自动控制理论源自于力学，经过长期的发展已经形成了一门独立的学科。20世纪60年代，随着计算机的发展，控制理论从经典的控制方法向以状态空间为标志的现代控制理论发展，状态空间分析成为研究最优控制、滤波问题和系统辨识的基础。在实际应用中，闭环控制系统的性能，也就是系统动力学响应输出，是工程界关注的重点。不管是飞行力学、结构动力学、振动主动控制还是飞行控制等研究领域都需要研究系统的动力响应输出问题[1-2]。Taghipour等[3]利用状态空间模型方法研究了时域与频域混合情况下的系统动力学响应问题。Johansson[4]基于状态空间模型研究了含不确定时变参数的模型确认问题。
由于系统的复杂性和手段的限制性，实际应用中建立的模型都不同程度存在着不确定性，并因此对系统的整体特征和表现产生影响[5]。工程实际中遇到的不确定性主要指不定性、不可靠性、不可预知性、随机性、易变性、不完全性、不规则性等[6]。在大多数情况下，单一不确定性因素可能很小，但多种不确定性因素结合后产生的影响可能使系统性能和响应产生可观的偏差和不可预知性。随着科学技术的不断发展，对控制系统的分析和设计的精度要求不断提高，不确定性的研究因而具有重要的理论与实际意义。
不确定性分析的方法依赖于不确定性信息的描述方式，不确定性信息的描述方式取决于已知信息的数量和类型。目前，随机过程、模糊方法和非概率集合理论是不确定性建模的3种主要方法[7-8]。其中，针对引用最为广泛的随机不确定性问题，目前的研究已较为完善，解决了很多自动控制的理论与工程问题。Wiener[9]发展起来的滤波和预测理论，使从信号加噪声的观测中抽取有用信号成为可能，奠定随机控制理论的重要基础；Kalman[10]于1960年提出滤波和预测理论，并与Bucy提出求解此问题的递推算法[11]。
与此同时，当只知道工程问题原始数据包含在给定范围内或已知近似描述这一过程的方程时，可应用非概率集合理论，用区间值表示不确定量[12]。作为一种较新的理论分析和计算方法，非概率集合理论的有效性已在许多科学与工程领域的成功应用中得到证实，主要解决非线性问题和不确定性问题。其中，对不确定问题的非概率集合理论的处理，是首先在控制论中开始的。Chen等[13]将区间运算应用于卡尔曼滤波算法，提出了区间卡尔曼滤波算法，用来修正系统状态模型误差；吴杰和陈塑寰[14]提出了区间参数结构的动态响应问题的区间优化方法；非概率集合理论的应用在现代控制理论中的集员辨识算法中也有重要发展[15]。
从工程应用角度，非概率区间的描述方式在信息不够充分的条件下更符合工程习惯，减小实时计算负担，越来越多地被应用到涡轮发电、振动控制、飞行器控制等实际工程领域。例如人造地球卫星或发射导弹的轨道重构问题可归结为固定区间卡尔曼平滑问题[16]；曾开春和向锦武[17]应用多项式逼近的区间分析方法对高超声速飞行器飞行动力学不确定性进行了研究，给出了更为准确安全的边界。
由此可见，对于带扰动的状态方程，存在随机过程和区间分析2种具有代表性的解法。然而，目前控制理论的研究对这2种解法的比较还鲜有涉足，仅停留在单一方法的理论分析与实际应用。针对同一个研究对象，随机系统和区间系统状态方程的解算过程与结果必定存在某种程度的联系[18]。通过比较随机过程与区间数学2种解析方法，可对二者的精确度和有效性进行比较，明确2种描述方式的各自优势和适用范围，为实际工程应用提供理论参考。
1 问题的描述考虑如下具有n个自由度的线性系统状态方程组的矩阵形式：
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(1) |
式中：x为n维状态变量；u为r维输入变量；A∈Rn×n为系统矩阵；B∈Rn×r为输入矩阵。
考虑到离散系统与连续系统可通过离散化方法和对时间极限化方法相互转换，且对于线性控制系统，定常连续系统状态方程是时变系统的特殊情况，故本文研究在不确定性干扰下的非定常连续线性系统状态方程，并加入扰动量：
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(2) |
式中：w(t)∈Rs×1为外部环境对系统造成的扰动量；G(t)∈Rn×s为噪声驱动矩阵；s为干扰变量的状态数。
为了更进一步地研究不确定性干扰的特性及影响，可将其分解为不确定性输入的标称值w0(t)和扰动值δw(t)，以及不确定性初始条件的标称值x0(t0)和扰动值δx(t0)，即
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(3) |
于是，用状态转移矩阵表示的扰动形式的状态方程解为
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(4) |
式中：Ф(t,t0)=Ф(t-t0)=eA(t-t0)。其中解的标称值和扰动值分别为
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(5) |
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(6) |
非概率集合理论是分析和计算非线性、误差和不确定性问题的新的求解体系。在区间分析的理论中，一般用一集合对不确定性变量进行定量化。然后通过优化方法，如区间的四则运算和区间扩张原理等确定系统响应所在的集合界限，包括界限近似值和误差界限。通过区间数学得出的解的集合是上下界严格确定的区间解。
针对本文研究的具有不确定性的非定常连续控制系统，根据式(2)和自然区间扩张定义，考虑区间系统状态方程：
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(7) |
式中：wI(t)为区间形式表示的不确定然而有界的外部干扰，称为区间数，即
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(8) |
对于实际工程应用中的多维控制系统，需要考虑n维区间向量，故考虑外部干扰的分量形式：
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(9) |
由于扰动是有界的，根据函数的区间扩张定理，系统状态方程的响应也是有界的，并可以表示成如下的区间形式：
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(10) |
根据式(4)得到用状态转移矩阵表示的区间解：
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(11) |
式中：
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(12) |
wc(t)为与输入相关的区间中值;ΔwI(t)为其扰动区间; Δw(t)为区间半径。
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(13) |
xc(t0)为与初始值相关的区间中值;ΔxI(t0)为其扰动区间;Δx(t0)为区间半径。
对状态方程的响应进行同样的区间分解可得
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(14) |
通过区间数学的区间扩张和区间数学运算得
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(15) |
