极值搜索系统是一类广泛存在于工业生产和军事应用领域的实际系统,涵盖了非线性分布式参数控制系统^{[1, 2]}、极限环运动控制系统^{[3, 4]}、生化反应控制系统^{[5, 6]}和可变环境中极值功率输出控制系统^{[7, 8]}等诸多方面。不同类型极值搜索控制方法^{[9, 10, 11, 12, 13, 14]}的出现解决了一些状态量可测的极值搜索系统的控制问题。然而,在某些极值搜索系统中,由于实际工作条件的限制,导致系统的状态量是不易测量或者不可测量的,则现有基于状态反馈的极值搜索控制方法将无法解决此类极值搜索系统的控制问题。

针对状态不可测的多输入多输出(Multi-Input Multi-Output,MIMO)仿射型非线性极值搜索系统,为了在不增加控制系统设计难度的情况下实现对被控对象的极值控制,提出了一种输出反馈滑模控制方法。该方法不要求被控对象的状态量可测,将MIMO仿射型非线性极值搜索系统分解为若干个单输入单输出(Single-Input Single-Output,SISO)极值搜索子系统,并以新建子系统的输出量作为反馈控制量,利用斜坡函数作为输出量的参考跟踪信号,以输出跟踪误差以及该误差符号函数的积分值构建切换函数,从而设计得到系统的滑模极值搜索控制律。该输出反馈滑模控制方法不仅可以实现对被控对象的极值控制,更可以提高控制方法的鲁棒性。稳定性分析证明:无论在任何初始条件下,该方法都可使系统的输出量全局收敛至其期望极值的任意小邻域内,且所有状态量均一致范数有界。

1 问题阐述

针对如下MIMO仿射型非线性极值搜索系统:

式中:为不可测量的状态量,x_i=[x_i1 x_i2…x_ini]^T,1≤i≤m;u=[u₁u₂…u_m]^T∈R^m为输入量;y=[y₁y₂…y_p]^T∈R^p为可测的输出量,且存在极值y^*=[y₁^*y₂^*…y_p^*]^T,不失一般性,假设输出量y具有极大值y^*;f_i(·)和g_i(·)(1≤i≤m)为非线性光滑函数;h(x)=[h₁(x₁₁,x₁₂,…,x_1h1)h₂(x₂₁,x₂₂,…,x_2h2)…h_p(x_p1,x_p2,…,x_php)]^T为关于状态量x的光滑极值函数,且函数h_i(·)中的状态量互不重复,为系统参数扰动或外界干扰引起的不确定项。

假设1    针对MIMO仿射型非线性极值搜索系统(见式(1)),存在输入量u使得状态量x和输出量y均稳定且有界。

假设2    在MIMO仿射型非线性极值搜索系统(见式(1))中,光滑函数g_i(x)存在非零下界,即0<G_i≤‖g_i(x)‖,其中,G_i为下界值,1≤i≤m。

假设3    对于MIMO仿射型非线性极值搜索系统(见式(1)),存在极值点x^*,使得输出量y取得极大值y^*,因此,,(i∈[1,2,…,m],j∈[1,2,…,p]),且对于给定的常数Δ>0,总是存在一个常数₁(Δ)>0,使得₁(Δ)≤‖H′(x)‖,∀x∉D_Δ:={x:‖x-x^*‖<Δ/2},其中,

D_Δ为关于极值点x^*的Δ邻域。显然,常数₁(Δ)将随着Δ的变化而变化。为方便描述,₁(Δ)简写为₁。

假设4    在MIMO仿射型非线性极值搜索系统(见式(1))中,信号d存在上确界,即满足‖d‖≤d_max,d_max为已知值。

既定控制目标:针对MIMO仿射型非线性极值搜索系统(见式(1)),设计一种输出反馈滑模控制方法,使得闭环控制系统稳定,且系统的状态量和输出量均一致范数有界,输出量y全局收敛至极大值y^*的有界邻域内。

为了实现既定的控制目标,对MIMO仿射型非线性极值搜索系统(见式(1))进行一定转换,重新构建m个子系统,其中,第i(1≤i≤m)个极值搜索子系统的模型为

式中为第i个极值搜索子系统的状态量;_i为在状态量x中除去x_i以外的其余状态量;为输出量,∈R。

当分析第i个极值搜索子系统(见式(2))时,可假设其他子系统的状态量均有界,这也符合一般系统的设计要求,而且本文设计的输入量必须确保所有极值搜索子系统的状态量有界。

