性动力学初值问题拟变分原理一类变量非保守弹性动力学初值问题拟变分原理表示为
|
(2) |
式中：
|
其中：ui为弹性位移；fi为体积力；Ti为面积力；aijkl为刚度系数；S为面积；Sσ为应力边界面。在位移边界面Su上，ui－ui=0(ui为边界位移)。初值条件为
研究表明[22, 27]，上述拟变分原理的拟驻值条件正是弹性动力学微分控制方程。这便说明，拟变分原理所描述系统与系统的动力学微分方程具有等价性。
1.3 刚弹耦合动力学初值问题拟变分原理值得注意的是，刚弹耦合动力学初值问题拟变分原理的建立不是刚体动力学和弹性动力学初值问题拟变分原理的简单叠加，关键还要考虑耦合效应，即确定其刚弹耦合项，包括域中耦合项和初值耦合项。
文献[27]在时间边值问题的刚弹耦合动力学拟变分原理的研究中，通过应用功能转换原理和能量守恒定律，合理地确定了刚弹耦合动力学边值问题拟变分原理的耦合项为
|
(3) |
应用Laplace卷积理论，可进一步推断导出与式(3) 相应的初值耦合项为
|
(4) |
结合式(1)、式(2)，引入式(3)、式(4)，进而建立一类变量刚弹耦合动力学初值问题拟变分原理：
|
(5) |
其中：
|
|
初值条件为ui－ui=0
初值条件为
应用对合变换，将式(5) 变换为两类变量刚弹耦合动力学初值问题拟变分原理：
|
(6) |
式中：
|
其中：vic为把刚弹耦合系统视为刚体时质心速度；ωi为把刚弹耦合系统视为刚体时转动角速度；vid为刚弹耦合系统变形时的速度；εij为弹性应变。其先决条件为
将式(6) 写成展开形式，可得
|
(7) |
将运动学条件式和几何条件式代入式(7)，可得
|
(8) |
应用Laplace变换中的卷积理论：
|
(9) |
|
(10) |
|
(11) |
|
(12) |
应用Green定理:
|
(13) |
式中：ni为表面法线方向数。
将式(9) ~式(13) 代入式(8)，并考虑到位移边界条件，可得
|
(14) |
由于δXic、δθi、δui的任意性，可得两类变量刚弹耦合动力学初值问题拟变分原理的拟驻值条件为
|
(15) |
|
(16) |
|
(17) |
|
(18) |
式(15) ~式(18) 即为刚弹耦合动力学的控制方程，与其先决条件一起构成封闭的微分方程组。
2.2 一类变量刚弹耦合动力学控制方程应用对合变换，由式(15) ~式(18) 得到一类变量刚弹耦合动力学初值问题拟变分原理的拟驻值条件(控制方程)为
|
(19) |
|
(20) |
|
(21) |
|
(22) |
对于结构的约束振动问题，目前已经有了较为成熟的理论和方法[28-29]。在航天、航空、航海和机器人动力学中，广泛存在无约束自由体的振动问题[30-31]。需要注意，无约束梁的振型是绕振动中心轴作往复振动，而不是梁的中性轴，且梁的中性轴与振动中心轴之间不仅有刚体平动位移D，还有刚体转动位移C，多部专著[32-33]及文献[34]均给出这类刚性位移的表达式：
|
(23) |
式中：x为空间变量。
刚体平动位移与刚体转动位移和横向弯曲振动叠加，从而使振动时的平衡位置相对于梁的中性轴有某个偏移。这类自由体的振动问题即属于刚弹耦合动力学问题。
下面应用刚弹耦合动力学初值问题的拟变分原理来研究自由梁的振动问题。这类研究一般有2种途径：一是应用推导刚弹耦合动力学初值问题的拟变分原理的拟驻值条件，得到刚弹耦合动力学初值问题的控制方程，应用求解微分方程(或其他类型的方程)的方法，求得问题的精确的或者近似的解析解或者数值解，3.1节算例便是应用刚弹耦合动力学初值问题的控制方程来求解；二是应用变分直接方法，例如Ritz方法，求得问题的近似的解析解或者数值解，3.2节算例便是借助刚弹耦合动力学初值问题的拟变分原理，应用变分直接方法Ritz方法来求解。
3.1 自由梁奇数阶振型无约束梁的自由振动的奇数阶振型是对称弯曲振型，三阶振型φ3如图 1所示。
|
| 图 1 无约束梁自由振动的三阶振型 Fig. 1 Third-order vibration mode of unrestrained beam in a free vibration |
假设振动的奇数阶振型引起的广义位移为
|
(24) |
式中：q2i－1=A2i－1sin ω2i－1t，A2i－1为振幅，ω2i－1为角频率；x、y坐标如图 1所示；C2i－1和D2i－1为待定常数；L为梁的长度。
