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修理工带休假的n部件冷贮备可修系统
温艳清1,2, 崔利荣3, 刘宝亮2    
1. 西北工业大学机电学院, 西安 71007;
2. 山西大同大学数学与计算机科学学院, 大同 037009;
3. 北京理工大学管理与经济学院, 北京 100081
摘要: 对由1个修理工和n个部件组成的冷贮备可修系统的可靠性进行了研究,当系统中没有故障部件时,修理工可以进行多重休假,休假时间是一个随机变量;在修理工休假期间,如果系统中在线工作的部件出现了故障,则其中一个冷贮备部件立即代替故障部件成为在线工作部件,故障部件必须等待修理工从休假返回才能得到修理。假定部件的工作时间、部件故障后的修理时间以及修理工的休假时间均为位相型(PH)分布。通过运用Kronecker算子和马尔可夫过程理论,分别推导出系统在瞬态和稳态情况下的几个可靠性指标:可靠度、可用度、故障频度以及修理工忙的概率。通过数值算例对所得结论进行了验证。
关键词: 可修系统     多重休假     可靠性     位相型分布     故障频度    
Cold standby n-component repairable system with repairman vacation
WEN Yanqing1,2, CUI Lirong3 , LIU Baoliang2     
1. School of Mechatronical Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi'an 71007;
2. College of Mathematics and Computer Science, Shanxi Datong University, Datong 037009, China;
3. School of Management and Economics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China
Received: 2015-04-14; Accepted: 2015-07-10; Published online: 2015-09-17 16:50
Foundation item: National Natural Science Foundation of China(71371031)
Corresponding author. Tel.: 010-68940780 E-mail: Lirongcui@bit.edu.cn
Abstract: The reliability for a cold standby n-component repairable system with a repairman having multiple vacations is studied. If all of units are in normal state, the repairman may take his vacations, and the vacation time is a random variable. During the repairman's vacation, if a unit online fails to work, one of cold standby components becomes the component online immediately the failure unit will not be repaired until the repairman comes back from his vacation. The operational time of the unit online, the repair time and the vacation time of repairman are governed by different phase-type (PH) distributions, respectively. The system is studied in a transient and stationary regime. The reliability, availability, rate of occurrence of failures and busy probability of repairman are derived by Kronecker operator and Markov process theory. A numerical example is given to illustrate the results obtained.
Key words: repairable system     multiple vacations     reliability     phase-type distribution     rate of occurrence of failures    

在工程实践中,为了提高系统的可靠性,对系统的各个运行部件进行贮备是经常被工程实践者和科研人员使用的方法。一般地,贮备分为热贮备、温贮备和冷贮备。冷贮备意味着系统在运行的过程中,贮备部件不会出现故障。可修系统是实际工程中常见的一类系统。在可修系统中,如果系统所涉及的分布均为指数分布时,可以通过适当定义系统的状态,用马尔可夫过程理论来研究该系统,即马尔可夫可修系统。指数分布虽然具有易于进行解析处理的优点,但在一定情形下与工程实际并不符合。

为了克服以上困难,Neuts[1]在1981年提出位相型(Phase-type,PH)分布,对任何非负随机变量,总可以用一个PH分布把它近似到任意需要的精度。由于PH分布具有良好的解析性、通用性以及可计算性,使得其在排队系统分析、交通系统分析与优化、统计信号分析和可靠性建模[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]等领域获得了广泛的应用。以往学者在研究可修系统时,大多假定修理工的职责就是对该系统进行维修,但是如果系统处于正常工作状态时,修理工就闲置在旁,好像是多余的,这实际上是对人力资源的浪费,未能充分利用修理工的价值。事实上,在系统正常工作的这段时间内,可以适当给修理工安排一些其他任务,例如对生产车间进行卫生维护等,即“休假”。在排队论中,服务员的休假问题很早就得到了学者们的关注,然而在可靠性领域,国内外关于修理工具有休假策略的可靠性系统研究近十年来才出现了一些研究成果[10, 11, 12, 13, 14, 15, 16],学者们运用马尔可夫过程理论和补充变量法对修理工具有休假策略的系统可靠性进行了研究[17, 18, 19, 20, 21, 22, 23]。Pérez-Ocón和Montoro-Cazorla[3]对由1个修理工和n个部件冷贮备可修系统的可靠性进行了研究,假设部件的工作时间和修理时间均为PH分布,运用矩阵分析法推导出了系统的一些可靠性指标。其后,他们又对由1个修理工和n个部件热贮备可修系统的可靠性进行了研究,假设部件的工作时间和修理时间均为PH分布,热贮备部件的寿命服从指数分布[4]。不过文献[3, 4]都没有考虑修理工的休假问题。

