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含孔隙基体缎纹编织复合材料面内压缩弹性性能预报
边天涯1 , 关志东1 , 刘发齐1 , 王仁宇1 , 穆军武2     
1. 北京航空航天大学 航空科学与工程学院, 北京 100083;
2. 复杂航空系统仿真重点实验室, 北京 100076
摘要: 缎纹编织复合材料细观结构复杂,传统弹性性能预报方法较难适用。针对该问题,建立缎纹编织复合材料代表体积单元(RVE),对RVE模型面内压缩弹性模量和面内泊松比的预报方法进行了研究。分别基于能量法原理和单夹杂理论,对弯曲纤维束纵向压缩模量和含孔隙基体弹性性能进行预报,改进了传统细观力学中的混合率方法,并利用已得的组分材料性能对RVE模型有效面内压缩模量和面内泊松比实现了解析法预报。基于Python语言对ABAQUS有限元分析软件进行二次开发,建立了基体含孔隙的RVE模型,利用RVE模型在基本受力状态下的有限元方法结果实现有效面内压缩模量和面内泊松比的有限元方法预报。基于碳/碳复合材料,解析法与数值法计算结果吻合很好,实现了对缎纹编织材料面内压缩性能的有效预报。
关键词: 编织复合材料     压缩弹性性能     代表体积单元     能量法     有限元方法    
Prediction on in-plane compression elastic properties of satin weave composites with pore matrix
BIAN Tianya1 , GUAN Zhidong1 , LIU Faqi1 , WANG Renyu1 , MU Junwu2     
1. School of Aeronautic Science and Engineering, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100083, China ;
2. Science and Technology on Complex Aviation Systems Simulation, Beijing 100076, China
Received: 2015-05-18; Accepted: 2015-08-29; Published online: 2016-05-25 12: 00
Corresponding author. Tel.: 010-82338873 E-mail:d5062010@163.com
Abstract: Because of the complex meso-structure of satin weave composites, it is difficult to apply traditional methods to prediction on elastic properties. For this problem, the representative volume element (RVE) of satin weave composite was established and research on prediction on effective in-plane compression modulus and in-plane Poisson's ratio of the RVE was made. Longitude compression modulus of bending fiber yarns and properties of pore matrix were calculated based on energy method and inclusion theory, respectively. Traditional rules of mixtures formulations were improved so as to get an accurate analytical prediction on in-plane compression modulus and in-plane Poisson's ratio of the RVE. The model of the RVE was established based on Python language being used in the finite element method software ABAQUS. Prediction on effective in-plane compression modulus and in-plane Poisson's ratio was made based on finite element method results of the model under the basic forced state. The error between analytical method and numerical simulation is small, which gives an excellent prediction on in-plane compression modulus and in-plane Poisson's ratio of carbon/carbon satin weave composites.
Key words: braided composite     compression elastic properties     representative volume element     energy method     finite element method    

编织复合材料是一种新型的结构材料,具有高比强度、高比模量以及可设计性等优良性能,近年来受到工程领域广泛关注,现已作为重要的耐高温结构材料大量应用于航空航天飞行器中,同时在民用方面,诸如体育用品、医疗器械等方面的应用也日益增多。为更合理地利用编织复合材料,则需要了解与掌握其细观结构及力学行为。通常把编织复合材料细观结构中独立重复的代表体积单元(RVE)称为单胞,单胞的力学性能决定于其结构形式。目前,国内外已有不少关于编织复合材料单胞弹性性能研究的文献,包括编织复合材料单胞结构几何建模方法[1-4],编织复合材料弹性性能预报和力学行为研究[5-9]等。综合诸多研究结果,编织复合材料弹性性能研究的通用基本步骤为:依据材料细观结构,确定其单胞结构,通过几何方法进行简化并描述,建立单胞几何模型;在单胞几何模型上进行受力分析,确定其刚度矩阵。该通用方法也适用于缎纹编织复合材料弹性性能研究,但是缎纹编织细观结构具有复杂性和材料多孔性等特点,其性能研究方法尚需进一步探索与改进。