这里，研究的是无约束梁自由振动的情形。自由梁被激振后，仅有由梁的振动加速度导致的惯性力，且惯性力自相平衡。对于这类自由梁奇数阶振型(对称弯曲振型)，研究小位移理论的情况，因此可将控制方程式(19) 变换为
|
(25) |
式中：m为单位长度梁的质量。
对式(25) 进行积分，并约去不为零的因子，可得
|
(26) |
控制方程式(20) 变换为
|
(27) |
经过积分，并约去不为零的因子，可得
|
(28) |
由式(26) 和式(28) 可解得
|
(29) |
代入式(24) 可得广义位移为
|
(30) |
将控制方程式(21) 变换为积分形式，即为一个Lagrange算子：
|
(31) |
式中：EI为剖面刚度系数。
为了确定奇数阶振型的频率，将式(30) 代入式(31)，整理可得
|
(32) |
故得奇数阶振型的自振频率为
|
(33) |
|
(34) |
鉴于角频率的标准形式为
|
(35) |
式中：μi为频率参数。
式(35) 是一个重要的关系式, 已经得到实验的验证[28-29]。将式(34) 变换为类似式(35) 的标准形式为
|
(36) |
式中：
|
(37) |
由上述分析可知，自由梁的奇数阶振型是绕振动中心轴作往复振动，而不是梁的中性轴。因此，若自由梁被激振前为水平等速直线运动，则由于自由振动的奇数阶振型的作用，可使自由梁的运动轨迹产生微小的扰动。
3.2 自由梁偶数阶振型选取自由梁偶数阶振型的振型函数为Ritz方法的坐标函数，应用刚弹耦合动力学初值问题的拟变分原理寻求自由梁偶数阶振型的解析解。
无约束梁的自由振动的偶数阶振型是反对称弯曲振型，二阶振型φ2如图 2所示。
|
| 图 2 无约束梁自由振动的二阶振型 Fig. 2 Second-order vibration mode of unrestrained beam in a free vibration |
假设振动的偶数阶振型引起的广义位移为
|
(38) |
式中：q2i=A2isin ω2it，A2i为振幅，ω2i为角频率；C2i和D2i为待定常数。
将振型函数式(38) 作为Ritz方法的坐标函数，代入刚弹耦合动力学初值问题的拟变分原理的泛函式(5) 中，经过类似求拟驻值条件的推导过程，可以求得1个联立方程组，包括3个方程。
方程1：
|
(39) |
对式(39) 进行积分，并约去不为零的因子，可得
|
(40) |
方程2：
|
(41) |
对式(41) 进行积分，并约去不为零的因子，可得
|
(42) |
由式(40) 和式(42) 可解得
|
(43) |
代入式(38) 可得广义位移为
|
(44) |
方程3：
|
(45) |
为了确定偶数阶振型的频率，将式(44) 代入式(45)，整理可得
|
(46) |
故得偶数阶振型的自振频率为
|
(47) |
|
(48) |
将式(48) 变换为类似式(35) 的标准形式：
|
(49) |
式中：
|
(50) |
由上述分析可知，自由梁的偶数阶振型是绕振动中心轴作往复振动，而不是梁的中性轴，且梁的中性轴与振动中心轴之间有一个角度。因此，若自由梁被激振前为水平等速直线运动，则由于自由振动的偶数阶振型的作用，可使自由梁的运动姿态产生微小的扰动。
3.3 两点探讨1) 3.1节和3.2节算例给出的是一般情况。当i取2时，由奇数阶振型可知广义位移为
|
(51) |
三阶振型如图 1所示。当i取1时，由偶数阶振型可知广义位移为
|
(52) |
二阶振型如图 2所示。
2) 考虑刚弹耦合效应的计算结果，根据式(37) 和式(50) 计算可得
|
(53) |
不考虑刚弹耦效应的计算结果为
|
(54) |
可见二者之间有一定的误差，建议从事理论和实验研究学者给予应有的重视。
4 结论1) 结合刚体动力学初值问题拟变分原理和非保守弹性动力学初值问题拟变分原理，经过确定耦合项和相应的初值项，建立刚弹耦合动力学初值问题拟变分原理。为建立有限元计算模型提供了依据。
2) 应用变分方法，借助于Laplace变换中的卷积理论及Green定理，推导出刚弹耦合动力学控制方程。
3) 应用刚弹耦合动力学初值问题拟变分原理解决自由梁的振动问题，得到问题的近似的解析解。
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