通过分解得到的极值搜索子系统(见式(2))属于MIMO仿射型非线性极值搜索系统(见式(1))的子系统,同样具有输出极大值,因此也满足假设3的条件:对于给定的常数Δ_i>0(Δ_i<Δ),总是存在一个常数_2i(Δ_i)>0,使得

式中:为关于极值点_i^*的Δ_i邻域,且D_Δ。

假设5    存在已知的K_∞函数α₁ⁱ和α₂ⁱ,即α₁ⁱ,α₂ⁱ∈K_∞,使得Lipschitz连续函数f_i(x_i,_i)和h(x)满足如下条件:

由于极值搜索子系统(见式(2))属于MIMO仿射型非线性极值搜索系统(见式(1))的子系统,根据既定的控制目标,可转换得到新的控制子任务:设计一种输出反馈滑模控制方法,使得闭环控制系统(见式(2))全局渐近稳定,且该系统的状态量和输出量均一致范数有界,输出量全局收敛至极大值^*的有界邻域内。

2 方法设计

针对第i个极值搜索子系统(见式(2))的模型,定义e为输出量的跟踪误差,其具体形式为

式中:y_r为输出量的参考信号,其初值为y_r0，其形式为斜坡函数,即

其中:k_r>0为设计参数。

对跟踪误差e求取1阶微分,并将式(2)、式(7)代入,可得

式中:

根据的定义可知

式中:α₃ⁱ(‖x‖)=2‖h(x)‖+2‖y^*‖;α₄ⁱ(‖x‖)=max(α₂ⁱ(‖x‖),1),α₃ⁱ和α₄ⁱ为K_∞函数。

根据式(4)和式(9),可得

根据假设4和式(9),可知

根据假设2、假设3和式(3),对于_i∉,可知

式中:k_φⁱ为满足k_φⁱ≤_2imin(G_i,₁G_i)的已知下界值。

针对非线性极值搜索子系统(见式(2)),设计基于输出反馈滑模控制的输入量u_i为

式中:ρ_i为调节函数;σ(t)为切换函数;sgn(·)为符号函数;ε>0为设计常数。

调节函数ρ_i设计为

式中:γ>0为设计常数;β>0为衰减指数;δ>0为设计的任意小常数。

切换函数σ(t)设计为

对切换函数σ(t)求取1阶微分,并将式(8)代入,可得

评注    虽然K_∞函数α₁ⁱ、α₂ⁱ、α₃ⁱ和α₄ⁱ涉及到状态量x,但是根据极值搜索子系统(见式(2)),应用所设计的输入量u_i(见式(13))和范数观测器,可以在无需状态量x可测的情况下,实现函数α₁ⁱ、α₂ⁱ、α₃ⁱ和α₄ⁱ。

3 控制系统的稳定性分析

针对非线性极值搜索子系统(见式(2)),当采取式(13)~式(15)所示的基于输出反馈滑模控制的输入量u_i时,构成的闭环控制系统如图 1所示。

定理1    针对非线性极值搜索子系统(见式(2)),采用输入量u_i如式(13)~式(15)所示,则在有限的时间内,系统的状态量_i、输出量和切换函数信号σ(t)都不会出现发散现象,且切换函数σ(t)会运动到滑模面kε,即σ(t)=kε,其中k为正整数。

证明    积分型函数S₁(σ(t))和S₂(σ(t))设计如下:

当σ(t)≥0时,

当σ(t)<0时,

此外,

函数S₁(σ(t))和S₂(σ(t))的曲线如图 2所示。可知,函数S₁(σ(t))和S₂(σ(t))始终满足S₁(σ(t))≥0，S₂(σ(t))≥0,且关于零点都具有对称性,在此主要对式(17)和式(19)进行分析。