基于此,本文对修理工具有多重休假的n部件冷贮备可修系统的可靠性进行了研究,假定在线部件的工作时间、部件故障后的修理时间以及修理工的休假时间用不同的PH分布表示,运用Kronecker算子和马尔可夫过程理论推导出系统的一些可靠性指标。

1 系统模型建立

考虑由n个部件和1个修理工组成的可修系统,修理工可以进行多重休假。系统的假设如下:

1) 在时刻t=0,所有部件是完好的,1个部件在线开始工作,其余n-1个部件在冷贮备。当系统开始工作后,修理工立即去休假,他遵循多重休假策略,休假时间是一个随机变量;当在线工作部件出现了故障,冷贮备部件立即替换它成为在线工作部件。

2) 当修理工从休假返回系统中,他可能面临3种情况:

① 系统中所有部件均完好,则他立即进行第2次休假。

② 系统中有且仅有1个故障的部件等待修理,其余部件均完好,则他立即修理这个故障的部件,且修复如新,当这个部件修理完成时,如果系统中再没有故障的部件,则他立即进行第2次休假,否则继续修理故障的部件,直到系统中所有部件都完好,他才进行第2次休假。

③ 系统中至少有2个故障的部件,则他立即修理先出现故障的部件,然后按照先坏先修的原则再修理其他故障的部件,直到系统中所有部件都完好,他才进行第2次休假。

3) 假设部件的工作时间是一个随机变量且分布为PH(α,T),其工作时间位相的阶数为m;部件故障后的修理时间也是一个随机变量,服从阶数为n1的PH分布,表示为PH(β,S);修理工的休假时间服从阶数为k的PH分布,表示为PH(γ,L)。其中:α、β和γ分别为工作时间、修理时间和休假时间的初始向量;T、S和L分别为工作时间、修理时间和休假时间瞬态之间的转移概率矩阵。假设以上3个分布相互独立。

基于以上假设,系统可以用一个连续时间马尔可夫过程{X(t),t≥0}来描述,其状态空间为S={S1,S2,S3,S4,S5},其中:S1S2S3S4S5为宏状态,下面给出这些宏状态表示的具体意义。

S1={(0,i,l),1≤i≤m,1≤l≤k}表示1个部件在线工作,其余n-1个部件处于冷贮备,修理工正在休假。(0,i,l)表示系统中故障部件数为0,在线部件工作时间的位相为i,修理工休假时间的位相为l

S2={(r,i,l),1≤r≤n-1,1≤i≤m,1≤l≤k}表示系统中有r个部件出现了故障,而修理工正处于休假,在线部件工作时间的位相为i,修理工休假时间的位相为l

S3={(r,i,j),1≤r≤n-1,1≤i≤m,1≤j≤n1}表示系统中有r个部件出现了故障,修理工按照先坏先修的原则正在修理最先出现故障的部件,其余故障部件排队等待修理,在线部件工作时间的位相为i,修理时间的位相为j

S4={(n,l),1≤l≤k}表示系统中所有部件都出现了故障,都排队等待修理,修理工正在进行休假,修理工休假时间的位相为l

S5={(n,j),1≤j≤n1}表示系统中所有部件都出现了故障,修理工按照先坏先修的原则正在修理最先出现故障的部件,其余故障部件排队等待修理,修理时间的位相为j