针对编织材料细观结构复杂性特点,Mu[10]和Guan[11]等基于实验研究,对8枚三飞缎纹编织结构几何建模进行了阐述,Xiong[12]和Cheng[13]等基于能量法原理,建立了平面平纹编织复合材料的单胞有限元模型,并对其拉伸和压缩模量进行了准确的预报。针对细观结构多孔性特点,卢子兴等[14]利用ABAQUS二次开发数值模拟方法,建立了含孔隙平纹机织复合材料的单胞有限元模型,预测了其拉伸行为,阚晋[15]基于Eshelby等效夹杂理论,对碳基体的有效模量进行了预测,并建立了含界面层的缎纹编织碳/碳复合材料单胞模型,利用有限元方法预测其拉伸模量,袁辉[16]基于微分法理论,对含孔隙碳基体细观结构进行了分析,而后采用坐标转换方法对三维四向编织碳/碳复合材料的刚度进行了预报。

本文针对8枚三飞缎纹编织细观结构单胞模型,基于碳/碳复合材料体系,考虑了碳/碳复合材料具有孔隙缺陷的特点,基于夹杂理论稀疏方法,分析了含孔隙碳基体的弹性性能。根据最小余能原理,分析了纤维束的弯曲特性对其纵向压缩模量的影响。建立了适用于纵横交叠缎纹编织细观结构的面内压缩模量和面内泊松比解析预报方法。同时,应用基于Python语言的ABAQUS有限元软件二次开发技术,建立了含孔隙缎纹编织复合材料单胞有限元模型,实现了其弹性性能的数值方法预报。基于碳/碳复合材料体系对比解析法和数值法计算结果,结果显示二者吻合良好,实现了对缎纹编织材料面内压缩模量和面内泊松比的有效预报。

1 单胞结构基本属性

编织复合材料单胞结构的基本属性包括:编织结构形式、几何描述、组分体积分数和组分材料属性。这些基本属性决定单胞结构的力学性能。

1.1 编织结构形式

8枚三飞缎纹编织复合材料单胞结构由8根经向纤维束和8根纬向纤维束交织成的纤维布以及周围的基体组成,如图 1所示[17],该图中并未显示基体成分。

图 1 8枚缎纹编织材料RVE结构[17] Fig. 1 RVE structure of 8-harness satin weave material[17]

对于8枚三飞缎纹编织单胞结构,文献[15]将其划分为3种规则排布、重复重现的子单胞结构,依据其中纤维束段空间位形,可将其分为交叠子单胞、半交叠子单胞和无交叠子单胞,如图 2所示[18]。3种子单胞结构中共包含3种形状纤维束段,分别为两端均弯曲的弯曲纤维束段,一端弯曲的半弯曲纤维束段和两端均不弯曲的直纤维束段。其中交叠子单胞中包含2根弯曲纤维束段,半交叠子单胞中包含一根半弯曲纤维束段和一根直纤维束段,无交叠子单胞中包含2根直纤维束段。需要说明的是,子单胞均为长方体形状,图 2只显示了经向和纬向纤维束,并未显示基体成分。

图 2 子单胞细观结构[18] Fig. 2 Meso-structures of sub unit cells[18]
1.2 几何描述

单胞结构的几何描述主要是对纤维束横截面和纤维束空间位形进行数学方式表达,如圆形纤维束截面-正弦曲线空间位形[2]、双凸透镜形纤维束截面-正弦曲线空间位形[3]以及跑道形纤维束截面-直线与曲线组合空间位形[4]。本文对缎纹编织复合材料单胞结构做出如下几何假设:①纤维束横截面形状为“跑道形”,如图 3所示;②纤维束中心线由正弦曲线段和直线段组合而成,以交叠子单胞中的弯曲纤维束段为例,如图 4所示;③经向纤维束和纬向纤维束为空间垂直相交;④不同层纤维布中的经向纤维束是相互平行的。

图 3 纤维束跑道形横截面形状 Fig. 3 Runway shape cross-section of fiber yarns
图 4 交叠子单胞中的弯曲纤维束 Fig. 4 Bending yarn in bending sub unit cell