对S₁(σ(t))和S₂(σ(t))分别求取1阶微分,并代入式(8)和式(13),可得

当sgn(φ₁ⁱ(_i,_i))<0时,考虑到调节函数ρ_i≥0和-‖φ₁ⁱ(_i,_i)‖<-k_φⁱ,并代入式(10)、式(11)和式(14),可得

当sgn(φ₁ⁱ(_i,_i))>0时,存在

针对切换函数σ(t)是否发散的命题,采用反证法进行分析。首先假设在时刻t₁∈[0,∞)时,切换函数σ(t)会出现发散现象,则根据σ(t)的定义式(15)可知,跟踪误差e(t)和输出量(t)都会出现发散现象。因此,假设存在时刻t₂∈[0,t₁),使得在[t₂,t₁)区间内,(t)≥e^βt(δ₁-δk_φⁱ)/k_φⁱ成立,其中δ₁为任意小的正数。将(t)≥e^βt(δ₁-δk_φⁱ)/k_φⁱ代入式(22)和式(23),可得₁(σ(t))≤-δ₁,₂(σ(t))≤-δ₁。

由于假设当t≥t₁时,切换函数σ(t)已发生了发散现象,并且考虑到切换函数σ(t)的连续性,则存在时刻t₃∈[t₂,t₁)和整数k_σ,使得Σ(t₃)=k_σε。由图 2可知,当k_σ为偶数时,S₁(σ(t₃))=0;当k_σ为奇数时,S₂(σ(t₃))=0。考虑到S₁(σ(t))≥0,S₂(σ(t))≥0,₁(σ(t))≤-δ₁,₂(σ(t))≤-δ₁和δ₁>0,则存在S₁(σ(t))₁(σ(t))≤-δ₁S₁(σ(t))≤0和S₂(σ(t))₂(σ(t))≤-δ₁S₂(σ(t))≤0。由此可知,对于任意时刻t∈[t₃,t₁),S₁(σ(t))=0或者S₂(σ(t))=0,此时切换函数σ(t)=k_σε。

由于切换函数σ(t)是连续函数,而结论“当t∈[t₃,t₁)时,σ(t)=k_σε”与前提假设“在时刻t₁∈[0,∞)时,切换函数σ(t)会出现发散现象”是相互矛盾的。因此该假设不成立,σ(t)、_i(t)和(t)在有限时间内都不会出现发散现象。

由于||e^-βt是随时间变化的指数递减函数,根据上述分析可知,存在t_a≥0,使得_i(σ(t))≤-δ_a(i=1,2)和||e^-βt→0,其中0<δ_a<k_φⁱδ。根据文献[15]的相关引理可知,对于t≥t_a,存在

针对式(24),当t≥t_a时,存在S_i(σ(t))=0。当S_i(σ(t))=0时,存在σ(t)=kε。由于在σ(t)=kε的邻域内,当k为偶数时,;当k为奇数时,。

定义Lyapunov函数如下:

对式(25)求取1阶微分,并将式(13)和式(16)代入,可得

根据切换函数σ(t)的定义式(15)可知,当sgn(φ₁ⁱ(_i,_i))<0时,切换函数σ(t)会运动至σ(t)=kε,其中k为偶数,此时,将其与式(10)、式(11)和式(14)代入式(26),当t≥t_a时,可得

当sgn(φ₁ⁱ(_i,_i))>0时,切换函数σ(t)也会运动至σ(t)=kε,其中k为奇数,此时,同理可得

由于V≥0,且≤0,根据Lyapunov稳定性理论可知,存在σ(t)=kε。由此说明,在有限时间内,切换函数σ(t)总会趋于一个滑模面σ(t)=kε,其中k为整数。

证毕

定理2    针对非线性极值搜索子系统(见式(2)),满足假设1~假设5,如果采用输入量u_i如式(13)~式(15)所示,则状态量_i将在有限时间内全局收敛至邻域内,并且对于足够小的_2i,输出量在极大值^*附近的振荡幅值是关于参数ε的无穷小量,即|-^*|=O(ε),同时状态量_i以及输出量都一致范数有界。

证明    1) 采用反证法,证明状态量_i将在有限时间内全局收敛至邻域内。

首先假设状态量_i在所有时间内都不能进入邻域内,则根据定理1可知,存在时刻t_s>0,使得切换函数的变化率(t)=0。根据切换函数σ(t)的定义式(15)可知,∀t≥t_s,(t)=-γsgn(e(t))。由此可知,跟踪误差e=-y_r将趋近于零,由于k_r>0,则随着参考轨迹y_r的严格递增,输出量也会逐渐增加。由于已知输出量具有极大值^*,因此当时间t足够大时,总会使得输出量趋近于极大值^*,此时状态量_i进入邻域内。