系统的宏状态还可以表示为S={0,1v,1r,2rv,2r,…,nv,nr},其中:0表示系统中没有故障的部件,即系统中所有部件都完好,修理工正在休假;iv(i=1,2,…,n)表示系统中故障部件数为i且修理工正在休假;ir(i=1,2,…,n)表示系统中故障部件数为i且修理工正在修理最先出现故障的部件。很显然,S1={0},S2={1v,2v,…,(n-1)v},S3={1r,2r,…,(n-1)r},S4={nv},S5={nr}。

基于以上分析,系统的转移率矩阵表示为Q,其是一个分块矩阵,每一块相应于S={0,1v,1r,2v,2r,…,nv,nr}中状态之间的转移,即

在矩阵Q中,元素是0的地方没有表示出来。为了得到矩阵Q的明确表达式,只需注意转移发生的原因:①在线工作的部件出现了故障;②修理工的一次休假结束返回系统;③正在修理的部件修理完成。通过概率分析,可以得到

下面证明转移率矩阵Q中的这些分块元素如何得到。

分块矩阵A相应于0→0,和的第1项相应于工作时间位相变化而休假时间位相不变化,或者休假时间位相变化而工作时间位相不变化;和的第2项相应于修理工的休假时间以向量L0结束,所有部件都完好,修理工立即以向量γ进行第2次休假,而工作时间的位相不变化,所以和的第2项为ImL0γ

转移0→1viv→(i+1)v分别对应的分块矩阵为B0Bi(i=1,2,…,n-2),相应于在线工作的部件以向量T0故障发生,处于冷贮备的部件以向量α替代故障部件在线工作,修理工的休假时间位相不变化。

转移(n-1)vnv对应的分块矩阵为Bn-1=T0Ik,相应于在线工作的部件以T0故障发生,系统里没有冷贮备的部件,即所有部件都成为故障部件,修理工的休假时间位相不变化。

转移iviv对应的分块矩阵为Ci=T⊕L,0≤i≤n-1,相应于工作时间位相变化而休假时间位相不变化,或者休假时间位相变化而工作时间位相不变化。

转移nvnv对应的分块矩阵为Cn,相应于修理工休假时间位相之间变化。

转移ivir对应的分块矩阵为D,相应于修理工以向量L0结束休假,发现系统中有故障的部件等待修理,立即以向量β开始修理最先出现故障的部件,在线工作部件的工作时间位相不变化。

转移ir→(i+1)r对应的分块矩阵为Gi=T0αIn1,1≤i≤n-2,相应于在线工作部件以向量T0发生故障,处于冷贮备的部件立即以向量α替代故障部件在线工作,修理工的修理时间位相不变化。

转移(n-1)rnr对应的分块矩阵为Gn-1=T0In1,相应于在线部件以向量T0发生故障,系统中没有贮备部件,修理工的修理时间位相不变化。

转移1r→0对应的分块矩阵为E1=ImS0γ,相应于修理工修理时间以向量S0完成了对故障部件的修理,系统中没有故障的部件,修理工以向量γ开始休假,在线工作部件的工作时间位相不变化。

转移ir→(i-1)r对应的分块矩阵为E,相应于修理工修理时间以向量S0完成了对故障部件的修理,他按照修理规则立即以向量β修理等待修理的部件,在线工作部件的工作时间位相不变化。

转移nr→(n-1)r对应的分块矩阵为,相应于修理工修理时间以向量S0完成对故障部件的修理,修理完好的这个部件以向量α开始在线工作,修理工按照先坏先修的原则以向量β对其他排队等待修理的部件进行修理。

转移irir对应的分块矩阵为Fi(i=1,2,…,n-1),相应于工作时间位相变化而修理时间位相不变化,或者修理时间位相变化而工作时间位相不变化。

转移nrnr对应的分块矩阵为Fn,相应于修理工修理时间位相之间变化。

2 系统的可靠性指标 2.1 系统的瞬态可靠性指标

本节讨论系统的可用度、可靠度、故障频度以及修理工忙的概率等瞬态性能度量指标。

1) 可用度

系统的瞬时可用度定义为系统在时刻t处于工作状态的概率。由于系统以概率向量αγ运行,所以时刻t系统占用宏状态0,1v,1r,2v,2r,…,(n-1)v,(n-1)r的概率分别为