纤维束横截面积(S)和转动惯量(I)分别为

(1)
(2)

交叠子单胞中弯曲纤维束段中心线分为s1s2s3共3段,各段方程分别为

(3)
(4)
(5)

式中:zi(i=1,2,3)为纤维束中心线挠度;x为纤维束中心线方程自变量。

纤维束和子单胞几何参数数值如表 1[15]所示。

表 1 纤维束几何参数[15] Table 1 Geometric parameters of fiber yarns[15]
几何参数/mm 数值
w 0.6
t 0.2
h 0.46
l 1.3

1.3 组分体积分数

表 1中子单胞的厚度为0.46 mm,子单胞厚度大于2层纤维束厚度是由于相邻纤维布之间存在间隙。根据子单胞的宽度和厚度,得到其体积为0.777 4 mm3

根据纤维束横截面面积以及子单胞中经向和纬向纤维束段的长度,分别得到不同子单胞中的纤维体积分数,如表 2所示。子单胞中除纤维体积外,均为基体。

表 2 子单胞中纤维体积分数 Table 2 Fiber volume fraction in sub unit cells
不同子单胞纤维体积分数/% 数值
交叠子单胞 cf1 37.9
半交叠子单胞 cf2 37.4
无交叠子单胞 cf3 37.3

1.4 组分材料属性

本文基于碳/碳复合材料体系进行缎纹编织结构弹性性能预报。其中碳纤维为正交各向异性T300纤维,碳基体为各向同性材料。T300碳纤维和无孔隙碳基体的材料性能参数分别如表 3[19]表 4[15]所示。

表 3 T300纤维材料属性[19] Table 3 Material properties of T300 fiber[19]
弹性性能参数 数值
纵向弹性模量 Ef1/GPa 230
横向弹性模量 Ef2/GPa 15
主泊松比 νf21 0.2

表 4 无孔隙碳基体材料属性[15] Table 4 Material properties of pure carbon matrix[15]
弹性性能参数 数值
弹性模量 Em/GPa 9.254
泊松比 νm 0.23

2 面内压缩弹性性能解析法预报 2.1 纤维束纵向压缩模量折减系数

纤维束弯曲会对其纵向压缩模量产生一定程度影响。传统方法多采用刚度平均法对弯曲纤维束或空间斜位纤维束进行有效模量预报[20-22]。文献[12-13]将纤维束简化为梁,并利用最小余能原理得到了平纹编织单胞的结构中弯曲纤维束的拉伸或压缩模量。

参考文献[12-13]的方法,将交叠子单胞中弯曲纤维束段简化为弯曲梁,如图 4所示。根据中心线方程式(3)~式(5),第si段中心线斜率方程为

(6)

式中:θi为纤维束中心线切线倾斜角。

在进行弯曲纤维压缩模量预报计算中并不考虑基体的影响。假设弯曲经向纤维束段处于单轴应力加载状态,则单轴压力T1和纤维束段端部支反弯矩T2图 5所示。

图 5 纤维束段受力状态 Fig. 5 Forced state on fiber yarn

根据材料力学理论,纤维束段中的截面弯矩和截面力可如下表示。

纤维束段中第si段截面弯矩为

(7)

纤维束段中第si段截面力为

(8)

纤维束段总余能为

(9)

T1T2可被认为是0阶张量,将式(7)和式(8)代入式(9),并以张量形式进行表达,即

(10)

式中:λjk为只与几何参数有关的常数。

根据最小余能原理,可以得到

(11)
(12)

式中:Kjk为只与几何参数有关的常数;Δ为子单胞压缩变形量。

由式(11)和式(12)组成的线性方程组可以得到

(13)

也即

(14)

式中:W为只与几何参数有关的常数。

则弯曲纤维束纵向压缩模量为

(15)

式中:S′为弯曲纤维束段端部截面面积。

则交叠子单胞中弯曲纤维束段纵向压缩模量的折减系数[23-24]

(16)
(17)

此外,直纤维束段的纵向压缩模量折减系数为1,半弯曲纤维束段的纵向压缩模量折减系数定义为

(18)