显然,结论“当时间t足够大时,状态量_i进入邻域内”与前提条件“状态量_i在所有时间内都不能进入邻域内”是相互矛盾的。因此,状态量_i必将在有限时间内全局收敛至邻域内,输出量也将趋于极大值^*的很小邻域内。

随着趋于极大值^*,依据=-(y-y^*)^T·(y-y^*),可知y会收敛于y^*,根据假设3可知,针对式(2),当控制矩阵时,系统对y的控制作用将越来越弱,直至失去控制作用,则将围绕极大值^*进行振荡。在此振荡过程中,切换函数σ(t)将从一个滑模面kε转换到另一个滑模面(k+1)ε。为此,进一步证明输出量在极大值^*附近的振荡幅值是关于参数ε的无穷小量。

2) 证明输出量在极大值^*附近的振荡幅值是关于参数ε的无穷小量。

针对输出量在极大值^*附近的振荡问题,分2种情况进行讨论:①情况1:状态量_i一直在邻域内进行振荡运动;②情况2:状态量_i的振荡运动会逃出邻域,然后再返回进入邻域内。

① 情况1:如果状态量_i一直在邻域内进行振荡运动,则通过选取合适的_2i,可以使得Δ任意小,从而满足|-^*|=O(ε)。

② 情况2:如果状态量_i的振荡运动会逃出邻域,然后再返回进入邻域,则就需要证明输出量在此以外的振荡范围也是关于参数ε的无穷小量。

由于参考轨迹y_r是严格递增的,且输出量存在极大值^*,则一定存在时间t^*>0,使得sgn(e(t))=-1。由切换函数σ(t)的定义式(15),可得

假设当时刻t=t₁(t₁>t^*)时,状态量_i从邻域内运动到其边缘处。对于∀t>t₁,存在

将式(30)与式(31)相减,可得

式中:

由式(32)可得

设定t₂(t₂>t₁)为切换函数σ(t)达到下一个滑模面的时刻,t₃(t₃>t₁)为切换函数σ(t)从邻域D_Δ外部再次返回到邻域D_Δ边缘的时刻。

① 如果t₃>t₂,则可将时间分为2个阶段:t∈[t₁,t₂)和t∈[t₂,t₃]。

当t∈[t₁,t₂)时,切换函数σ(t)并不处于滑模面上,即kε<σ(t)<(k+1)ε,则|(t)|=|σ(t)-σ(t₁)|=O(ε)。

根据式(8)、式(13)和式(16),同时考虑到t^*可以适当大,使得||e^-βt→0,可得

切换函数σ(t)是递增的,对于∀t∈[t₁,t₂),存在

由式(33)、式(35)以及|(t)|=|σ(t)-σ(t₁)|=O(ε)可知,|(t)|=O(ε)。

当t∈[t₂,t₃]时,切换函数σ(t)处于滑模面上,(t)=0。根据时刻t₂和t₃的定义可知,在t∈[t₂,t₃]时,=k_r+γ>0,则输出量(t)是单调递增运动,它将从滑模面上朝着极大值^*方向运动,因此说明与(t₁)距离最远的位置是(t₂),而由于已证明得知|(t₂)-(t₁)|=O(ε),所以∀t∈[t₂,t₃],存在|(t)-(t₁)|=O(ε)。

综合t∈[t₁,t₂)和t∈[t₂,t₃]的分析情况,可以得到对于∀t∈[t₁,t₃],(t)-(t₁)=O(ε)。

② 如果t₂≥t₃>t^*,分析输出量从t₁运动到t₃的情况,由于此时切换函数σ(t)不处于滑模面上,则对于∀t∈[t₁,t₃],输出量的运动情况可以类比于①中t∈[t₁,t₂)的情况,因而,可知此时|(t)-(t₁)|=O(ε)。

对于∀t∈[t₃,t₂),由于状态量_i已处于邻域内,此时通过选取合适的_2i,可以使得Δ任意小,从而满足|(t)-(t₁)|=O(ε)。

由于状态量_i会收敛至邻域内,因此_i也是一致范数有界的。此外,由于输出函数=(_i,_i)是连续函数,当状态量_i一致范数有界性时,输出量也是一致范数有界的。

证毕

由于非线性极值搜索子系统(见式(2))属于MIMO仿射型非线性极值搜索系统(见式(1))的任意子系统,因此根据定理2,可得到如下推论。

推论1    针对MIMO仿射型非线性极值搜索系统(见式(1)),满足假设1~假设5,如果输入量u_i(1≤i≤m)采取如式(13)~式(15)所示,则状态量x将在有限时间内全局收敛至邻域D_Δ内,并且对于足够小的₁,输出量y在极大值y^*附近的振荡幅值是关于参数ε的无穷小量,即‖#8214;y-y^*‖=O,同时状态量x和输出量y都一致范数有界。