所以系统的可用度为

2) 可靠度

为了求得系统的可靠度R(t),把马尔可夫系统{X(t),t≥0}的所有故障状态看作为吸收状态,且令

则系统的可靠度为

3) 故障频度

时刻t在线部件的故障频度为

系统的故障频度也是一个重要的可靠性指标,其被定义为单位时间内系统出现不工作的次数。系统的不工作宏状态为nvnr,系统能够从宏状态(n-1)v或者(n-1)r转移到不工作宏状态,所以系统的故障频度为

4) 修理工忙的概率

当系统处于宏状态1r,2r,…,(n-1)r,nr时,修理工正在维修故障部件,所以修理工忙的概率为

2.2 系统的稳态可靠性指标

本节讨论系统的可用度、可靠度、故障频度以及修理工忙的概率等稳态性能度量指标,这些指标都可以由瞬态时相应的指标取极限得到。

π=(π0,π1v,π1r,π2v,π2r,…,πnv,πnr)表示稳态时系统处于各个宏状态的概率向量,则它满足矩阵方程πQ=0和正则化条件πe=1,即

1) 稳态可用度

稳态可用度表示稳态时系统处于工作状态的时间比例,即

2) 稳态故障频度

在线部件的稳态故障频度为

系统的稳态故障频度为

3) 修理工忙的概率

系统处于稳态时,修理工忙的概率为

4) 系统2次故障之间的平均时间

系统2次故障之间的时间服从PH(f,QWW),且f=(αγ,0,0,…,0)1×[nmk+(n-1)mn1],因此系统2次故障之间的平均时间为

3 数值算例

考虑由1个修理工和5个部件组成的冷贮备可修系统,假设在线部件工作时间的分布为

部件故障后修理工的修理时间为

修理工的休假时间为

运用第2节的理论结果,可以得到如下稳态概率向量:

所以系统的稳态可用度为A=0.990 6,系统在各种情况下的稳态故障频度分别为v1=0.134 3,v2=0.192 8。在系统达到稳态情形下,修理工忙的概率为pBusy=0.568 0。同样可以得到系统连续2次故障的平均时间为μ=353.828 3。

运用第2.1节所得到的表达式,可以构建出表 1表 1分别给出了系统可用度、故障频度以及修理工忙的概率在不同时刻的值,最后一行是这些指标达到稳态后的值。从表 1可以看出,系统在时刻t=20之后就已经达到稳态了。

表 1 1个修理工有多重休假的n部件冷贮备可修系统的性能测度Table 1 Performance measures for cold standby n-component repairable system with one repairman having multiple vacations
t A(t) v 1(t) v 2(t) pW ( t)
0 1 0 0 0
5 0.9937 0.0426 0.0673 0.0750
15 0.9929 0.0622 0.0920 0.2692
20 0.9913 0.0907 0.1454 0.4081
25 0.9906 0.1098 0.1928 0.5680
50 0.9906 0.1343 0.1928 0.5680
0.9906 0.1343 0.1928 0.5680
4 结 论

1) 把修理工可以进行多重休假的思想引入系统建模,使修理工这个人力资源得到充分利用,可以为企业节约成本。

2) 任何非负随机变量服从的分布都可以用PH分布逼近,假定部件的工作时间、故障部件的维修时间以及修理工的休假时间用不同的PH分布表示,使得模型更具有一般性。

3) 运用矩阵分析的方法推导系统的瞬态和稳态可靠性指标,与以往的概率分析法相比较,方法更简单。

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http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2015.0226
北京航空航天大学主办。
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温艳清, 崔利荣, 刘宝亮
WEN Yanqing, CUI Lirong, LIU Baoliang
修理工带休假的n部件冷贮备可修系统
Cold standby n-component repairable system with repairman vacation
北京航空航天大学学报, 2016, 42(3): 569-575
Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2016, 42(3): 569-575.
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2015.0226

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收稿日期: 2015-04-14
录用日期: 2015-07-10
网络出版时间: 2015-09-17 16:50

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