由此得到3种不同纤维束段的纵向压缩模量折减系数如表 5所示。

表 5 3种纤维束段的纵向压缩模量折减系数 Table 5 Longitude compression modulus reduction factors of three kinds of yarns
纤维束段类型 纵向压缩模量折减系数
弯曲纤维束段 0.700 7
半弯曲纤维束段 0.850 4
直纤维束段 1

2.2 含孔隙基体弹性性能预报

含孔隙基体的弹性性能预报属于单夹杂问题。本文将基体所含孔隙认为是球形夹杂,并采用复合材料线性有效模量预测近似方法中的稀疏法进行含孔隙基体的弹性性能预报。

无孔隙碳基体作为各向同性材料,其模量张量Cijkl可用无孔隙基体剪切模量G、泊松比ν、Kronecker符号(δijδklδikδjlδilδjk)和无孔隙基体体积模量K表示为

(19)

利用简化方法将式(19)写成矩阵形式

(20)

式中:

(21)
(22)
(23)

根据稀疏方法,含球型夹杂材料的体积模量和剪切模量的估计分别为[25]

(24)
(25)

式中:c1为夹杂介质体积分数;K1G1分别为夹杂介质的体积模量和剪切模量,对于孔隙而言,K1=0,G1=0;KpGp定义为

(26)
(27)

分别为含孔隙基体的有效弹性模量和有效泊松比,则其稀疏法近似预测值为

(28)
(29)
2.3 子单胞面内压缩弹性性能预报

传统混合率算法中的串联模型不能很好地解决缎纹编织子单胞的弹性性能预报问题。为更有效地对缎纹编织子单胞进行面内压缩弹性性能预报,本文将子单胞划分为上、下2层,子单胞受力状态如图 6所示。并做出假设:①上、下2部分在同一方向(方向1或方向2)的应变相等;②整个子单胞中内应力保持平衡。

F—子单胞受力;σf1,σf2—1方向和2方向的纤维束应力;σm1,σm2—子单胞上层1方向和2方向的基体应力;σ1,σ2—子单胞下层1方向和2方向的基体应力。 图 6 子单胞受力状态 Fig. 6 Force state of sub unit cell

根据上述假设,对于1方向加载情况,可得

(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)

式中:Ef2为纤维束横向弹性模量;ε1ε2分别为1方向和2方向的应变;νf12为纤维束面内1、2方向泊松比;cfcm分别为纤维和基体的体积分数;η1η2分别为1方向和2方向纤维束段的纵向压缩模量折减系数,具体数值如表 5所示。

式(30)~式(36)可以整理为矩阵形式:

(37)

式中:

(38)

Ab均为只与材料参数和组分体积分数有关的常数矩阵和常数向量。

根据克莱默法则,可得

(39)

式中:AiA的第i列依次替换为1而得。

由式(38)可得

(40)

式中:P1,P2,…,P7均为只与材料参数和组分体积分数有关的常数。

则子单胞的1方向有效面内压缩弹性模量和有效面内泊松比分别为

(41)
(42)

对于交叠子单胞和无交叠子单胞,面内1方向和2方向纤维束段类型相同,也即1方向和2方向的有效面内压缩弹性模量和有效面内泊松比相等。对于半交叠子单胞,面内2方向具有不同类型纤维束段,需要再进行一轮2方向加载情况的计算,得到面内2方向有效面内压缩弹性模量E2cell和有效面内泊松比ν12cell

2.4 单胞弹性性能预报

8枚三飞缎纹编织复合材料的单胞可以被划分为64个子单胞,其中包括8个交叠子单胞,32个半交叠子单胞以及24个无交叠子单胞。本文8枚三飞缎纹编织单胞在面内1方向和2方向具有相同的纤维束横截面积、弯曲程度、材料性能和交叠点密度,属于“平衡单胞”[26],也即2方向的有效面内压缩模量和有效面内泊松比与1方向相同。

以1方向为研究对象,需要指明的是32个半交叠子单胞中有16个为半弯曲纤维束段平行1方向,另外16个为直纤维束段平行1方向,则根据串联模型混合率算法,单胞在1方向的有效弹性模量和有效泊松比分别为