证明    根据定理2可知,对于MIMO仿射型非线性极值搜索系统(见式(1))中的第i(1≤i≤m)个极值搜索子系统(见式(2)),当采取如式(13)~式(15)所示的输入量u_i时,状态量_i可在有限时间内全局收敛至邻域内时,即存在‖x_i-x_i^*‖<Δ_i/2与‖-^*‖<Δ_i/2。因此,当采取与定理2相类似的控制条件时,MIMO仿射型非线性极值搜索系统(见式(1))的状态量x都能在有限时间内全局收敛至‖x-x^*‖<Δ/2,根据假设3可知,此时状态量x处于邻域D_Δ内。此外,由于函数y=h(x)是连续函数,当状态量x一致范数有界性时,输出量y也是一致范数有界的。

根据定理2可知,‖-^*‖=O(ε),由于已知极大值^*=0,则根据=-(y-y^*)^T(y-y^*),可得

采用式(13)~式(15)所示的输入量u_i,可使得第i个极值搜索子系统(见式(2))中的状态量_i是一致范数有界的,这也是分析其他极值搜索子系统的前提条件,从而说明了采用本文提出的方法是确保状态量x和输出量y一致范数有界的充分条件。

证毕

4 仿真分析

考虑一类纳什均衡解的搜索控制问题,该问题具有如下系统模型:

式中:x=[x₁x₂]^T为系统的状态量;u=[u₁u₂]^T和y=[y₁y₂]^T分别为系统的输入量和输出量,分别表示代价输入量和惩罚函数输出量;d=[d₁d₂]^T为系统建模不完善所引起的干扰。通过分析该模型可知,当x₁=0和x₂=0时,输出量y₁和y₂才具有极大值y₁^*=12和y₂^*=10。此例的控制目标是利用所设计的基于输出反馈滑模控制的输入量u,使得输出量y₁和y₂全局收敛至各自的极大值y₁^*和y₂^*,且状态量x₁和x₂均有界。

应用本文方法,设计控制参数分别为:k_r=1,γ=0.3,β=3,δ=0.1,ε=0.02。考虑干扰项d₁=0,d₂=0,当系统状态量的初始条件分别为x₁(0)=3和x₂(0)=2时,得到的仿真结果分别如图 3~图 8所示。

通过上述仿真结果可知,在控制输入量u的作用下,输出量y₁和y₂能很快地收敛至极大值y₁^*=12和y₂^*=10(见图 5和图 6),此时状态量x₁和x₂也分别收敛至x₁^*和x₂^*的有界邻域内(见图 3和图 4)。由于滑模控制自身的性质,控制输入量u存在来回切换的问题,为了弱化其影响,可以采取双曲正切函数代替符号函数的方法。

为了进一步验证本文方法的鲁棒性,分别假设干扰项d₁为单位幅值的正弦周期信号,干扰项d₂为在工作时间6~7s内的2倍幅值脉冲信号,同时状态量的初始值和设计参数均保持不变,得到的仿真结果分别如图 9~图 14所示。

通过上述仿真结果可知,当系统(见式(36))在遭受不同形式的干扰时,利用原有控制器的作用,输出量y₁和y₂仍然能较快地收敛至各自极大值y₁^*和y₂^*的有界邻域内,由此说明本文方法确实具有很好的鲁棒性。

5 结 论

本文综合分析了当状态量不可测时的MIMO仿射型非线性极值搜索系统,提出了一种输出反馈滑模控制方法,稳定性分析及仿真验证表明:

1) 该控制方法可在任何初始条件下使系统的输出量全局收敛至其期望极值的任意小邻域内,且所有状态量均一致范数有界。

2) 该控制方法确保了切换函数在任何时刻都可以全局收敛至滑模面上,提升了控制方法的鲁棒性。

3) 该方法属于一种在线反馈控制方法,在许多状态量不易测量或者不可测量的MIMO极值搜索系统中有着广泛的应用前景。