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基于LMI的输出反馈μ控制器求解
李喆 , 高元楼 , 李佩林     
北京航空航天大学 自动化科学与电气工程学院, 北京 100083
摘要: D-K算法是结构奇异值(μ)方法的主要实现方式,存在着求解条件较苛刻、系统适用性差的问题,针对D-K算法应用的局限性,提出将线性矩阵不等式(LMI)用于D-K算法的改进,即通过Schur引理与有界实引理得到了结构奇异值上界的LMI判据,利用消元法得到了输出反馈的H控制器,在此基础上通过D-K迭代解出输出反馈μ控制器,避免了因求解Riccati方程受到求解条件的限制以及待定参数选择好坏的影响,增强了D-K算法对一般系统的适用性并提高了求解效率。数值结果表明,该方法得到的输出反馈系统的鲁棒稳定性及鲁棒性能均优于传统D-K算法。
关键词: 结构奇异值     线性矩阵不等式(LMI)     输出反馈     控制器     鲁棒性能    
Solution of output feedback μ controller based on LMI
LI Zhe , GAO Yuanlou , LI Peilin     
School of Automation Science and Electrical Engineering, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100083, China
Received: 2015-08-31; Accepted: 2015-11-27; Published online: 2016-01-05 10:42
Corresponding author. GAO Yuanlou, Tel.:010-82339757, E-mail:gaoyuanlou@263.net
Abstract: D-K iteration is the main implementation method of structured singular value (μ), which has problems of strict solution conditions and poor system suitability. Aimed at overcoming limitation shortage of D-K iteration application, the linear matrix inequality (LMI) was proposed to improve D-K iteration, which uses Schur's lemma and bounded real lemma to get LMI criterion of upper boundary of structured singular value, and elimination method was developed to obtain H controller in output feedback system. Based on improvements related to LMI, D-K iteration was adopted to solve μ controller in output feedback system, which avoids solution limitation of Riccati equation and influence by selection quality of some uncertain parameters, enhances its applicability in general system, and improves the solution efficiency of controller in output feedback system. Numerical results show that this method gets not only robust stability but also robust performance superior to the traditional D-K iteration of output feedback system.
Key words: structured singular value     linear matrix inequality (LMI)     output feedback     controller     robust performance    

结构奇异值μ理论于1982年被文献[1-2]提出, 由于采用Small-μ方法减少了鲁棒判据的保守性同时在一定程度上兼顾性能鲁棒性, 因而可以精确地处理具有混合不确定性系统的鲁棒分析问题, 一直是鲁棒控制理论研究中的重点之一[3-4]

由于μ值难以得到精确解, 通常采用Doyle[1]提出的D-K迭代法进行求解, 基本思想是利用μ的上下界函数对μ进行多次迭代逼近求近似解。传统的D-K迭代采用H的方法设计控制器, 涉及Riccati方程的求解, 尽管Riccati方程处理方法可以给出控制器的结构形式便于进行理论分析,但是求解前往往需要确定待定参数, 这些参数的选择直接影响结论的好坏, 此外还无法处理病态状态矩阵系统的鲁棒问题。

针对这些不足, 相关学者提出了一些具有发展潜力的新的研究方向。文献[5-6]分别提出了基于非线性矩阵不等式(Nonlinear Matrix Inequality, NMI)和双线性矩阵不等式(Bilinear Matrix Inequality, BMI)的μ方法, 但迄今为止, BMI和NMI的数值算法还未成熟。Chen[7]和Fu[8]等给出了基于线性矩阵不等式(Linear Matrix Inequality,LMI)的μ分析方法, 该方法具有良好的数值性态(多项式时间复杂度), 这使得该方法能够更加有效地处理实际控制工程中的问题。

运用LMI方法进行μ分析的关键在于:针对H控制器的求解问题将形如式(7)所示的Riccati不等式根据Schur补的性质等价转化成一个LMI可行性问题, 不但降低了求解难度,可解条件也得到有效放宽。但文献[7-8]的处理方法仍然存在一定的局限性,即只能进行状态反馈控制器设计, 需要附加状态观测器, 当状态信息难以获得时则无能为力。

为了弥补以上所述各种方法不足, 本文在文献[7, 9]的基础上, 进行基于LMI的输出反馈控制器设计, 运用LMI方法给出了问题线性可解的凸约束条件以改善D-K迭代的最优解问题, 并同文献[10]提出的一种改进D-K迭代、PID算法进行比较。数值计算表明解出的控制器具有较好鲁棒稳定性和鲁棒性能, 本方法增强了μ分析对病态状态矩阵系统的适用性。

1 预备知识 1.1 参数摄动模型

μ问题可描述成:对给定不确定量集合Δ, γR+及标称系统G(s)∈H空间。

(1)

式中:sup为结构奇异值μ的上确界。

系统G(s)有以下状态空间实现:

(2)

式中:n为状态维数;m为控制输入维数。

在如图 1所示的输出反馈系统中的状态方程:

(3)
图 1 输出反馈系统模型 Fig. 1 Output feedback system model

式中:x为状态矢量;ω为外部扰动;z为输出误差;u为控制输入;y为量测输出。

定义1 给定非负整数ru及非负整数数组

不确定集合定义为

(4)

式中:σ(·)表示矩阵奇异值上确界。

结构奇异值定义为

(5)
1.2 矩阵不等式

1.2.1 Schur引理[11]

在将NMI转化为LMI的问题中, 常用到矩阵的Schur补性质。具体描述如下:考虑对称矩阵SRn×n, 并将S进行分块:

(6)

式中: S11为方阵, 则以下条件等价:

1) S < 0

2) S11 < 0, S22 -S12 TS11 -1S12 < 0

3) S22 < 0, S11 -S12 S22 -1S12 T < 0

其中:S22 -S12 TS11 -1S12 S11 -S12 S22 -1S12 T称为矩阵S的Schur补。当S为线性矩阵变量时上述等价关系也说明了条件2)和3)中的NMI分别定义了一个关于变量的凸约束。在控制问题中经常遇到形如式(7)的Riccati不等式:

(7)

式中:A, B, Q=QT>0, R=RT>0为适当维数的常数矩阵;P为对称矩阵变量。根据Schur补的性质可以将Riccati不等式的问题转化成一个等价的如式(8)所示LMI的可行性问题。

(8)

1.2.2 有界实引理

γ>0, 系统G(s)的状态空间矩阵为(A, B, C, E), 则以下条件等价:

1) 系统渐近稳定, 且||G(s)|| < γ

2) 存在一个对称矩阵P>0, 使得

(9)
2 D-K迭代的LMI表述 2.1 D求解

现有的D-K迭代算法可描述为

定义集合

(10)

[12]。式(10)中:Di *为矩阵Di的共轭转置; Fl(G, K)表示系统G与控制器K形成闭环系统的下线性变换。

为利用LMI并迭代解出优化后的K, 需要得到式(10)的LMI描述, 不仅要用闭环系统系数矩阵表述以方便K求解, 还要将非线性不等式条件转换成线性不等式矩阵的形式。下面利用Schur引理和有界实引理经过推导实现。式(10)的初步等价描述为:求D使得

(11)

设初始控制器状态矩阵为(Ak, Bk, Ck, Ek), 输出反馈闭环系统状态矩阵为(Acl, Bcl, Ccl, Ecl), 易知

(12)

根据有界实引理得到与式(10)等价约束条件:

(13)

运用Schur引理对式(13)左侧矩阵变量按虚线所示分成4个子矩阵,由条件3)可得式(14), 矩阵分解后得到式(15)和式(16), 因为 D∈, 所以式(16)等价于式(17)。

(14)
(15)
(16)
(17)

式中:

由于式(17)是LMI的形式, 进而解出PS得到D, 可通过MATLAB软件中LMI工具箱凸优化求解器feasp实现。

2.2 输出反馈控制器K求解

2.2.1 输出反馈的LMI表述

首先进行以下假定:①(A, B2, C2)是能稳能检的;②E22=0。条件①对系统的输出反馈镇定是充分必要的, 条件②对一般系统都具有适用性[13]

H控制器u=Ky应用到系统后得到闭环系统为

(18)

闭环系统是渐近稳定的且从ωz的传递函数的H范数小于1的充分必要条件是存在对称正定矩阵Xk使得

(19)

由于AclBclCclEcl依赖于未知的控制器参数, 再加上不确定的矩阵变量Xcl导致矩阵不等式难以像状态反馈情形那样方便解出控制器, 必须对矩阵不等式进行处理使之成为可解的LMI形式。

2.2.2 消元法

通过对式(19)进行矩阵参数替代、消元使之转化成一组LMI可行性问题, 详细推导见文献[9], 下面直接写出求解步骤:

1) 求满足下列条件的矩阵XY

(20)
(21)
(22)

式中:NoNc分别是以子空间ker([C2 E21])和ker([B2 T E12T])中任意一组向量作为列向量所构成的矩阵, 即满足Im No=ker([C2 E21])和Im Nc=ker([B2T E12T])的矩阵[14]

2) 求满足X-Y-1=X1X1T的矩阵X1Rn×nk, 其中nkXY-1的秩;再通过式(23)构造Xcl, 文献[9]已证明, 只要1)中不等式条件满足且要设计的控制器维数大于等于系统状态量即nkn, 就总能找到满足要求的Xcl:

(23)

此外将反馈系统系数矩阵按式(24)构造:

(24)

式中:

3) 将式(23)、式(24)代入式(19)得到如式(25)的等价表述:

(25)

式中:

式(25)得到只包含矩阵变量K的一个LMI, 通过应用MATLAB软件中的LMI工具箱——mincx求解器可以求出系统的输出反馈最优H控制器, 连续时间系统H控制器综合问题的求解器是hinflmi, 离散时间系统H控制器综合问题的求解器是dinflmi, 本文在数值仿真环节将采用hinflmi求解器进行计算。

