现代战争中,机动目标的战斗部越来越具有威胁性,为了有效地拦截这种目标,应用现代控制思想设计相应的制导律也快速发展。

对于执行机动飞行的目标,其制导系统中由于存在未知的目标加速度项,从而不利于制导律的设计。非线性控制领域中的滑模控制理论以其较好的鲁棒性和简单的设计方法,越来越引人注目^[1],在制导律设计中滑模控制算法的应用也越来越广泛。文献[2]设计了一种有限时间收敛的非奇异快速终端滑模应用于制导环节;文献[3]根据目标的高机动性,设计了2种有限时间收敛的非奇异终端滑模制导律用来导引拦截器;针对静态目标、匀速以及机动目标,文献[4]提出了基于终端滑模的有限时间收敛的制导律,但是该制导律在足够小的误差内没有解决奇异性问题,容易引起控制器输出饱和;文献[5]将自适应滑模控制与反步控制理论结合设计了一种攻击机动目标的制导律,但是反步法的使用导致控制项中出现了不可测的高阶导数项,通过省略控制项中的不可测部分,设计的制导律精度有所降低;文献[6]通过设计的渐近稳定观测器对未知扰动项进行补偿,从而得到光滑的制导律;文献[7]将视线角及其导数作为已知信息设计了新的积分滑动流形,并应用非线性扰动观测器(Nonlinear Disturbance Observer,NDOB)估计未知目标加速度扰动量,并将估计值作为补偿项融入制导律设计中,有效降低了符号函数项在控制器中的比重,从而大幅减弱了抖振；文献[8]依据超螺旋算法原理设计了一种光滑二阶滑模控制算法(SSOMC)应用于双回路的导弹制导和控制一体化设计;文献[9]考虑到拦截器制导阶段攻击角度约束问题,选取非奇异终端滑模面设计了一种二阶滑模控制算法应用于导弹攻击机动目标的制导律设计,该算法采用重构系统状态的方法进行稳定性证明显得过于复杂,而且笔者没有考虑导弹自动驾驶仪的动态延迟特性。

虽然传统滑模有诸多优点,但是抖振现象一直是滑模控制难以摆脱的缺陷。目前减弱抖振的常用方法有2种：一种是用饱和函数代替符号函数,但是这种方法会使滑模的鲁棒性降低,如文献[2, 3, 4, 5];另一种是设计扰动观测器来观测未知的扰动项,然后将估计值作为补偿项,减小符号项在控制器中的比重,如文献[6, 7]。但是这2种方法都不能彻底消除抖振,只能减弱抖振的发生。高阶滑模控制技术不仅保持了传统滑模的优点,抑制了抖振,而且消除了相对阶的限制，提高了控制精度^[10],因此在理论研究和工程应用领域引起了科研人员的高度关注。但是高阶滑模控制算法的设计比较复杂,目前制导律的设计采用高阶滑模的文献并不多见。虽然文献[8, 9]中采用高阶滑模控制算法设计的制导律能够大幅减弱抖振的产生,但是其控制器中仍存在较小的符号函数项,所以抖振问题并没有完全消除。

针对文献[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]中存在的抖振问题,本文提出一种新的滑模控制算法,该算法不仅能有效消除抖振的产生而且保持了传统滑模鲁棒性的优点,算法中通过将符号函数项引入控制输入的导数中,直接避免了控制器抖振的产生,因此,更便于推广应用。本文将自动驾驶仪的动态延迟特性近似为一阶惯性环节,通过对视线角的多次求导建立终端滑模面,应用本文设计的无抖振滑模算法对导弹攻击逃逸机动目标的制导回路进行设计,仿真结果表明所设计的制导律在满足攻击角度约束的条件下具有较高的制导精度。

图 1为拦截器与目标的二维拦截几何示意图,其中Oxy为笛卡儿惯性坐标系,将导弹和目标视为质点,它们之间的连线称为视线(Line Of Sight,LOS)。标记导弹和目标分别为M和T;V_M和V_T分别为导弹和目标的速度;a_M和a_T分别为导弹和目标的法向加速度;γ_M和γ_T分别为导弹和目标的飞行路径角;λ为弹目的视线角;r为弹目距离。

图 1 导弹-目标二维拦截几何示意图 Fig. 1 Schematic of missile-target planar interception geometry

图选项

忽略重力的影响并假设导弹和目标速度变化不大,弹目运动学方程在关于导弹极坐标系(r,λ)下可表示为^[11]

式中:V_r和V_λ为弹目相对速度在视线的切向和法向分量。γ_M和γ_T定义为

对式(3)和式(4)求导得

式中:

注意1 制导律设计中认为,导弹拦截碰撞发生在r≠0并且r=r⁰,但是r⁰∈(r_min,r_max)区间内^[12],r_min和r_max取决于目标的尺寸。因此,以下的不等式在整个拦截过程中成立r⁰ <r <r(t₀),r⁰=[0.1,0.25],r(t₀)为弹目初始距离,t₀为初始时刻。