经整理得
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(16) |
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(17) |
其分量形式为
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(18) |
为研究的方便，下面将区间的解进行分解，即
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(19) |
式中:xTI(t)为与初始条件相关的零输入响应；xSI(t)为与输入相关的零状态响应。于是，区间解的中值的分解为
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(20) |
分量形式为
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(21) |
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(22) |
与之相似，将区间解的半径分解为
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(23) |
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(24) |
综上所述，在不确定性变量范围已知的情况下，应用非概率集合理论将其定量化为区间形式。通过区间函数的扩张原理，可求得系统状态方程的解，其形式同样为用区间所表示的确定范围。
2.2 随机系统中求解状态方程为了全面了解一个随机过程，假设其满足某种概率分布，可通过计算数学期望、方差函数和自协方差函数等一、二阶矩，同时应用概率统计理论，得出系统的统计学特性。根据连续时间随机状态模型的数学模型理论，可做出如下假设：
1) 假设随机扰动δw(τ)为连续时间高斯白噪声，则其功率密度为常数。为简化分析，也符合大多数实际情况，一般假设其均值为零，即
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(25) |
2) 假设状态初值δx(t0)为高斯随机向量，即
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(26) |
3) 假设δw(τ)与δx(t0)互相独立，即满足：
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(27) |
针对本文研究的具有不确定性的非定常连续线性系统，对其扰动形式状态方程的解，即式(4)取均值，得
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(28) |
由于扰动w0(t)和x0(t0)均为标称值，即
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(29) |
且根据式(25)和式(26)，得
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(30) |
利用2个随机变量均值之和等于均值之和的性质，状态方程解的均值可以分解零输入响应和零状态响应的均值：
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(31) |
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(32) |
接下来讨论解的方差和标准差公式，考虑：
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(33) |
则其转置为
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(34) |
将二者相乘，得
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(35) |
方差公式：
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(36) |
根据式(36)和式(27)，可得
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(37) |
考虑到实际工程应用中研究的控制系统模型多为高维度数学模型，需要讨论方差的分量表达式：
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(38) |
其中:i=1,2,…,n。对δxi(t)求平方并取均值后得
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(39) |
将方差项和协方差相分离，整理得
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(40) |
根据干扰的独立性，注意到当k≠l和p≠q时，有
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(41) |
于是，经进一步简化，整理得
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(42) |
其中和零输入响应和零状态响应有关的方差分别为
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(43) |
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(44) |
概率统计理论中的极限定理可揭示各种统计规律，考虑利用切比雪夫定理对状态方程解的上下界进行估计。
根据切比雪夫概率不等式，可以得到系统状态输出的概率区间为
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(45) |
式中:k为正整数;σ{x(t)}为标准差。
为研究的方便，同样对概率区间的解进行分解，即
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式中:
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(46) |
式(46)是和初始条件有关的概率区间解。
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(47) |
式(47)是和输入有关的概率区间解。
综上所述，应用随机控制理论中的概率统计和随机过程的理论和方法，只要系统的不确定性变量满足某种概率分布假设，即统计学特性已知，期望和方差可计算，就可以求解状态方程的概率区间解。
2.3 随机系统和区间系统状态方程解的相容性为了讨论随机控制理论和区间分析方法求解状态方程的相容性，需要对不确定性变量的描述进行统一，即假设系统的初始条件和外部干扰所在的区间均是由概率统计信息所确定的。在此情况下，区间中心值等于随机均值，区间的不确定量等于随机标准差的k倍，此处的k为切比雪夫不等式中的k，即一正整数。具体的表达式如下：
