2. 北京跟踪与通信技术研究所, 北京 100094;
3. 装备学院 科研部, 北京 101416
2. Institute of Tracking and Telecommunications Technology, Beijing 100094, China ;
3. Department of Scientific Research, Equipment Academy, Beijing 101416, China
随着比例制导律[1-2]不断向最优化和多约束条件方向发展，剩余飞行时间(TGO)作为其关键参数，已经成为了热点研究问题。此外，TGO还是武器战斗部设计[3]和拦截失效判断[4]的重要依据，其估计值的精度直接影响制导飞行中的控制力、脱靶量、捕获区域等性能指标。
在以往的研究中，通常直接将弹目相对距离与接近速度的比值作为TGO，并将其作为经典方法。但此方法仅在弹道较为平直或处于平行接近状态时，具有一定有效性；如果拦截弹在飞行过程中机动幅度较大，则该方法误差较大。
目前对于TGO估计方法的研究，一类是直接解析法：York和Pastrick[5]首先提出了一种基于求解线性二次控制问题的TGO估计方法；Jeon等[6]在线性条件下得出了TGO关于初始弹目距离与框架角的表达式，降低了弯曲追踪轨迹带来的误差；Liu等[7]求得了TGO二次方程得近似解，其中对拦截弹速度变化带来的影响做了补偿；Kim等[8]根据制导律的2个增益常量预测飞行轨迹，得出了基于经典估计方法的补偿系数；马国欣等[9]将偏置比例导引中的构造角作为微分变量，并求解得出了作为指数形式参与的TGO估计多项式；李辕等[10]针对顺轨拦截情况，分别提出了拦截非机动和机动目标的TGO估计方法；刘剑锋和庄志洪[11]通过导引头一阶微分信息推导出的TGO估计方法与非线性卡尔曼(GHK)滤波算法具有较好匹配性。
另一类是迭代递推法：Riggs[12]通过建立一个简易的拦截弹切向加速度模型以解算平均加速度，从而补偿速度变化对TGO估计的影响；Hull等[13]基于对TGO的粗略估计，随着拦截轨迹的改变，进行递次求近得到的TGO精确值；Dhananjay和Ghose[14]采用数值内插法递推估计TGO，虽然不需在每一个制导周期进行解算，但具有较大计算量；Tahk等[15]在TGO的递归计算中，对非零框架角引起的估计误差进行了补偿；常青等[16]对TGO估计时，将目标在视线方向上的平均加速度进行加权，引入算法降低了Riggs估计法的误差；张友安和马国欣[17]在拦截弹框架角变化区间的不同分段内，采用迭代法求解TGO。
通过对比可知，直接解析法运算量小，利于在线实时解算，但估计精度略低；迭代递推法虽然有精度优势，但计算过程十分复杂，实时性不强。另外，随着近年来越来越多的顺轨制导律[18-20]提出，也需有相应的TGO估计方法，而目前的成果主要针对逆轨拦截模式。因此，研究高精度、运算简单且对拦截模式具有针对性的TGO估计方法十分必要。
1 TGO估算 1.1 基础理论因本文的TGO是在线性条件下计算，其制导律[21]是在一定的几何关系下，将视线角和框架角近似为“小角度”，从而消除三角函数得到的线性制导指令。虽然推导过程中存在基于小角度近似的情况，但结论公式普遍适用。理论分析过程中，均将目标和拦截弹考虑成质点，并忽略重力带来的影响。
经典比例制导律的指令形式为
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(1) |
式中:am为拦截弹加速度; N为导航比; Vm为拦截弹速度; λ为视线角。
拦截弹攻击静止目标的几何关系如图 1所示。
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| 图 1 平面几何关系 Fig. 1 Planar interception geometry |
设拦截弹位置为(xm, ym)，目标位置为(xt, yt)，则视线角可近似为
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(2) |
由R=Vctgo，ctgo为剩余拦截时间，Vc为拦截弹接近速度，并将式(2)按时间微分后得
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(3) |
在线性条件下，λ和θ均为小角，则可近似取
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(4) |
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(5) |
结合式(1)、式(3)~式(5)可得
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(6) |