(43)
(44)

式中:cc1cc2cc3分别为交叠子单胞、半交叠子单胞和无交叠子单胞的体积分数;E1cell1E1cell3分别为交叠子单胞和无交叠子单胞的有效面内压缩模量;E1cell2为半交叠子单胞中半弯曲纤维束段方向的有效面内压缩模量;E2cell2为半交叠子单胞中直纤维束段方向的有效面内压缩模量;ν21cell1ν21cell3分别为交叠子单胞和无交叠子单胞的有效面内泊松比;ν21cell2为半交叠子单胞中半弯曲纤维束段方向的有效面内泊松比,ν12cell2为半交叠子单胞中直纤维束段方向的有效面内泊松比。

3 面内压缩弹性性能数值法预报 3.1 有限元模型

有限元分析基于ABAQUS商用有限元软件。3种子单胞的有限元模型采用三维实体线性四面体单元C3D4,通过反复增加网格数量,直至计算结果不再变化,以确保有限元模型的有效性。如1.2节所述,子单胞的宽度为1.3 mm,厚度为0.46 mm,其中交叠子单胞共具有590 948个网格,半交叠子单胞共具有609 305个网格,无交叠子单胞共具有605 283个网格。子单胞有限元模型如图 7所示。

图 7 子单胞有限元模型 Fig. 7 Finite element model of sub unit cell

在子单胞有限元模型中,设定在同一表面的所有节点满足如下边界条件:某表面所有节点在该表面法向具有相等位移。

3.2 建立基体孔隙

在子单胞有限元模型中,划分网格后,网格具有唯一且有序排列的编号。本文通过采用设定基体孔隙率的数值,而后基于Python语言实现对ABAQUS二次开发,从基体网格中随机选取相应数量比例的网格,对该些网格进行重新赋予孔隙属性,为保证数值计算的可行性,同时兼顾孔隙的属性,将孔隙单元模量和泊松比设定为极低水平,得到基体含孔隙的子单胞模型。含孔隙基体网格图如图 8所示,图中深色单元即为孔隙单元。

图 8 含孔隙基体网格 Fig. 8 Meshes of matrix with pore
3.3 子单胞有效弹性性能预报

在有限元计算过程中,加载方式采用位移边界条件。对于交叠子单胞和无交叠子单胞,其1方向前表面位移加载定义为沿1方向具有0.001 3 mm压向位移,1方向后表面位移定义为0,即单胞1方向变形量为0.001 3 mm。其他4个表面不添加位移约束。有限元计算结果中,利用1方向后表面的支反力结果R及1方向变形量Δl=0.001 3 mm可求得子单胞有效面内1方向压缩模量为

(45)

2方向前表面与2方向后表面沿2方向的位移差值为单胞2方向变形量,2方向变形量与1方向变形量比值即为面内泊松比数值计算结果。

对于半交叠子单胞,由于面内1方向和2方向弹性性能不同,需要再进行一轮2方向的位移加载。有限元方法计算结果如表 6所示。

表 6 各加载状况有限元方法计算结果 Table 6 Finite element method calculation results of all force states
基体孔隙率/% 交叠子单胞1方向加载 半交叠子单胞1方向加载 半交叠子单胞2方向加载 无交叠子单胞1方向加载
1方向支反端载荷/N 2方向变形/(10-5mm) 1方向支反端载荷/N 2方向变形/(10-5mm) 1方向支反端载荷/N 2方向变形/(10-5mm) 1方向支反端载荷/N 2方向变形/(10-5mm)
0 26.87 7.265 28.62 6.260 30.85 6.787 30.85 6.320
2 26.73 7.344 28.49 6.302 30.74 6.854 30.74 6.360
4 26.53 7.148 28.30 6.080 30.57 6.663 30.56 6.138
6 26.32 6.984 28.10 5.850 30.39 6.471 30.39 5.908
8 26.11 6.855 27.90 5.610 30.22 6.277 30.21 5.666
10 25.90 6.756 27.70 5.360 30.04 6.089 30.03 5.414