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(48) |
以及分量形式：
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(49) |
其中：i=1,2,…,n。
下面将分别进行状态方程与初始条件和外部干扰相关解，即零输入响应和零状态响应的随机过程和区间值表示不确定性变量的比较研究。
2.3.1 与初始条件相关的随机系统和区间系统状态方程解的比较研究根据区间系统状态方程与初始条件相关的区间解的不确定量的分量形式，即式(23)，有
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(50) |
借助于如下不等式：
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(51) |
可得
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(52) |
由随机系统状态方程与初始条件相关的区间解的不确定量，即式(43)，可得
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(53) |
综上所述，针对状态方程的零输入响应，有
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(54) |
根据区间系统状态方程与输入相关的区间解的不确定量的分量形式，即式(24)，有
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(55) |
借助同样的不等式关系，有
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(56) |
由随机系统状态方程与初始条件相关的区间解的不确定量，即式(44)，可得
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(57) |
综上所述，针对状态方程的零状态响应，有
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(58) |
这符合理论推理得出的结果，即根据区间数学和概率论的定义，由区间分析得到的响应区间的上界比随机过程方法得到的上界要大，下界则是偏小。由于切比雪夫不等式所确定的区间并非是绝对的上下界，而是在给定的一个较大的概率值下，确定了其所对应的系统响应的变化区间，随机变量还是有可能落在此区间外部的。与之相反，由区间数学所确定的界限拥有严格的上下界，即一旦干扰的区间确定，状态方程解的区间就是确定的，系统响应值严格在此区间内。因此，考虑到同一个研究对象的解是唯一确定的，非概率集合理论下的区间解包含随机系统下的区间解符合客观事实。
3 数值算例考虑无阻尼系统的质量矩阵为$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$，刚度矩阵为$\left[ \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ \end{matrix} \right]$，初始位移为$\left[ \begin{matrix} 0.1 \\ 0.2 \\ \end{matrix} \right]$，初始速度为0。现在第一自由度处施加状态反馈控制力。采用LQR控制器，Q=I4，R=1，N=0。系统的状态空间数学模型如下：
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式中：
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用命令[K,S,E]=lqr(sys,Q,R,N)可求得控制器K为
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于是ALQR=A-BK。
其中w(t)为符合下述统计性质的高斯白噪声：
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为统一作用于随机系统和区间系统中的扰动输入量，此处取k=2，即根据切比雪夫不等式，所有数据中至少有75%的数据位于平均数2个标准差范围内。为便于研究，取状态方程响应的第一个分量进行分析。
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| 图 1 无扰动量的第一自由度位移响应曲线 Fig. 1 First degree of freedom of displacement responsecurves without uncertainty |
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| 图 2 随机过程的系统响应区间 Fig. 2 System response interval of state equation byprobabilistic approach |
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| 图 3 区间分析的系统响应区间 Fig. 3 System response interval of state equation byinterval analysis method |
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| 图 4 随机过程和区间分析的系统响应区间比较 Fig. 4 Comparison of system response intervals of state equation obtained by probabilistic approachand interval analysis method |
由图 1可确定系统的稳定性，此时求解的协方差是有意义的。以系统响应的初始阶段为例进行分析，图 2和图 3分别为应用随机过程与区间分析方法求得的系统状态方程第一个分量的响应，图 4为二者的比较结果。从图中可以看出，应用区间分析方法获得的响应区间包含随机过程所得的响应区间，与理论推导的结果相符。
4 结 论本文采用随机过程和区间值2种方法描述不确定性，应用非概率集合理论中的区间函数扩张原理和概率统计理论中的切比雪夫不等式，通过理论推导和数值检验，分别求解非定常连续线性系统的状态方程，通过2种响应结果的对比，为不确定性描述方式的选择提供理论参考：
1) 非概率集合理论可求出系统的最大可能响应和最小可能响应，计算量小。在很高的可靠度上，其响应界限要比概率模型所得的更实际，可作为概率模型研究不确定性问题的补充手段和方法。
2) 随机过程理论方法的应用具有一定程度的普适性。目前的工程实践中也习惯把不确定性归结为随机性。应用这种方法需要获得充分的统计数据，且估计的边界一般较为保守。
3) 无论是零输入响应，还是零状态响应的状态方程解的响应区间都遵循同样的规律，即非概率区间分析方法得到的响应区间包含由随机过程得到的响应区间。区间分析所得的响应区间比随机过程的更宽、更保守。
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