为便于解算，逆向考虑拦截全过程，将拦截活动看作是拦截弹从目标位置发射，飞向发射原点。令tgo=(R0-r)/Vc，r∈[0, R0]，其中R0为目标与发射原点的距离，将式(6)转化为以r为自变量的函数：
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(7) |
按照初始条件：r=0，ym(0)=ym0=yt，y'm(0)=y'm0，求解欧拉-柯西方程式(7)得
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(8) |
将式(8)对r求导得
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(9) |
拦截弹轨迹长度为
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(10) |
在线性条件下，近似取xm(r)=r，y′m(r)为小量，按照泰勒级数可得
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(11) |
由于视线角λ较小，则s≈Vmtgo，y′m0(r)≈θ，代入式(11)得
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(12) |
TGO估计的主要思想是通过预测出拦截弹与目标的碰撞点，然后按照拦截静态目标的时间估计方法对剩余拦截时间进行估计。拦截弹在逆轨模式下拦截目标的几何关系如图 2所示。
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| Vt—目标速度；Rt—目标与预测碰撞点间的距离；Rm—拦截弹与预测碰撞点间的距离；β—预测内框角；γ—预测外框角。 图 2 逆轨拦截几何关系 Fig. 2 Head-on interception geometry |
假设拦截弹直接飞向处于预测碰撞点处的静止目标，则估计剩余飞行时间为
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(13) |
式中：预测外框角可表示为γ=θ-β。
由于在实际情况下，各预测量均是未知的，以下的推导则是为了消掉这些未知量。
为便于分析，取拦截弹与目标速度比为
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(14) |
目标与预测碰撞点间距离可表示为
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(15) |
根据图 2可得出目标和拦截弹距离预测碰撞点的三角关系为
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(16) |
由于β和λ为小角，式(16)可近似为
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(17) |
将式(13)~式(15)代入式(17)化简后得
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(18) |
通过求解方程得
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(19) |
按照泰勒级数方法展开根号下内容，可取得预测内框角有效值为
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(20) |
根据图 2可得出拦截弹距离预测碰撞点距离和弹目距离的三角关系为
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(21) |
由于λ和β为小角，式(21)可近似为
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(22) |
将式(20)和式(22)代入式(13)得
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(23) |
拦截弹在顺轨模式下拦截目标的几何关系如图 3所示。
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| 图 3 顺轨拦截几何关系 Fig. 3 Head-pursuit interception geometry |
根据图 3可得出目标和拦截弹距离预测碰撞点的关系可近似为
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(24) |
将式(13)~式(15)代入式(24)化简后，通过求解方程，可取得预测内框角有效值为
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(25) |