假设1 假设A_Tr≤A_Tr^max,A_Tλ≤A^max_Tλ以及_Tλ≤_Tλ^max,即目标加速度为有界值^[13]。

记λ_d为期望的视线角常量,在导弹追踪目标过程中视线角速率的导数项保持零值,才能保证导弹以零脱靶量击中目标^[14],为了确保终端攻击角度约束,必须满足λ(t_f)=λ_d,t_f为弹目碰撞时刻,即制导结束时刻。

因此,制导设计目标必须同时满足以上2个目标:λ→λ_d和→0。

注意2 在整个拦截场景中丨λ-γ_M丨≠π/2,因为拦截器的速度垂直于视线角将导致弹体没有机动能力,无法完成拦截任务^[15]。

考虑一类高阶非线性系统如下:

式中:n为高阶非线性系统的阶次;x=[x₁ x₂…x_n]为系统的状态向量;f(x,t)和b(x,t)≠0为已知的光滑函数并且x和u是可测的,u为控制输入；函数d(x,t)为系统不确定项,并且满足丨d(x,t)丨≤d_max,d_max为正常数。

针对非线性系统式(9)设计滑模控制器(SMC),首先设计理想的滑动流形,然后根据滑动流形选择Lyapunov函数设计控制器。系统式(9)选择的终端滑模(TSM)滑动流形为

式中:c_i和α_i(i=1,2,…,n)都为正常数,c_i的选择取决于多项式p(q)=qⁿ+c_nq^n-1+…+c₂p+c₁,多项式是Hurwitz稳定的,即p(q)的特征值全部分布在复平面的左半平面内,p和q为辅助变量。α_i的选择由式(11)决定:

式中:α∈(1-ε,1),并且ε∈(0,1)。一旦理想滑动模态建立S=0,系统式(9)等效为

因此对于任何初始条件x(0)≠0,系统式(12)的状态都能在有限时间内沿着TSM滑动流形收敛到平衡原点^[16]。

假设2 d(x,t)的一阶导数项在系统式(9)中为有界函数,即为丨(x,t)丨≤k_d,k_d为正常数,在实际控制系统的应用中以上假设是合理的。

定理1 非线性系统式(9)会在有限时间内到达滑动面S,系统状态也会在有限时间内沿着滑动流形收敛到平衡原点,如果系统的滑动面选择使用式(10),非线性系统的控制输入的设计为

式中:

其中:u_eq为等效控制器;u_x和v为辅助控制器;T≥0;η的取值满足如下条件η>k_d。

证明:根据系统式(9)以及式(10)滑动面S可写为

根据定理1将式(13)和式(14)代入式(18)得

由式(15)解微分方程可得

对式(19)求一阶导数可得

这里选取的Lyapunov函数为V=S²/2,那么对其求导可得

将式(16)、式(17)和式(20)代入式(22)可得

只要k_d-ηe^-T(t-t₀) <0,即t<;那么<0对于S≠0恒成立,因此只要T和η选取适当的值,非线性系统就会在有限时间内到达滑动面S,假设到达滑动面时刻为t₁,那么t₁<。当系统到达滑动面S=0,系统等效为式(12),那么系统状态自然在有限时间内到达平衡点。   证毕

注意3 在式(13)~式(17)中,除了滑动流形S外,其他变量都是可测的,因为变量x·_n是不确定量。因此,为了求得式(16)的符号函数项,定义函数^[17]

式中:l为可积变量。

因为S(t)=(g(t)-g(t-h))/h,h为较小的正常数;因此,符号函数项可表示为

由定理1可知,符号函数项没有直接引入控制器的设计中,而是间接地出现在控制器设计中,从而有效地消除了控制中出现的抖振现象。

在制导场景下,拦截器产生的加速度指令a_M需要弹体的自动驾驶仪跟踪,但是,自动驾驶跟踪过程中追踪指令与制导指令之间会不可避免地产生时间延迟,因此,有必要在制导设计环节中考虑自动驾驶仪动态延迟环节以此提高弹体制导性能。本文将导弹自动驾驶仪的动态特性近似成一阶惯性环节来描述^[18]:

式中:τ为弹体自动驾驶仪的时间常数;u_a为自动驾驶仪的控制输入。

拦截模型选取式(1)~式(4)描述的非线性运动方程,这里选取状态变量为

于是联合式(1)~式(8)以及式(26)可得

式中:

由假设1可知Δ为连续有界函数,因此Δ的导数也为有界函数。

由式(27)和式(29)可得考虑自动驾驶仪动态特性的制导系统状态方程为

因而系统式(30)完全符合非线性系统式(9)描述的状态方程。

针对系统式(30),可根据式(10)选取终端滑动流形为

制导律的设计根据定理1可得

式中:

制导律的证明类同于定理1,这里不再赘述。

由式(27)和式(28)可知,系统式(30)中状态变量x₁、x₂是可测的,但是系统状态x₃是不可测的。因此,需要对不可测状态变量进行精确估计,本文选取Levant在文献[10]中提出的任意阶精确鲁棒微分器对x₃进行估计,假设估计记为₃,二阶精确鲁棒微分器形式为