各子单胞面内有效压缩弹性性能得到后,仍采用式(42)和式(43)进行整体单胞有效压缩弹性性能的计算。

4 计算结果与讨论 4.1 解析法与数值法计算结果对比

解析法与数值法计算结果对比如表 7所示。从表 7可以看出,在孔隙率不大于4%时,有效面内压缩模量的解析法预报误差控制在2.70%以内,有效面内泊松比的解析法预报误差控制在0.5%以内。当孔隙率大于5%时,由于夹杂理论稀疏方法适用范围的局限性,有效面内压缩模量和有效面内泊松比解析法预报误差均有所增加,当基体孔隙率为10%时,有效面内压缩模量解析法预报误差达到2.77%,有效面内泊松比解析法预报误差达到3.40%,误差仍处于较低水平。

表 7 解析法与数值法结果对比 Table 7 Comparison of results of analytical method and numerical simulation
基体孔隙率/% 预报面内压缩模量/GPa 面内压缩模量结果误差/% 预报面内泊松比 面内泊松比结果误差/%
解析法 数值法 解析法 数值法
0 48.49 49.82 2.67 0.050 5 0.050 3 0.40
2 48.29 49.63 2.70 0.050 7 0.050 7 0
4 47.99 49.32 2.70 0.048 9 0.049 1 0.41
6 47.68 49.01 2.71 0.046 9 0.047 5 1.26
8 47.36 48.70 2.75 0.044 8 0.045 8 2.18
10 47.04 48.38 2.77 0.042 6 0.044 1 3.40

综上所述,本文提出的解析预报方法能有效地进行缎纹编织复合材料面内压缩模量和面内泊松比的预报。

4.2 基体孔隙率对RVE有效弹性性能影响

图 9为有效面内压缩模量和有效面内泊松比随基体孔隙率变化曲线。从图 9可以看出,随着基体孔隙率增加,缎纹编织复合材料整体单胞有效面内压缩模量和有效面内泊松比呈降低趋势。有限元计算结果中,当基体孔隙率达到10%时,缎纹编织复合材料整体单胞有效面内压缩模量降低2.89%,有效面内泊松比降低13.94%。可见,随着基体孔隙率增大,单胞有效面内泊松比降低明显。

图 9 有效面内压缩模量和有效面内泊松比随基体孔隙率变化曲线 Fig. 9 Curves of effective in-plane compression modulus and effective in-plane Poisson’s ratio changing with matrix porosity
5 结 论

1) 针对缎纹编织复合材料细观结构复杂性、多孔性等特点,本文应用最小余能原理进行了弯曲纤维束的纵向压缩模量预报,采用单夹杂理论中的稀疏法进行了含孔隙基体的弹性性能预报,建立了适用于缎纹编织复合材料面内压缩模量和面内泊松比预报的混合率方法。

2) 本文基于Python语言对ABAQUS软件的二次开发技术,建立了含“模拟孔隙”的缎纹编织单胞结果模型,并基于碳/碳复合材料,进行解析方法和数值方法对面内压缩模量和面内泊松比预报结果对比,对比结果显示在基体孔隙率不大于10%时,误差低于3%。

3) 分析了基体孔隙率变化对缎纹编织复合材料有效面内压缩模量和有效面内泊松比的影响,其中当孔隙率为10%时,有效面内压缩模量降低2.89%,有效面内泊松比降低13.94%。

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http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2015.0312
北京航空航天大学主办。
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文章信息

边天涯, 关志东, 刘发齐, 王仁宇, 穆军武
BIAN Tianya, GUAN Zhidong, LIU Faqi, WANG Renyu, MU Junwu
含孔隙基体缎纹编织复合材料面内压缩弹性性能预报
Prediction on in-plane compression elastic properties of satin weave composites with pore matrix
北京航空航天大学学报, 2016, 42(5): 1016-1024
Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2016, 42(5): 1016-1024
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2015.0312

文章历史

收稿日期: 2015-05-18
录用日期: 2015-08-29
网络出版时间: 2016-05-25 12: 00

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