根据图 3可得出拦截弹距离预测碰撞点距离和弹目距离的三角关系可近似为
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(26) |
将式(25)和式(26)代入式(13)得
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(27) |
仿真验证主要与韩国的Tahk小组和印度的Ghose小组近年提出的TGO估计方法作对比。
Tahk小组根据几何关系推导出TGO估计的解析式[15]：
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(28) |
可直接用以TGO计算(ϕ为拦截弹速度倾角)，以下简称解析法；Ghose小组是通过方程
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(29) |
经数次递推后预测拦截点(h为出目标飞行路径长度)再根据目标速度解算TGO[14]，以下简称递推法。此外，由于经典TGO估计法(Tgo=R/VC，VC为弹目接近速度)应用广泛，也将其作为对比对象。
仿真采用MATLAB在CPU主频为2.6 GHz的PC机上进行，仿真步长选取为0.000 2 s。
2.1 不同框架角下的TGO仿真验证通过仿真，分别在不同初始框架角下，计算各方法所估计出的TGO误差：逆轨模式下，分别与其他3种方法对比；顺轨模式下，解析法和递推法不再适用，仅与经典法对比，结果如图 4所示。同时，随机选取某次拦截全过程，分别记录4种方法估计TGO所需CPU时间，等间隔采样50个值，结果如图 5所示。
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| 图 4 不同初始框架角下TGO估计误差 Fig. 4 TGO estimation error at different initial heading errors |
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| 图 5 TGO估计所需CPU时间 Fig. 5 CPU time of TGO estimation |
由图 4可知，对于不同框架角下的TGO初始值估计，经典法与预测碰撞点法相比，均存在较大的估计误差。在逆轨模式下，预测碰撞点法与解析法相比估计精度有较大提高；但与递推法相比，在框架角较大时，精度下降。这是由于预测碰撞点法通过“小角度”近似消除框架角的三角函数，框架角在接近90°时，线性条件下的近似虽然合理，但误差有所增大；而递推法在多步迭代计算过程中存在误差补偿修正，故框架角较大时估计效果更好。
由图 5可知，经典法计算最简单，TGO估计所需CPU时间最少，其均值小于2×10-5 s；预测点估计法与解析法所用时间相近，均值都为2.1×10-5 s；递推法运算量最大，所需平均时间为6.576×10-5 s，实时性最差。这是由于递推法在计算过程中通常需要迭代4~5步，TGO估计值才能趋于平稳，因而计算时间最长。
随着制导律不断采用最优化算法，其本身计算量已较难达到实时性要求，而对于TGO的估算应尽量为运算周期节约时间。递推法虽然在框架角较大时有一定优势，但在制导全过程中，实时性不高，故在以下的仿真中，不作为对比对象。
在逆轨模式下，分别选取初始框架角为10°、40°、70°，采用比例系数为3的纯比例(PPN)制导律完成目标拦截仿真；在顺轨模式下，分别选取框架角为110°、140°、170°，采用比例系数为3的负比例(RPN)制导律完成目标拦截仿真。各仿真完成后，确定拦截总时间tf，取实时的剩余拦截时间tgo=tf-t，得到各方法的TGO估计误差如图 6所示。
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| 图 6 不同初始框架角下拦截过程TGO估计误差 Fig. 6 TGO estimation error during interception at different initial heading errors |
由于解析法仅在逆轨拦截模式下有效，因而在顺轨拦截模式下仅与经典TGO估计法作比较。从图 6中可知，逆轨模式下预测碰撞点法不论在初始时刻还是拦截全过程中，都具有最高的估计精度，解析法次之，经典法误差最大；顺轨拦截模式下，预测碰撞点法较经典法同样具有全面优势。其中，当框架角选取为110°拦截时间在1 s时，预测碰撞点的估计误差发生正负变化，是由算法系数项中π-θ-kλ随框架角和视线角改变而发生正负偏转所导致。
2.2 TGO估计对制导律性能的影响为进一步验证TGO估算方法对制导律性能的影响，在不同初始路径倾角下，直接将各方法的估算值用以制导运算。仿真参数如表 1所示。
| 参数 | 取值 |
| 目标速度/(m·s-1) | 1 500 |