式中:f(t)为微分器的输入函数,这里取x₂,而且丨f⁽³⁾丨<L。经微分器估计后可得₃=z₁,然后用₃代替x₃,进行制导应用。

注意4 当出现大的初始航向角偏差时,存在>0,制导指令或许不能操纵导弹转换到碰撞路径上来,导致脱靶,为了解决这个问题,式(32)中的制导指令可以改写为^[19]

由式(38)可知,当丨λ-γ_M丨=π/2时,会导致制导指令趋于无穷大,而且导弹实际提供的加速度值也是有限的,因此有必要对制导指令进行限幅处理:

式中:A_max为弹体实际所能提供的最大加速度值。

本节进行数字仿真以验证本文提出的制导律的有效性。导弹和目标的速度分别为V_M=380 m/s,V_T=180 m/s;导弹的初始加速度为a_M(0)=0 m/s²;导弹在惯性坐标系中的初始坐标为(0,0)m;初始弹目距离r(0)=2 000 m;初始视线角λ(0)=28.5°;导弹的初始飞行路径角为γ_M(0)=15°;目标执行正弦机动加速度为a_T=3×9.81·sin(t)m/s²;重力加速度为9.81 m/s²;自动驾驶仪的时间常数取τ=0.1;弹体实际提供的最大加速度为A_max=20g。

为了进一步验证文中制导律的优越性,这里将对孙胜等在文献[5]提出的制导律一并进行仿真实验;仿真初始条件与本节第1部分提到的相同。仿真实验在目标进行机动逃逸的情况下设计了2种理想的视线角作为期望的攻击角度进行。记本文设计的制导律为CFSMC制导律,文献[5]提出的制导律为CASMC制导律。

第1种场景:目标作正弦机动逃逸,目标的初始飞行路径角为γ_T(0)=-5°,理想的视线角取λ_d=30°。

仿真结果如图 2所示,图 2(a)中M和T分别表示导弹和目标。在CFSMC制导律作用下,导弹攻击时间为9.59 s,攻击角度为30.064 5°,脱靶量为4.556 8×10^-4 m,对于CASMC制导律,导弹攻击时间为9.58 s,攻击角度为30.046 5°,脱靶量为0.001 3 m。

图 2 场景1的仿真结果 Fig. 2 Results of simulation for case 1

图选项

第2种场景:目标作正弦机动逃逸,目标的初始飞行路径角为γ_T(0)=10°,理想的视线角取为λ_d=50°。

仿真结果如图 3所示,图 3(a)中M和T分别表示导弹和目标。在CFSMC制导律作用下,导弹攻击时间为9.99 s,攻击角度为50.161 2°,脱靶量为0.019 3 m;对于CASMC制导律,导弹攻击时间为10.22 s,攻击角度为49.882 8°,脱靶量为0.002 2 m。由图 3(a)可知,在CFSMC制导律作用下导弹可以更快地打击机动目标,由图 3(b)可知,在这种情况下导弹视线角速率偏离零值比在CASMC制导律作用下稍大从而导致脱靶量增大,但是仿真数据显示CFSMC制导律产生的脱靶量也完全符合制导要求。

图 3 场景2的仿真结果 Fig. 3 Results of simulation for case 2

图选项

由仿真数据可知,第1种场景下CFSMC制导方法与CASMC制导方法在终端攻击角度、脱靶量以及攻击角度方面相差不大,都有较高制导精度;第2种场景下,2种方法获得的终端攻击角度都比较精确,虽然CASMC制导方法在脱靶量上较小,但是其攻击时间相对较长。从图 2(d)与图 3(d)可知,CASMC制导方法在临近制导结束时刻控制器出现了大幅抖振,这非常不利于自动驾驶仪的跟踪;相反CFSMC制导方法在整个制导过程中其输入指令都很平滑,利于提高自动驾驶仪的跟踪精度。综上可知,本文应用的无抖振滑模制导律相较于传统滑模制导律,不仅制导精度高而且易于自动驾驶仪实现跟踪。

本文将导弹自动驾驶仪动态延迟特性与攻击角度约束问题结合,推导了新的制导状态方程,进一步研究了导弹制导环节的设计。

1)根据需要提出了一种恰当的滑模控制算法应用于制导律的设计,通过仿真实验验证了其有效性。

2)仿真数据说明了本文设计的制导律有较好的攻击角度约束性能以及较小的脱靶量,因此获得了较高的制导精度;对比实验的仿真图像显示要想获得同样的制导精度,控制器就要以产生大量的抖振为代价,进一步验证了本文设计的制导律的优越性。

3)仿真图像显示本文设计控制器没有出现传统滑模仿真出现的抖振问题,验证了本文设计的无抖振滑模算法的有效性,同时利于导弹自动驾驶仪实现跟踪控制,为导弹制导与控制的整体设计奠定了良好基础。

下一步的研究工作可以考虑将本文方法推广到导弹制导与控制一体化设计。