3 基于LMI的D-K迭代步骤

结合传统D-K迭代步骤如下:

1) 初始化K, 求解满足

(26)

的稳定D(s)。

2) 根据最小化||DMD-1||D(s)矩阵, 设计求解满足min||DMD-1||的控制器K, 即

定义GD状态矩阵(Ad, Bd, Cd, Ed):

其中:

利用消元法求出H控制器参数矩阵K

3) 代入K状态参数, 返回1)继续求解D, 重复迭代直到K满足要求, 得到最优化的μ控制器。

4 数值仿真

考虑如图 2所示参数摄动对象系统模型, 对于系统G,其中(z1, z2, u)分别为输入干扰、建模误差和控制输入, (ω1, ω2, y)为对应输出,(k, τ)为标称系统参数, (w0, w1)为加权函数。注意到该模型代表的广义系统状态矩阵中E12非列满秩不满足Riccati方程解法的正常条件, 由于在实际工程中具有一般性, 不妨定义此类系统为病态状态矩阵系统。

图 2 参数摄动对象系统模型 Fig. 2 Parameter perturbation model of object system

针对这类系统文献[10]提出一种解决方法, 对E12E21加入较小修正系数使之满秩, 据此方法得到的μ控制器鲁棒稳定性如图 3所示。此外采用本文提出的基于LMI的D-K迭代进行μ控制器设计。

图 3 μ/文献[10]系统结构奇异值曲线 Fig. 3 Structured singular value curves of μ/Ref.[10] system

经过5次迭代, 最终得到的控制器如下:

(27)

其幅频特性如图 4所示, 此外最优化设计PID控制器[15]如下:

(28)
图 4 μ控制器幅频特性 Fig. 4 Amplitude-frequency characteristic of μ controller

μ控制器的鲁棒性能进行对比, 对应参数摄动结构的系统矩阵结构奇异值曲线如图 5所示。可知μ控制器系统比PID控制器系统的最大奇异值更小, 曲线过渡也更加平稳, 鲁棒稳定性更好。图 3所示采用文献[10]处理方法求解出的控制器系统与μ控制系统结构奇异值曲线对比, 可知虽然Riccati方程求解条件满足, 但是由于系统矩阵处理后存在一定程度失真, 导致控制器鲁棒稳定性变差, 无法得到最优的鲁棒控制器。

图 5 μ/PID系统结构奇异值曲线 Fig. 5 Structured singular value curves of μ/PID system

为了检测μ控制器的鲁棒性能, 利用SIMU-LINK进行数值仿真, 设置输出反馈系统, 求解器类型为Gear, 仿真时间为5 s, 输入为电流阶跃信号, 当标称输出25 MPa的压力信号时, 对比PID控制器与μ控制器输出反馈系统的阶跃响应曲线如图 6所示, 可以看到上升时间PID:0.2 s, μ:0.1 s, 说明μ控制器的动态性能略好于PID控制器;当输入信号为强度10%, 频率33 Hz的特征扰动时, PID控制器与μ控制器输出反馈系统的输出曲线如图 7所示, 可以看到μ控制器最大输出0.2 MPa, PID控制器最大输出1.75 MPa, 即μ控制器的干扰抑制性能明显强于PID控制器。

图 6 μ/PID系统阶跃响应 Fig. 6 Step response of μ/PID system
图 7 干扰输入μ/PID系统输出 Fig. 7 Output of input disturbance μ/PID system
5 结论

针对传统D-K迭代算法在应用上受局限的问题, 本文分别给出D-K算法中对角矩阵D、输出反馈控制器K的矩阵不等式描述。由于μ方法中的D、K求解具有非线性,为了将其转化成LMI的描述形式,文中在Schur引理和有界实引理的基础上对传统D-K算法D求解问题进行线性化处理, 并利用消元法使K设计问题线性化, 并通过构造系数矩阵使得D、K的求解得以交替迭代进行, 突破了LMI方法输出反馈H控制器局部最优的局限。本文设计的μ控制器经理论分析和数值仿真表明:

1) 综合了LMI方法适用性广以及D-K算法交替凸优化的优点。

2) 相对于文献[7-8]中的控制器由于无需状态观测器更具有工程实用性。

3) 相较于文献[15]中方法得到的PID控制器具有较好的动态性能以及较好的鲁棒性能; 相较于文献[10]方法解出的μ控制器具有较好的鲁棒稳定性和鲁棒性能。

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http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2015.0556
北京航空航天大学主办。
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李喆, 高元楼, 李佩林
LI Zhe, GAO Yuanlou, LI Peilin
基于LMI的输出反馈μ控制器求解
Solution of output feedback μ controller based on LMI
北京航空航天大学学报, 2016, 42(10): 2231-2237
Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2016, 42(10): 2231-2237
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2015.0556

文章历史

收稿日期: 2015-08-31
录用日期: 2015-11-27
网络出版时间: 2016-01-05 10:42

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