| 拦截弹速度/(m·s-1) | 600 |
| 初始弹目距离/m | 10 000 |
| 拦截弹失效距离/m | 30 |
| 初始视线角/(°) | 8 |
| 目标初始路径倾角/(°) | 0 |
| 导航比 | 3 |
拦截弹进入失效距离后，重复执行失效前最后的制导指令。逆轨拦截的仿真结果如表 2和图 7所示(图中1~4为表 2中的方案1~方案4)。表 2中控制力按照∫|a|dt[22]进行计算，图 7(b)中的误差为估计值与实际值的差值。
| 方案 | 初始路径倾角/(°) | TGO估计方法 | 实际飞行总时间/s | 初始加速度/g | 控制力/(m·s-1) |
| 1 | 75 | 预测碰撞点法 | 5.09 | -12.45 | 106.464 3 |
| 2 | 75 | 解析法 | 4.96 | -13.01 | 125.068 5 |
| 3 | 20 | 预测碰撞点法 | 4.74 | 22.05 | 201.831 3 |
| 4 | 20 | 解析法 | 4.79 | 22.21 | 202.419 2 |
|
| 图 7 逆轨拦截仿真结果 Fig. 7 Simulation results of head-on interception |
由仿真结果可知，在不同初始路径倾角条件下，采用预测碰撞点法的TGO估计误差小于解析法，从而其初始加速度和控制力都较小。在初始路径倾角为75°时，由图 7(b)中前2 s的曲线可知，预测碰撞点法的TGO估计误差收敛性更强，这是由于式(23)中将弹目速度比k作为预测碰撞框架角θ-kλ的增益，对实际框架角变化更为敏感。而TGO误差直接反映在拦截弹指令加速度上，虽然预测碰撞点法飞行时间较长，但由图 7(c)可知在4 s以后，加速度趋近于0，拦截基本趋于平行接近，对时间的积分数值很小，故而最终控制力具有明显优势。
顺轨拦截目标的初始参数见表 1，结果见表 3和图 8。仿真结论与逆轨拦截相似，不再赘述。
| 方案 | 初始路径倾角/(°) | TGO估计方法 | 实际飞行总时间/s | 初始加速度/g | 控制力/(m·s-1) |
| 1 | 105 | 预测碰撞点法 | 10.77 | 5.14 | 94.97 |
| 2 | 105 | 经典法 | 10.93 | 4.84 | 111.45 |
| 3 | 160 | 预测碰撞点法 | 10.94 | -9.43 | 182.59 |
| 4 | 160 | 经典法 | 10.75 | -10.55 | 209.71 |
|
| 图 8 顺轨拦截目标仿真结果 Fig. 8 Simulation results of head-pursuit interception |
在拦截机动目标的仿真中，参数不变，目标采用1 g加速度进行恒值机动。为方便与拦截非机动目标的仿真对比，初始路径倾角选择20°和160°，仿真结果如表 4及图 9所示。
| 方案 | 拦截模式 | 初始路径倾角/(°) | TGO估计方法 | 实际飞行总时间/s | 控制力/(m·s-1) |
| 1 | 逆轨 | 20 | 预测碰撞点法 | 4.75 | 218.096 1 |
| 2 | 逆轨 | 20 | 解析法 | 4.80 | 220.716 4 |
| 3 | 顺轨 | 160 | 预测碰撞点法 | 10.99 | 233.670 2 |
| 4 | 顺轨 | 160 | 经典法 | 10.82 | 254.189 3 |
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| 图 9 拦截机动目标仿真结果 Fig. 9 Simulation results of maneuvering target interception |
结合图 7(b)、图 8(b)和图 9(b)可知，在目标机动情况下，由于目标路径改变，导致TGO估计误差初值有所增加。当初始路径倾角为20°时，预测碰撞点法的估计误差初值增大了0.004 s，解析法增大了0.005 s；初始路径倾角为160°时，预测碰撞点法的估计误差初值增大了0.053 s，经典法增大了0.071 s。对于机动目标，预测碰撞点法虽然误差变大，但估计精度和制导性能仍优于其他两者。
3 结 论1) 针对顺/逆轨拦截模式，提出了基于预测碰撞点的剩余拦截时间估计方法。该方法基于线性的RPN/PN制导律，通过假设出的预测碰撞点，求解二阶微分方程并积分得出拦截弹路径，建立拦截弹和目标飞行时间的等式，进而得出预测碰撞点位置和剩余拦截时间。通过与3种不同TGO估计方法对比，验证了基于预测碰撞点TGO估计法的有效性，并具有精确度高、控制力小等特点。
2) 本文提出的TGO估计方法所需参数少、计算简单、实时性好，其思想对于不同制导律都易于移植和实施，尤其是算法复杂多变的最优制导律。
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